Vectores. Marco A. Merma Jara Versión:

Transcripción

1 Vectores Marco A. Merma Jara Versión:

2 Contenido Definición Representación de vectores Magnitud de un vector Componente de un vector Vector componente Dirección de un vector Expresión cartesiana de un vector Operaciones con vectores

3 Introducción Magnitudes escalares Magnitud Unidad de medida Magnitudes vectoriales Magnitud Dirección 50 kg V= 300 m/s, NO

4 Vector Entidad matemática Módulo (magnitud) Dirección (incluye sentido) Existe en el campo de los vectores Campo matemático

5 Vector Representación de un vector Analítica (coordenadas) A(2,4, 7) Geométrica (segmento de recta orientada) B )θ

6 Vector Representación Analítica z P(2,3, 6) O(0,0,0) y x OP = P O = (2,3,6) (0,0,0) = (2,3,6)

7 Vector Representación analítica en general ( Bx, By, Bz) ( Ax, Ay, Az) AB = B A = ( B A, B A, B A) x x y y z z

8 Vector Representación geométrica Segmento de recta orientada A A Módulo del vector A ) θ θ Dirección del vector A

9 Vectores Magnitud de un vector AB ( Bx, By, Bz) B A ( Ax, Ay, Az) AB = ( B A) + ( B A ) + ( B A) x x y y z z

10 Vectores Vector unitario Magnitud es la unidad Da dirección a un segmento Esta en la misma dirección del vector uˆ A A A = A A uˆa

11 Vectores Vectores unitarios cartesianos Mutuamente perpendiculares Magnitud y dirección constantes î ˆk ĵ iˆ, ˆj, kˆ Vectores unitarios en los ejes x,y,z respectivamente

12 Vectores Expresión cartesiana de un vector ( Ax, Ay, Az) (0,0,0) A = A iˆ + A ˆj + A kˆ x y z

13 Ejemplo Expresión Cartesiana y B = 3iˆ + 5ˆj + 8kˆ z x

14 Componentes de un vector z Si A es un vector A( A, A, A) A z x y z A x O(0,0,0) x A, A A: Componentes del vector A x y z A y y

15 Componentes de un vector Si B es un vector B = Biˆ + B ˆj + Bkˆ x y z Componente En el eje x Componente En el eje y Componente En el eje z La componente de un vector es una longitud

16 Vector componente Si A es un vector A ˆ x = Ai x A ˆ y = Ayj A = Akˆ z z A x x Ax, Ay, Az A z z O(0,0,0) Vectores componentes en los ejes x,y,z A( Ax, Ay, Az) A y y

17 Dirección de un Vector En 3D z A z A x α γ β A = Aiˆ + A ˆj + Akˆ A y x y z y α, β, γ:ángulos directores

18 Cosenos Directores Si A es un vector en 3D Módulo A = Aiˆ + A ˆj + Akˆ x y z A = A + A + A x y z Vector Unitario A A A A uˆ = = x iˆ + y ˆj + z kˆ A A A A A

19 Cosenos Directores Si es el vector unitario del vector A A A A A uˆ = = x iˆ + y ˆj + z kˆ A A A A A cosα cos β cosγ

20 Dirección de un vector En 2D y A( Ax, Ay) Ay = Asenθ tgθ = A A y x )θ A = Acosθ x θ x A y = arctg Ax

21 Operaciones con vectores En el campo de los vectores Suma (Resta) Producto Escalar Vectorial No está definido División de Vectores

22 Suma y Resta de Vectores Suma y Resta Método Analítico Si A y B son vectores S es el vector Suma D es el vector resta A= Aiˆ + A ˆj + Akˆ x y z B = Biˆ + B ˆj + Bkˆ x y z S = A + B = ( A + B ) iˆ + ( A + B ) ˆj + ( A + B) kˆ x x y y z z D = A B = ( A B ) iˆ + ( A B ) ˆj + ( A B) kˆ x x y y z z

23 Suma y Resta de Vectores Ejemplo A = 4iˆ + 6ˆj 10kˆ B = 3iˆ + 8ˆj + 2kˆ S = A + B = (4 3) iˆ + (6 + 8) ˆj + ( ) kˆ D = A B = (4 + 3) iˆ + (6 8) ˆj + ( 10 2) kˆ

24 Suma y Resta Vector negativo Si A es un vector, entonces existe un vector A, talque A+ (-A) = 0 A A

25 Producto de Vectores Producto escalar A, y B son vectores Se denomina también Producto Punto Producto Interno A= Aiˆ + A ˆj + Akˆ x y z B = Biˆ + B ˆj + Bkˆ x y z A B = AB + AB + AB x x y y z z

26 Producto escalar Interpretación Geométrica )θ Acosθ B A B = ( Acos θ) B = ABcosθ A B La contribución del vector A en la dirección del vector B

27 Producto Escalar Propiedades iˆ iˆ = ˆj ˆj = kˆ kˆ = 1 iˆ ˆj = ˆj kˆ = kˆ iˆ = 0 A A = A = A 2 2 A B = B A Módulo de un vector Conmutativa

28 Producto vectorial Si A y B son vectores C = A B )θ C = A B B A

29 Producto Vectorial Si A y B vectores A = Aiˆ + A ˆj + Akˆ x y z B = Biˆ + B ˆj + Bkˆ x y z iˆ ˆj kˆ A B = A A A x y z B B B x y z

30 Producto vectorial Interpretación geométrica C = A B B )θ Bsenθ A C = área = ABsenθ

31 Producto vectorial Propiedades iˆ ˆj = kˆ ˆj kˆ = iˆ ĵ kˆ iˆ = ˆj iˆ iˆ = ˆj ˆj = kˆ kˆ = 0 ˆk î

32 Triple producto escalar Dado tres vectores A,B,C El triple producto escalar da como resultado un escalar A B C

33 Triple producto vectorial Dado tres vectores A,B,C el producto triple es A ( B C ) Propiedades A ( B C) = ( A C) B ( A B) C

34 Ecuación del plano Ecuación del plano r r r o ( r r) k = 0 o x z y r o Vector dirección del plano k = ( kx, ky, kz)

35 Ejercicio Si A,B,C son vectores, mostrar la expresión conocida como propiedad distributiva A ( B + C) = A B + A C B + C ) β )α B θ C A

36 Referencias Física Universitaria, Vol2, Sears, Zemansky, Young, Fredmann, Addison Longman, México, 1999 Física I, Mecánica, Notas de Aula, Marco A. Merma Jara, Lima 2013