Aplicaciones Lineales

Transcripción

1 Capítulo 7 Aplicaciones Lineales 7.1 Definición y Propiedades Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K. Definición Se dice que una aplicación f : V W es una aplicación lineal o un homomorfismo de espacios vectoriales si verifica: f( v + v ) = f( v) + f( v ) f(α v) = αf( v) para cualquier par de vectores v, v V y cualquier α K. Las dos condiciones anteriores se pueden substituir por la condición única: siendo v, v V y α, β K. f(α v + β v ) = αf( v) + βf( v ) Ejemplo Sea f : R 2 R la aplicación definida por f(x, y) = x. Es claramente una aplicación lineal. 2. También es lineal la aplicación f : V V definida por f( v) = α v, siendo α K cualquier escalar. 3. Generalizando el primer ejemplo se tiene que para m, n cualquier par de números naturales y A M m n (K) cualquier matriz con coeficientes en K, la aplicación f A : K n K m, definida por f A (x 1,..., x n ) = A(x 1,..., x n ) t es lineal. Además, cualquier aplicación lineal entre estos dos espacios vectoriales viene definida de esta manera. 4. Sea D R R el conjunto formado por las funciones derivables. La aplicación φ : D R R R R, definida por φ(f) = f que asocia a cada función f su derivada es lineal. 5. Igual que en el ejemplo anterior, son aplicaciones lineales φ : K[x] K[x], y φ Pn(K): P n (K) P n 1 (K), que asocian a cada polinomio p(x) de grado menor o igual que n su derivada p (x) de grado menor o igual que n 1. 1

2 2 CAPÍTULO 7. APLICACIONES LINEALES Veámos algunas propiedades que se deducen de la definción: 1. Como f es un morfismo de grupos entre (V, +) y (W, +), se tiene que f( 0 V ) = 0 W y f( v) = f( v) 2. Si { v 1,..., v p } es un conjunto de vectores de V y α 1,..., α p son escalares de K, f( p α i v i ) = i=1 p α i f( v i ) 3. Si { v 1,..., v p } V es un conjunto ligado entonces {f( v 1 ),..., f( v p )} es un subconjunto de W formado por vectores linealmente dependientes. Sin embargo, vectores linealmente independientes no se transforman, necesariamente, en vectores linealmente independientes. Basta tomar f : R 2 R 2, definida por f(x, y) = (x + y, 0) y el vector (1, 1) cuya imagen es (0, 0). 4. Si U, V y W son tres espacios vectoriales sobre K y f : U V y g : V W son dos aplicaciones lineales, la composición g f : U W también es lineal. Una aplicación lineal f inyectiva se llama monomorfismo. Si f es sobreyectiva, se dice que es un epimorfismo y, finalmente si es biyectiva, diremos que f es un isomorfismo. Un automorfismo de V es un isomorfismo f : V V. 7.2 Núcleo e Imagen de una Aplicación Lineal Proposición Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita. Se verifica que: 1. Si U V es un subespacio vectorial de V, se tiene que f(u) es un subespacio vectorial de W. Además si U = < u 1,..., u p >, se tiene que f(u) = < (f( u 1 ),..., f( u p ) >. En particular f(v ) = Im(f) se llama subespacio imagen y a su dimensión se le llama rango de f, es decir, dim(im(f)) = rango(f). 2. Análogamente si W W es un subespacio vectorial de W, se tiene ) que f 1 (W ) es un subespacio vectorial de V. En particular, el subespacio Ker(f) = f ({ 0 1 W } se llama núcleo de f. Puesto que una aplicación lineal f también es un morfismo de grupos, se tiene que f es inyectiva si, y sólo si, Ker(f) = { 0 V }. Proposición Sea f : V W una aplicación lineal. Son equivalentes: 1. f es inyectiva. 2. Si L es cualquier conjunto libre de V, entonces f(l) es libre en W. 3. Si B es una base de V, entonces f(b) es una base de f(v ). Demostración. Supongamos que f es inyectiva y L = { v 1,..., v p } es un conjunto libre. Si i=1 α 1 f( v 1 ) + + α p f( v p ) = 0 W con α i K, se tiene que α 1 v α p v p Ker(f), así que α 1 v α p v p = 0 V y como L es libre todos los escalares α i = 0. Si B es una base de V, se tiene que f(b) es un sistema de generadores de f(v ) y, al ser B libre se puede afirmar que f(b) es una base de f(v ). Finalmente supongamos la última hipótesis y tomemos v V un vector de V tal que f( v) = 0 W. Si v 0 V, se puede encontrar B una base de V tal que v B. Puesto que f( v) f(b) y f(b) es una base de f(v ), llegamos a una contradicción ya que entonces f( v) 0 W.

3 7.2. NÚCLEO E IMAGEN DE UNA APLICACIÓN LINEAL 3 Proposición Sea f : V W una aplicación lineal. Se verifica que f es sobreyectiva si, y sólo si, f transforma cualquier sistema de generadores de V en un sistema de generadores de W. Demostración. Sabemos que, si G es un sistema de generadores de V, entonces, para cualquier aplicación lineal f, se verifica que f(v ) = < f(g) >. Luego, f es sobreyectiva si, y sólo si, W = < f(g) >, es decir, f(g) es un sistema de generadores de W. Teorema (Teorema de la dimensión) Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita. Se verifica que: dim(v ) = dim(ker(f)) + rango(f) Demostración. Supongamos que dim(v ) = n y que dim(ker(f)) = p n. Sea L = { e 1,..., e p } una base de Ker(f). Puesto que L es libre, el Teorema de Steiniz nos permite completar L a una base B = { e 1,..., e p, e p+1,..., e n } de V. Sabemos que f(v ) = < (f( e 1 ),..., f( e p ), f( e p+1 ),..., f( e n ) > = < (f( e p+1 ),..., f( e n ) > ya que los demás vectores pertenecen al núcleo de f. Si probamos que {f( e p+1 ),..., f( e n )} es una base de f(v ), se tendría que dim(im(f)) = rango(f) = n p. Puesto que ya sabemos que {f( e p+1 ),..., f( e n )} son generadores de f(v ), únicamente quedaría por probar que son linealmente independientes. Sean pues α i K, con i = p + 1,..., n tales que: α p+1 f( e p+1 ) + + α n f( e n ) = 0 W. Usando que f es lineal tenemos que α p+1 e p α n e n pertenece al núcleo de f. Como L es una base de Ker(f), existen β 1,..., β p K de modo que: o, lo que es lo mismo α p+1 e p α n e n = β 1 e β p e p β 1 e β p e p α p+1 e p+1 α n e n = 0 V pero al ser B libre concluimos que α p+1 = = α n = β 1 = = β p = 0. Como consecuencia del teorema anterior, se tienen los siguientes corolarios. Corolario Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita. Se verifica que f es inyectiva si, y sólo si, dim(v ) = rango(f). Demostración. Teorema Basta tener en cuenta que f es inyectiva si, y sólo si, dim(ker(f)) = 0 y aplicar el Corolario Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita. Se verifica que f es sobreyectiva si, y sólo si, dim(v ) = dim(ker(f)) + dim(w ). Demostración. Basta tener en cuenta que f es sobreyectiva si, y sólo si, dim(f(v )) = dim(w ) y aplicar el Teorema Corolario Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita. Se verifica que f es biyectiva si, y sólo si, dim(v ) = rango(f) = dim(w ). Proposición Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios de dimensión finita. Se tiene que: 1. Si dim(v ) = dim(w ), entonces f es un isomorfismo f es un monomorfismo f es un epimorfismo. 2. Si f es un isomorfismo, la aplicación inversa f 1 es también un isomorfismo. 3. Si f : V W y g : W U son isomorfismos, entonces g f : V U es un isomorfismo y (g f) 1 = f 1 g 1.

4 4 CAPÍTULO 7. APLICACIONES LINEALES 7.3 Matrices y Aplicaciones Lineales Es fácil comprobar que cualquier aplicación lineal entre dos espacios vectoriales V y W queda determinada por las imágenes de los vectores de una base de V. Si, por ejemplo, f : R 2 R 2 es una aplicación lineal que verifica f(1, 0) = (2, 1) y f(0, 1) = (1, 1), es claro que f(x, y) = xf(1, 0) + yf(0, 1) = (2x, x) + (y, y) = (2x + y, x y). En un caso general, si f : V W es una aplicación lineal y B = { e 1,..., e n } es una base de V, veamos como queda determinada f por f( e i ) = w i W, con i = 1,..., n. Supongamos que son las coordenadas de v respecto a B, se tiene que M B ( v) = (x 1,..., x n ) t f( v) = f(x 1 e x n e n ) = x 1 f( e 1 ) + + x n f( e n ) = x 1 w x n w n Escribamos ahora cuáles son las coordenadas de cada f( e i ) = w i respecto a una base B = { e 1,..., e m} de W : f( e i ) = a 1i e a mi e m. Podemos formar pues una matriz A M m n (K) cuya columna i ésima está formada por las coordenadas de f( e i ) respecto a la base B (i = 1,..., n). A esta matriz la denotaremos M BB (f) y la llamaremos matriz asociada a f respecto a las bases B y B. Esta matriz verifica que, dado cualquier vector v V, si M B ( v) = (x 1,..., x n ) t son las coordenadas de dicho vector respecto a la base B y M B(f( v)) = (y 1,..., y m ) t son las coordenadas de su imagen respecto a la base B, se tiene que: M B(f( v)) = M BB (f) M B ( v). En efecto, Ejemplo f( v) = x 1 f( e 1 ) + + x n f( e n ) = x 1 (a 11 e 1 + a 21 e a m1 e m) + x 2 (a 12 e 1 + a 22 e a m2 e m). + x n (a 1n e 1 + a 2n e a mn e m) = (a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n ) e 1 + (a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n ) e 2. + (a m1 x 1 + a m2 x a mn x n ) e m = y 1 e 1 + y 2 e y m e m. 1. Si A es una matriz en M m n (K), la aplicación: f A : K n K m tiene como matriz asociada respecto a las bases canónicas de K n y K m, respectivamente, a la matriz A, es decir: M CnC m (f A ) = A. 2. Si V es un espacio vectorial de dimensión n y B y B son dos bases de V, se tiene que: M BB (id V ) = M BB

5 7.3. MATRICES Y APLICACIONES LINEALES 5 Es inmediato comprobar que Corolario Si V y W son dos espacios vectoriales sobre K, se tiene que V y W son isomorfos si, y sólo si, dim(v ) = dim(w ). Demostración. Basta comprobar que si dim(v ) = dim(w ) = n podemos tomar B = { e 1,..., e n } y B = { e 1,..., e n} bases de V y W respectivamente y definir la aplicación lineal f que asocia cada f( e i ) = e i, para cada i = 1,..., n. Puesto que V = < B > y f(v ) = < f(b) > = < B > = W, se tiene que f es un epimorfismo, y en consecuencia, un isomorfismo (ver Proposición 7.2.8). Corolario Sea A = M BB (f) la matriz asociada a una aplicación lineal f : V W respecto a un par de bases B y B de V y W, respectivamente. Si C M m n (K) es otra matriz que verifica que, dado cualquier v V, M B (f( v)) = C M B ( v) entonces A = C. Demostración. Si B = { e 1,..., e n }, entonces, para cada i = 1,..., n, tenemos que: C e i = C M B ( v i ) = M B (f( v i )) = A M B ( v i ) = A e i siendo e i el i-ésimo vector a la base canónica de K n, con lo que las columnas de A y C coinciden, es decir A = C. Corolario El K espacio vectorial L(V, W ) = {f : V W ; f es una aplicación lineal} es isomorfo a M m n (K) siendo dim(v ) = n y dim(w ) = m. Demostración. Un isomorfismo ϕ : L(V, W ) M m n (K) viene determinado por un par de bases B y B de V y W repectivamente. Dada f L(V, W ), se define: ϕ(f) = M BB (f). El Corolario permite deducir que si f, g L(V, W ) y α K, entonces: M BB (f + g) = M BB (f) + M BB (g) y M BB (αf) = αm BB (f). Proposición Sea f : V W una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales sobre K con dim(v ) = n y dim(w ) = m. Sean B y B dos bases de V y W respectivamente y sea A = M BB (f) la matriz asociada a f respecto a dichas bases. Se verifica que: 1. rango(f) = rango(a) 2. Si m = n entonces, f es un isomorfismo si, y sólo si A es inversible. Demostración. Si B = { e 1,..., e n }, sabemos que f(v ) = < (f( e 1 ),..., f( e n ) > y, por lo tanto: rango(f) = dim(f(v )) = rango {f( e 1 ),..., f( e n )} = rango(a) ya que las columnas de A son las coordenadas de cada vector f( e i ) respecto a la base B. Por otro lado, si n = m, sabemos que f es un isomorfismo si n = dim(v ) = dim(f(v )) = rango(f) = rango(a), lo que significa exactamente que A es inversible. Ejemplo Si U K n es un subespacio vectorial de K n, sabemos que U = { x K n ; A x = 0}, siendo A una matriz en M m n (K). Si aplicamos la fórmula de la dimensión a f A, se tiene que: n = dim(k n ) = dim(ker(f A )) + rango(f A ) = dim(u) + rango(a) siendo rango(a) el número de ecuaciones linealmente independientes que definen al subespacio U.

6 6 CAPÍTULO 7. APLICACIONES LINEALES Matrices Asociadas y Composición de aplicaciones Teorema Sean V, W y U tres K espacios vectoriales de dimensiones n, m y p respectivamente y B V, B W y B U bases de V, W y U respectivamente. Si f : V W y g : W U son aplicaciones lineales, la composición g f tiene como matriz asocida: M BV B U (g f) = M BW B U (g) M BV B W (f) Demostración. Sabemos que, para cualquier v V y w W, se verifica que: M BW (f( v)) = M BV B W (f) M BV ( v) y M BU (g( w)) = M BW B U (g) M BW ( w) Si ahora tenemos en cuenta y que si v V, se tiene que: M BW B U (g) M BV B W (f) M BV ( v) = M BW B U (g) M BW (f( v)) = M BW (g(f( v))) = M BW (g f)( v)) se puede concluir que M BV B W (g f) = M BW B U (g) M BV B W (f). Ejemplo Sean f : R 2 R la aplicación lineal f(x, y) = 2y x y g : R R 3 la aplicación lineal dada por g(t) = (3t, t, t). De lo que hemos dicho se desprende que M C2C 3 (g f) = M CC3 (g) M C2C(f) = También podríamos haber calculado g f : R 2 R ( 1 2 ) = (g f)(x, y) = g(f(x, y)) = g(2y x) = (6y 3x, 2y x, x 2y) y verificar que es la aplicación lineal que se corresponde con la matriz asociada (respecto a las bases canónicas) calculada anteriormente. Corolario Sea f : V W un isomorfismo de espacios vectoriales (dim(v ) = dim(w ) = n) y sean B V y B W dos bases de V y W respectivamente. Sabemos que f 1 es un isomorfismo de espacios vectoriales y, además, M BW B V (f 1 ) = M BV B W (f) 1 Demostración. Sólo hay que tener en cuenta que Id V = f 1 f y que I n = M BV B V (Id V ) = M BW B V (f 1 ) M BV B W (f) 7.4 Matrices Asociadas y Cambio de Base Veamos ahora la relación entre dos matrices asociadas a la misma aplicación lineal f respecto a distintas bases de los espacios vectoriales. Sean f : V W una aplicación lineal entre dos espacios vectoriales sobre K con dim(v ) = n y dim(w ) = m y B V, B V bases de V y B W, B W bases de W. Teniendo en cuenta que f = Id W f Id V, podemos afirmar: M B V B W (f) = M B V (Id B W f Id W V ) = M BW B W (Id W ) M BV B W (f) M B V B V (Id V ) = M BW B W M B V B W (f) M B V B V.

7 7.4. MATRICES ASOCIADAS Y CAMBIO DE BASE 7 Ejemplo Sea φ : P 3 (R) P 2 (R) la aplicación lineal definida por φ(p(x)) = p (x), para cada p(x) P 3 (R). Consideremos en P 2 (R) las bases B 2 = {1, x, x 2 } y B 2 = {x + 1, x, x 2 } y en P 3 (R) las bases B 3 = {1, x, x 2, x 3 } y B 3 = {1, x + 1, x + x 2, x 2 + x 3 }. Un sencillo cálculo nos proporciona la matriz: M B3 B 2 (φ) = Si quisiésemos obtener ahora la matriz asociada a φ respecto a las bases B 3 y B 2, aplicaríamos la fórmula: M B 3 B 2 (φ) = M B 2B 2 M B 3 B 2 (φ) M B 3 B 3, teniendo en cuenta que: y que Por lo tanto, finalmente: M B 3 B 2 (φ) = M B 3 B 3 = M B2B 2 = (M B 2 B2) 1 = = Matrices equivalentes y Matrices semejantes = En el tema anterior vimos que dos matrices A, A M m n (K) son equivalentes (A A ) si tienen el mismo rango, siendo ésta una relación de equivalencia en M m n (K). Además si rango(a) = r, se tiene que A es equivalente a ( ) I C r = r θ r,n r. θ m r,r θ m r,n r Si A y A son dos matrices asociadas a una misma aplicación lineal f : K n K m respecto a bases distintas, es decir A = M B1 B 1 (f), A = M B2 B 2 (f), siendo B 1 y B 2 dos bases de K n y B 1 y B 2 dos bases de K m, entonces sabemos que A = M B2 B 2 (f) = M B 1 B 2 M B 1 B 1 (f) M B 2B 1 siendo Q = M B 2 B 1 una matriz inversible de tamaño m y P = M B 2B 1 una matriz inversible de dimensión n. Pues bien, las condiciones anteriores son todas equivalentes, es decir: Proposición Sea A M m n (K). Son equivalentes: 1. rango(a) = r 2. A = Q 1 C r P, siendo Q y P dos matrices inversibles de dimensiones m y n respectivamente 3. Existen B y B bases de K n y K m, respectivamente, tales que C r = M BB (f A ).

8 8 CAPÍTULO 7. APLICACIONES LINEALES Cuando A y A son dos matrices en M n (K), se dice que A y A son semejantes si existe una matriz P M n (K) inversible tal que: A = P 1 A P Es evidente que la semejanza entre matrices cuadradas implica que son equivalentes. Sin embargo, no toda matriz cuadrada A es semejante a una matriz diagonal. produce cuando existe una base B en K n tal que M BB (f A ) = D, Esta situación se siendo D = (d 1, d 2,..., d n ) una matriz diagonal. Puesto que A = M CC (f A ), siendo C la base canónica de K n, es claro que: D = M BB (f A ) = M CB A M BC = P 1 A P y las columnas de P forman la base B que diagonaliza a f A. 7.5 Aplicaciones Lineales y Teorema de Rouché Sea A X = B un sistema de m ecuaciones lineales y n incógnitas. Denotemos por S el conjunto de soluciones del sistema, es claro que S = f 1 A ({B}). Es fácil ver que el sistema es compatible si, y sólo si, B f A (K n ), es decir rango(a) = rango{c 1,..., C n } = rango{c 1,..., C n, B} = rango(a B) como ya sabíamos. Suponiendo que el sistema es compatible, es fácil comprobar que si x 0 K n es una solución particular, el conjunto S se puede obtener como S = {x 0 } + Ker(f A ) siendo Ker(f A ) el conjunto de soluciones del sistema homogéneo cuya matriz asociada es A. Así pues, el sistema será compatible determinado si, y sólo si, S es unitario, es decir S = {x 0 }, o lo que es lo mismo Ker(f A ) = { 0}. Esta última condición es claramente equivalente a que rango(a) = n, ya que n = dim (Ker(f A )) + rango(a).