Práctica 5. Autovalores y autovectores. Diagonalización de matrices y de transformaciones lineales.

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1 Práctica 5 Autovalores y autovectores Diagonalización de matrices y de transformaciones lineales Nota: salvo indicación particular, se considera que todas las matrices pertenecen a C n n 1 Encuentre los autovalores y autovectores de cada una de las siguientes matrices: [ 12 4 (a) 8 8 [ 1 1 (b) 1 1 [ 0 1 (c) (d) (e) Demuestre lo siguiente: (a) A es singular si y sólo si λ = 0 es autovalor de A (b) Si rango(a) = k < n, λ = 0 es un autovalor de A de multiplicidad geométrica n k (c) Si λ es autovalor de A entonces: rλ es autovalor de ra λ k es autovalor de A k si k es un entero positivo Si A es inversible, λ 1 es autovalor de A 1 λ + r es autovalor de A + ri (d) Si p(t) = a k t k + a k 1 t k a 1 t + a 0 definimos p(a) = a k A k + a k 1 A k a 1 A + a 0 I Demuestre que si λ es autovalor de A entonces p(λ) es autovalor de p(a) (e) Demuestre que si p(t) = q(t)r(t) con q(t) y r(t) polinomios entonces p(a) = q(a)r(a) = r(a)q(a)

2 3 Encuentre los autovalores y autovectores de la matriz n n 1 + r r r r Sugerencia: encuentre primero los autovalores y autovectores para el caso particular r = 0 4 Suponga que A de n n admite la partición en bloques [ A11 A 12 0 A 22 con A 11 de k k, A 12 de k (n k) y A 22 de (n k) (n k) (a) Demuestre que el polinomio característico de A es el producto de los polinomios caracteristicos de A 11 y A 22 (b) Demuestre que λ es autovalor de A si y sólo si λ es autovalor de A 11 ó A 22 (c) Si A 12 = 0 qué relación puede establecer entre los autovectores de A 11 y A 22 y los autovectores de A? (d) Encuentre los autovalores de A, sus multiplicidades algebraicas y geométricas y tantos autovectores linealmente independientes como sea posible, siendo (e) Generalize el ejercicio 4 al caso en que A 11 A 12 A 1n 0 A 22 A 2n 0 0 A kk, con A 11,, A kk matrices cuadradas 5

3 (a) Halle los autovalores de A 3 + 2A 2 3A + I siendo (b) Si , para qué valores de r R resulta inversible la matriz A 3 +ra 2 I? (c) Si A es tal que A 2 = A, cuáles son sus posibles autovalores? Tenga en cuenta, para los 2 últimos incisos, que si A es de n n y p(t) = a k t k + + a 0 con a k 0, entonces para cada autovalor λ de p(a) existe un autovalor ν de A tal que p(ν) = λ 6 (a) Si A R n n, demuestre que el polinomio característico de A coincide con el de A T y que por lo tanto A y A T tienen los mismos autovalores Demuestre que la dimensión del autoespacio asociado al autovalor λ de la matriz A coincide con la dimensión del autoespacio asociado al mismo autovalor de la matriz A T, y que por lo tanto la multiplicidad geométrica de λ como autovalor de A coincide con la multiplicidad geométrica de λ como autovalor de A T (b) Si A C n n, qué relación puede establecerse entre el polinomio característico de A y el de A H?, y entre las dimensiones de los autoespacios de A y los de A H? 7 Sea A la matriz dependiente del parámetro real α: 2α α 2α α α α 2 (a) Obtener los valores de α para los que A es diagonalizable (b) Diagonalizar A para α = 1 y para α = 2 8 Para qué valores de a, b, c R resulta 9 (a) Halle el polinomio característico a b c 1 a b 0 1 c diagonalizable?, a, b, c R (b) Halle una A de 3 3 cuyos autovalores sean raíces de t 3 17t 2 + 5t π

4 10 Verdadero o falso? (a) Si la matriz A posee n autovalores distintos entonces A es diagonalizable (b) Si P ΛP 1 = SΛS 1 con Λ diagonal, entonces P = S (c) Si A es diagonalizable entonces p(a) es diagonalizable cualquiera sea el polinomio p(t) (d) Si p(a), con p(t) un polinomio no constante, es diagonalizable entonces A es diagonalizable (e) Si la matriz n n p(a), con p(t) un polinomio, posee n autovalores diferentes, entonces A es diagonalizable (f) Si v es autovector tanto de A como de B entonces v es autovector de A + B y de AB (g) Si 1 es el único autovalor de A entonces I (h) Si α es autovalor de A y β lo es de B entonces αβ lo es de AB (i) Si A solo tiene autovalores 1 y 1 entonces AA H = I (j) Si A es diagonalizable entonces A H lo es (k) Si A es de 2 2 tal que tr(a) = 1 y det(a) = 6 entonces A es diagonalizable 11 Sea A tal que A 2 = A Demuestre lo siguiente: (a) Si x col(a) entonces Ax = x (b) col(a) Nul(A) = K n (c) Existe una base de K n compuesta por autovectores de A {}}{ (d) Existe P K n n inversible tal que P ΛP 1 con Λ = diag( 1,, 1, 0,, 0) y k = rango(a) (e) Si además A T = A y K = R ó A H = A y K = C, entonces existe una base ortonormal de K n compuesta por autovectores de A 12 (a) Encuentre A k para k N para [ [ k

5 [ Calcule lim k A k Calcule lim k A k (b) Halle una matriz A R 3 3 tal que A 2 = B con B = Es única? (c) Halle A R 2 2 tal que A 2 3A + 2I = B, con [ 3 3 B = 3 3 y det(a) = 2 (d) Dada la matriz, encontrar un subespacio S invariante por A tal que lím k Av = 0 para cada v S (e) Halle una matriz A R 3 3 tal que: S = gen{[1 1 0 T } sea invariante por A, λ = 2 sea autovalor y S sea el autoespacio asociado a ese autovalor, y det(a) = (a) Demuestre que las matrices A y B no son semejantes si [ [ y B = (b) Compruebe que las matrices [ [ y B = son semejantes Halle S R 2 2 inversible tal que SBS 1

6 (c) Consideremos conocido el hecho que dadas A y B de n n, AB y BA tiene igual polinomio característico Dar un ejemplo en el caso n = 2 de matrices A y B tales que AB no sea semejante a BA (Sug: dé un ejemplo tal que AB sea nula pero BA no lo sea) 14 [ Sea A R 2 2 con autovalores a + ib y a ib, a, b R, b 0 Muestre que A resulta semejante a b a b a 15 Demuestre que si p(t) es el polinomio característico de A y A es diagonalizable, entonces p(a) = 0 (Este resultado, conocido como el Teorema de Cayley-Hamilton, vale en general, es decir sin necesidad de suponer que A es diagonalizable) 16 Para cada una de las siguientes transformaciones lineales encuentre los autovalores, sus multiplicidades algebraicas y geométricas y bases para los autoespacios asociados a cada autovalor Si es posible encuentre una base ordenada tal que la representación matricial de la transformación respecto de ella sea una matriz diagonal Si tal base no existe explique por qué (a) T : R 3 R 3, T (x) = [x 1 + x 2 x 3 x 1 + x 2 + x 3 x 1 + x 2 + x 3 T (b) T : P 2 P 2, T (a + bt + ct 2 ) = 2a + ct + ( b c)t 2 (c) T : V V tal que en la base B = {v 1 ; v 2 } [ [T B = considerando primero que V es un espacio vectorial real y luego que es un espacio vectorial complejo 17 Considere la transformación lineal T : R 3 R 3, definida de la siguiente manera: con u = [1 1 2 T, T (v) = v 3 uut u T u v (a) Encuentre los autovalores T Analice si [T B es diagonalizable para cualquier base B de R 3 (b) Resuelva el ejercicio anterior con u R 3 un vector no nulo arbitrario 18 Sea T : V V una transformación lineal que, respecto de una base B = {v 1 ; v 2 ; v 3 } tiene asociada la matriz 1 + α α α 2 + α α α 1 (α R) 2 1 0

7 (a) Obtenga los autovalores de T, comprobando que no dependen de α (b) Para los valores de α tales que T sea diagonalizable encuentre una base ordenada B tal que [T B sea diagonal 19 Encuentre autovalores y autovectores de las siguientes transformaciones: (a) T de R 3 en R 3, la rotación en un ángulo α con eje v no nulo Calcule det(t ) y tr(t ) (b) T de R 3 en R 3, la reflexión respecto de un subespacio S de R 3 Calcule det(t ) y tr(t ) (c) T de V en V, la proyección ortogonal sobre un subespacio S, siendo dim(v ) = n Calcule det(t ) y tr(t ) (d) T (f) = f f de C en C (e) T (f) = f de C en C (f) T (A) = A + A T de R 2 2 en R 2 2 (g) T (f(x)) = f(3x 1) de P 2 en P 2 Es T diagonalizable? (h) T (p) = p de P en P 20 Sea T L(V ) donde V es un R-espacio vectorial de dimensión 3 Suponga que 2 es autovalor de T y los otros 2 autovalores son complejos conjugados Si det(t ) = 50 y tr(t ) = 8, cuáles son los autovalores de T? 21 Sea 0 a b c d 0, a, b, c, d > 0 la matriz que representa a una T L(V ) respecto de cierta base B siendo dim(v ) = 3 Si T tiene 3 autovalores diferentes, cuáles de ellos son mayores que 0? o menores que 0? o iguales a 0?