Estructuras algebraicas Grado en Matemáticas. Curso 2013/2014. Apuntes de teoría. Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla

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1 Estructuras algebraicas Grado en Matemáticas. Curso 2013/2014 Apuntes de teoría Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Tema 1: Grupos y subgrupos. Teorema de estructura Introducción Definición 1.1. Un grupo es un par (G, ), donde G es un conjunto no vacío, y es una operación binaria interna : G G G (a, b) a b que cumple las siguientes propiedades: 1. Propiedad asociativa: (a b) c = a (b c), a, b, c G. 2. Elemento neutro: ϵ G tal que a G, a ϵ = ϵ a = a. 3. Elemento opuesto: a G, ã G tal que a ã = ã a = ϵ. Además, el grupo G se dice abeliano si cumple: 4. Propiedad conmutativa: a b = b a, a, b G. Nota: En un grupo abeliano, la operación se suele denotar + y llamarse suma, el elemento neutro se denota 0, y el opuesto de a se denota a. En este caso diremos que usamos notación aditiva. Otra notación muy común es la notación multiplicativa, en la que la operación simplemente se omite, escribiendo ab := a b, el elemento neutro se denota 1, y el opuesto de a se denota a 1 o 1/a, y se denomina inverso de a. Ejemplos: Los siguientes grupos no son abelianos: El grupo simétrico S n, es el grupo de permutaciones de n elementos, es decir, el grupo de biyecciones de un conjunto de n elementos. La operación interna es la composición de funciones. El grupo de matrices n n invertibles con coeficientes en un cuerpo K, con el producto de matrices. Este grupo se llama grupo lineal n n sobre K, y se denota GL n (K). El grupo de matrices n n de determinante 1, con coeficientes en un cuerpo K, y con el producto de matrices. Este grupo se llama grupo especial lineal n n sobre K, y se denota SL n (K). 1

2 El grupo de matrices n n de determinante ±1, con coeficientes en Z, y con el producto de matrices. Se puede demostrar (y lo veremos más adelante) que este es el conjunto de las matrices de enteros que son invertibles (dentro del conjunto de las matrices de enteros). Por eso se llama grupo lineal n n sobre Z, y se denota GL n (Z). Ejemplos: Los siguientes grupos son abelianos: Z, Q, R y C, con la suma habitual. Q\{0}, R\{0}, C\{0}, con el producto habitual. Z/Zn, con la suma módulo n. El grupo R n de rotaciones de un n-ágono regular. Es decir, los giros que dejan invariante un n-ágono regular. El grupo V 4 de movimientos del plano que dejan invariante un rectángulo ( las formas de dar la vuelta a un colchón ). También llamado grupo de Klein. Tiene cuatro elementos: La identidad (que denotaremos 0), la simetría a de eje paralelo a los lados menores, la simetría b de eje paralelo a los lados mayores, y un giro c de 180. Es un ejercicio sencillo demostrar que el grupo Z/Zn es isomorfo a R n, y escribiremos Z/Zn = R n. Esto significa que existe una aplicación f : Z/Zn R n que es un isomorfismo, es decir, un homomorfismo biyectivo. (Decimos que f : G H es un homomorfismo si f(a b) = f(a) f(b) para todo a, b G.) Como Z/Zn = R n, consideramos que Z/Zn y R n son el mismo grupo. En el caso particular de n = 4, tenemos Z/Z4 = R 4, dos grupos de cuatro elementos que consideramos iguales. Pero conocemos otro grupo de cuatro elementos: V 4. Es natural preguntarse si Z/Z4 es isomorfo a V 4. Como tienen los mismos elementos, se pueden definir biyecciones entre ellos, pero alguna será un homomorfismo? Veamos que no. Sea f : Z/Z4 V 4 un homomorfismo. Tenemos, por un lado: f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) f(0) = 0 (de hecho, este argumento nos demuestra que cualquier homomorfismo envía el elemento neutro del grupo de partida en el elemento neutro del grupo de llegada). Por otra parte, si f(1) = x, como en el grupo V 4 todo elemento sumado consigo mismo da 0, obtenemos: f(2) = f(1 + 1) = f(1) + f(1) = x + x = 0 Por tanto, si f : Z/Z4 V 4 es un homomorfismo, no puede ser inyectivo, ni por tanto biyectivo. Luego no existe ningún isomorfismo entre estos dos grupos: Z/Z4 = V4 Veamos otra forma de demostrarlo. 2

3 Definición 1.2. Sea G un grupo. El orden de un elemento a G es el menor entero positivo n tal que n {}}{ a a a = ϵ Si n existe, se dice que a es un elemento de torsión. En otro caso, se dice que a tiene orden infinito. Es fácil ver que en Z/Z4, se tiene ord(0) = 1, ord(1) = ord(3) = 4 y ord(2) = 2, mientras que en el grupo V 4 se tiene ord(0) = 1 y ord(a) = ord(b) = ord(c) = 2. Esta es otra de las razones por las que Z/Z4 = V4. Veamos una tercera demostración. Definición 1.3. Sea G un grupo. Diremos que un subconjunto S G es un sistema de generadores de G si todo elemento de G puede escribirse de la forma a 1 a 2 a r, donde a i S o ã i S para todo i = 1,..., r. En este caso escribiremos G = S. Ejemplo: Z = 1, ya que, dado n Z n {}}{ si n > 0 n = 1 + ( 1) si n = 0 ( 1) + + ( 1) }{{} n si n < 0 Definición 1.4. Diremos que G es cíclico si puede ser generado por un sólo elemento. Ejemplos: Z es cíclico. Z/Zn es cíclico, ya que Z/Zn = 1. V 4 no es cíclico, ya que todo sistema de generadores de V 4 necesita al menos dos elementos. Por ejemplo V 4 = a, b. Esta es otra razón por la que Z/Z4 = V4. Una de las preguntas fundamentales en teoría de grupos es: Cómo podemos saber si dos grupos son isomorfos? Y otra pregunta que nos podemos hacer es: Todo grupo es isomorfo a uno bien conocido? Responderemos a estas preguntas en el caso de los grupos abelianos, finitamente generados. 3

4 1.2. Subgrupos Definición 1.5. sea (G, ) un grupo. Diremos que un subconjunto no vacío H G es un subgrupo de G si (H, ) es un grupo (donde es la misma operación que está definida en G). En este caso escribiremos H G. Observando atentamente la definición de subgrupo, vemos que las únicas propiedades necesarias para que H sea subgrupo de G son las siguientes: Proposición 1.6. Un subconjunto no vacío H G es un subgrupo si y sólo si se cumplen las dos propiedades siguientes: 1. a b H para todo a, b H. 2. ã H para todo a H. De hecho, estas dos propiedades se pueden fusionar en una sola: Proposición 1.7. Un subconjunto no vacío H G es un subgrupo si y sólo si se cumple: a b H para todo a, b H. Demostración: Trivial. Dado a H, tenemos a ã H, es decir, ϵ H. Pero entonces ϵ ã H, luego ã H. Por otra parte, dados a, b H, por el razonamiento anterior b H, por tanto a b H, es decir, a b H. Nota: Con notación aditiva, el resultado anterior se lee: H G es subgrupo si y sólo si a b H para todo a, b H. Dado un subgrupo H G, podemos definir una relación entre los elementos de G, como sigue: a b ã b H Es fácil ver que se trata de una relación de equivalencia. De hecho, las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva se deducen directamente de que ϵ H, de que el opuesto de todo elemento de H está en H, y de que el producto de dos elementos de H está en H. Esta relación de equivalencia conlleva una partición del conjunto G en unión disjunta de clases de equivalencia. La clase de equivalencia de un elemento a G es el conjunto de elementos de G que están relacionados con a. Observando la relación que acabamos de definir, esta clase de equivalencia, que llamaremos clase de a a izquierda módulo H, es el siguiente conjunto: a H = {a h; h H} Por otra parte, podemos definir otra relación de equivalencia entre los elementos de G, distinta a la anterior, como sigue: a b a b H En este caso, la clase de equivalencia de un elemento a G se denomina clase de a a derecha módulo H, y es el siguiente conjunto: H a = {h a; h H} 4

5 Observemos que la clase de equivalencia de ϵ G, tanto a izquierda como a derecha, es precisamente el grupo H, ya que H = ϵ H = H ϵ. Observemos también que la clase a izquierda de un elemento a G, tanto a izquierda como a derecha, contiene al elemento a, ya que a ϵ = ϵ a = a, es decir, a a H H a. Pero esto no quiere decir que a H = H a. De hecho, hay ejemplos donde estos dos conjuntos no son iguales. Sin embargo, nos interesarán especialmente los subgrupos en los que las clases a izquierda y a derecha de cualquier elemento coinciden. Estos subgrupos de llaman normales. Definición 1.8. Un subgrupo H G se dice normal, y se denotará H G, si a H = H a para todo a G. Una caracterización de los subgrupos normales, que puede servir para identificarlos, es la siguiente: Proposición 1.9. Un subgrupo H G es normal si y sólo si a h ã H para todo a G y todo h H. Demostración: Sean a G y h H. Como a h a H = H a, existirá un elemento h H tal que a h = h a, luego a h ã = h H. Dado a h a H, tenemos a h = (a h ã) a H a, luego a H H a. Por otra parte, dado h a H a. Como ã G, tenemos ã h ã = ã h a H, luego h a = a (ã h a) a H. Por tanto H a H a, y entonces H a = a H para todo a G. La principal ventaja que se obtiene de que un subgrupo sea normal, es que podemos dotar al conjunto de sus clases de equivalencia de estructura de grupo. Es decir, podemos definir una operación binaria interna en el conjunto de clases de equivalencia (a izquierda o a derecha, es igual, puesto que son las mismas), que cumpla todas las propiedades de grupo. Este grupo se llama grupo cociente G sobre H, y se denota G/H. La operación viene definida como sigue: (a H) (b H) = (a b) H Esta operación está bien definida al tener H b = b H para todo b G, ya que podemos definir el conjunto a H b H = {a h b h ; h, h H}, y observamos que a H b H = a b H H = (a b) H para todo a, b G. Por tanto, si tuviéramos otros representantes a H = a H y b H = b H, obtendríamos (a b ) H = a H b H = a H b H = (a b) H. En resumen, cuando H G, podemos definir de forma natural el grupo cociente G/H, cuyos elementos son las clases de equivalencia módulo H. Un ejemplo típico de subgrupo normal es el núcleo de un homomorfismo cualquiera. Si f : G G es un homomorfismo de grupos, entonces ker(f) es un subgrupo normal, ya que para todo a G y todo h ker(f) se tiene f(a h ã) = f(a) f(h) f(ã) = f(a) ϵ f(a) = ϵ, luego a h ã ker(f). Esto implica que siempre podremos considerar el grupo cociente G/ ker(f). De hecho, hay un resultado muy útil e importante que nos describe este grupo cociente: Teorema 1.10 (Primer teorema de isomorfía). Dado un morfismo de grupos f : G G, se tiene G/ ker(f) = im(f). 5

6 Demostración: Basta ver que la aplicación φ : G/ ker(f) im(f), donde φ(a ker(f)) = f(a) es un isomorfismo de grupos bien definido. En primer lugar, es evidente que f(a) im(f) para todo a G. Por otra parte, hemos definido φ usando representantes de las clases de equivalencia, por tanto debemos probar que la definición no depende del representante escogido. Es decir, si tenemos a ker(f) = a ker(f), debemos probar que f(a) = f(a ). Pero si a ker(f) = a ker(f), entonces ã a ker(f), luego ϵ = f(ã a ) = f(ã) f(a ) = f(a) f(a ), y por tanto f(a) = f(a ). Luego f es una aplicación bien definida. Claramente φ es un homomorfismo, ya que φ((a ker(f)) (b ker(f))) = φ((a b) ker(f)) = f(a b) = f(a) f(b) = φ(a ker(f)) φ(b ker(f)). Por último, φ es sobreyectiva ya que para todo elemento c im(f), existe a G tal que f(a) = c, luego φ(a ker(f)) = f(a) = c. Y φ es inyectiva ya que si φ(a ker(f)) = φ(b ker(f)), entonces f(a) = f(b), luego f(ã b) = ϵ, de donde ã b ker(f) lo que significa que a ker(f) = b ker(f). Por tanto, φ es un homomorfismo biyectivo bien definido, es decir, un isomorfismo, como queríamos demostrar. Es importante notar que si G es un grupo abeliano, entonces todo subgrupo de G es normal. En el caso de grupos abelianos, donde solemos usar la notación aditiva, las clases de equivalencia se denotan a + H, y la operación en G/H se lee: (a + H) + (b + H) = (a + b) + H 1.3. Producto directo Sean G 1 y G 2 dos conjuntos. Sabemos que su producto cartesiano es el conjunto G 1 G 2 = {(a 1, a 2 ); a 1 G 1, a 2 G 2 }. Si G 1 y G 2 son además grupos, podemos utilizar las operaciones internas de cada uno de ellos para definir una operación interna en G 1 G 2, que lo dota de estructura de grupo. Definición Sean G 1 y G 2 dos grupos. El producto directo de G 1 y G 2 es el grupo formado por el conjunto G 1 G 2 con la siguiente operación: (a 1, a 2 ) (b 1, b 2 ) = (a 1 b 1, a 2 b 2 ) Es fácil demostrar que el producto directo es efectivamente un grupo. Además, si G 1 y G 2 son grupos abelianos, su producto directo también lo es, y la operación interna se escribirá: Ejemplos: (a 1, a 2 ) + (b 1, b 2 ) = (a 1 + b 1, a 2 + b 2 ) El grupo abeliano Z Z se suele denotar Z 2. En el grupo Z Z/Z5 se tiene (2, 2) + (8, 3) = (10, 0). A veces, cuando G 1 y G 2 son abelianos, el grupo G 1 G 2 se denota G 1 G 2, y se llama suma directa de G 1 y G 2. 6

7 Si tenemos n grupos, G 1,..., G n, podemos formar el grupo G 1 G n = {(a 1,..., a n ); a i G i i = 1,..., n} con la operación natural. Con notación aditiva, la operación viene dada por: (a 1,..., a n ) + (b 1,..., b n ) = (a 1 + b 1,..., a n + b n ) Ejemplos: El producto directo Z Z de n copias de Z se suele denotar Z n. En el grupo Z Z Z/Z3 se tiene (1, 0, 2) + ( 4, 8, 2) = ( 3, 8, 1) Grupo abeliano libre. Bases El grupo Z n con n 0, se llama grupo abeliano libre de rango n (donde Z 0 = {0}). Notación: Sea G un grupo abeliano. Sea a G y sea m Z. Escribiremos: m {}}{ a + a + + a si m > 0 ma = 0 si m = 0 ( a) + + ( a) }{{} m si m < 0 Observemos que, por definición, G = a 1,..., a n si y sólo si todo elemento a G puede escribirse como combinación lineal (con coeficientes enteros) de {a 1,..., a n }. Esto es, a G, m 1,..., m n Z, a = m 1 a m n a n. Todas las combinaciones lineales con las que trataremos tendrán coeficientes enteros, por tanto no volveremos a mencionar esta propiedad. En el caso particular de Z n, si llamamos e i = (0,..., 0, (i) 1, 0,..., 0) para i = 1,..., n, entonces Z n = e 1,..., e n Definición Sea G un grupo abeliano. Diremos que un conjunto S es linealmente independiente, si la única forma de escribir 0 G como combinación lineal de elementos de S es con todos los coeficientes nulos. Es decir, si para cualesquiera s 1,..., s r S, m 1 s m r s r = 0 m 1 = = m r = 0 Definición Sea G un grupo abeliano. Una base de G es un sistema de generadores linealmente independiente. Ejemplos: {(1, 0), (0, 1)} es base de Z 2. 7

8 {(2, 0), (0, 1)} es linealmente independiente, pero no es sistema de generadores, puesto que los elementos que genera tienen siempre su primera coordenada par. Por tanto no es base. A partir de este momento, la letra G denotará siempre un grupo abeliano. Proposición Un conjunto S G es base si y sólo si todo elemento se escribe de forma única como combinación lineal de S. Demostración: Si S es base, en particular es sistema de generadores, luego todo elemento se escribe como combinación lineal de S. Falta ver la unicidad. Sea a G. Si a = m 1 s 1 + +m r s r = n 1 s 1 + +n r s r para ciertos s 1,..., s r S, entonces 0 = a a = (m 1 n 1 )a (m r n r )s r. Como S es linealmente independiente, esto implica que m i n i = 0, es decir m i = n i, para todo i = 1,..., r, lo que prueba la unicidad. Por hipótesis, S es sistema de generadores. Hay que probar que es linealmente independiente. Si tenemos s 1,..., s r S y 0 = m 1 s m r s r, entonces, como sabemos que 0 = 0s s r, la unicidad de escritura implica que m i = 0 para i = 1,..., r. Por tanto, S es linealmente independiente. Gracias al resultado anterior, podemos saber cómo son las bases, en el caso particular del grupo Z n. Lo veremos en los resutados siguientes. Proposición Un conjunto de Z n linealmente independiente tiene como mucho n elementos. Demostración: Sea S Z n linealmente independiente. Si tuviera más de n elementos, podríamos tomar s 1,..., s n+1 S y formar una matriz A, de tamaño n (n + 1), cuyas columnas son estos n + 1 elementos. Pero ( entonces el sistema lineal Ax = 0 tendría alguna solución no nula en Q, digamos p1 q 1,..., p n+1 q n+1 ). Multiplicando esta solución por q 1 q n+1, tendríamos una solución (m 1,..., m n+1 ) (0,..., 0) formada por enteros, donde m 1 s m n+1 s n+1 = 0, lo cual es imposible al ser S linealmente independiente. Por tanto, S tiene como mucho n elementos. Proposición Un sistema de generadores de Z n tiene como mínimo n elementos. Demostración: Sea S G un sistema de generadores de Z n. Los elementos e 1,..., e n son combinación lineal de S con coeficientes enteros (en particular, con coeficientes en Q), por tanto S es sistema de generadores del Q-espacio vectorial Q n, luego tiene al menos n elementos. Corolario Toda base de Z n tiene exactamente n elementos. Proposición Sea S = {a 1,..., a n } Z n un conjunto con n elementos, y sea A la matriz n n cuyas columnas son los elementos de S. Son equivalentes: 1. S es base. 2. S es sistema de generadores. 3. A = ±1. 8

9 Demostración: 1 2 Trivial. 2 3 Para todo i = 1,..., n, podemos escribir m 1i a m ni a n = e i. Esto implica que existe una matriz M de enteros, tal que AM = I. Pero entonces A M = 1, y como ambos determinantes son números enteros, esto sólo es posible si A = ± Si A = ±1, dado un elemento cualquiera b Z n el sistema Ax = b tiene solución única (en Q n ), y por la regla de Cramer, la solución es entera. Es decir, todo elemento de Z n se escribe de forma única como combinación lineal (con coeficientes enteros) de S. Por tanto, S es base Coordenadas Definición Sea B = {u 1,..., u n } una base de Z n. Dado un elemento a Z n, llamaremos coordenadas de a respecto de B, a la n-upla de enteros (m 1,..., m n ) tal que a = m 1 u m n u n. Escribiremos: a B = (m 1,..., m n ) Observemos cómo afectan a las coordenadas de un elemento, ciertos cambios elementales que efectuaremos en las bases. 1. Si B se obtiene de B al permutar u i y u j, entonces a B se obtiene de a B al permutar las coordenadas i y j. Esto se puede escribir a B = E i,j a B, donde E i,j es la matriz que se obtiene de I al permutar las filas i y j. (Aquí los vectores se consideran vectores columnas. De hecho, consideraremos los vectores como filas o columnas según convenga, y en el caso en que se usen en un producto de matrices, la elección será la única posible.) 2. Si B se obtiene de B al cambiar de signo u i, entonces a B se obtiene de a B al cambiar de signo la coordenada i. Esto se puede escribir a B = E i ( 1)a B, donde E i ( 1) es la matriz que se obtiene de I al cambiar de signo la fila i. 3. Si B se obtiene de B al sustituir u j por u j mu i, donde m Z, entonces se tiene: Es decir, si entonces a = m 1 u m i u i + + m j u j + + m n u n = m 1 u (m i + m m j )u i + + m j (u j mu i ) + + m n u n a B = (m 1,..., m i,..., m j,..., m n ) a B = (m 1,..., m i + m m j,..., m j,..., m n ). Por tanto, si B se obtiene de B al restar a u j, m veces u i, entonces a B se obtiene de a B al sumar a la coordenada i, m veces la coordenada j. Esto se puede escribir a B = E i,j (m)a B, donde E i,j (m) es la matriz que se obtiene de I al sumar a la fila i, m veces la fila j. 9

10 Observemos que si hacemos este tipo de transformaciones, llamadas transformaciones elementales, a una base, obtenemos otra base de Z n. Es importante notar que las matrices descritas anteriormente tienen todas determinante ±1. Como aplicar una transformación elemental a una base equivale a multiplicar el vector de coordenadas de cualquier vector por una de estas matrices, se sigue que aplicar varias de estas transformaciones elementales seguidas equivale a multiplicar por varias de estas matrices, lo que finalmente multiplica (por la izquierda) el vector de coordenadas de cualquier vector, por una matriz de determinante ± Grupos abelianos finitamente generados Teorema Sea {u 1,..., u n } una base de Z n. Dado un grupo abeliano cualquiera G, y n elementos cualesquiera α 1,..., α n G, existe un único homomorfismo de grupos f : Z n G tal que f(u i ) = α i para todo i = 1,..., n. Demostración: Dado a Z n, sabemos que a se escribe de forma única como a = m 1 u m n u n. Definimos entonces f(a) = m 1 α m n α n. Esta es una aplicación bien definida (puesto que la escritura de cada a Z n es única), y es muy sencillo demostrar que se trata de un homomorfismo. Además f(u i ) = α i para todo i = 1,..., n. Para ver la unicidad, consideremos un homomorfismo g que cumple las propiedades del enunciado. Dado a = m 1 u m n u n, al ser g un homomorfismo de grupos tendremos g(a) = m 1 g(u 1 ) + + m n g(u n ) = m 1 α m n α n, luego g es precisamente f. Teorema Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un cociente de Z n. Demostración: Si G = α 1,..., α n, tomamos f : Z n G tal que f(e i ) = α i para i = 1,..., n. Observemos que f es sobreyectiva porque α 1,..., α n = G. Por tanto, por el primer teorema de isomorfía: Z n / ker(f) = im(f) = G. El teorema anterior nos dice que estudiar los grupos abelianos finitamente generados es equivalente a estudiar los grupos cocientes de la forma Z n /H. Teorema Todo subgrupo de Z n está finitamente generado. Es más, admite un sistema de generadores con a lo sumo n elementos. Demostración: Sea H Z n. Es bien conocido que si n = 1 entonces H = m para un cierto entero m, por tanto el resultado es cierto para n = 1. Supongamos que n > 1 y que el resultado es cierto para n 1. Sea π 1 : Z n Z la proyección sobre la primera coordenada, esto es, π 1 (a 1,..., a n ) = a 1 para todo (a 1,..., a n ) Z n. Observemos que π 1 (H) Z. En efecto, dados a, b π 1 (H) existen (a, a 2,..., a n ), (b, b 2,..., b n ) H, luego (a b, a 2 b 2,..., a n b n ) H y por tanto a b π 1 (H). Tenemos entonces π 1 (H) = a para un cierto a Z. Es decir, la primera coordenada de todo elemento de H es un múltiplo de a. Además, debe existir algún elemento u 0 = (a, a 2,..., a n ) H, cuya primera coordenada sea a. Observemos que ker(π 1 ) = {(0, a 2,..., a n ) Z n } es claramente isomorfo a Z n 1. Por tanto H ker(π 1 ), que es un subgrupo de ker(π 1 ), es isomorfo a un subgrupo de Z n 1. 10

11 Pero entonces, por hipótesis de inducción tenemos H ker(π 1 ) = u 1,..., u r, con r n 1. Ya sólo queda observar que H = u 0, u 1,..., u r, ya que dado u = (m a, c 2,..., c n ) H, tenemos u mu 0 H ker(π 1 ) = u 1,..., u r, luego u u 0, u 1,..., u r. Observemos además que el número de elementos en este sistema de generadores es r + 1 n, como queríamos demostrar Forma normal de Smith Sea H Z n. Acabamos de demostrar que podemos escribir H = a 1,..., a s, donde a i = (a 1i,..., a ni ). Estudiaremos H y Z n /H usando la matriz a 11 a 1s A =.. a n1 a ns cuyas columnas son estos generadores de H. Haremos transformaciones elementales por filas y columnas para simplificar A, y así conocer la estructura de Z n /H. Para ello debemos interpretar qué implica hacer una transformación elemental por filas o por columnas. Transformaciones elementales por columnas. Una transformación elemental por columnas de una matriz A consiste en una de las siguientes acciones: 1. Intercambiar dos columnas. 2. Cambiar una columna de signo. 3. Sumar a una columna un múltiplo (entero) de otra. Hay dos observaciones importantes que hacer: La primera es que al aplicar una transformación elemental por columnas a la matriz A (cuyas columnas son unos generadores de H), simplemente estamos cambiando el sistema de generadores de H. La segunda observación es que aplicar una transformación elemental por columnas equivale a multiplicar la matriz A, por la derecha, por una matriz elemental E i,j, E i ( 1) o E i,j (m) (de tamaño s s). Por tanto, al aplicar varias transformaciones elementales por columnas seguidas estamos multiplicando la matriz A, por la derecha, por una matriz con determinante ±1. Transformaciones elementales por filas. Una transformación elemental por filas de una matriz A consiste en una de las siguientes acciones: 1. Intercambiar dos filas. 2. Cambiar una fila de signo. 3. Sumar a una fila un múltiplo (entero) de otra. En este caso, observemos que aplicar una transformación elemental por filas equivale a aplicar una transformación elemental a la base de Z n, es decir, se trata simplemente de un cambio de base. Además, aplicar una transformación elemental por filas equivale a multiplicar la matriz A, por la izquierda, por una matriz elemental E i,j, E i ( 1) o E i,j (m) (de tamaño n 11

12 n). Por tanto, al aplicar varias transformaciones elementales por filas seguidas estamos multiplicando la matriz A, por la izquierda, por una matriz con determinante ±1. Por tanto, para estudiar H y Z n /H, podemos transformar la matriz A, por filas y columnas, para simplificarla lo máximo posible. El resultado será una matriz cuyas columnas son un sistema de generadores de H, escrito respecto de una cierta base de Z n. Veamos cuánto se puede simplificar la matriz A. Teorema 1.23 (Forma normal de Smith). Sea A una matriz n s de enteros. Existe una única matriz n s de enteros S, de la forma d S = 0 d r donde d 1,..., d r > 0 y d i d i+1 para todo i = 1,..., r 1, tal que S se obtiene de A mediante transformaciones elementales de filas y columnas. Demostración: Veamos primero la existencia, dando un procedimiento para calcular S. Tomemos A. Permutando filas y columnas colocamos en la posición (1, 1) el elemento no nulo de menor valor absoluto, digamos m. Podemos considerar que m > 0, ya que si fuera m < 0 cambiamos de signo su columna. Si un elemento a 1j de la primera fila no es un múltiplo de m, sabemos que a 1j = qm + m, con 0 < m < m. Restando a la columna j, q veces la columna 1, obtenemos m en la posición (1, j). Permutando entonces las columnas 1 y j, obtenemos m < m en la posición (1, 1). Análogamente, si algún elemento de la primera columna no es múltiplo del de la posición (1, 1), podemos disminuir el elemento de la posición (1, 1) mediante transformaciones elementales por filas. Como este proceso debe parar (m no puede disminuir indefinidamente), en algún momento tendremos un elemento m en la posición (1, 1) que divide a todos los de su fila y columna. Entonces, haciendo transformaciones de tipo 3, se obtiene una matriz m M 0 Ahora, si un elemento en la posición (i, j) no es múltiplo de m, podemos sumarle a la fila 1 la fila i. Obtendremos un elemento en la primera fila que no es múltiplo de m, y podremos reducir m como antes. Repetimos el proceso hasta que m no se pueda disminuir más, y obtendremos una matriz de la forma: d M 0 12

13 con d 1 dividiendo a todo elemento de M. Si tuviéramos s = 1 (una sola columna), ya habríamos terminado. Si s > 1, por inducción en s podemos aplicar transformaciones por filas y columnas, cambiando M, hasta obtener d d s con d 1, d 2,..., d r > 0 y d 2 d 3 d r. Queda probar que d 1 d 2. Pero d 1 dividía a todo elemento de M, y esta propiedad se preserva al aplicar transformaciones elementales a M, por tanto d 1 d 2, y hemos probado la existencia de S. Veamos la unicidad. En primer lugar, el número r es precisamente el rango de A (porque las transformaciones elementales no varían el rango), luego r está determinado por la matriz original. Veamos que para todo i = 1,..., r, se tiene: i (A) = mcd ({menores de orden i de A}) = d 1 d i, y por tanto d 1,..., d r también estarán determinados por A. Para ello basta observar que una transformación elemental preserva el mcd de los menores de orden i de una matriz, y por tanto i (A) = i (S). Es fácil ver que i (S) = d 1 d i, y esto termina la demostración. Corolario Dado H Z n, existe una base B = {u 1,..., u n } de Z n y unos enteros positivos d 1 d 2 d r, tales que H = d 1 u 1, d 2 u 2,..., d r u r. Demostración: Basta transformar la matriz H en su forma normal de Smith, e interpretar el resultado. Una observación importante: Si al transformar la matriz A en su forma de Smith S, vamos aplicando las mismas transformaciones por filas a la matriz I n n, y las mismas transformaciones por columnas a la matriz I s s, obtendremos dos matrices P y Q, con determinante ±1, tales que P AQ = S Estas matrices P y Q son invertibles como matrices de enteros. Es decir, existe P 1 GL n (Z) y existe Q 1 GL s (Z). Es más, por construcción, las columnas de P 1 forman precisamente la base B = {u 1,..., u n } descrita en el corolario anterior, y las columnas de AQ son los generadores de H respecto de la base original. Es interesante observar que para conocer las primeras r columnas de P 1 no es necesario calcular la inversa de P. Basta con darse cuenta de que las primeras r columnas de AQ son precisamente d 1 u 1,..., d r u r, luego podemos calcular cada u i simplemente dividiendo por d i la columna i de AQ, para i = 1,..., r. Proposición En las condiciones anteriores, Z n /H = Z/Zd 1 Z/Zd 2 Z/Zd r Z n r 13

14 Demostración: Consideremos n r f : Z n {}}{ Z/Zd 1 Z/Zd r Z Z (m 1,..., m n ) B (m 1,..., m r, m r+1,..., m n ) La aplicación f está claramente bien definida, y es un homomorfismo de grupos sobreyectivo. Además { mi = k f((m 1,..., m n ) B ) = (0,..., 0, 0,..., 0) i d i i = 1,..., r m i = 0 i = r + 1,..., n Es decir, ker(f) = {(k 1 d 1,..., k r d r, 0,..., 0) B ; k 1,..., k r Z} = (d 1, 0,..., 0) B, (0, d 2, 0,..., 0) B,..., (0,..., 0, d r, 0,..., 0) B = d 1 u 1, d 2 u 2,..., d r u r = H. Y por el primer teorema de isomorfía: Z n /H = Z n / ker(f) = im(f) = Z/Zd 1 Z/Zd r Z n r Teorema 1.26 (de estructura de los grupos abelianos finitamente generados). Todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a un único grupo de la forma con 1 < d t d t+1 d r. Z/Zd t Z/Zd t+1 Z/Zd r Z n r Demostración: Sabemos que todo grupo abeliano finitamente generado es isomorfo a Z n /H para algún H Z n. Ahora basta aplicar el resultado anterior, y observar que si algún d i = 1 (necesariamente estos d i, si existen, serán los primeros) entonces Z/Zd i = Z/Z = {0}. La unicidad proviene de la unicidad de la forma normal de Smith. La escritura de un grupo abeliano finitamente generado G como en el teorema de estructura, se llama descomposición canónica de G como producto directo de grupos cíclicos, y los enteros d 1,..., d r se llaman factores invariantes. Terminaremos este tema con un último resultado sobre los subgrupos de Z n. Ya hemos visto que pueden ser generados con a lo sumo n elementos. Pero además podemos dar una propiedad mucho más fuerte: Todo subgrupo de un grupo libre es libre. Demostraremos esta propiedad sólo para los grupos libres finitamente generados, usando la forma normal de Smith: Teorema Todo subgrupo de Z n es isomorfo a Z r para algún r n. Demostración: Sabemos que existe una base B = {u 1,..., u n } de Z n tal que H = d 1 u 1,..., d r u r. Consideremos f : Z r Z n (m 1,..., m r ) m 1 d 1 u m r d r u r Es fácil probar que f es un homomorfismo bien definido, que es inyectivo (porque B es base) luego ker(f) = {0}, y que im(f) = H. Después basta aplicar el primer teorema de isomorfía. 14