1. Lección 1 - Espacio Vectorial

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1 1. Lección 1 - Espacio Vectorial Definiremos espacio vectorial como la estructura algebraica consistente en: 1. Grupo abeliano {V, +, } cuyos elementos se denominan vectores. Para que los elementos de V conjunto con la operación + formen un grupo abeliano deben cumplir las siguientes propiedades: a) Propiedad asociativa. Dados tres vectores de V, se debe cumplir que v i + ( v j + v k ) = ( v i + v j ) + v k. Es decir, que debe dar el mismo resultado si se realiza la operación agrupándolos de formas distintas. b) Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos 0, que cumpla que v i + 0 = v i. Es decir, que al aplicar la operación a cualquier elemento junto con el neutro, el resultado sea el propio elemento. c) Elemento Simétrico. Debe existir un elemento, que llamamos ( v i ), que cumpla que v i + ( v i ) = 0. Es decir, que al aplicar la operación a cualquier elemento junto con el simétrico, el resultado sea el neutro. d) Propiedad conmutativa. Dados dos vectores de V, se debe cumplir que v i + v j = v j + v i. Es decir, el orden de los elementos en la operación no altera el resultado. 2. Un cuerpo conmutativo {R, +, }, cuyos elementos se denominan escalares 3. Una ley de composición externa, tal que el producto escalar por un vector (k v) de como resultado un vector (k vϵv) y que cumpla los siguientes axiomas: a) Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores: k ( v i + v j ) = k v i + k v j, b) Que sea distributivo respecto a la suma de escalares: (k i + k j ) v = k i v + k j v, 1

2 c) Que sea pseudoasociativa: (k i k j ) v = k i (k j v) d) Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo: 1 v = v Ejemplo Sea el conjunto de elementos de R 2 (son todos aquellos que tienen dos coordenadas y que cada coordenada es un numero real). Sea la operación suma de vectores definida de la forma siguiente: dados dos vectores de R 2 x = (x 1, x 2 ) e ȳ = (y 1, y 2 ) se define el vector suma como otro vector s R 2 que cumple que s = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ). Sea la operación externa producto escalar definida de la forma siguiente: dado un vector de R 2 ( x = (x 1, x 2 )) y dado un escalar k perteneciente al espacio R se define el producto escalar a otro vector p R 2 que cumple que p = (kx 1, kx 2 ). Demostrar que los tres elementos forman un espacio vectorial. Para que los tres elementos formen un espacio vectorial deben cumplir las propiedades del espacio vectorial. En primer lugar, el conjunto de elementos R 2 y la operación suma deben formar un grupo abeliano. Para ello deben cumplir las cuatro propiedades del grupo abeliano: 1. Propiedad asociativa. Sean tres elementos cualquiera de R 2, x = (x 1, x 2 ), ȳ = (y 1, y 2 ) y z = (z 1, z 2 ) deben cumplir que x + (ȳ + z) = ( x + ȳ) + z. Y operando lo que se obtiene es que (x 1, x 2 ) + [(y 1, y 2 ) + (z 1, z 2 )] tiene que ser igual que [(x 1, x 2 )+(y 1, y 2 )]+(z 1, z 2 ) y operando se obtiene que (x 1, x 2 )+(y 1 +z 1, y 2 +z 2 ) tiene que ser igual a (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) + (z 1, z 2 ) donde ya se han realizado la primera operación suma. Ahora, se realiza la segunda operación y entonces [x 1 +(y 1 +z 1 ), x 2 +(y 2 +z 2 )] debe ser igual a [(x 1 +y 1 )+z 1, (x 2 +y 2 )+z 2 ]. Dichas expresiones serán iguales si x 1 + (y 1 + z 1 ) = (x 1 + y 1 ) + z 1 y si x 2 + (y 2 + z 2 ) = 2

3 (x 2 + y 2 ) + z 2. Dichas expresiones se cumplen ya que los elementos x i, y i, z i son números reales y los numeros reales tienen la propiedad asociativa. 2. Elemento Neutro. Debe existir un elemento, que llamamos 0 = (0, 0), que cumpla que x + 0 = x. En este caso, dado el elemento neutro, debe cumplir que (x 1, x 2 ) + (0, 0) = (x 1, x 2 ) y operando se obtiene que x = x 1 y que x = x 2. Como los x i son números reales y el 0 es el neutro de los reales, dicha propiedad se cumple. 3. Elemento Simétrico. Debe existir un elemento, que llamamos ( x) = ( x 1, x 2 ), que cumpla que x + ( x) = 0. En este caso, dado el elemento simétrico, se debe cumplir que (x 1, x 2 ) + ( x 1, x 2 ) = (0, 0) y operando se obtiene que x 1 + ( x 1 ) = 0 y que x 2 + ( x 2 ) = 0. Como los x i son números reales, se cumple que la suma de un número con su opuesto da el Propiedad conmutativa. Sean dos elementos cualquiera de R 2, x = (x 1, x 2 ) y ȳ = (y 1, y 2 ), deben cumplir que x + ȳ = ȳ + x. En este caso, se debe cumplir que (x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 ) = (y 1, y 2 ) + (x 1, x 2 ) y operando, se debe cumplir que (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ) = (y 1 + x 1, y 2 + x 2 ) e igualando ambos lados se debe cumplir que x 1 + y 1 = y 1 + x 1 y que x 2 + y 2 = y 2 + x 2. Como los x i y los y i son números reales, dicha propiedad se cumple. Ahora, una vez que sabemos que R 2 y la operación suma forman un grupo abeliano, debemos comprobar que junto con la operación producto escalar, forman un espacio vectorial. Para ello debemos comprobar que se cumplen las propiedades siguientes: 1. Que sea distributiva o respecto a la suma de vectores. En este caso lo que debe cumplir es que dados dos vectores de R 2, x = (x 1, x 2 ) y ȳ = (y 1, y 2 ) y dado un escalar k se debe cumplir que k ( x + ȳ) = k x + k ȳ. Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: k ((x 1, x 2 ) + (y 1, y 2 )) = k (x 1, x 2 ) + k(y 1, y 2 ) 3

4 Operando a ambos lados se obtiene que k (x 1 +y 1, x 2 +y 2 ) tiene que se igual a (k x 1 +k y 1, k x 2 +k y 2 ) y por último, esto se cumple si k (x 1 +y 1 ) = k x 1 +k y 1 y si k (x 2 + y 2 ) = k x 2 + k y 2. Y debido a que tanto k como los x i como los y i son números reales, dicha propiedad se cumple. 2. Que sea distributivo respecto a la suma de escalares. En este caso lo que debe cumplir es que dado un vector de R 2, x = (x 1, x 2 ) y dados dos escalares k 1 y k 2 se debe cumplir que (k 1 + k 2 ) x = k 1 x + k 2 x. Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: (k 1 + k 2 ) (x 1, x 2 ) = k 1 (x 1, x 2 ) + k 2 (x 1, x 2 ) Operando a ambos lados se obtiene que [(k 1 + k 2 ) x 1, (k 1 + k 2 ) x 2 ] tiene que se igual a [(k 1 x 1, k 1 x 2 ) + (k 2 x 1, k 2 x 2 )] e igualando ambos vectores se debe cumplir que (k 1 +k 2 ) x 1 = k 1 x 1 +k 1 x 2 y que (k 1 +k 2 ) x 2 = k 1 x 2 +k 2 x 2. Y debido a que tanto k 1 como k 2 como los x i son números reales, dicha propiedad se cumple. 3. Que sea pseudoasociativa. En este caso lo que debe cumplir es que dados un vector de R 2, x = (x 1, x 2 ) y dados dos escalares k 1 y k 2 se debe cumplir que (k 1 k 2 ) x = k 1 (k 2 x). Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: (k 1 k 2 ) (x 1, x 2 ) = k 1 k 2 ( (x 1, x 2 )) Operando a ambos lados se obtiene que (k 1 k 2 ) x 1 debe ser igual a k 1 k 2 ( x 1 ) y que (k 1 k 2 ) x 2 debe ser igual a k 1 k 2 ( x 2 ). Y debido a que tanto k 1 como k 2 como los x i son números reales, dicha propiedad se cumple. 4. Que el neutro del producto del cuerpo (1) sea neutro del producto externo. En este caso lo que debe cumplir es que dado un vector de R 2 y dado el elemento neutro del cuerpo, se debe cumplir que 1 x = x. Desarrollando la expresión, se debe cumplir que: 1 (x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) 4

5 Operando a ambos lados se obtiene que 1 x 1 sea igual a x 1 y que 1 x 2 sea igual a x 2. Y debido a que los x i son números reales dicha propiedad se cumple. 5