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1 Tema 1 Espacios Vectoriales 1.1 Introducción Estas notas están elaboradas pensando simplemente en facilitar al estudiante una guía para el estudio de la asignatura, y en consecuencia se caracterizan por su brevedad e incompletitud. De manera general no se incluirán demostraciones ni ejemplos de los conceptos explicados (aunque eventualmente pueda incluirse alguna demostración especialmente relevante). Por ello no deben interpretarse como sustitutivas de un libro de texto, cuyo uso siempre recomendaremos al estudiante. Dedicaremos este primer tema de Álgebra Lineal al estudio de los Espacios Vectoriales, si bien se comenzará con un repaso de algunos conceptos conocidos relativos a diferentes estructuras algebraicas básicas. 1.2 Repaso de Estructuras Algebraicas 1. Producto cartesiano de conjuntos. Dados los conjuntos A y B, se llama producto cartesiano de A y B, y se denota por A B al conjunto de todos los pares ordenados constituidos por un elemento de A y otro de B, i.e. A B = {(a, b), a A, b B} Es trivial generalizar la definición al caso de varios conjuntos: A B C, etc. 2. Relaciones binarias. Una relación binaria en un conjunto A es todo subconjunto G de A A. G recibe el nombre de grafo de la relación. La notación habitual es: (a 1, a 2 ) G a 1 R a 2 Las propiedades que una relación puede verificar son: Reflexiva, Irreflexiva, Simétrica, Antisimétrica y Transitiva. 1

2 2 ESPACIOS VECTORIALES Relación de equivalencia. Si R es reflexiva, simétrica y transitiva, se dice que es de equivalencia. Se llama clase de equivalencia del elemento a, y se denota por: [a], al conjunto de todos los elementos que están relacionados con a. El Conjunto cociente A/R será el conjunto de todas las clases de equivalencia formadas en A por la relación de equivalencia R. Relación de orden. Si R es reflexiva, antisimétrica y transitiva, se dice que es de orden. 3. Correspondencias. Una correspondencia f entre dos conjuntos A y B es todo subconjunto G de A B. G= grafo de la correspondencia = graf(f). Notación: (a, b) G f(a) = b. Im f= Imagen de f es el subconjunto de B formado por los elementos que son imágenes de alguno de A. 4. Aplicaciones. Es una correspondencia de A en B en la que a cada elemento a A le corresponde un único elemento de B. Es decir: todos los elementos de A tienen imagen, pero sólo tienen una. Aplicación Inyectiva. Si cada elemento de Im f sólo tiene una anti-imagen en A, se dice que f es inyectiva. Es decir: O, equivalentemente: a 1 a 2 f(a 1 ) f(a 2 ), a 1, a 2 A f(a 1 ) = f(a 2 ) a 1 = a 2, a 1, a 2 A Aplicación Suprayectiva. Si Im f = B, se dice que f es suprayectiva (o epiyectiva, o sobreyectiva). Si f es inyectiva y sobreyectiva, entonces por definición será biyectiva. 5. Ley de composición interna en un conjunto C: Toda aplicación de C C en C. Ley de composición externa en C sobre un conjunto K: Toda aplicación de K C en C. 6. Grupos. Dado (G, ), un conjunto y una ley de composición interna, decimos que tiene una estructura de Grupo si verifica las propiedades: 1). Asociativa: g 1, g 2, g 3 G, (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ). 2). Elemento neutro: e G tal que g G, g e = e g = g. 3). Elemento simétrico. g G, g G tal que g g = g g = e. Si además verifica la propiedad conmutativa: g 1 g 2 = g 2 g 1, g 1, g 2 G

3 ESPACIOS VECTORIALES 3 entonces se dice que (G, ) es un grupo conmutativo o abeliano. Algunas propiedades de la estructura de grupo: i) El elemento neutro es único. 2i) a, b G, (a b) = b a. 3i) a G, (a ) = a. 4i) Todos los elementos de un grupo son regulares. Un elemento a es regular si a x = a y x = y. 7. Anillos. Dados un conjunto A y dos leyes de composición internas en A, que denotaremos + y, (A, +, ) es un anillo si (A, +) es un Grupo Abeliano y (A, ) verifica la propiedad asociativa y la distributiva de con respecto a +, es decir: a 1 (a 2 + a 3 ) = (a 1 a 2 ) + (a 1 a 3 ), a 1, a 2, a 3 A Si además es conmutativa, se dice que A es una anillo conmutativo o abeliano. Si tiene elemento unidad (el. neutro para todos los elementos de A menos el neutro de +) se dice que es un anillo unitario. 8. Cuerpos. Un cuerpo es un anillo unitario en el que todos los elemento excepto el neutro de la primera operación tienen elemento simétrico con respecto de la segunda. Si el anillo es además abeliano, el cuerpo también. 1.3 Espacios Vectoriales Definición: Espacios Vectoriales. Sea V un conjunto y K un cuerpo abeliano. Sea + una Ley de composición interna definida en V y K una Ley de composición externa en V sobre K: V V V K V V ( v 1, v 2 ) v 1 + v 2 (λ, v) λ v Se dice que (V, +, K) es un espacio vectorial sobre K si se verifican las siguientes propiedades: A. (V, +) es un grupo abeliano: (1). Asociativa: v 1, v 2, v 3 V, ( v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + ( v 2 + v 3 ). (2). Conmutativa: v 1, v 2 V, v 1 + v 2 = v 2 + v 1. (3). Vector nulo. 0 V / v + 0 = 0 + v = v v V.

4 4 ESPACIOS VECTORIALES (4). Para cada v V existe elemento opuesto v V que verifica que v+( v) = 0. B. La ley de composición externa cumple: (5). λ( v 1 + v 2 ) = λ v 1 + λ v 2 v 1, v 2 V, λ K. (6). (λ + µ) v = λ v + µ v v V, λ, µ K. (7). λ(µ v) = (λµ) v v V, λ, µ K. (8). 1 v = v v V siendo 1 la unidad en el cuerpo K. Comentarios: 1. En esta asignatura estudiaremos esencialmente los espacios vectoriales reales, es decir el caso K = R. No obstante los resultados y propiedades que presentaremos serán válidos (salvo que se especifique los contrario) para cualquier tipo de espacio vectorial. 2. Es habitual escribir directamente V para denotar al espacio vectorial (V, +, K), dándose por conocidas las leyes de composición. 3. En general no escribiremos el punto al denotar la ley de composición externa (así se ha hecho ya en la enumeración de las propiedades anteriores). 4. Los elementos de V se llaman de manera genérica vectores, independientemente de que el espacio vectorial concreto sea de tipo vectorial geométrico o no. Por esta razón hemos elegido la notación típica vectorial v, que obviamente no es necesaria de manera general. Los elementos del cuerpo se denominan escalares. 5. La suma de un vector u con el opuesto de otro v se denota con el símbolo de la resta: u + ( v) = u v 6. La definición de espacio vectorial que hemos presentado es la más habitual en la literatura, sin embargo, como curiosidad, comentaremos que la propiedad conmutativa de la Ley de composición interna puede ser deducida del resto de las propiedades, por lo que estrictamente hablando no sería necesario incluirla en la definición general. Ejercicio: Demuéstralo. Propiedades de un Espacio Vectorial. Dado un espacio vectorial real V, se verifican las siguientes propiedades básicas: a) v V, 0 v = 0. b) λ R, λ 0 = 0. c) λ v = 0 λ = 0 o v = 0 d) λ, v, ( λ) v = λ v = λ( v).

5 ESPACIOS VECTORIALES Subespacios Vectoriales Definición Subespacio Vectorial. Sea (V, +, R) un espacio vectorial real y sea U un subconjunto de V. Se dice que U es un subespacio vectorial de V si (U, + R) es un espacio vectorial real, es decir si las leyes de composición de V también lo son para U y además se verifican todas las propiedades de la definición restringidas al conjunto U. Teorema: Teorema de Caracterización de subespacios vectoriales. Sea U V un subconjunto (U ) del espacio vectorial V. La condición necesaria y suficiente para que U sea subespacio vectorial de V es que se verifique: a) u 1, u 2 U u 1 + u 2 U b) λ R, u U λ u U Teorema: Teorema de Caracterización de subespacios vectoriales II. Sea U V un subconjunto (U ) del espacio vectorial V. La condición necesaria y suficiente para que U sea subespacio vectorial de V es que se verifique: λ, µ B, u 1, u 2 U λ u 1 + µ u 2 U Definición: Intersección de subespacios. Dados dos subespacios U 1 y U 2 de un espacio vectorial V, se define la intersección de U 1 y U 2 y se denota por U 1 U 2 como el conjunto: U 1 U 2 = { u V / u U 1, u U 2 } Proposición: La intersección de dos subespacios U 1 y U 2 de un espacio vectorial de V es, a su vez, un subespacio vectorial de V. Definición: Suma de subespacios. Dados U 1 y U 2 dos subespacios de un espacio vectorial V, se llama suma de U 1 y U 2 al conjunto U 1 + U 2 definido de la forma: U 1 + U 2 = { u V, u 1 U 1, u 2 U 2 / u = u 1 + u 2 } Proposición: La suma de dos subespacios U 1 y U 2 de un espacio vectorial de V es un subespacio vectorial de V. Definición: Suma directa de dos subespacios. Sean U 1 y U 2 dos subespacios vectoriales de un mismo espacio V, se dice entonces que U 1 y U 2 forman suma directa si todo vector u U 1 +U 2 se descompone como suma de un vector u 1 de U 1 más otro u 2 U 2 de forma única. Será denotada por el símbolo U 1 U 2. Teorema: Sea un espacio vectorial V y U 1 y U 2 dos subespacios de V. La condición necesaria y suficiente para que U 1 y U 2 formen suma directa es que U 1 U2 = { 0}.

6 6 ESPACIOS VECTORIALES Def: Subespacios Suplementarios. Dado un espacio vectorial V y dos subespacios U 1 y U 2 de V, se dice que U 1 y U 2 son subespacios suplementarios si forman suma directa y además dicha suma coincide con el espacio V, es decir: V = U 1 U Dependencia e Independencia Lineal Sea V un espacio vectorial real, definiremos los suguientes conceptos: Definición: Sistema de vectores. Llamaremos sistema de vectores de V a todo conjunto finito de vectores de V : S = { v 1, v 2,..., v p }. Definición: Combinación lineal de vectores. Se llama combinación lineal de los vectores del sistema S = { v 1, v 2,..., v p } a todo vector de la forma v = λ 1 v 1 + λ 2 v λ p v p donde λ i R. Los escalares λ i reciben entonces el nombre de coeficientes de la combinación lineal. Teorema: El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de un sistema S es un subespacio vectorial de V. Dicho subespacio recibe el nombre de subespacio generado por S y se denota por L(S) o v 1, v 2,..., v p, L(S) = v 1, v 2,..., v p = {λ 1 v 1 + λ 2 v λ p u p / λ i R} Recíprocamente el sistema S recibe el nombre de sistema generador del subespacio L(S). Definición: Sistema libre y ligado. Dado un sistema de vectores de V : S = { v 1, v 2,..., v p }, se dice que S es un sistema libre, o que sus vectores son linealmente independientes, si dada una combinación lineal de los vectores de S igual al vector nulo, entonces necesariamente todos los coeficientes son nulos, es decir: λ 1 v 1 + λ 2 v λ p v p = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ p = 0 En caso contrario (es decir si no necesariamente los coeficientes son nulos) se dice que el sistema de vectores S es ligado, o alternativamente, que sus vectores son linealmente dependientes. Definición: Se dice que un vector v depende linealmente de los vectores de S = { v 1, v 2,..., v p } si v L(S). Propiedades de los sistemas libres y ligados 1. Sea S un sistema libre de vectores de V y sea v L(S), entonces los coeficientes de v como combinación lineal de los vectores de S son únicos.

7 ESPACIOS VECTORIALES 7 2. Si v 0, entonces S = { v} es un sistema libre. 3. Todo sistema que contenga al vector nulo como elemento es necesariamente un sistema ligado. 4. Si S es un sistema libre, entonces todo subsistema de vectores S S también es libre. 5. Si S es un sistema ligado, entonces todo sistema S que contenga a S como subsistema, S S, también es sistema ligado. 6. Si S es un sistema ligado, entonces al menos uno de sus vectores depende linealmente de los demás. 7. Si S es un sistema libre y S = S { v} es ligado, entonces necesariamente v L(S). Equivalentemente, si S es libre y v no pertenece a L(S), entonces S = S { v} será también libre. Definición: Sistemas equivalentes de vectores. Dados dos sistemas de vectores de V : S 1 = { u 1, u 2,..., u p } y S 2 = { v 1, v 2,..., v q }. Se dice que S 1 y S 2 son sistemas equivalentes de vectores si generan el mismo subespacio, es decir: L(S 1 ) = L(S 2 ). Proposición: Sean S 1 y S 2 dos sistemas de vectores de V. la condición necesaria y suficiente para que S 1 y S 2 sean equivalentes es que todos los vectores de S 1 pertenezcan a L(S 2 ) y todos los de S 2 a L(S 1 ). Transformaciones elementales. Dado un sistema de vectores S = { v 1, v 2,..., v p }, se llaman transformaciones elementales en S a las siguientes: 1. Intercambiar el orden de dos vectores, v i y v j, en S. Denotaremos esta operación simbólicamente por F ij. 2. Multiplicar el vector v i por un escalar λ 0. Notación: F i (λ). 3. Sumar a un vector v i del sistema S otro vector del sistema v j multiplicado por cualquier escalar λ. Notación: F ij (λ). Proposición: Si un sistema de vectores S de V se obtiene a partir de S por medio de un número finito de transformaciones elementales, entonces, ambos sistemas son equivalentes, es decir: L(S) = L(S ). 1.6 Bases, dimensión y rango Teorema: Teorema fundamental de la independencia lineal. Sea G un sistema de generadores del espacio vectorial V, G = { u 1, u 2,..., u p }, L(G) = V, y sea S un sistema libre de vectores de V, S = { v 1, v 2,..., v n }. Entonces necesariamente n p, es decir el cardinal

8 8 ESPACIOS VECTORIALES de un sistema de generadores de V es siempre mayor o igual que el cardinal de cualquier sistema libre de vectores de V. Demostración: Demostraremos el Teorema por reducción al absurdo, es decir supondremos que n > p y llegaremos a una contradicción, de manera que necesariamente deberá verificarse que n p. Por ser G un sistema generador de V podemos expresar cualquier vector como una combinación lineal de los vectores de G. En particular, el vector v 1 S podrá escribirse como: v 1 = λ 1 u 1 + λ 2 u λ p u p y además necesariamente alguno de los coeficientes deberá ser no nulo, pues en caso contrario v 1 sería nulo, y en consecuencia S no podría ser un sistema libre. Supongamos que λ 1 0 (si no fuera así siempre se podrían reordenan los vectores de S para conseguirlo). Entonces podremos despejar el vector u 1 de la forma: u 1 = 1 v 1 λ 2 u 2... λ p u p λ 1 λ 1 λ 1 y así u 1 es combinación lineal de los vectores del sistema G 1 = { v 1, u 2, u 3,..., u p }. Evidentemente el resto de vectores de G también pertenece a L(G 1), y recordemos que G es un sistema de generadores de V, luego todos los vectores de G 1 pertenecen a L(G). Según la propiedad enunciada anteriormente, entonces L(G) = L(G 1) y, en consecuencia, G 1 es también un sistema de generadores de V. Repetimos ahora el proceso con el vector v 2, expresándolo como combinación lineal de los vectores de G 1 : v 2 = µ 1 v 1 + µ 2 u µ p u p Una vez más, no todos los coeficientes pueden ser nulos simultáneamente, pero además no puede darse la situación en la que únicamente µ 1 fuera diferente de cero, pues en tal caso v 2 = µ 1 v 1, y S no sería un sistema libre. Tomemos por tanto µ 2 0, entonces podemos escribir: u 2 = µ1 µ 2 v 1 1 µ 2 v 2 µ3 µ 2 u 3... µp µ 2 u p Razonado de manera similar a la anterior concluiremos que G 2 = { v 1, v 2, u 3,..., u p} es un sistema de generadores de V. Dado que estamos suponiendo que n p, podremos repetir el proceso p veces, tras lo que obtendríamos que G p = { v 1, v 2,..., v p } es un sistema de generadores de V, por tanto los vectores v p+1..., v n serían al mismo tiempo linealmente independientes de los vectores de G p y pertenecientes a V = L(G p), lo cual es absurdo. Queda demostrado entonces que n no puede ser en ningún caso mayor que p, por lo que necesariamente n p. Q.E.D. Definición: Bases. Se dice que un sistema de vectores B = { e 1, e 2,..., e n } del espacio vectorial V es una base de V si B es un sistema libre de vectores y además es un sistema de generadores de V. Definición: un espacio vectorial es de tipo finito si está generado por un número finito de vectores, es decir si existen sistemas de generadores de V con cardinal finito. Definición: Coordenadas de un vector en una base. Sea V un espacio vectorial de tipo finito y sea B = { e 1, e 2,..., e n } una base de V. Entonces todo vector de v V puede expresarse como combinación lineal de los vectores de B (por ser B sistema de generadores

9 ESPACIOS VECTORIALES 9 de V ): v = x 1 e 1 + x 2 e x n e n y además, por ser B un sistema libre, los coeficientes de dicha combinación son únicos para cada vector v. Llamaremos coordenadas del vector v en la base B a los coeficientes (x 1, x 2,..., x n ) de dicha combinación lineal. Denotaremos habitualmente entonces: v = (x 1, x 2,..., x n ) B, si bien cuando se sobreentienda la base que se está utilizando omitiremos el subíndice B en dicha expresión 1. Teorema: Teorema de la base. En un espacio vectorial V (de tipo finito) todas las bases tienen el mismo número de vectores. A este número se le llama dimensión del espacio V y se le representa por dim V. Demostración: Consideremos dos bases cualesquiera de V : B = { e 1, e 2,..., e n} y B = { e 1, e 2,..., e n }. Se tiene que, 1. B es un sistema generador y B es un sistema libre n n. 2. B es un sistema generador y B es un sistema libre n n. Tenemos entonces que: n n y n n, por lo que necesariamente: n = n. Q.E.D. Corolarios del teorema de la Base: Si S es libre y el cardinal de S es igual a la dimensión del espacio vectorial V entonces S es base de V. Si S es un sistema de generadores de V y su cardinal es igual a la dimensión de V, entonces S es base de V. Teorema: Teorema de la Base Incompleta. Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n y sea S = { u 1, u 2,..., u p } un sistema libre de p < n vectores de V, entonces existe un sistema S formado por n p vectores de V tal que S S es una base de V. De forma equivalente puede enunciarse el Teorema diciendo que a todo sistema libre S de un espacio vectorial V se le pueden añadir n card(s) vectores hasta completar una base de V. Fórmula de las dimensiones (o de Grassmann): Sean U 1 y U 2 dos subespacios del espacio vectorial V. Se verifica entonces que: dim (U 1 + U 2 ) = dim U 1 + dim U 2 dim U 1 U 2 1 En particular, en el caso del espacio vectorial R n, existe una base distinguida de todas las demás, la base canónica: B c = {(1, 0,..., 0), (0, 1, 0,..., 0),..., (0,..., 0, 1)}, que es la única base de R n que verifica que las componentes de todo vector (x 1, x 2,..., x n ) R n coinciden exactamente con sus coordenadas con respecto a ella. De manera general, para cualquier espacio vectorial dado, el concepto de base canónica es más difuso, pues toda base podría ser considerada como canónica con respecto a sí misma.

10 10 ESPACIOS VECTORIALES Demostración: Sea B = { e 1, e 2,..., e p} una base de U 1 U 2. Dado que U 1 U 2 es un subespacio tanto de U 1 como de U 2, podemos utilizar el teorema de la base incompleta en ambos casos, de manera que construimos las bases B 1 y B 2 de U 1 y U 2 respectivamente, de la forma: B 1 = { e 1, e 2,..., e p, u 1,..., u r }, B 2 = { e 1, e 2,..., e p, v 1,..., v m } donde dimu 1 = p + r y dimu 2 = p + m. Evidentemente podemos conocer un sistema de generadores del subespacio U 1 + U 2 sin más que unir los vectores de ambas bases (y obviamente eliminamos los vectores repetidos): U 1 + U 2 = e 1, e 2,..., e p, u 1,..., u r, v 1,..., v m Finalmente demostraremos que este sistema de generadores en realidad es una base de U 1 +U 2. Supongamos que no lo son, dado que los p + r primeros vectores constituyen una base de U 1, al menos uno de los vectores v i debería depender linealmente de ellos, por ejemplo v 1: v 1 e 1, e 2,..., e p, u 1,..., u r pero entonces v 1 pertenece simultáneamente a U 1 y a U 2, por lo que pertenece a U 1 U 2. Si recordamos que los vectores v 1,..., v m constituían una base de un suplementario en U 2 de U 1 U 2, entonces resulta que v 1 no puede pertenecer a U 1 U 2. Concluimos por tanto que los vectores v 1,..., v m son linealmente independientes de los vectores: e 1, e 2,..., e p, u 1,..., u r, y en consecuencia: forman una base de U 1 + U 2. De esta forma: { e 1, e 2,..., e p, u 1,..., u r, v 1,..., v m} Q.E.D. dim (U 1 + U 2) = p + r + m = dim U 1 + dim U 2 dim U 1 U 2 Definición: El rango de un sistema de vectores es por definición la dimensión del subespacio generado por dicho sistema. Es trivial comprobar que el rango coincide con el mayor de los cardinales de los subsistemas libres contenidos en dicho sistema.

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