7. Forma canónica. Endomorfismos O N. Depto. de Álgebra, curso

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1 Depto de Álgebra, curso Forma canónica Endomorfismos Ejercicio 7 Sea f : V V un endomorfismo de un K-espacio vectorial de dimensión finita, y A una matriz de f respecto de cualquier base Definimos la traza de f como traza(f =traza(a Pruebe que la traza está bien definida, es decir, es invariante para matrices semejantes Ejercicio 72 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita, con V = U W Sea π U : V V el proyector de V sobre U : siv V, entoncesv=u+w para unos únicos vectoresu U,w W y se define π U (v=u Pruebe que traza(π U =dimu Ejercicio 73 Sea A n n una matriz singular El índice de A es el menor entero k > 0 tal que Col(A k =Col(A k+ Si A tiene índice k y rango(a k =r, entonces existe una matriz Q no singular tal que ( Q Cr r O AQ = O N donde C es no singular y N es una matriz nilpotente de índice k, es decir, N k es no nula y N k es la matriz nula Ejercicio 74 Sea V un K-espacio vectorial y W V un subespacio Supongamos que existen W,W 2 V tales que V = W W = W W 2 Consideremos las aplicación g : V V definida como g (v=w, dondev=w +w,w W,w W Pruebe que im(g =W y ker(g =W 2 Sea h la restricción de g a W 2 Pruebe que h es inyectiva 3 Dadow W, lo escribimos comow =w+w 2, conw W,w 2 W 2 Pruebe que h(w 2 =w 4 Concluya que W y W 2 son isomorfos 5 Cómo se simplifica el resultado si V es de dimensión finita? Ejercicio 75 Sea f : C C definida como f (a+ i b= b+ ai Es f un endomorfismo de C considerado como R-espacio vectorial? Y como C-espacio vectorial? Ejercicio 76 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y f : V V un endomorfismo Pruebe que existe un automorfismo g de V que verifica f g f = f Ejercicio 77 Sea f : R 3 R 3 un endomorfismo tal que f 2 = 0 Demuestre que dimker( f = 2 2 Pruebe que existe un homomorfismo g : R 3 R y un vectory R 3 tales que f (v= g (vy para todov R 3 Ejercicio 78 Sea V un Q-espacio vectorial de dimensión finita y f, g : V V endomorfismos que verifican la relación Pruebe que f g = g f, 3f 3 + 7f 2 2f g + 4f id V = 0 Ejercicio 79 Sea f : V V un endomorfismo, con V un C-ev de dimensión finita, y W V un subespacio invariante por f Pruebe que si f es biyectivo, entonces W es invariante por f 2 Si V = W W, es W invariante por f? Ejercicio 70 Sea B = {u,u 2,u 3,u 4 } una base de un R-espacio vectorial V de dimensión 4 y f : V V el endomorfismo definido por f (u = 6u 4u 2 4u 4, f (u 2 = 6u 2u 2 2u 3 4u 4, f (u 3 = 4u 2u 3 4u 4, f (u 4 = 4u 4u 2 +2u 3 2u 4 Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 65

2 Depto de Álgebra, curso Consideremos los subespacios y los vectores { x + x 2 + x 3 = 0, W : x 4 = 0, { x2 x 4 = 0, W 2 : x 3 = 0, w = u 2 +u 3,w 2 =u u 2, w 2 = 3u + 2u 2 + 2u 4,w 22 = u Compruebe que B = {w,w 2 },B 2 = {w 2,w 22 } son bases respectivas de W y W 2 2 Pruebe que W y W 2 son subespacios invariantes de f 3 Verifique que V = W W 2 4 Calcule la matriz de la aplicación f i = f Wi respecto de B i, para i =,2 5 Deduzca la matriz de f respecto de B = B B 2 Ejercicio 7 Sea B = {u,u 2,u 3 } una base de un R-espacio vectorial V de dimensión 3 y f : V V el endomorfismo definido por f (u = 2u u 2 u 3, f (u 2 = u +u 3, f (u 3 = u 3 Consideremos los subespacios Pruebe que W y W 2 son subespacios invariantes de f W = w = u u 2 u 3,w 2 =u,w 2 = w 2 =u 3 2 Compruebe que B = {w,w 2 },B 2 = {w 2 } son bases respectivas de W y W 2 3 Verifique que V = W W 2 4 Calcule la matriz de la aplicación f i = f Wi respecto de B i, para i =,2 5 Deduzca la matriz de f respecto de B = B B 2 Ejercicio 72 Sea B = {u,u 2,u 3,u 4 } una base de un R-espacio vectorial V de dimensión 4 y f : V V el endomorfismo definido por f (u = u u 2, f (u 2 = u +u 2, f (u 3 = 3u 2u 2 +u 3 +u 4, f (u 4 = 3u +u 2 u 3 u 4 Calcule una base B de im(f 2 Consideremos la restricción g = f im(f Obtenga la matriz de g respecto de B 3 Calcule una base B 2 de im(g 4 Consideremos la restricción g 2 = (g im(g Obtenga la matriz de g 2 respecto de B 2 Autovalores y autovectores Ejercicio 73 Sea V un K-espacio vectorial y f : V V un endomorfismo Pruebe que un subespacio W V es invariante por f si y solamente si g f g = f g para toda proyección g de V tal que im(g = W Ejercicio 74 Construya ejemplos de matrices reales A y B de orden 2 2 que prueben la falsedad de las siguientes implicaciones: Si λ es autovalor de A y µ es autovalor de B entonces λ + µ es autovalor de A + B 2 Si λ es autovalor de A y µ es autovalor de B entonces λ µ es autovalor de A B Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 66

3 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 75 Sea v R n un vector no nulo Pruebe que el número real v t v es un autovalor de la matriz vv t, y v es un autovector asociado Ejercicio 76 Pruebe que 0 es autovalor de A si y solamente si A es singular Ejercicio 77 Pruebe que una matriz y su traspuesta tienen el mismo polinomio característico Ejercicio 78 Sean λ,,λ n los autovalores de una matriz A de orden n, y tomemoscautovector asociado a λ k Si µ no es autovalor de A, pruebe que (A µi c= λ k µ c 2 Seadun vector arbitrario Entonces los autovalores de A+cd t coinciden con los de A excepto que λ k es reemplazado por λ k +d t c 3 Cómo se puede seleccionard para que los autovalores de A+cd t y A coincidan excepto que λ k sea sustituido por un valor determinado α? Ejercicio 79 Dada la matriz determine cuáles de los siguientes vectores son autovectores de la matriz A, sin realizar el cálculo de autovalores y autovectores: 0 0, 0, 0 2, Ejercicio 720 Sea aa t, cona 0 Pruebe que el único autovalor no nulo de A es n i= a2 i Ejercicio 72 Sea V = M (n n,c y A V Consideremos el homomorfismo f : V V dado por f (X = AX y T A : C n C n definido por T A (v= Av Pruebe que los autovalores de f y T A son los mismos Existe alguna relación entre sus polinomios característicos? Ejercicio 722 Sea A n n una matriz con coeficientes en un cuerpo K Pruebe que si p(x K[x] es el polinomio característico de A, entonces p(0 = det(a Ejercicio 723 Sea K un cuerpo, A una matriz n n sobre K yv K n un autovector de A asociado al autovalor λ K Pruebe que A m v = λ m v para todo m Deduzca que si p(x= a m x m + + a x+ a 0 K[x] es un polinomio tal que a m A m + + a A+ a 0 I es la matriz nula entonces p(λ=0 Ejercicio 724 Pruebe que si una matriz A n n verifica que la suma de los elementos de cada fila es igual a c, entonces c es un autovalor de A Ejercicio 725 Sea f : V V un endomorfismo de un K-espacio vectorial V Si dimv = n, entonces Si K=C, f tiene un autovalor λ C y autovector asociadov 0 2 Si K=R, existen ejemplos de endomorfismos que no tienen autovalores reales Si dimv no es finita, podemos encontrar situaciones muy diversas Sea V el C-espacio vectorial de las sucesiones {a n } n 0, a n C Consideremos la aplicación T : V V dada por a Pruebe que T es una aplicación lineal T ({a n }={na n } b Para cada i 0, seav i = {v in } la sucesión definida por v ik = 0 si i k y v ii = Pruebe quev i es autovector de T con autovalor asociado i c Concluya que T es un endomorfismo con infinitos autovalores 2 Sea V el C-espacio vectorial de las sucesiones {a n } n 0 tales que n a n 2 es finita Consideremos las aplicaciones lineales S,T : V V dadas por Calcule el conjunto de autovalores de S y de T, S(a 0, a, a 2,=(0, a 0, a,,t (a 0, a, a 2,=(a, a 2, Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 67

4 Depto de Álgebra, curso Multiplicidad algebraica y geométrica Ejercicio 726 Sea A una matriz de orden n con coeficientes en un cuerpo K y f : K n K n la aplicación lineal asociada Sea λ 0 autovalor de A, y llamemos q 0 a su multiplicidad geométrica, y m 0 a su multiplicidad algebraica Supongamos que null(λ 0 I null(λ 0 I A 2 El objetivo de este ejercicio es probar que q 0 = m 0 Pruebe que existe una base B de V tal que M B (f es de la forma ( A D0 M = 0 Q donde D 0 = λ 0 I 2 Supongamos que q 0 < m 0 y el polinomio característico de la matriz Q en la expresión anterior tiene el autovalor λ 0 Seaa un autovector de Q asociado a λ 0 Entonces el vector ( 0 a= a, coordenadas respecto a la base B, es independiente de los q 0 primeros vectores de la base B 3 Demuestre que null(λ 0 I A =null(λ 0 I A 2 4 Pruebe que el vector (λ 0 I A a pertenece a null(λ 0 I A 5 Concluya quea null(λ 0 I A 2 = null(λ 0 I A, que es contradictorio con la eleccióna 6 Pruebe, como consecuencia, que q 0 = m 0 Ejercicio 727 Sea f : V V un endomorfismo, con V un C-ev de dimensión n Si para algún vectorv V, el conjunto {v, f (v,, f n (v} es linealmente independiente, pruebe que para todo autovalor λ 0 de f se tiene que dimv (λ 0 = 2 Si f tiene n autovalores distintos, pruebe que existe un vectoru V no nulo tal que el conjunto {u, f (u,, f n (u} es linealmente independiente Ejercicio 728 Sea A 4 4 una matriz real de rango igual a 2 Podemos asegurar que cero es autovalor de A? En caso afirmativo, cuál es su multiplicidad geométrica? Ejercicio 729 Sean A y B matrices reales semejantes, es decir, existe P real no singular tal que P AP = B Determine, con justificación, cuáles de los siguientes objetos coinciden para A y B Rango Autovalores Multiplicidades geométricas Determinante Forma escalonada reducida por filas Matrices diagonalizables Ejercicio 730 Calcule la multiplicidad algebraica y geométrica de los autovalores de las siguientes matrices: ( 0 7 4,B = D = ,E =,C = , Datos adicionales: σ({4, 3},σ(B={2, 2},σ(D={3} Ejercicio 73 Existe algún valor de a 0 para el que la matriz ( a 0 sea diagonalizable? Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 68

5 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 732 Estudie para qué valores de a y b es diagonalizable la matriz a b En los casos afirmativos, halle la forma diagonal D y obtenga una matriz invertible real P tal que P AP = D Ejercicio 733 Dadas las matrices complejas se pide ,C = Hallar los autovalores y los subespacios de autovectores correspondientes a dichas matrices y, en el caso que proceda, calcular una base de C 3 formada por autovectores de dicha matriz, la correspondiente matriz diagonal D y una matriz de paso a la forma diagonal σ(c= {,i, i } 2 Calcular C n para todo entero positivo Ejercicio 734 Decida si son diagonalizables las siguientes matrices sobre C: A 3 = A = A 4= A 2 = , A 5 =, Dato adicional: σ(a ={3, },σ(a 2 ={,2,,0},σ(A 4 ={2,3,},σ(A 5 ={,,2} Ejercicio 735 Determine para qué valores de a y b es diagonalizable la siguiente matriz: Ejercicio 736 Consideremos la matriz Demuestre que A es diagonalizable sobre C 2 a b ,σ({2i, 2i } 2 Halle una matriz diagonal D y una matriz invertible P tales que D = P AP 3 Demuestre que A no es diagonalizable sobre R Ejercicio 737 Consideremos la matriz Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 69

6 Depto de Álgebra, curso Compruebe que es diagonalizable y calcule una matriz diagonal J semejante a la matriz A 2 Calcule una base de autovectores de A 3 Calcule una matriz invertible P, tal que J = P AP Ejercicio 738 Sea V un C espacio vectorial de dimensión 4, B = {u,u 2,u 3,u 4 } una base de V y f : V V un endomorfismo de matriz A con respecto a la base B Pruebe que f es diagonalizable y calcule, en el caso en que A sea una de las matrices siguientes, una forma diagonal D de A así como una base C de V respecto de la cual M C (f =D (a (c ,, (b (d , Los autovalores para cada caso son: (a{,,i, i }, (b{0,,}, (d{, } Ejercicio 739 Se considera la aplicación lineal f : R 3 R 3 tal que: (a Los autovalores de f son y - (b G = {(x, x 2, x 3 t x x 2 + x 3 = 0}, es un subespacio de autovectores de f ( (c f = ( Pruebe que f es diagonalizable 2 Si B es la base estándar de R 3, calcule M B (f 3 Calcule A n para todo entero positivo n Ejercicio 740 Consideremos la matriz a Calcule los valores de a para los cuales la matriz A es diagonalizable 2 Para a= 0, calcule una forma diagonal D de A así como una matriz de paso P tal que D = P AP Ejercicio 74 Dada la matriz se tiene que 0 a 0 0 b a a a a M (5 5,R, det(λi (λ a 3 (λ+ a 2 Calcule los valores de a y b para los cuales la matriz A es diagonalizable 2 Calcule, en cada caso, una forma diagonal de A así como una matriz de paso Q, tal que D = Q AQ Ejercicio 742 Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n 3, B= {u,,u n } una base de V y f un endomorfismo de V definido por f (u = f (u n = u +u n f (u i = u i si <i < n Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 70

7 Depto de Álgebra, curso Demuestre que los autovalores de f son λ = 0, λ 2 = y λ 3 = 2 2 Determine si f es diagonalizable y calcule la forma canónica de f, así como una matriz de paso 3 Descomponga V como suma directa de tres subespacios invariantes Ejercicio 743 Sea V un R-espacio vectorial de dimensión n 3, B= {u,,u n } una base de V y f un endomorfismo de V definido por f (u = u n f (u n = u f (u i = u i si <i < n Demuestre que los autovalores de f son λ =, λ 2 = 2 Pruebe que f es diagonalizable y calcule su forma diagonal, así como una base que diagonalice f y la correspondiente matriz de paso Ejercicio 744 En los apartados siguientes, A es una matriz real de orden n diagonalizable Si r un entero positivo, pruebe que A r es también diagonalizable 2 Si A es invertible, pruebe que A es también diagonalizable En ambos casos, establezca si existe una relación entre los autovalores y autovectores de dichas matrices con respecto a los de la matriz A Ejercicio 745 Sea V un R-espacio vectorial y f, g End(V cuyas matrices respecto de cierta base B de V son, respectivamente: , B = Sean L, L 2 y L 3 variedades lineales de V cuyas ecuaciones respecto de B son: { x3 = 0 L x 4 = 0 Pruebe que V = L L 2 y que V = L L 3 { x x 2 + 2x 3 x 4 = 0 L 2 x 2 x 3 + 2x 4 = 0 2 Pruebe que L y L 2 son invariantes por f y que L y L 3 son invariantes por g { L 3 x 2 = 0 x + x 4 = 0 3 Sea f = f L la restricción de f a este subespacio invariante Calcule la matriz de f respecto a alguna base de L Proceda análogamente con f 2 = f L2 4 Calcule los autovalores de f y g, las ecuaciones de los subespacios de autovectores asociados a dichos autovalores y determine el carácter diagonalizable de los endomorfismos anteriores 5 En el caso de que g sea diagonalizable, calcule una base de autovectores de g y una matriz P tal que D = P BP, donde D es diagonal Ejercicio 746 Sean V un espacio vectorial sobre C de dimensión n, f, g End(V y f g un endomorfismo de V V definido por (f g (x,y=(f (x, g (y Pruebe que si u V es un autovector para f, entonces (u, 0 es un autovector para f g 2 Pruebe que si f y g son diagonalizables, entonces f g también lo es Ejercicio 747 Sea V un espacio vectorial sobre C y f un endomorfismo de V tal que f 2 = f Pruebe que los únicos posibles autovalores de f son 0 y 2 Supongamos que f es no nulo Pruebe que λ= es autovalor y el subespacio de autovectores asociado es im(f Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 7

8 Depto de Álgebra, curso Si f no es el homomorfismo nulo ni la identidad, pruebe que V = ker( f im( f 4 En cualquier caso, deduzca que f es diagonalizable Ejercicio 748 Si A es una matriz diagonalizable de orden n, y y son sus únicos autovalores, pruebe que A Ejercicio 749 Calcule una matriz P tal que P AP sea diagonal, para Ejercicio 750 Diagonalice la matriz ( mediante una transformación de semejanza o explique por qué no se puede diagonalizar Ejercicio 75 Verifique que las multiplicidades algebraica y geométrica de cada autovalor coinciden en la matriz Calcule una matriz P no singular tal que P AP sea una matriz diagonal Ejercicio 752 Pruebe que c n d t n,c,d 0 es diagonalizable si y solamente sidt c 0 Ejercicio 753 En lo que sigue, A y B son matrices cuadradas del mismo orden Marque cada enunciado como verdadero o falso, y justifique cada respuesta Si A es no singular, y es autovalor de A, entonces también es autovalor de A 2 Si A es equivalente por filas a la matriz identidad I, entonces A es diagonalizable 3 Si A contiene una fila o una columna de ceros, entonces 0 es autovalor de A 4 Cada autovalor de A es también un autovalor de A 2 5 Cada autovector de A es también un autovector de A 2 6 Cada autovector de una matriz no singular A es también un autovector de A 7 Los autovalores tienen que ser escalares no nulos 8 Los autovectores tienen que ser vectores no nulos 9 Dos autovectores correspondientes al mismo autovalor son siempre linealmente independientes 0 Las matrices semejantes tienen el mismo conjunto de autovalores Las matrices semejantes tienen los mismos espacios de autovectores 2 La suma de dos autovectores de una matriz A es un autovector de A 3 Los autovalores de una matriz triangular superior A son las entradas no nulas de la diagonal de A 4 Las matrices A y A t tienen los mismos autovalores, contando multiplicidades 5 Si una matriz A de orden 5 5 tiene menos de 5 autovalores diferentes, entonces A no es diagonalizable 6 Existe una matriz 2 2 real que no tiene autovectores en R 2 7 Si A es diagonalizable, entonces las columnas de A son linealmente independientes 8 Un vector no nulo no es autovector de dos autovalores distintos de A Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 72

9 Depto de Álgebra, curso Si cada vectore j de la base estándar de R n es un autovector de A, entonces A es una matriz diagonal 20 Si A es semejante a una matriz diagonalizable B, entonces A es diagonalizable 2 Si A y B son matrices no singulares, entonces AB es semejante a B A 22 Una matriz n n con n autovectores linealmente independientes es no singular 23 Si A es una matriz de orden n n diagonalizable, entonces cada vector de R n se puede escribir como combinación lineal de autovectores de A Ejercicio 754 Pruebe que si la matriz tiene tres autovectores independientes, entonces x + y = x y 0 0 Ejercicio 755 Sea A n n una matriz compleja con rango(r Pruebe que las siguientes condiciones son equivalentes: A 2 = Q A para una matriz Q no singular 2 rango(a 2 =rango(a 3 Col(A null(0 4 Existen matrices P n n y D r r no singulares tales que ( P D O AP = O O Ejercicio 756 Sean B i M (n i n i,c,i =,,d y B la matriz diagonal por bloques B B = B d =B B d Pruebe que B es diagonalizable si y solamente si cada B i, i d es diagonalizable Ejercicio 757 Sean A y B matrices complejas de orden n n tales que que AB = B A Pruebe que Si A tiene n autovalores distintos, entonces A, B y AB son diagonalizables 2 Si A y B son diagonalizables, entonces existe una matriz P no singular tal que P AP y P BP son diagonales Ejercicio 758 Sea f : V V un endomorfismo, y dimv = n Supongamos que existe v V tal que f n (v 0, f n (v=0 Pruebe que el conjunto {v, f (v,, f n (v} es linealmente independiente y forma una base de V Encuentre la matriz de f respecto de esta base y calcule los autovalores de f Ejercicio 759 En el espacio vectorial R 4 se considera el endomorfismo f a cuya matriz respecto de una cierta base B es M a = Calcule los valores de a para los que f a es diagonalizable a Para los valores del apartado anterior, obtenga una base respecto de la cual la matriz de f a sea diagonal Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 73

10 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 760 Sea a Q un número racional y f : Q 4 Q 4 el homomorfismo de Q-espacios vectoriales cuya matriz respecto de la base estándar es a Determine los valores de a para los que f es diagonalizable 2 Verdadero o falso: si S Q 4 es un conjunto linealmente independiente de vectores entonces f (S Q 4 también lo es 3 Para a= 0, calcule una matriz no singular P tal que P AP = D matriz diagonal 4 Para a= 0, deduzca una base de Q 4 respecto de la cual la matriz de f es diagonal Ejercicio 76 Sea f a : R 4 R 4 la aplicación definida, respecto a la base estándar, por la matriz M a = a Calcule los valores de a R para los cuales f es diagonalizable En tales casos, obtenga una base respecto de la cual su matriz es diagonal Ejercicio 762 Sea V = C 4 y f el endomorfismo cuya matriz respecto de la base canónica es Calcule una matriz no singular P y una matriz diagonal D tales que P AP = D 2 Existe alguna matriz B de tamaño 4 4 sobre C con los mismos autovalores que A, pero que no sea diagonalizable? Ejercicio 763 Consideremos la matriz compleja a , a C Sea f : C 3 C 3 el endomorfismo cuya matriz respecto a la base canónica es A Calcule para qué valores de a C se verifica cada una de las siguientes propiedades: f es diagonalizable 2 ker(f es no trivial 3 f es sobreyectivo Para a=, calcule una matriz P no singular y D diagonal tales que P AP = D Ejercicio 764 Sea f : R 4 R 4 el endomorfismo definido, respecto a la base estándar, por la matriz Pruebe que el endomorfismo f es diagonalizable y calcule una base de R 4 respecto de la cual la matriz de f es diagonal 2 Encuentre, si es posible, un endomorfismo de R 4 que no sea diagonalizable y tenga los mismos autovalores que f Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 74

11 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 765 Sea V un K-espacio vectorial de dimensión finita y f : V V un endomorfismo tal que f 2 = f f = 0, es decir, f ( f (v = 0 para todo v V Demuestre los siguientes enunciados: El único autovalor de f es α = 0 2 El endomorfismo f es diagonalizable si y solamente si f (v = 0 para todo v V 3 im(f ker(f Ejercicio 766 Sea f : C 4 C 4 el endomorfismo entre C-espacios vectoriales cuya matriz respecto de la base estándar C C 4 es M C (f = , z C 0 0 z Halle los valores de z C para los cuales f es diagonalizable 2 Para z = 0, calcule una base B C 4 tal que M B (f es diagonal 3 Para z = 0, calcule una matriz diagonal D y una matriz no singular P tales que D = P AP Responda las mismas preguntas para la matriz M C (f = z, z C Ejercicio 767 Sea f : R 4 R 4 el endomorfismo cuya matriz respecto de la base canónica es α α Determine para qué valores de α R es f diagonalizable Para α=, halle una base B R 4 de autovectores de f, calcule la matriz de f respecto de B y obtenga una matriz invertible P tal que P AP sea diagonal Ejercicio 768 Sea f : R 4 R 4 un homomorfismo tal que el rango de M f, la matriz del homomorfismo respecto a la base estándar, es igual a dos, y f =, f = Determine razonadamente si M f es diagonalizable En caso afirmativo, indique una matriz diagonal semejante a M f En caso contrario, encuentre un homomorfismo f que verifique las condiciones anteriores y no sea diagonalizable Ejercicio 769 Consideremos la matriz Pruebe que el polinomio característico de A es igual a p(x= x 2 (x Especifique cada autovalor con su multiplicidad algebraica 3 Para cada autovalor, halle una base del espacio de autovectores asociado y calcule su multiplicidad geométrica 4 Es A una matriz diagonalizable? Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 75

12 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 770 Sea f : R 4 R 4 un homomorfismo de matriz A respecto de la base estándar: Como dato adicional, det(a λi = (λ 2 (λ+λ Pruebe que f es diagonalizable y calcule una base respecto de la cual la matriz de f es diagonal Ejercicio 77 Consideremos la matriz Pruebe que A es diagonalizable y calcule una matriz no singular P y una matriz diagonal D tales que P AP = D 2 Encuentre una matriz B tal que B 3 = A 3 Si k es un entero positivo, calcule la expresión de A k Ejercicio 772 Una matriz N es nilpotente si existe k 0 tal que N k es la matriz nula Supongamos que A es diagonalizable Entonces A es nilpotente si y solamente si A es la matriz nula Ejercicio 773 Consideremos la matriz a 0 0 2, con a R Verifique que las raíces del polinomio característico de A son 2,± a 2 Determine para qué valores de a la matriz A es diagonalizable sobre R 3 Para a=, calcule una matriz no singular P tal que P AP = D, con D una matriz diagonal Ejercicio 774 Sean A y B matrices n n con coeficientes en un cuerpo K, tales que existe un conjunto linealmente independiente de vectores {v,,v n } en K n que verifican Av i = λ i v i,bv i = µ i v i para ciertos números λ i,µ i K,i =,,n Pruebe que AB = B A Ejercicio 775 Sean A k k,b l l matrices complejas Pruebe que la matriz por bloques ( A O O B es diagonalizable si y solamente si A y B son diagonalizables Ejercicio 776 Sea A una matriz cuadrada con coeficientes complejos Una matriz N es nilpotente si existe k 0 tal que N k es la matriz nula Supongamos que A es diagonalizable Demuestre que A es nilpotente si y solamente si A es la matriz nula Ejercicio 777 Sea f : V V un endomorfismo, con dimv = 4 Supongamos que existe un vectorv V tal que f 3 (v 0 y f 4 (v=0 Pruebe que el conjunto {v, f (v, f 2 (v, f 3 (v} es linealmente independiente y forma una base de V Encuentre la matriz de f respecto de esta base Es f diagonalizable? Ejercicio 778 Sea f : R 4 R 4 un homomorfismo cuya matriz respecto de una cierta base B es 0 0 a Las raíces del polinomio característico de A son 0 (doble, y 3 Determine los valores de a para los que f es diagonalizable, a R, y W : { x3 = 0 x 4 = 0 Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 76

13 Depto de Álgebra, curso En lo que sigue supondremos a= a Calcule bases respectivas de im(f y ker(f b Pruebe que f (W W c Obtenga una base de V respecto de la cual la matriz de f sea diagonal Ejercicio 779 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal definida por f (v= Av, donde , 5 3 y formemos el conjunto B= {u,u 2,u 3 }, con u = 0,u 2=,u 3= Como es habitual, llamamos S = {e,e 2,e 3 } a la base estándar de R 3 Pruebe que B es una base de R 3 2 Calcule las coordenadas del vectorv=e +e 2 e 3 respecto de la base B 3 Calcule M B (f, la matriz de f respecto de la base B 4 Seaw=u 2 +u 3 Pruebe que A 000 w=w Ejercicio 780 Asigne verdadero o falso a cada uno de los siguientes enunciados Cada autovector de una matriz no singular A es autovector de A 2 Si A es diagonalizable, entonces sus columnas son linealmente independientes 3 Si A es semejante a una matriz diagonalizable B, entonces A es diagonalizable 4 Si A es una matriz n n diagonalizable en R, entonces todo vector de R n se puede escribir como combinación lineal de los autovectores de A Ejercicio 78 Sea f : R 3 R 3 la aplicación lineal definida con respecto a la base estándar como f (v= Av, donde Determine si el vectorwpertenece al espacio de columnas de A, dondew= ( 2 Calcule una base B de R 3 tal que la matriz de f respecto de B sea diagonal Ejercicio 782 Sea V = R 4 y definimos f : V V el homomorfismo cuya matriz respecto de la base estándar es Se tiene que det(a λi = (λ a(λ+(λ , a R a Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 77

14 Depto de Álgebra, curso Pruebe que A es una matriz diagonalizable para todo valor de a 2 En los siguientes apartados consideramos a = a Determine una base de R 4 respecto de la cual la matriz de f sea diagonal b Seaw=(,2, 2, t Pruebe quewes autovector de f Calcule A 206 w Ejercicio 783 Una matriz E n n es idempotente si E 2 = E Pruebe los siguientes resultados para una matriz E idempotente Los autovalores de E son 0 y La multiplicidad algebraica y geométrica del autovalor es rango(e 2 rango(e= traza(e 3 Ev=v si y solamente siv Col(E 4 null(e=col(i E 5 La matriz E es diagonalizable Si A n n = F n r G r n, donde rango( r = rango(f =rango(g, entonces A es idempotente si y solamente si GF = I r Ejercicio 784 Consideremos las siguientes matrices: ,B = Observe que A y B se diferencian en un número, al igual que A y C,C = Sea f : R 3 R 3 el endomorfismo de R-espacios vectoriales dado por f (v= Av Calcule una base B de R 3 tal que la matriz M B (f sea diagonal 2 Calcule una matriz real y no singular P y una matriz diagonal D tales que P AP = D 3 Calcule las multiplicidades algebraica y geométrica del autovalor 2 en la matriz B Determine razonadamente si B es diagonalizable sobre R 4 Razone si C es una matriz diagonalizable sobre el cuerpo C de los números complejos Y sobre R? Ejercicio 785 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita no nula sobre R y sea f : V V un endomorfismo tal que 4 f 2 es la identidad en V, es decir, f (f (v= 4v, para todov V Pruebe que f es inyectiva y sobreyectiva 2 Pruebe que, para cualquier base B de V, la matriz inversa de M B (f es 4 M B(f 3 Demuestre que los únicos posibles autovalores de f son 2 y 2 4 Compruebe que para cualquier vector v V se verifica que ( f 2 v+ ( 4 f (v = 2 2 v+ ( 4 f (v, f 2 v ( 4 f (v = 2 2 v 4 f (v Deduzca de lo anterior que todo vector de V es autovector o suma de dos autovectores de f 5 A partir de los apartados anteriores, pruebe que f es diagonalizable 6 Muestre un ejemplo de un endomorfismo f en las condiciones del enunciado que no tenga el 2 como autovalor Ejercicio 786 Sea A una matriz 2 2 con coeficientes en C y sean d = det(a, t = traza(a Pruebe que el polinomio característico de A es p(λ=λ 2 tλ+d 2 Demuestre que si t 2 4d es no nulo, entonces la matriz A es diagonalizable Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 78

15 Depto de Álgebra, curso Pruebe que si A y A 2 son matrices cuadradas de orden n n semejantes, entonces tienen el mismo determinante y la misma traza 4 Muestre dos matrices A y B de orden 2 2 con el mismo determinante, la misma traza y que no sean semejantes Ejercicio 787 Sea f : R 4 R 4 un homomorfismo cuya matriz, respecto de la base estándar, es a { x x 4 = 0, Sea W el subespacio vectorial de ecuaciones x 2 x 3 = 0 Estudie para qué valores de a es f diagonalizable 2 Para a = calcule una base de cada uno de los subespacios siguientes: im( f, ker( f +W 3 Para a= 0, obtenga una base respecto de la cual la matriz de f sea diagonal Forma canónica de Jordan Ejercicio 788 Calcule la forma canónica de Jordan y la base canónica de la matriz Sus autovalores son 0 y Ejercicio 789 Sea B = {u,u 2,u 3,u 4 } una base de un R-espacio vectorial V de dimensión 4 y f : V V el endomorfismo definido por f (u = u u 2, f (u 2 = u +u 2, f (u 3 = 3u 2u 2 +u 3 +u 4, f (u 4 = 3u +u 2 u 3 u 4 El único autovalor de f es 0 Calcule una base canónica de f y su forma canónica Ejercicio 790 Sea A una matriz cuadrada compleja de orden 3 Determine las posibles formas canónicas de Jordan de la matriz A Ejercicio 79 Calcule la forma canónica de Jordan de la matriz Autovalores,, Ejercicio 792 Calcule la forma canónica de Jordan de la matriz Su polinomio característico es det(λi (λ+ 2 (λ Ejercicio 793 Calcule la forma canónica de Jordan de la matriz Su polinomio característico es det(λi (λ 2 3 Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 79

16 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 794 Calcule la forma canónica de Jordan de la matriz Su polinomio característico es det(λi λ Ejercicio 795 Pruebe que las dos matrices siguientes son semejantes: , B = Ejercicio 796 Sea f : C n C n,n 2 el endomorfismo dado, con respecto a la base estándar, por la matriz J = λ λ λ λ λ Si W es invariante por f, entonces W es invariante por (f λid V k para todo k =,2,,n 2 Pruebe que V = C n es el único espacio invariante por f que contiene ae 3 Si W es un subespacio invariante por f, entoncese n W 4 Cada subespacio V i = e n i+,,e n,i =,2,,n es invariante por f, yv V i si y solamente si (f λid V i v=0 5 V,V 2,,V n son los únicos subespacios invariantes de V 6 V (λ= u n 7 V no se puede escribir com suma directa de dos subespacios no triviales e invariantes por f Calcule una matriz S no singular tal que S JS = J t Concluya que toda matriz compleja A es semejante a su traspuesta Ejercicio 797 Sea V un C-espacio vectorial de dimensión 5 y B una base de V Consideramos el endomorfismo f : V V cuya matriz respecto de B es Como dato, λ = es el único autovalor Calcule J la forma canónica de Jordan de f y una matriz de paso P tal que P AP = J Ejercicio 798 Consideremos la matriz a a a 2a+ 2a Calcule la forma canónica de Jordan de la matriz A según los valores de a, a R Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 80

17 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 799 En el espacio vectorial V = R 4, consideremos el endomorfismo f definido, respecto de la base canónica, por la matriz Sabemos que det(λi (λ 4,ker(i d f= (3,,2, t,(,0,2,0 t,(0,, 5,0 t Calcule J la forma canónica de Jordan real de A y una base canónica 2 Calcule una base de V respecto de la cual la matriz de f sea J t Ejercicio 700 Se considera el endomorfismo f : R 3 R 3 cuya matriz, respecto de la base canónica, es 0 a a a 0 0 Para qué valores de a es f diagonalizable? 2 Para a=, calcule su forma canónica de Jordan * Aplicaciones de la forma canónica Ejercicio 70 Pruebe que I A es no singular si el radio espectral ρ(a es menor que Ejercicio 702 Calcule la expresión general de la potencia m-ésima de la matriz ( Ejercicio 703 Calcule la forma general de A k, donde ( 2 4 Ejercicio 704 Consideremos las sucesiones {u k },{v k } definidas por las relaciones { { uk+ = u k v k, u0 = 2, k 0, y condiciones iniciales v k+ = 2u k + 4v k v 0 = Calcule los términos generales de cada una de las sucesiones Ejercicio 705 Calcule lím n A n para ( 7/5 /5 /2 Ejercicio 706 Calcule la forma general de A n para / / /9 8 9 /3 /3 /3 3 /9 /9 4/9 0,σ({, } Ejercicio 707 En una especie, los genotipos se pueden clasificar en tres tipos T 0,T,T 2 La probabilidad, bajo un cierto plan de reproducción, de que un individuo de tipo T i produzca una progenie de tipo T j, para i, j = 0,,2, puede expresarse como una matriz de transición /4 /8 P = 0 /2 8/8 0 /4 9/8 Calcule la probabilidad de que un individuo del tipo T i tenga descendientes del tipo T j en la k-ésima generación Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 8

18 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 708 En genética se estudia la llamada herencia cruzada, en la que el macho tiene un gen (A o a y la hembra posee dos genes (A A, Aa o aa Se puede modelizar con una cadena de Markov de 6 estados y matriz de transición Calcule los autovalores y autovectores asociados 2 Calcule límt n T = Ejercicio 709 Consideremos la matriz Calcule, si existe, lím A k /2 2 /2 2 0 /2 2 / /3 Ejercicio 70 Consideremos la cadena de Markov con matriz de transición Determine si es diagonalizable y calcule límt k /4 3/8 /3 0,0 0 /4 /6 0 T = 0 3/8 /6 /2 3/4 0 /3 /2 Ejercicio 7 Calcule el término general de las ecuaciones de recurrencia siguientes: ( ( 3 0 x k = x 5 2 k,x 0 = ( 2,5 0,5 2 x k = 0,5 2,5 ( 3 x k = 0 ( 4 x k,x 0 = 0 ( x k,x 0 = 4 a k+ = 4a k 5a k, a 0 =, a = 2 Ejercicio 72 Resuelva las siguientes ecuaciones de recurrencia: a n+2 = 5a n+ 6a n, a =, a 0 = 0 2 a n+2 = 6a n+ 8a n, a =, a 0 = 0 3 a n+3 = 5a n+2 8a n+ + 4a n, a 2 = 3, a = 2, a 0 = 4 a n+3 = 3a n+2 3a n+ + a n, a 2 = 3, a = 2, a 0 = Ejercicio 73 Calcule el término general de la ecuación de recurrencia a n 5a n + 8a n 2 4a n 3 = 0, con condiciones iniciales a 2 = 3, a 3 = 5, a 5 = 7 Indicación: una raíz de la ecuación característica es Ejercicio 74 Calcule el término general de la sucesión definida por Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 82

19 Depto de Álgebra, curso a 0 =, a =, a n+ = a n + a n a n+3 9a n a n+ 24a n = 0, a 0 =, a = 2, a 3 = 2 a n+3 8a n a n+ 24a n = 0 a n+3 9a n a n+ 27a n = 0 a n+3 3a n+2 + 4a n = 0, a 0 = 3, a = 2, a 2 = 7 Ejercicio 75 Sea 0< p <, y consideremos la ecuación de recurrencia x j+2 = px j + ( px j+, x 0 =, x = Calcule, en función de p, los valores x 000 y lím x n 2 Resuelva la ecuación de recurrencia x j+4 + 2x j+3 3x j+2 4x j+ + 4x j = 0, x 0 = 0, x =, x 2 =, x 3 =, donde las raíces de la ecuación característica son y 2 Ejercicio 76 Resuelva la ecuación de recurrencia a n = an 2 /a n 2, a 0 =, a = 2, pasándola a lineal mediante logaritmos Ejercicio 77 Calcule el término general de la ecuación de recurrencia a n = 2a n + a n 2 2a n 3 36a n 4, a 0 =, a = 0, a 2 =, a 3 = 2 Las raíces de la ecuación característica son 3 y 2 Ejercicio 78 Resuelva la ecuación de recurrencia s n+3 = 2s n+2 + 5s n+ 6s n, s 0 = 9, s = 8, s 2 = 66 Dato: r = es raíz de la ecuación característica Ejercicio 79 Calcule el término general de la ecuación de recurrencia a n+4 4a n+3 + 2a n+2 + 4a n+ 3a n = 0, con condiciones iniciales a 0 = 3, a =, a 2 =, a 3 = 0 Indicación: la ecuación característica tiene como raíces a 2,,3 Ejercicio 720 Consideremos la matriz real 2 a 0 a /2 Pruebe que A es diagonalizable para todos los valores de a 2 Para a= 3/2, calcule una matriz P no singular tal que P AP = D matriz diagonal 3 Determine los valores de a para los que lím A k =O Ejercicio 72 Una investigación médica clasifica a un conjunto de individuos como delgados, normales u obesos Mediante medidas anuales, se observa que el 80% de los delgados sigue siendo delgado al año siguiente, y el 20% restante gana peso y pasan a la categoría de normales Ninguno pasa a obeso De los individuos de peso normal, un 0% pasa a delgado, un 60% queda como normal, y un 30% se mueve a la categoría de obeso De las personas obesas, un 90% permanece en dicha categoría, y un 0% se traslada a normal Ningún obeso pasa a delgado Modele el proceso como un sistema discreto mediante una matriz A 2 Determine, si existe, el estado estacionario del sistema Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 83

20 Depto de Álgebra, curso Ejercicio 722 Una persona hace ejercicio todos los días corriendo o montando en bicicleta Si un día corre, al día siguiente lanza una moneda al aire Si sale cara, vuelve a correr ese día Si sale cruz, hace ejercicio con la bicicleta Si un día coge la bicicleta, al día siguiente corre Pruebe que la probabilidad de correr o usar la bicicleta en el día k-ésimo se puede modelar con un sistema discreto, cuya matriz de transición es ( 0,5 M = 0,5 0 2 Determine, a largo plazo, qué porcentaje de días hará ejercicio con la bicicleta Ejercicio 723 Consideremos la sucesión definida por u 0 = α,u = β,u n = 6u n 9u n 2,n 2 Sean ( un+ v n = u n ( 6 9, 0 Pruebe que para n se tiene que v n = Av n y v n = A n v 0 2 Calcule J la forma canónica de Jordan de A y una matriz de paso P Deduzca que ( J n 3 n n3 n = 0 3 n 3 Usando los apartados anteriores, pruebe que u n = 3 n (nβ+3α( n,n 0 Ejercicios de Álgebra Lineal y Geometría I 84