La noción de ley de composición

Transcripción

1 La noción de ley de composición Una operación o ley de composición, es una regla mediante la cual, de dos elementos obtenemos otro. Definición Dados tres conjuntos A, B y C definimos una operación o ley de composición* sobre A, B y C con el siguiente símbolo: : A B C Lo que significa que operamos con un elemento a A, y otro elemento b B y la operación o ley de composición proporciona un único elemento de c C. Nosotros nos limitaremos a leyes de composición donde C = A. Una operación es interna, si, tanto los elementos iniciales, como los finales pertenecen a un único conjunto. Definición Ley de composición interna sobre A, es una aplicación: : A A A Si los conjuntos de partida son diferentes entre sí, se dice que la ley de composición es externa. Definición Ley de composición externa sobre A, con dominio de operadores B, es una aplicación: : B A A *NOTA La ley de composición también se conoce como operación binaria.

2 Ejemplos de leyes de composición Sean N el conjunto de los números naturales y Z el conjunto de los números enteros. N = 1,2,3,4,5,, Z = 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,. La suma aritmética sobre N, es una ley de composición interna. El producto aritmético sobre N, es una ley de composición interna. La resta aritmética sobre N, no es una ley de composición interna si el primer elemento es menor que el segundo. La resta aritmética sobre Z, es una ley de composición interna. La operación división aritmética sobre Z, no es una ley de composición interna. Elemento neutro Sea ley de composición interna sobre el conjunto A, e A, se llama elemento neutro para, si, y solo si: e a = a e = a a A. Elemento inverso Sea ley de composición interna sobre el conjunto A, y sea tal que existe el elemento neutro e A, para. Se llama elemento inverso de a A con respecto de, al elemento a i A, tal que: a i a = a a i = e a A.

3 La noción de Estructura algebraica *Representaremos las leyes de composición mediante símbolos como,. Considera un conjunto no vacío cualquiera (matrices, polinomios, vectores, funciones, etc.) Si proporcionamos a este conjunto una, o varias leyes de composición* que relacionen a los elementos del conjunto, estamos dando a dicho conjunto, cierta estructura. La estructura, queda definida por un conjunto y por los axiomas que rigen las leyes de las que está dotada. Definición Una estructura algebraica, es un conjunto no vacío que relaciona sus elementos entre sí con un conjunto de leyes de composición 1, 2,, n. Si el conjunto de la estructura es A y tiene n leyes de composición internas definidas, esto lo representaremos mediante el símbolo: A, 1, 2,, n En lo que sigue, estudiaremos brevemente las estructuras básicas del algebra: Grupo (un conjunto y una ley de composición interna, ). Anillo (un conjunto y dos leyes de composición interna 1, 2.) Cuerpo (un conjunto con 2 leyes de composición, una interna, y otra externa ). Espacio vectorial (Dos conjuntos, con 2 leyes de composición, una interna, y otra externa ). Pero antes, veamos ejemplos de estructuras algebraicas.

4 Ejemplos de estructura algebraica 1) Las matrices cuadradas de orden 2 con entradas a ij reales. (M 2 2 R, 1, 2 ), donde las leyes de composición son*: 1 : 2 : a 11 a 12 a 21 a 22 1 b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22. a 11 a 12 a 21 a 22 2 b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 21 b 22 2) Los polinomios de grado menor o igual que dos con coeficientes reales. (P 2 x, 1 ), donde la ley de composición es: 1 : (c 1 x 2 +c 2 x + c 3 ) 1 (d 1 x 2 +d 2 x + d 3 ) = c 1 + d 1 x 2 + c 2 + d 2 x + c 3 + d 3 3) Los vectores con tres componentes reales (tres-uplas). (R 3, 1 ), donde la ley de composición es*: 1 : a 11 a 21 a 31 1 b 11 b 21 b 31 = a 11 + b 11 a 21 + b 21 a 31 + b 31. *Evidentemente "+" representa la operación suma de números reales y " ", la operación producto.

5 La noción de Grupo Definición Un grupo es un par G, donde: G es un conjunto. es una ley de composición interna sobre G, que cumple tres propiedades: 1) es asociativa, es decir, a, b, c G: a b c = a (b c) 2) Existe el elemento neutro, es decir, e G, tal que a G: a e = e a = a. 3) Existe el inverso, a i, es decir, a G a i G, tal que: a a i = e Si además el grupo G, posee la propiedad conmutativa, es decir, si a, b G: 4) a b = b a El grupo se llama grupo Abeliano o conmutativo.

6 En los siguientes ejemplos: " + ", " ", " " representan respectivamente la resta, la suma y la multiplicación aritmética. R = R 0. Ejemplos de grupos Z, + es grupo Abeliano (el neutro es el 0, y el simétrico de x Z es x). R, + es grupo Abeliano (el neutro es el 0, y el simétrico de x Z es x). C, + es grupo Abeliano (el neutro es el 0, y el simétrico de x C es x). R, es grupo Abeliano (el neutro es el 1, y el simétrico de x R es 1 ). x Ejemplos de estructuras que no son grupos R, no es grupo Abeliano (el cero no tiene simétrico). N, + no es grupo Abeliano porque sus elementos no tienen simétrico.

7 La noción de Anillo Definición Un anillo es un trío A,, donde: (A, ) es un grupo conmutativo. es una ley de composición interna sobre A, que cumple dos propiedades: 1) Es asociativa, es decir, a, b, c A: a b c = a (b c) 2) Es distributiva con respecto de, es decir, a, b, c A: a b c = (a c) (b c) El anillo A,, es conmutativo si y solo si la ley es conmutativa. El anillo A,, es unitario si y solo si la ley tiene elemento neutro. Ejemplos de anillos: Z, +, R, +, R R,,, donde a, b, c, d R: a, b c, d = a + c, b + d a, b c, d = a c, b d R R,,, donde a, b, c, d R: a, b c, d = a + c, b + d a, b c, d = a c b d, a d + b c = C

8 Definición Un anillo con identidad es un trío A,, tal que: 1) A,, es anillo. 2) Existe un elemento en A que representaremos con el símbolo I y es tal que a A: I a = a I = a Ejemplos de anillos con identidad Sea C = R R. Entonces, C,, es anillo con identidad, si a, b, c, d R: a, b c, d = a + c, b + d. a, b c, d = a c b d, a d + b c. I = 1,0. Sea M 2 2 R. Entonces, M 2 2 R,, es anillo con identidad, si: a 11 a 12 a 21 a b 11 b 12 = a 11 + b 11 a 12 + b b 21 b 22 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 21 b 22 I = a a 22

9 La noción de Cuerpo Definición Un cuerpo es un trío C,, donde: 1) C,, es un anillo conmutativo con unidad I. 2) a C 0 a i C tal que a a i = I Ejemplos de cuerpo R, +, Sea C = R R. Entonces, C,, es cuerpo con unidad I, si a, b, c, d R: a, b c, d = a + c, b + d. a, b c, d = a c b d, a d + b c. I = 1,0.

10 La noción de Espacio Vectorial Un espacio vectorial V sobre un cuerpo* K, es una estructura algebraica que esta constituida por: Un conjunto no vacío, V. Una ley de composición interna, que representaremos con el símbolo, que relaciona a los elementos del conjunto V y que llamaremos suma: V V V Una ley de composición externa, que representaremos con el símbolo, y que relaciona a los elementos del conjunto V con los elementos del cuerpo K, y que llamaremos producto por un escalar: K V V A los elementos del espacio vectorial se les llama vectores, y a los elementos del cuerpo K, escalares. Dados los vectores u, v, w V y los escalares α, β, γ K, decimos que V es un espacio vectorial sobre K, si se verifican las 8 propiedades siguientes**: 1) u v w = u v w. 2) u v = v u. 3) e V tal que u e = u. 4) u V, u i V tal que u u i = e. 5) α u v = α u α v. 6) α + β u = α u β u. 7) α β u = α β u. 8) I u = u. *El cuerpo K que trabajaremos es el cuerpo de los números reales, R o el cuerpo de los números complejos. **La expresión (α + β) representa la suma de dos números reales si K = R, o la suma de dos números complejos si K = C. El producto (α β) representa el producto de dos números reales si K = R, o el producto de dos números complejos si K = C.

11 Ejemplos de espacios vectoriales M m n El conjunto de las matrices de tamaño m n con entradas reales o complejas. P n El conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n. R n = x 1,, x n : x 1,, x n R C R El conjunto de las funciones continuas en R con la suma y el producto por escalares usuales. Ejemplo Vamos a demostrar que tenemos un espacio vectorial sobre K si: V Es el conjunto de las matrices de orden 2: V = M 2 2. K Es el cuerpo de los números reales, K = R. Es la ley de composición de matrices: a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22. Es la ley de composición externa entre reales y matrices: α a 11 a 12 a 21 a 22 = α a 11 α a 12 α a 21 α a 22. e El elemento neutro es la matriz de ceros de orden 2:e = I El elemento unidad es el uno.

12 Subespacios vectoriales Se dice que U V, es subespacio vectorial de V si: 1) Las operaciones de V también son operaciones para U 2) Con estas operaciones, U es un espacio vectorial (sobre K) Caracterización de los subespacios Si U V, es subespacio vectorial de V si y sólo si: U. u, v U α, β K (αu + βv) U NOTA Como un subespacio vectorial también debe ser un espacio vectorial, debe tener elemento nulo (propiedad 3 de un espacio vectorial). Así, definido un subconjunto de un espacio vectorial, antes de caracterizarlo, resulta aconsejable determinar si el subconjunto U tiene elemento neutro, puesto que por la propiedad 3, si no lo tiene, no puede ser subespacio vectorial.

13 El transbordador Columbia fue el primer transbordador espacial de Estados Unidos. 12 pisos de altura, 75 toneladas de peso y 10 años de investigación. Para poder ponerlo en órbita, hacen falta tres motores principales en el orbitador y un sistema de maniobra orbital llamado OMS. El vuelo requiere de una monitorización computarizada constante. El sistema de control de vuelo envía una secuencia de comandos a las superficies de control aerodinámico y a 44 pequeños impulsores de propulsión a chorro. Matemáticamente, las señales de entrada y salida a un sistema son funciones. En las aplicaciones es importante que estas funciones se puedan sumar y multiplicarse por un escalar, operaciones análogas a las operaciones de suma de vectores en R n. Por este motivo, el conjunto de todas las entradas posibles (funciones ) se denomina espacio vectorial. Tasa del Cabeceo ordenado Aceleración del Cabeceo ordenado Cabeceo ordenado K 1 Tasa del Cabeceo Error en la tasa del Cabeceo Girómetro s + + K 2 G 1 (s) G 2 (s) Cabeceo Controlador Error en la aceleración del Cabeceo Dinámica del Transbordador acelerómetro s 2 Unidad de medición inercial 1 Sistema de control del cabeceo para el transbordador espacial. Fuente: Space Shuttle GN&C Operations Manual. Rockwell International)