Álgebra Lineal I. Espacios Vectoriales. Guillermo Garro y Araceli Guzmán. Facultad de ciencias, UNAM. Febrero, 2018

Transcripción

1 Álgebra Lineal I Espacios Vectoriales Guillermo Garro y Araceli Guzmán Febrero, 2018 Facultad de ciencias, UNAM

2 Índice 1. Espacios Vectoriales 2. Subespacios 3. Subespacios generados 4. Dependencia e independencia lineal 5. Bases y espacios de dimensión finita Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

3 Espacios Vectoriales

4 Espacio Vectorial Un espacio vectorial (o lineal) sobre un campo F, es un conjunto no vacío V, cuyos elementos son llamados vectores, en el cual están definidas dos operaciones: (a) suma de vectores: Para todos u, v V, escribimos en lugar de + : V V V. u + v +(u, v). (b) producto por escalares: : F V V Para todo α F y todo v V, escribimos αv en lugar de (α, v). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

5 Propiedades de la suma de vectores Propiedades de la suma: El sistema (V, +, 0) es un grupo conmutativo, esto es: (i) La suma es conmutativa: u + v = v + u, u, v V. (ii) La suma es asociativa: (u + v) + w = u + (v + w), u, v, w V. (iii) Existe un único neutro para la suma:!0 V ( v V)( v + 0 = v). (iv) Todo elemento de V tiene un único inverso relativo a la suma en V: v V(! v V)( v + ( v) = 0 ). Para todo u y v en V, definimos u v := u + ( v). En particular, v v = 0. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

6 Propiedades del producto por escalares: Propiedades del producto por escalares: (i) El producto por escalares puede asociarse de cualquier forma: α(βv) = (αβ)v, α, β F y v V. (ii) El neutro 1 F es neutro para el producto por escalares: 1v = v, v V. (iii) El producto por escalares se distribuye bajo la suma de vectores: α(u + v) = αu + αv, α F y u, v V. (iv) El producto por escalares distribuye la suma de escalares: (α + β)v = αv + βv, α, β F y v V. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

7 La definción de Rincón Definición (Rincón) Un espacio vectorial es una quinteta (V, +, 0, F, : F V V) tal que 1. (V, +, 0) es un grupo conmutativo (abeliano). 2. : F V V satisface las propiedades (i)-(iv) del producto por escalares. Observaciones (1) Otros autores ofrecen definiciones similares con la idea de ser formalmente más preciso. No significa que la definición usada aquí sea imprecisa, sólo es más coloquial. Ambas definiciones, la de Rincón y la nuestra, dicen lo mismo. (2) Se usa + para distinguir la suma de vectores de la suma + definida en el campo F. Nosotros, siguiendo el convenio mayormente extendido, no haremos tal distinción notacional. Haremos la distinción conceptual según el contexto. Pero conviene mantener en cuenta que se trata de cosas esencialmente distintas. (3) Mantemos un distintivo para el vector nulo, que será escrito en negritas 0, en contraste al neutro 0 del campo F. Rincón usa el distintivo de flecha 0. (4) Para nosotros bastará poner (V, F) para referirnos a un espacio vectorial. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

8 Los ejemplos triviales 1. Si X = {x} (i.e. X tiene un único elemento), definimos x + x = x. Y si F es cualquier campo, también definimos α x = x, α F. Entonces X = {x} es un espacio vectorial sobre F. Observe en este caso que el neutro para la suma de vectores es el mismo elemento x. Este es el espacio vectorial más pequeño que puede contruirse. 2. Todo campo F es un espacio vectorial sobre sí mismo. En particular, R es un espacio vectorial sobre sí mismo. 3. Más aún, un campo F es espacio vectorial sobre cualquiera de sus subcampos K F. En particular, R es un espacio vectorial sobre Q; y C es un espacio vectorial sobre R. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

9 Productos de copias de un campo F Recordemos de los cursos básicos de Geometría que los espacios lineales R n, n 1, con la suma de vectores y el producto por escalares usuales, son espacios vectoriales sobre R. Esta idea es generalizable de la forma siguiente: Dado un campo F y n 1, sea F n el conjunto de todas las n-adas ordenadas x = (x 1,..., x n) tales que x i F para toda 1 i n. Definimos la suma de dos n-adas x = (x 1,..., x n) y y = (y 1,..., y n) en F n como la n-ada x + y = (x 1 + x 2,..., x n + y n), donde x i + y i es la suma de los elementos x i y y i en el campo F, para toda 1 i n. Y si α F, definimos el producto por escalares como la n-ada α x = (α x 1,..., α x n), donde α x i es el producto de α y x i en F, para toda 1 i n. Con estas operaciones F n es un espacio vectorial sobre F. Observe que el neutro para la suma es el vector nulo 0 = (0,..., 0). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

10 El espacio de funciones en un espacio vectorial Los anteriores ejemplos son casos particulares de lo siguiente. Sea (V, F) un espacio vectorial y sea X un conjunto no vacío. Consideremos el conjunto V X = {f : X V : f es función }. Sobre V X definimos la suma de funciones del siguiente modo: Dadas dos funciones f, g : X V, la suma de f y g es la función f + g : X V tal que (f + g)(x) = f(x) + g(x), x X, donde la suma de la parte derecha de la igualdad es la suma de vectores en V. Definimos el producto por escalares del modo siguiente: Para todo α F y toda función f : X V, el producto de α con f es la función α f : X V dada por (α f)(x) = α f(x), x X, donde el producto de la derecha de la igualdad es el producto por escalares del espacio vectorial V. Entonces V X es un espacio vectorial sobre F. El neutro es la función nula f : X V tal que f(x) = 0, x X. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

11 El espacio vectorial de las matrices con coeficientes en un campo Sea F un campo y sean m, n 1 enteros. Una matriz de tamaño m n con coeficientes en F, es una función A : {1,..., m} {1,..., n} F. Generalmente escribimos A ij en lugar de A(i, j), y para la descripción de A se usa el típico arreglo rectangular También escribiremos A = (A ij ) m n. A 11 A 21 A 1n A 21 A 22 A 2n A = A m1 A m2 A mn Dadas dos matrices A = (A ij ) m n y B = (B ij ) m n, y un escalar α F, las operaciones de suma A + B y producto por escalares α A están dadas por (A + B) ij = A ij + B ij y (α A) ij = α A ij, (i, j) {1,..., m} {1,..., n}. El espacio de todas las matrices de m n con coeficientes en F se denota como M m n (F) ó F m n. El neutro es la matriz nula 0 m n cuyos coeficientes son todos iguales a 0. Observe que este es también un caso particular del ejemplo anterior. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

12 El anillo de polinomios sobre un campo Sea K un campo. Y sea K[x] el conjunto de todos los polinomios p(x) = a nx n + a n 1 x n a 1 x + a 0, donde n es cualquier entero positivo, a 0, a 1,..., a n 1, a n son constantes en K, x es un variable que toma valores en K. Entonces K[x] con la suma de polinomios y el producto por escaleres usuales, es un espacio vectorial sobre K. El neutro es el polinomio cero dado por p(x) = 0. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

13 Propiedades distributivas Lema Sea (V, F) un espacio vectorial y sean α 1,..., α n F y v V. Entonces (α α n)v = α 1 v + + α n v. Ejercicio. Lema Sea (V, F) un espacio vectorial y sean v 1,..., v n V y α F. Entonces α (v v n) = α v α v n. Ejercicio. Teorema Sea (V, F) un espacio vectorial y sean α 1,..., α n F y v 1,..., v m V. Entonces (α α n)(v v m) = α 1 v α n v m. Ejercicio. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

14 Propiedades fundamentales Teorema Si V es un espacio vectorial sobre F, entonces 1. 0v = 0, para toda v V. 2. α0 = 0, para toda α F. 3. ( 1)v = v, para toda v V. 1. Sea v V. Entonces 0 + 0v = 0v Por la ley cancelativa de la suma de vectores, = (0 + 0)v = 0v + 0v. 0 = 0v. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

15 Propiedades fundamentales Teorema Si V es un espacio vectorial sobre F, entonces 1. 0v = 0, para toda v V. 2. α0 = 0, para toda α F. 3. ( 1)v = v, para toda v V. 2. Sea α F. Entonces 0 + α0 = α0 Por la ley cancelativa de la suma de vectores, = α(0 + 0) = α0 + α0. 0 = α0. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

16 Propiedades fundamentales Teorema Si V es un espacio vectorial sobre F, entonces 1. 0v = 0, para toda v V. 2. α0 = 0, para toda α F. 3. ( 1)v = v, para toda v V. 3. Sea v V, entonces ( 1)v + v = ( 1)v + 1v = ( 1 + 1)v = 0v = 0. De donde ( 1)v = v. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

17 Consecuencias Corolario (1) Para toda α F y toda v V, α v = 0 α = 0 ó v = 0. [ ] Ya está probado. [ ] Supongamos que α v = 0. Si α 0, tomamos α 1 el inverso multiplicativo de α, y entonces v = 1v = (α 1 α)v = α 1 (αv) = α 1 0 = 0. Corolario (2) Sea (V, F) un espacio vectorial. Para toda α F y todo v V, (i) ( α)v = α( v) = α v. (ii) ( α)( v) = uv. Ejercicio Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

18 Subespacios

19 Subespacios Definición (Hoffman y Kunze) Sea V un espacio vectorial sobre el campo F. Un subespacio de V es un subconjunto W de V el cual es él mismo un espacio vectorial sobre F, con las operaciones de suma de vectores y multiplicación por escalares definidas en V. Definición (Friedberg et all.) Un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre un campo F es llamado un subespacio de V, si W es un espacio sobre F con las operaciones de adición y multiplicación por escalares definidas sobre V. Definición (Hugo Rincón) Sea (V, +, 0, F, : F V V) un espacio vectorial, y sea W V. Diremos que W es un subespacio vectorial de V si (W, + W W, 0, F, F W : F W W). Observación Un subconjunto W de un espacio vectorial sobre F es un subespacio si y sólo si, (W, +, 0) es un subgrupo conmutativo de (V, +, 0); y si W es cerrado bajo el producto por escalares y cumple las propiedades (i)-(iv) del producto por escalares. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

20 Caracterización de subespacios Teorema (Rincón y Friedberg) Si V un espacio vectorial sobre F, entonces W V es subespacio de V si y sólo si, (i) W es cerrado bajo +: Para todos u, v W, u + v W. (ii) El vector nulo en W es 0 mismo, y en consecuencia 0 W. (iii) W es cerrado bajo : Para todo α F y todo v W, α v W [ ] Supongamos que W es un subespacio de V. Las condiciones (i) y (iii) se cumplen de forma obvia a partir de la definición de subespacio. Vamos a probar (ii). Sea 0 W el vector nulo del espacio W. Sea w W cualquier vector. Tenemos 0 W + w = w = 0 + w. Por la ley cancelativa para la suma de vectores, 0 W = 0. Esto prueba que 0 W. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

21 Caracterización de subespacios Teorema (Rincón y Friedberg) Si V un espacio vectorial sobre F, entonces W V es subespacio de V si y sólo si, (i) W es cerrado bajo +: Para todos u, v W, u + v W. (ii) El vector nulo en W es 0 mismo, y en consecuencia 0 W. (iii) W es cerrado bajo : Para todo α F y todo v W, α v W [ ] Supongamos que (i), (ii) y (iii) se cumplen. En particular, por (i) se sigue que W hereda las propiedades de la suma, por lo que + es asociativa y conmutativa en W. Mientras que por (ii), se sigue 0 es el neutro en W. Así que (W, +, 0) es un monoide conmutativo. Y por (iii) se tiene en particular que w W para todo w W. Luego, (W, +, 0) es un subgrupo de (V, +, 0). También por (iii) (W es cerrado bajo el producto por escalares) se sigue que W hereda las propiedades (i)-(iv) del producto por escalares. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

22 Otra caracterización típica de subespacio Corolario (Hoffman y Kunze) Si V un espacio vectorial sobre F, entonces W V es subespacio de V si y sólo si, para todos v, w W y todo escalar α F, se cumple v + α w W. [ ] Es obvio. [ ] Supongamos que se cumple la condición del corolario. En particular, para todos v, w W, si elegimos α = 1, v + w W. Y si elegimos w = v y α = 1, entonces 0 = v v W. Finalmente, si elegimos v = 0 y α = 1, w = 0 w W. Por lo que se cumple (i), (ii) y (iii) del teorema anterior. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

23 Los ejemplos básicos Sea V un espacio vectorial sobre un campo F. 1. V mismo es un subespacio de V. Este es el subespacio más grande de V. A veces nos referimos a éste como el subespacio trivial. 2. El conjunto {0} es también un subespacio de V. Éste es el subespacio más pequeño de V, llamado subespacio nulo. 3. Si v V, entonces el conjunto de todos los múltiplos escalares de v, L (v) := {α v : α F}, es un subespacio de V. 4. Si v, w V, entonces el conjunto L (v, w) := {α v + β w : α, β F} es un subespacio de V. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

24 Combinaciones lineales Definición Dado un espacio vectorial (V, F), una combinación lineal de una colección de n 1 vectores v 1,..., v n de V, es una suma de la forma α 1 v 1 + α v α n v n, donde α 1,..., α n son escalares en F. Proposición Si v 1,..., v n son vectores de V, entonces el subconjunto L (v 1,..., v n) = {α v α n v n : α i F, 1 i n}, de todas las combinaciones lineales de v 1,..., v n es un subespacio de V. Sean a = α 1 v α n v n y b = β 1 v β n v n en L (v 1,..., v n) y sea λ F. Entonces a + λ b = (α 1 v α n v n) + λ(β 1 v β n v n) = α 1 v α n v n + λβ 1 v λβ n v n = (α 1 + λ β 1 )v (α n + λ β n)v n L (v 1,..., v n). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

25 El subespacio de las combinaciones lineales Proposición Sea S un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (V, F). Entonces el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores de S, dado por L (S) := {α 1 v α n v n : n 1; v 1,..., v n V; α 1,..., α n F}, es un subespacio de V. Observe que la suma de dos combinaciones lineales de vectores de S es una combinación lineal de vectores en S. Ahora, si elegimos arbitrariamente algún v S, entonces 0 = 0v L (S). Por último, si w = α 1 v α n v n es una combinación lineal de los vectores v 1,..., v n en S, y α es un escalar en F, entonces claramente α w = α α 1 v α α n v n es también una combinación lineal de los vectores v 1,..., v n. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

26 Subespacios de polinomios 1. Si F es un campo, entonces el espacio F[x] de los polininomios con coeficientes en F, es un subespacio del espacio F F de todas las funciones de F en F. 2. Sea x 0 F y sea P x0 = {p F[x] : p(x 0 ) = 0}. Entonces P x0 es un subespacio de F[x]. 3. Sea n 0 fijo y sea F un campo. El espacio F n[x] de todos los polinomios con coeficientes en F, de grado menor o igual a n, es un subespacio de F[x]. 3. El subespacio L (x, x 3, x 5 ) de F[x] de todas las combinaciones lineales de los monomios x, x 3 y x 5, es el conjunto de todos los polinomios de la forma p(x) = ax 5 + bx 3 + cx. 4. Sea M F[x] el conjunto de todos los monomios x n, con n 0. Podemos escribir M = {1, x, x 2, x 3,...}. Entonces L (M) = F[x]. 5. Sea M n F[x] el conjunto de todos los monomios x k, con 0 k n. Podemos escribir M n = {1, x,..., x n }. Entonces L (M n) = F n[x]. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

27 Subespacios de funciones 1. El espacio C 0 (R) de todas las funciones de R en R continuas, es un subespacio del espacio R R de todas las funciones de R en R. 2. El espacio de todas las funciones diferenciables C 1 (R) es un subespacio de C 0 (R). 3. El espacio C (1) (R) de todas las funciones diferenciables con derivada continua, es un subespacio de C 1 (R). 4. Sean a < b números reales. El espacio L 1 ([a, b]) de las funciones f : [a, b] R (Riemann) integrables en [a, b] es un espacio vectorial real. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

28 Subespacios de matrices 1. El espacio S n(f) de las matrices simétricas de tamaño n es un subespacio del espacio M n(f) de las matrices cuadradas de tamaño n. 2. El espacio T n(f) de las matrices triangulares superiormente, es un subespacio de M n(f). 3. El espacio de las matrices de traza igual a 0 es un subespacio de M n(f). 4. El espacio de las matrices diagonales D n(f) es un subespacio de M n(f). Observe que D n(f) = S n(f) T n(f). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

29 Subespacios generados

30 Intersecciones de subespacios son subespacios Teorema Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V sobre F, entonces U W es un espacio vectorial sobre F. Observación Como U y W son subespacios de V, en particular 0 U y 0 W, por lo que 0 U W. Así que U W. Sean v 1 y v 2 en U W y sea α F. En particular u 1 + αu 2 U y u 1 + αu 2 W. Por lo tanto u 1 + αu 2 U W. Teorema (Rincón / Hoffman y Kunze / Friedberg) Sea Γ un conjunto no vacío, y supongamos que para toda γ Γ, W γ es un subespacio de un espacio vectorial (V, F). Sea W = γ Γ Wγ. Entonces W es un subespacio de V. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

31 Subespacios generados Definición (Rincón / Hoffman y Kunze) Si (V, F) es un espacio vectorial y sea S V. El subespacio generado por S, es la intersección de todos los subespacios de V que contienen a S, el cual denotamos como S. En símbolos, S = {W V : W es subespacio y S W}. Observación 1. S es el subespacio más pequeño que contiene a S, en el sentido de que si W es un subespacio tal que S W, entonces S W. Esto es inmediato de la definición. (Rincón lo pone como un Teorema) 2. Si W es un subespacio de V, entonces W = W. 3. Si S R son subconjuntos de un espacio vectorial V, entonces S R. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

32 Subespacios generados por conjuntos finitos Teorema (Hoffman y Kunze) Sea (V, F) un espacio vectorial. Entonces (i) = {0}. (ii) Si v 1,..., v n V, v 1,..., v n = L (v 1,..., v n). (i) Dado que es un subespacio, 0, o equivalentemente, {0}. Por otra parte, {0}, por lo que {0}. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

33 Subespacios generados por cojuntos finitos Teorema (Hoffman y Kunze) Sea (V, F) un espacio vectorial. Entonces (i) = {0}. (ii) Si v 1,..., v n V, v 1,..., v n = L (v 1,..., v n). (ii) L (v 1,..., v n) es un subespacio que contiene a {v 1,..., v n}. Por lo tanto v 1,..., v n L (v 1,..., v n). Por otro lado, dado que v 1,..., v n es un subespacio que contiene a {v 1,..., v n}, entonces en particular, toda combinación lineal de los vectores v 1,..., v n está en v 1,..., v n. Esto es L (v 1,..., v n) v 1,..., v n. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

34 Forma general del subespacio generado Teorema (Rincón / Hoffman y Kunze) Sea S un subconjunto no vacío de un espacio vectorial (V, F). Entonces S = L (S). Es decir, el subespacio generado por S es el conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores en S. El modelo de demostración no es distinto al del teorema anterior, y por ellos se deja como ejercicio. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

35 Dependencia e independencia lineal

36 Dependencia lineal Definición (Hoffman y Kunze/Friedberg) Decimos que un subconjunto S de un espacio vectorial V es linealmente dependiente (l.d.) si existe un número finito de vectores distintos u 1,..., u n en S y escalares α 1,..., α n, no todos cero, tales que α 1 u α n u n = 0. En otras palabras, S es linealmente dependiente si existe una representación no trivial de 0 como una combinación lineal de vectores en S. Si S está constituido por un conjunto finito de vectores v 1,..., v n entonces decimos que los vectores v 1,..., v n son linealmente dependientes. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

37 Independencia lineal Definición (Hoffman y Kunze/Friedberg) Un subconjunto S de un espacio vectorial V es linealmente independiente (l.i.) si no es linealmente dependiente. En otras palabras, S es linelamente independiente si y sólo si, para cualesquiera colección finita de vectores distintos u 1,..., u n S, la única representación del 0 como combinación lineal de estos vectores es la trivial, es decir, si para cualesquiera escalares α 1,..., α n, si se cumple α 1 u α n u n = 0, entonces α 1 = α 2 = = α n = 0. Si S está constituido por conjunto finito de vectores v 1,..., v n, entonces decimos que los vectores v 1,..., v n son linealmente independientes. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

38 Los ejemplos triviales Proposición En un espacio vectorial (V, F), {0} y V son l.d. Elegimos algún escalar α 0 ( por qué podemos hacer esta elección?), y entonces tenemos α 0 = 0. Hemos probado que 0 tiene una representació no trivial de 0. Así que {0} es l.d. Observe que esta misma representación muestra que V es l.d. Proposición es l.i. Si fuera l.d., existiría una representación no trivial de 0 como una combinación lineal de vectores en, lo cual es imposible. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

39 Un par de ejercicios Teorema Sean R S subconjuntos de un espacio vectorial V. Si R el l.d. entonces S es l.d. Ejercicio. Pregunta Es cierto el recíproco del teorema anterior? Teorema Sean R S subconjuntos de un espacio vectorial V. Si S el l.i. entonces S es l.i. Ejercicio. Pregunta Es cierto el recíproco del teorema anterior? Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

40 Algunas equivalencias Proposición (Rincón) Si (V, F) es un espacio vectorial y S V, son equivalentes (i) S es l.d. (ii) Existe v S tal que v L (S\{v}). Esto es, al menos un vector de S es combinación lineal de los otros. (iii) Existe v S tal que L (S) = L (S\{v}). [(i) (ii)] Supongamos que S es l.d. Existe un conjunto finito v 1,..., v n de vectores distintos en S, tales que α 1 v α nv n = 0, donde α 1,..., α n son escalares no todos cero. Elegimos alguno de estos escalares no cero, digamos α j. De la igualdad anterior, v j = α 1 α j v 1 α j 1 v j 1 α j+1 α j α j v j+1 αn α j v n L (S\{v j }). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

41 Algunas equivalencias Proposición (Rincón) Si (V, F) es un espacio vectorial y S V, son equivalentes (i) S es l.d. (ii) Existe v S tal que v L (S\{v}). Esto es, al menos un vector de S es combinación lineal de los otros. (iii) Existe v S tal que L (S) = L (S\{v}). [(ii) (iii)] Solo debemos probar la contensión L (S) L (S\{v}). Es decir, debemos probar que toda combinación lineal de vectores en S, es una combinación lineal de vectores en S\{v}. Sean u 1,..., u n vectores en S. Si v u i, para todo i = 1,..., n, entonces es inmediato que para cualesquiera escalares α 1,..., α n, α 1 u α nu n L (S\{v}). (1) Supongamos que v = u i, para algún (o algunos) i = 1,..., n. Por hipótesis, v L (S\{v}), por lo que α i u i L (S\{v}) para cada i tal que u i = v. De donde es claro que también se sigue (1). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

42 Algunas equivalencias Proposición (Rincón) Si (V, F) es un espacio vectorial y S V, son equivalentes (i) S es l.d. (ii) Existe v S tal que v L (S\{v}). Esto es, al menos un vector de S es combinación lineal de los otros. (iii) Existe v S tal que L (S) = L (S\{v}). [(iii) (i)] Como v L (S\{v}), existen u 1,..., u n vectores en S\{v} y escalares α 1,..., α n, tales que v = α 1 u α n u n. Equivalentemente, α 1 u α n u n v = 0. Note que esta es una representación no trivial del vector 0 como combinación lineal de vectores en S. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

43 Algunas equivalencias y un corolario Proposición (Rincón) Si (V, F) es un espacio vectorial y S V, son equivalentes (i) S es l.d. (ii) Existe v S tal que v L (S\{v}). Esto es, al menos un vector de S es combinación lineal de los otros. (iii) Existe v S tal que L (S) = L (S\{v}). Corolario Si (V, F) es un espacio vectorial y S V, son equivalentes (i) S es l.i. (ii) Para todo v S, v / L (S\{v}). Es decir, ningún vector de S es combinación lineal de los otros. (iii) Para todo V S, L (S\{v}) L (S). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

44 Un teorema típico Teorema (Friedberg) Sea S un subconjunto linealmente independiente de un espacio vectorial V, y sea v V\S. Entonces S {v} es linealmente dependiente si y sólo si v L (S). [ ] Supongamos que S {v} es linealmente dependiente. Existe una colección finita de vectores distintos u 1,..., u n S {v} y escalares α 1,..., α n no todos cero, tal que α 1 u α n u n = 0. Pero como S es un conjunto de vectores linealmente independiente, se sigue que uno (y sólo uno) de los vectores u 1,..., u n debe estar fuera de S, esto es, para algún (único) i {1,..., n}, u i = v. Dado que S es l.i., se tiene que α i 0. Si despejamos de la igualdad anterior v = α 1 α i u 1 α i 1 Lo que prueba que v L (S). u i 1 α i+1 α i α i u i+1 αn α i u n. [ ] Obvio. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

45 Representación única Teorema Un subconjunto S de un espacio vectorial V es l.i. si y sólo si, cada vector v L (S) no nulo, puede ser expresado de manera única (salvo el orden de los términos) como combinación lineal de vectores en S, es decir, puede ser representado en la forma v = α v α n v n, donde los vectores v 1,..., v n S son únicos y α 1,..., α n son escalares no nulos únicos [ ] Ejercicio [ ] Supongamos que cada vector en L (S) tiene representación única como combinación lineal de vectores en S de la forma que dice el teorema. En particular, si v S entonces v = 1v es la única representación de v como combinación lineal de vectores en S. Esto significa que v no es combinación lineal de vectores distintos en S\{v}. Esto es, v / L (S\{v}). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

46 Bases y espacios de dimensión finita

47 Definición Definición Dado un subespacio W de un espacio vectorial V, decimos que S W genera a W (o que S es conjunto generador de W) si L (S) = W. Definición Una base de un espacio vectorial V, es un subconjunto B de V tal que (i) B es l.i. (Una base no tiene demasiados vectores) (ii) B genera a V, esto es, L (B) = V. (Tampoco tiene demasiado pocos) Tomada del libro Linear Algebra de Friedberg et al Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

48 Ejemplos (i) es una base para {0}. (ii) Dado un campo F y un entero positivo n 1. Para todo i = 1,..., n, definimos e i = (δ i (k)) n k=1 el vector de Fn dado por 1 si k = i, δ i (k) = 0 si k i. Entonces {e i : i = 1,..., n} es una base de F n, llamada base canónica. (iii) Sea M m n (F) el espacio de todas las matrices con coeficientes en un campo F. Para todo 1 i m y 1 j n, definimos M ij = (a kl ) m n tal que 1 si k = i y l = j, a kl = 0 en otro caso. Entonces {M ij : 1 i m, 1 j n} es una base de M m n (F) Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

49 Más Ejemplos (iv) Sea A una matriz invertible de n n con coeficientes en un campo F. Entonces los vecores columa A 1,..., A n de A son una base para el espacio de las matrices columna F n 1. (v) El conjunto {1, x, x 2,..., x n } es una base para el espacio F n[x] de polinomios de grado menor igual a n, con coeficientes en un campo F (vi) El conjunto {1, x, x 2,..., x n,...} es un base para el espacio F[x] de todos los polinomios con coeficientes en un campo F. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

50 Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales Sea (V, F) un espacio vectorial y consideremos las clases J (V) = {S V : S es l.i. } G(V) = {S V : S genera a V }. Observación (i) S J (V) v S, L (S\{v}) L (S). (ii) S G(V) W V subespacio, S W W = V. Observación Las clases J (V) y G(V) son no vacías: J (V) y V G(V). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

51 Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales Teorema (Rincón) Sea B V. Son equivalentes: (i) B es base de V. (ii) B es maximal en J (V). (iii) B es minimal en G(V). Definición Sea X un conjunto y sea F una clase de subconjunto de X, esto es F (X). 1. Decimos que A F es maximal en F si no existe B F tal que A B. 2. Decimos que A F es minimal en F si no existe B F tal que B A. Ejemplo Sea X = {0, 1, 2} y sea F = {{0}, {1}, {0, 2}}. Entonces {0, 2} es maximal en F; y {0} y {1} son minimales en F. Si H = {{0}, {1}, {2}}, entonces todos los elementos de H son maximales y minimales en H. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

52 Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales Ejemplo Consideremos el espacio vectorial (R 2, R). J (R 2 ) = { } { {(x, y)} : (x, y) (0, 0) } { {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )} : (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) } Y (x, y) Y (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) X X Los conjuntos de dos vectores {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )} no paralelos son maximales en J (R 2 ). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

53 Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales Ejemplo Consideremos el espacio vectorial (R 2, R). G(R 2 ) = { {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )} : (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) } {R 2 }. Y (x 2, y 2 ) (x 1, y 1 ) X Los conjuntos de dos vectores {(x 1, y 1 ), (x 2, y 2 )} no paralelos son minimales en G(R 2 ). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

54 Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales Teorema (Rincón) Sea B V. Son equivalentes: (i) B es base de V. (ii) B es maximal en J (V). (iii) B es minimal en G(V). [(i) (ii)] Si B es una base de V, entonces por definción B J (V). Supongamos que existe B J (V) tal que B B. Sea v 0 B \B. Dado que L (B) = V, en particular, v 0 L (B), así que B {v 0 } es l.d. Pero B {v 0 } B, por tanto B es l.d. Contradicción. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

55 Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales Teorema (Rincón) Sea B V. Son equivalentes: (i) B es base de V. (ii) B es maximal en J (V). (iii) B es minimal en G(V). [(ii) (iii)] Supongamos que B es maximal en J (B). Solo debemos probar que B es un conjunto generador de V. Si V \L (B), elegimos algún v 0 V \L (B). En particular v 0 / B, y por tanto B {v 0 } es l.d. (esto debido a que B es un conjunto maximal en la clase de todos los conjuntos l.i.). Por lo tanto v 0 L (B). Absurdo. Se debe tener entonces que V = L (B). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

56 Sistemas generedores irreducibles y sistemas libres maximales Teorema (Rincón) Sea B V. Son equivalentes: (i) B es base de V. (ii) B es maximal en J (V). (iii) B es minimal en G(V). [(iii) (i)] Si B es un conjunto minimal en G(V), entonces, para todo v B, L (B \{v}) V = L (B). Por lo tanto B es l.i. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

57 Espacios vectoriales finitamente generados Definición (Rincón) Un espacio vectorial V es finitamente generado si existe S V finito tal que L (S) = V. Teorema (Rincón) Un espacio vectorial V es finitamente generado si y sólo si, existe una base finita de V. Y si V es generado por un conjunto finito S V, entonces S contiene una base B. Supongamos que S V es un conjunto finito tal que L (S) = V. Observe entonces que S G(V). Por lo tanto hay dos casos: S es minimal en G(V) o bien no lo es. Si sucede lo primero, S mismo es una base finita de V. Supongamos que S no es minimal. Existirá entonces un subconjunto S 1 S tal que L (S 1 ) = V, esto es, S 1 G(V). Y nuevamente tendremos dos casos: S 1 es minimal en G(V), en cuyo caso S 1 es en sí mismo una base finita de V, o bien S 1 no es minimal en G(V), en cuyo caso existirá S 2 S 1 tal que L (S 2 ) = V. Y así sucesivamente... Note que este proceso debe acabar en algún momento, puesto que S es finito. Habrá entonces algún subconjunto S k S minimal en G(V), y por tanto será una base para V. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

58 Teorema del Reemplazo Teorema del Reemplazo (Rincón / Friedberg / Hoffman y Kunze) Sea V un espacio vectorial finitamente generado por un subconjunto G finito. Si J es un subconjunto de vectores de V linealmente independientes, entonces card(j) card(g). Además existe un subconjunto H de G tal que card(h) = card(g) card(j) y J H es un generador de V. Observaciones 1. Este teorema se enuncia de diversas formas en la literatura, pero la idea es exactamente la misma. La que aquí presentamos es la aparece en el libro de Hugo Rincón, que creo es la más bonita por su simplicidad. No sé si el profesor Rincón la habrá sacado de otro lado. 2. Los libros de Friedberg et al y Hoffman y Kunze presentan dos pruebas distintas a la que damos aquí, que es la que da Hugo Rincón, que creo es también muy bonita, por ser directa. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

59 Teorema del Reemplazo Teorema del Reemplazo (Rincón / Friedberg / Hoffman y Kunze) Sea V un espacio vectorial finitamente generado por un subconjunto G finito. Si J es un subconjunto de vectores de V linealmente independientes, entonces card(j) card(g). Además existe un subconjunto H de G tal que card(h) = card(g) card(j) y J H es un generador de V. Observaciones 3. La prueba de Friedberg et al. es por inducción sobre el tamaño de J. 4. La prueba de Hoffman y Kunze usa un resultado de la teoría de ecuaciones, el cual dice que cualquier sistema homogéneo de m ecuaciones con n incógnitas, con n > m (más incógnitas que ecuaciones), tiene solución no trivial. 5. Preferimos la prueba de Rincón porque presenta un algoritmo por el cual se entiende perfectamente el título que da nombre al teorema. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

60 del Teorema del Reemplazo Si J G no hay nada que hacer. Supongamos que J G. Sea v 1 J\G. Dado que G es generador de V, existen vectores u 1,..., u n en G y escalares α 1,..., α n tales que v 1 = α 1 u α n u n. Ahora, (G J) {v 1 } es l.i. porque está contenido en J. De modo que v 1 no es combinación lineal de vectores en G J. Por lo tanto, para al menos un k {1,..., n}, u k G\J y α k 0. Si reordenamos los índices podemos suponer u 1 G\J y α 1 0. Así que podemos despejar u 1 para obtener u 1 = 1 α 1 v 1 α 2 α 1 u 2 αn α 1 u n L ((G\{u 1 }) {v 1 }). Se sigue que G 1 = (G\{u 1 }) {v 1 } es un conjunto generador de V, y observe que card(g) = card(g 1 ). Tenemos así dos casos nuevamente: Si J G 1, no tenemos nada más que hacer, o bien, si J G 1, repetimos el proceso anterior. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

61 del Teorema del Reemplazo Pero en este último caso, observe que G 1 J = (G J) {v 1 }. Por lo que #(G) #(G 1 J) = #(G J) + 1 > #(G J). De modo que si tuviéramos que repetir el argumento una vez más, obtendríamos un nuevo conjunto generador G 2 tal que card(g) card(g 2 J) > card(g 1 J) > card(g J). Pero como G es finito, esta secuencia implica que el número de veces que se puede aplicar el argumento es finito. Y el proceso termina cuando encontramos un conjunto generador G m tal que J G m y card(g m) = card(g). Lo que prueba el teorema. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

62 Dimensión de un espacio finitamente generado Corolario (Rincón) Si (V, F) es finitamente generado, entonces todas las bases de V son finitas y tienen el mismo número de elementos. Sea G un conjunto generador finito de V y sean B y B dos bases de V. Por el Teorema del Reemplazo, card(b) card(g) y card(b ) card(g). En particular esto prueba que toda base de V es finita. Pero B y B también son generadores de V y subconjuntos de vectores linealmente independientes, por lo que card(b) card(b ) y card(b ) card(b). Luego, card(b) = card(b ). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

63 Dimensión de un espacio finitamente generado Definición Decimos que un espacio vectorial (V, F) es finito-dimensional (o de dimensión finita) si tiene una base finita. En cuyo caso, definimos la dimensión de V como el número (único) de vectores de cualquiera de las bases de V. Denotamos como dim(v) a la dimensión de V. Ejemplos 1. El espacio {0} tiene dimensión cero. 2. El espacio F n tiene dimensión n. 3. El espacio F m n tiene dimensión mn. 4. El espacio F n[x] tiene dimensión n El espacio (C, C) tiene dimensión 1. Una base es {1}. 6. El espacio (C, R) tiene dimensión 2. Una base es {1, i}. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

64 Dimensión de un espacio finitamente generado Corolario Si V es un espacio vectorial finito-dimensional de dimensión n, entonces cualquier subconjunto B V con más de n vectores es l.d. (en otras palabras, ningún subconjunto con más de n vectores es l.i.). Y si G V es un generador, entonces G tiene n o más vectores (en otras palabras, ningún subconjunto con menos de n vectores puede generar a V). Si B es una base de tamaño n de V, entonces para todo subconjunto B de V l.i., se tiene card(b) card(b) = n. Y si G es un subconjunto generador, entonces contiene a alguna base B, por lo tanto n = card(b) card(g). Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

65 Dimensión de un espacio finitamente generado Teorema Sea (V, F) un espacio finito-dimensional tal que dim(v) = n y sea B V. Son equivalentes: (i) B es base de V. (ii) B es l.i. y card(b) = n. (iii) B es generador de V y card(b) = n. (iv) card(b) = n y para todo v V, existe una única representación (salvo el orden de los términos) de v como combinación lineal de vectores de B. [(i) (ii)] Obvio. [(ii) (i)] Si B es un subconjunto l.i. de V tal que B B. Entonces, n = card(b) card(b ) n. En consecuencia B = B. Así que B es maximal en J (V) y por tanto una base. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

66 Dimensión de un espacio finitamente generado Teorema Sea (V, F) un espacio finito-dimensional tal que dim(v) = n y sea B V. Son equivalentes: (i) B es base de V. (ii) B es l.i. y card(b) = n. (iii) B es generador de V y card(b) = n. (iv) card(b) = n y para todo v V, existe una única representación (salvo el orden de los términos) de v como combinación lineal de vectores de B. [(i) (iii)] Obvio. [(iii) (i)] Si B es un subconjunto generador de V tal que B B. Entonces, n card(b ) < card(b ) n. En consecuencia B = B. Así que B es minimal en G(V) y por tanto una base. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

67 Dimensión de un espacio finitamente generado Teorema Sea (V, F) un espacio finito-dimensional tal que dim(v) = n y sea B V. Son equivalentes: (i) B es base de V. (ii) B es l.i. y card(b) = n. (iii) B es generador de V y card(b) = n. (iv) card(b) = n y para todo v V, existe una única representación (salvo el orden de los términos) de v como combinación lineal de vectores de B. [(i) (iv)] Ejercicio. [(iv) (i)] Pongamos B = {b 1,..., b n}. Es claro que B es un generador de V. Solo hay que probar que es l.i. Pues bien, es claro que 0 = 0 b b n. Y por hipótesis, esta es la única representación de 0 como combinación lineal de vectores de B. Luego, B es l.i. y por tanto una base. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62

68 Dimensión de un espacio finitamente generado Teorema Si (V, F) es un espacio vectorial finito dimensional y S es un subconjunto de V l.i., entonces existe una base B de V tal que S B. Ejercicio. Teorema Si (V, F) es un espacio vectorial finito dimensional y W V es un subespacio propio de V, entonces W es finito dimensional y dim(w) < dim(v). Ejercicio. Teorema Si (V, F) es un espacio vectorial finito dimensional y W V es un subespacio de V, entonces dim(w) = dim(v) si y sólo si W = V. Ejercicio. Guillermo Garro y Araceli Guzmán Facultad de Ciencias, UNAM Febrero, / 62