Espacios Vectoriales

Transcripción

1 Espacios Vectoriales Pedro Díaz Navarro * Abril de 26. Vectores en R 2 y R 3 2. Espacios Vectoriales Definición (Espacio vectorial) Decimos que un conjunto no vacío V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, o K-espacio vectorial, si en él se han definido dos operaciones, llamadas respectivamente suma y producto por un escalar que pasamos a describir. La suma de dos elementos (o vectores) u, v V da lugar a otro elemento de V, que denotamos u + v. Decimos que la suma es cerrada V. Las propiedades de esta suma son: S Asociatividad. (u + v) + w = u + (v + w) u, v, w V. S2 Conmutatividad. u + v = v + u u, v V. S3 Existencia de elemento neutro. V tal que + v = v + = v v V. S4 Existencia de elemento opuesto. v V existe otro vector ( v) V talque v + ( v) =. El producto de un escalar, o elemento del cuerpo K, por un vector da lugar a otro elemento de V, y tiene las propiedades: M a(u + v) = au + av para todo a K y para todo par de vectores u, v V. M2 (a + b)u = au + bu para todo par de escalares a, b K y para todo u V. M3 a(bu) = (ab)u para todo u V y a, b K. M4 u = u para todo u V, donde es la unidad para el producto en K. * Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica

2 2 Nota : Para efectos de simplificar la notación, el elemento neutro de un espacio vectorial V se acostumbra escribir igual que el elemento neutro del campo. En el contexto se entenderá cuando el símbolo se refiere al vector V o bien al escalar K. Las primeras cuatro propiedades hacen referencia a la suma de vectores y se resumen diciendo que (V, +) es un grupo conmutativo. En este estudio asumimos K = R, si bien todos los resultados que se obtienen en este captulo son vlidos en R o C. Algunos ejemplos de espacios vectoriales son los siguientes:. El conjunto de números reales R es un espacio vectorial sobre si mismo. 2. El conjunto de Números Complejos C = {a + bi : a, b R, i 2 = } junto con las operaciones (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, a, b, c, d R. es un espacio vectorial sobre R. c(a + bi) = ca + cbi, a, b, c R. 3. El Conjunto R n, n N de n-étuples α = (α, α 2,..., α n ) junto con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalar para vectores en R n, es un espacio vectorial sobre R. 4. El conjunto de matrices M(m, n, R), m, n N con la suma usual de matrices y la multiplicacion por escalar es un espacio vectorial sobre R. En particular el conjunto de matrices cuadradas M(n, R), n N es un espacio vectorial. 5. El conjunto F([a, b]) de todas las funciones de un intervalo cerrado [a, b] en R junto con la suma y multiplicación por escalar definida por (f + g)(x) = f(x) + g(x) x [a, b], f, g F([a, b]). (c f)(x) = c f(x) c R, f F([a, b]) 6. El conjunto T n de matrices triángulares infeeriores n n con entradas en R es un espacio vectorial sobre R con la suma y multiplicación por escalar de M(n, R), n N. 7. El conjunto T n de matrices triángulares superiores n n con entradas en R es un espacio vectorial sobre R con la suma y multiplicación por escalar de M(n, R), n N. 8. El conjunto P k [x] de polinomios de grado menor o igual a k con coeficientes reales junto con las operaciones de suma y multiplicación por escalar de las funciones de R en R, es un espacio vectorial sobre R.

3 3 9. El conjunto de soluciones de un sistema homoneneo Ax = donde A es una matriz m n, x un vector columna n, junto con las operaciones usuales de R n es un espacio vectorial sobre R.. El conjunto S(n, R) de todas las matrices simétricas n n con las operaciones usuales de matrices, es un espacio vectorial sobre R.. El conjunto de todas las sucesiones de números reales {a i } i= operaciones junto con las es un espacio vectorial sobre R. {a i } i= + {b i} i= = {a i + b i } i= c {a i } i= = {c a i } i= Un buen ejercicio que se deja al lector es el verificar que los ejemplos arriba mencionados son efectivamente espacios vectoriales sobre R. Proposición En un espacio vectorial V se cumple que,. El elemento neutro es único. 2. El elemento opuesto de un vector es único. Si v V es un vector, su opuesto lo denotamos por ( v). Demostración Ejercicio. 3. Subespacios vectoriales Definición 2 Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. Se dice que W es un subespacio vectorial de V si con las mismas operaciones de suma y multiplicación por escalar W es u n espacio vectorial. Proposición 2 Sea V un espacio vectorial. Un subconjunto no vacío W de V es un subespacio vectorial de V si y solo si se satisfacen las siguientes propiedades:. Si u, v W, entonces u + v W. 2. Si c R y u W, entonces c u W. Demostración Claramente, si W es un subespacio vectorial entonces las dos propiedades se satisfacen trivialmente. Recíprocamente, supongamos que W satisface las propiedades y 2. Veamos que éstas son suficientes para probar todas las propiedades de espacio vectorial. Todas as propiedades son ciertas de forma trivial, excepto dos: la existencia de elemento

4 4 neutro y opuesto. Pero para ello basta con probar que el elemento neutro de V se encuentra en W y lo mismo sucede con el elemento opuesto de un vector de W. Por hipótesis, si u W, u = W. De la misma forma, si u W, u = (u) = u W. Por tanto W es un espacio vectorial. Algunos ejemplos de subespacios son los siguientes:. Si V es un espacio vectorial sobre R entonces el conjunto {} V es un subespacio vectorial de V sobre R llamado el subespacio trivial. 2. El conjunto de números reales R es un subespacio vectorial del espacio vectorial de los números complejos sobre R. 3. El Conjunto R n, n N de n-étuples α = (, α 2,..., α n ) junto con las operaciones usuales de suma y multiplicación por escalar para vectores en R n, es un subespacio vectorial de R n sobre R. 4. El espacio vectorial T n de matrices triángulares infeeriores n n con entradas en R es un subespacio vectorial dem(n, R), n N sobre R. 5. El espacio vectorial T n de matrices triángulares superiores n n con entradas en R es un subespacio vectorial de M(n, R), n N sobre R 6. El conjunto P 2 [x] de polinomios de grado menor o igual a 2 con coeficientes reales junto con las operaciones de suma y multiplicación por escalar de las funciones de R en R, es un subespacio vectorial de P k [x], k ge2 sobre 7. El conjunto S(n, R) de todas las matrices simétricas n n con las operaciones usuales de matrices, es un subespacio vectorial de M(n, R) sobre R. 8. U = {(x, y) R 2 ; x y = } es un subespacio vectorial de R 2. De nuevo, el lector podrá comprobar que efectivamente los ejemplos mencionados arriba son subespacios vectoriales. Nota 2 : Observe que todo subespacio vectorial de un espacio vectorial V contiene al elemento de V. De ahi que cualquier subconjunto de V que no posea al cero del espacio no puede ser subespacio vectorial de V. Proposición 3 Sea V un espacio vectorial sobre R. Sean W, W 2 subespacios vectoriales de V entonces:. W W 2 es subespacio vectorial de V. 2. si W W 2, entonces W es un subespacio vectorial de W 2.

5 5 Demostración Para demostrar. sea u, v W W 2 y c R. entonces u, v W y u, v W 2.Entonces como W y W 2 son espacios vectoriales de V la suma u + v esta en W y en W 2 por lo tanto U + v W W 2. Por otra parte, si cv W y cv W 2 y por tanto también esta en W W 2. Luego W W 2 es un subespacio de V. Para demostrar 2. note que si W W 2 y ambos son subespacios de V, por definición de subespacio se tendría que W es un espacio vectorial que es subconjunto del espacio vectorial W 2. Luego W es subespacio vectorial de W 2. Más generalmente se puede demostrar que la intersección arbitraria de subespacios de un espacio vectorial V es tambien un subespacio vectorial. Esto es, si {W i } i I con I un conjunto de índices, es una familia de subespacios vectoriales de un espacio vectorial V, entonces i I W i es un subespacio de V. Verifíquelo!! 4. Dependencia e independencia lineal Definición 3 (Combinación Lineal) Dado un conjunto de vectores v,..., v n se llama una combinación lineal de ellos a cualquier vector de la forma v = c v c n v n, donde c,..., c n son escalares, llamados coeficientes de la combinación lineal. Ejemplo Considere en IR 3 el vector columna v = los vectores, v = 3 y = 3 pues ( ) v es una combinación lineal de + 4 Definición 4 Sea V un espacio vectorial sobre R y sea S un subconjunto no vacío de V. Se define el conjunto CL(S) como el conjunto de todas las combinaciones lineales de los elementos de S. Esto es { } CL(S) = c i v i, v i V i I, c i R i I i I Si S tiene un número finito de elementos decimos que Gen(S) es finitamente generado por los vectores de S.

6 6 Proposición 4 Sea V un espacio vectorial sobre R y sea S V no vacío. Entonces Gen(S) es un subespacio vectorial de V Demostración Ejercicio. Definición 5 (Espacio Generado) Sea V un espacio vectorial sobre R. Sea S un subconjunto de V. El subespacio de V generado por los vectores de S, de denotado por Gen(S), es la intersección de todos los subespacios vectoriales de V que contienen a S. Una caracterización muy util del espacio generado por los vectores de un subconjunto S de un espacio vectorial V sobre R es la siguiente: Proposición 5 Sea V un espacio vectorial sobre R y sea S un subconjunto no vac o de V. El subespacio generado por S es el conjunto de todas las combinaciones lineales que se pueden formar con los elementos de S. Esto es Gen(S) = CL(S) Demostración Se debe demostrar la igualdad de conjuntos. Se probó que CL(S) es un subespacio vectorial de V sobre R. Como CL(S) contiene a S, pues cada elemento v i, i I de S se puede ver como la combinación lineal v i = v i + j i v j, v j S, i, j I, entonces Gen(S) esta contenido en CL(S) pues es la intersección de todos los subespacios de V que contienen a S. Luego Gen(S) CL(S). Para probar la otra inclusión, note que cualquier subespacio que contiene a S contiene todas las combinaciones lineales de los elementos de S. Luego la intersección de todos los subespacios vectoriales de V que contienen a S contiene tambien todas las combinaciones lineales de los elementos de S. Esto dice que CL(S) Gen(S), de donde se obtiene la igualdad. Definición 6 (Dependencia Lineal e Independencia Lineal ) Sea V un espacio vectorial y sean v, v 2,, v n un conjunto de vectores de V. Decimos que el conjunto {v, v 2,..., v n } es un conjunto linealmente dependiente, o bien que los vectores v, v 2,..., v n son linealmente dependienteso (ld) si existen escalares c, c 2,..., c n R no todos cero tales que c v + c 2 v c n v n = Si el conjunto {v, v 2,..., v n } no es linealmente dependiente se dice que es linealmente independiente,(l.i), o bien que los vectores v, v 2,..., v n son linealmente dependientes Nota 3 Observe que la definicion de conjunto linealmente independiente es la negación de ser linealmente dependiente esto es, que un conjunto S = {v, v 2,..., v n } es l.i si y solo si para cualquier combinación lineal de los elementos de S de la forma c v + c 2 v 2 =... c n v n

7 7 se tiene necesariamente que c = c 2 =... = c n =. Algunos resultados que son consecuencia inmediata de la definición de dependencia e independencia lineal son:. Todo subconjunto S V con V espacio vectorial que contiene al elemento V es linealmente dependiente 2. Si S, S 2 son subconjuntos de un espacio vectorial V sobre R tal que S S 2 y S es linealmente dependiente entonces S 2 es linealmente dependiente. 3. Si S es un subconjunto de un espacio vectorial V sobre R tal que S es linealmente independiente, entonces cualquier subconjunto U de S es linealmente independiente. 4. Un conjunto de vectores S V, V espacio vectorial sobre R es linealmente dependiente si alguno de los elementos de S es combinación lineal de los demás. El lector podrá probar estos resultados como ejercicio. 5. Bases y dimensión Definición 7 Sea V un espacio vectorial sobre R. Un conjunto de vectores S se llama un conjunto generador de V si todo elemento v V puede ser escrito como una combinación lineal de los elementos de S. En este caso decimos que S genera al espacio vectorial V. Si además S es un conjunto finito, decimos que V es finitamente generado por S. Proposición 6 Sea V un espacio vectorial y sea S V un conjunto generador de V, entonces cualquier subconjunto U V que contenga a S es también un conjunto generador. Demostración. El resultado es inmediato puesto que cualquier combinacion lineal de elementos de S es tambien una combinación lineal de elementos de U. Como todo elemento v de V es una combinación lineal de elementos de S pues S genera V, entonces es tambien combinación lineal de los elementos de U y por lo tanto es generado por U. Luego V es generado por U. Teorema El subespacio generado por un conjunto S no vacío de un espacio vectorial V es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S. Definición 8 Sea V un espacio vectorial sobre R. Decimos que un subconjunto S V es una base de V si S es un conjunto linealmente independiente que genera V. El espacio V es de dimension finita si tiene una base finita.

8 8 Ejemplo Una base para R 2 es el conjunto {e, e 2 } donde ( ) ( ) e =, e 2 = Note que si v = ( x y ) (x, y) R 2, x, y R entonces se puede escribir v = ( x y ) = x ( ) + y Esto indica que e, e 2 generan todo R 2. Además si se tiene una combinacion lineal de estos vectores igualada al vector cero se tiene ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) c c + c 2 = = ( Lo que dice que c = c 2 =. Luego los vectores e y e 2 son linealmente independientes. Por lo tanto {e 2, e 2 }son una base. Esta base se llama la base canónica de R 2. En general para R n, n N la base canónica está dada por {e, e 2,..., e n } donde e i, i =, 2,..., n es el vector columna que tiene un uno en la entrada i-ésima y el resto de las entradas iguales a cero. Teorema 2 sea V un espacio vectorial generado por un conjunto finito de vectores v, v 2,..., v n. Entonces todo conjunto linealmente independiente de vectores de V es finito y no contiene mas de n elementos. Este resultado es importante por cuanto nos indica que un conjunto generador que sea linealmente independiente no puede tener más elementos que el número de elementos de una base del espacio. Dicho de otra forma, si un conjunto generador S de un espacio vectorial V tiene más elementos que el número de elementos de una base entonces necesariamente S es linealmente dependiente. Del resultado anterior se desprende que es impoprtante conocer el número de elementos de una base. Mas aún, si se tienen bases diferentes B y B 2 de un mismo espacio vectorial V, como se relacionan las cardinalidades de ambas bases. El siguiente corolario nos da la respuesta. Corolario Si V es un espacio vectorial de dimension finita, entonces dos bases cualesquiera de V tienen el mismo número (finito) de elementos Como todas las bases de un espacio vectorial V tienen el mismo número de elementos, entonces se llama dimensión del espacio V al número de elementos de una base. tenemos entoncxes la siguiente definición. Definición 9 Sea V un espacio vectorial. Se llama la dimension de V al número de elementos de una base cualquiera de V y se denota por dim V. Si el espacio vectorial V tiene una base finita B que contiene n elementos se escribe dim V = n c 2 )

9 9 Un par de consecuencias que son fáciles de probar son las siguientes y su prueba se deja como ejercicio al lector: Si V es un espacio vectorial de dimensión finita dim V = n, entonces cualquier conjunto de vecrtores que contenga más de n vectores es linealmente dependiente. Ningún subconjunto de V que contenga menos de n vectores de V puede generar V. La relación entre los subconjuntos linealmente independientes y las bases de un espacio V de dimension finita se explica mediante los siguientes dos resultados Proposición 7 sea S un subconjunto linealmente independiente de un e spacio vectorial V. Supóngase que v es un vector de V que no pertenece al subespacio generado por S. Entonces el conjunto quese obtiene agregando v a S es linealmente independiente. Luego para cualquier subconjunto linealmente independiente S de un espacio V de eimension finita que no tenga tantos elementos como la dimensión del espacio siempre es posible escoger un vector no nulo que es linealmente independiente. No obstante este proceso termina en el momento en que se tengan tantos vectores como la dimensión del espacio. esto se resume en el siguiente resultado llamado el teorema de completacion de la base. Proposición 8 Si W es un subespacio de un espacio vectorial de dimension finita V, todo subconjunto linealmente independiente de W es finito y es parte de una base (finita) de W. En particular, todo subconjunto linealmente independiente S de un espacio vectorial V es parte de una base. Una base que lo contiene se obtiene agregando uno a uno elementos de V que sean linealmente independientes al conjunto que se obtienbe despues de agregar un elemento adicional. 6. Coordenadas y Cambio de base Hasta ahora hemos definido una base B para un espacio vectorial de dimension finita V como un subconjunto del espacio que es linealmente independiente y que genera el espacio. No obstante como conjunto que es el orden de aparicion de los elementos no es importante. O sea si B = {v, v 2,..., v n } = {v 2, v, v 3,..., v n}. No obstante esta forma de ver las bases se presta a confusión cuando queremos reporesentar los elementos del espacio en términos de combinaciones lineales en diferentes bases. Por tal motivo se necesita definir las bases ordenadas. Con estas será fácil determinar la relación entre las representaciones de un vector en diferentes bases.

10 Definición Si V es un espacio vectorial de dimension finita, una base ordenada B = {v, v 2,..., v n } de V es una sucesión finita de vectores linealmente independiente y que genera V. Noten que la diferencia con la definición anterior de base es que una base ordenada se define como secuencia finita y no como conjunto. Esto establece una diferencia esencial. El conjunto no necesita presentar los elementos en ningún orden en particular, en tanto que la secuencia finita es un subconjunto ordenado de una sucesión que como función de {, 2,..., n} en V establece el orden de los vectores de la base. Asi, cuando se tiene una base ordenada B = {v, v 2,... v n } de V se puede hablar de las coordenadas de un vector v V con respecto a la base ordenada B. Supongamos que V es un espacio vectorial de dimension finita sobre el cuerpo F y que B = {v, v 2,..., v n } es una base ordenada de V. Dado un vector v de V, existe un único n-étuple (c, c 2,..., c n ) de escalares tal que el vector v se escribe como la combinación lineal n v = c i v i. i= Diremos que el escalar c i es la i-ésima coordenada del vector v en la base B. El vector columna c c 2 [v] B =. c n se llama el vector de coordenadas del vector v V. Es claro que si se cambia la base B por una base B entonces cambiará el vector de coordenadas que representa el vector v. Entonces si se consideran dos bases distintas B y B cabe preguntarse como se relacionan los vectores de coordenadas [v] B y [v] B que representan al vector v V? 7. Bibliografa