Tema 2: Vectores Libres*

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1 Tema 2: Vectores Libres* Física I Grado en Ingeniería Electrónica, Robótica y Mecatrónica (GIERM) Primer Curso *Prof.Dr. Antonio González Fernández y Prof.Dra. Ana Mª Marco Ramírez 1 Las magnitudes físicas se dividen en escalares, vectores y tensores Las diferentes magnitudes pueden ser: Escalares Se caracterizan sólo por un número (con signo) Vectoriales Módulo (cantidad escalar positiva) Dirección Sentido Tensores de orden superior Representables por matrices 2

2 Todas las leyes físicas poseen homogeneidad en sus expresiones En todas las ecuaciones debe haber homogeneidad: Los dos miembros son del mismo tipo Todos los sumandos son del mismo tipo Un escalar nunca puede ser igual a un vector Un escalar nunca puede sumarse a un vector A BC A BC A BC A BC Correcto Incorrecto Para distinguirlos, es importante incluir las flechas ( A ). En los libros, los escalares van en cursiva (A) y los vectores en negrita (A) 3 Operaciones internas con cantidades escalares: suma y producto Pueden sumarse El resultado es un escalar Requiere que los sumandos tengan las mismas unidades El resultado tiene las mismas unidades que los sumandos Ejemplo: masa de un sistema Pueden multiplicarse i1 El resultado es un escalar Sus unidades son el producto de las de los factores n M m m m m M dm La suma y el producto poseen las propiedades asociativa y conmutativa. i V 4

3 Vector: ente que posee una dirección y un sentido Es un ente que además de su valor escalar (módulo) posee dirección y sentido. Ej.: Fuerza Un vector puede darse indicando Módulo y dos ángulos con los ejes (un ángulo en 2D) Componentes respecto a una base (siempre hay que indicar la base) F 3 2jk N 5 Tipos de vectores Los vectores pueden ser libres, ligados o deslizantes, dependiendo de la información necesaria para describirlos: Los ligados requieren dar módulo, dirección, sentido y punto de aplicación (origen) (ej. campo eléctrico) Los deslizantes requieren dar módulo, dirección, sentido y recta soporte, pero no punto de aplicación (pueden deslizarse sobre su recta soporte, definida por el punto de aplicación y la dirección del vector) (ej. fuerzas sobre un sólido rígido) Los libres sólo requieren dar módulo, dirección y sentido (pueden trasladarse de un punto a otro) (ej. resultante del conjunto de fuerzas que actúan sobre un sólido rígido) 6

4 Los vectores pueden sumarse, empleando la regla del paralelogramo Los vectores pueden sumarse, resultando un vector. Ej. Resultante de dos fuerzas B A A A B A B A B B Puede emplearse la regla del paralelogramo o poner uno a continuación del otro. Para que se puedan sumar deben ser libres o tener el mismo origen La suma verifica la propiedad asociativa y la conmutativa 7 Los vectores pueden multiplicarse por cantidades escalares Un vector puede multiplicarse por un número. Ej. fuerza eléctrica sobre una carga puntual F qe A 3A 3 = El resultado es otro vector Misma dirección Mismo sentido, si q>0. Opuesto, si q<0 Módulo igual a F q E 8

5 Combinaciones lineales: unen suma y productos por escalares Reuniendo la suma de vectores y la multiplicación por escalares se obtienen las combinaciones lineales. Ej. Cantidad de movimiento de un sistema n p mv mv mv mv p vdm i1 i i M A B 2A 2A 3B 3B Al expresar las componentes de un vector en función de una base se hace una combinación lineal A 2i 3j k 9 Normalización Una vez definido el producto de un vector por un escalar, para obtener un vector unitario con la dirección y sentido de uno dado, basta con dividir dicho vector por su módulo (normalización): a u, u u 1 a 10

6 Base ortonormal dextrógira Si en E 3 tomamos tres vectores unitarios y ortogonales entre sí, u 1, u 2, u 3, construimos una base ortonormal: cualquier vector puede escribirse como combinación lineal de los vectores de la base. Los vectores de la base generan todos los demás. A Au A u Au Dados los vectores ortonormales, uuu 1, 2, 3, que forman una base ortonormal, decimos que se trata de una base ortonormal dextrógira si se cumple la regla de la mano derecha. 11 Componentes de un vector Dada la base, jk,, formada por tres vectores unitarios ortogonales en las direcciones de los tres ejes cartesiano, cada vector puede escribirse como combinación lineal de dicha base: r x yjzk Al cambiar de base cambian las componentes, pero NO cambia el vector r x yj zk Y Y r Por eso no se deben y X indicar los vectores como j (x,y,z): hay que indicar j y siempre la base. X 12

7 Coordenadas cartesianas de un punto Dado el punto P, su vector posición respecto al origen de coordenadas puede expresarse en función de los vectores de la base, jk, r OP p p j pk P x y z La posición relativa del punto Q respecto al P, PQ, sería: rq OQqx qyjqzk PQ OQ OP q p q p j q p k x x y y z z 13 Producto escalar: operación entre vectores que produce un número Dos vectores pueden multiplicarse, resultando un escalar (ej. Trabajo realizado por una fuerza constante) F r F r cos donde α es el ángulo que forman F y r El producto escalar se anula si los vectores son ortogonales. Si tenemos las componentes en una base ortonormal F Fi x Fy j Fk z F r FxxFyyFzz r xi y j zk 14

8 Producto escalar: propiedades El producto escalar es conmutativo El producto escalar NO es asociativo No se puede definir el producto escalar de tres vectores Se verifica la desigualdad A BC ABC El producto escalar es lineal (se pueden quitar paréntesis ) F F r F r F r Producto escalar de los vectores de la base Para los vectores siendo ik u, u, u se cumple: 1 i k ui uk ik 0 i k la delta de Kronecker. Por eso, el producto escalar, componente a componente, de dos vectores, se puede escribir: A B AB A B A B siendo (A 1,A 2,A 3 ) y (B 1,B 2,B 3 ) las respectivas componentes de los vectores A y B en la base u, u, u

9 Producto escalar: aplicaciones Módulo de un vector: a aa a a a Distancia entre dos puntos: dpq, PQPQ qp qp qp Cosenos directores: a ui ai cos i i 1,2,3 a a1 a2 a cos cos cos Producto escalar: ecuación vectorial del plano Plano que pasa por el punto P 0 (x 0,y 0,z 0 ), de vector posición r0 x0 y0j z0k y es normal al vector N A Bj Ck Dado el punto P (x,y,z), perteneciente al plano, con vector posición r x yj zk, entonces NPP N r r es la ecuación vectorial del plano Desarrollando, se obtiene la ecuación implícita: N r N r Ax By Cz Ax By Cz D

10 Aplicaciones: El arco capaz Dado un diámetro de una circunferencia y un punto de, el ángulo es recto A C P B 0 19 Producto vectorial: operación entre vectores que produce otro vector Dos vectores se pueden multiplicar dando como resultado un vector. Ej. momento de una fuerza M r F Módulo M rf r F sen Dirección: la perpendicular a y a Sentido: el dado por la regla de la mano derecha r (Área del paralelogramo definido por los vectores) F M r α F M 20

11 Producto vectorial: propiedades El producto vectorial es anticonmutativo rf Fr El producto vectorial NO es asociativo ABC ABC El doble producto vectorial A B C es una combinación lineal de B y C que veremos más a fondo en su propio apartado. Cumple la propiedad distributiva respecto a la suma a b c a b a c Cumple la propiedad cancelativa xaxb abtx siendo t un parámetro real 21 Producto vectorial de los vectores de la base Para la baseu1, u2, u3 u u u u u u u u u u u u u Para la base, j, k i k k i 0 j k k j j k j j 0 jk k j k j kk 0 22

12 Producto vectorial: expresión a partir de las componentes El producto vectorial se anula si los vectores son paralelos Si se conocen las componentes cartesianas, puede calcularse mediante un determinante i j k r xi yj zk r F x y z F Fi x Fy j Fk z F F F x y z y z x z x y i j k Fy Fz F F x Fz x Fy yf zf i zf xf j xf yf k z y x z y x 23 Producto vectorial: ecuación vectorial de la recta Recta r que pasa por el punto P 0 (x 0,y 0,z 0 ) con vector de posición r0x0 yj 0 zk 0 y que va en la dirección del vector v0 vx vyjvk z Dado el punto P (x,y,z), perteneciente a la recta, con vector posición r x yj zk, entonces v0 P0P v0 P0P v0 r r0 0, ecuación vectorial de la recta La ecuación paramétrica, usando la propiedad cancelativa: v 0r v 0r 0r r 0tv 0, siendo un t parámetro real Y eliminando el parámetro, ecuaciones continuas: x x0 y y0 z z0 v v v x y z 24

13 Producto mixto: unión de un producto escalar y uno vectoriales Dados tres vectores puede calcularse su producto mixto A, BC, A B C Su valor absoluto es igual al volumen del paralelepípedo que tiene por aristas esos tres vectores A B C B C proy AVolumen BC B C A A B C 0 los tres vectores son coplanarios 25 Producto mixto: propiedades Permutabilidad cíclica: A BC B C A C AB Antipermutabilidad cíclica: A BCB AC Pueden intercambiarse los signos de producto A B C A B C Puede hallarse como un determinante A A A A B C B B B x y z x y z C C C x y z 26

14 Producto mixto: aplicaciones Producto mixto de los vectores de una base ortonormal dextrógira, uuu 1, 2, 3: u u u En particular, jk1 Dependencia lineal: Si abc 0 (los tres vectores son coplanarios), entonces se puede poner uno de los tres vectores como combinación lineal de los otros dos. Por tanto, tres vectores, abc,,, constituirán una base vectorial de E 3 si, y sólo si, a bc 0 27 Producto mixto: ecuación del plano Ecuación del plano,, que pasa por tres puntos no lineados P 1 (x 1,y 1,z 1 ), P 2 (x 2,y 2,z 2 ) y P 3 (x 3,y 3,z 3 ). Todo punto P (x,y,z) que pertenezca al plano cumple la ecuación: xx1 yy1 zz1 0PP PP PP x x y y z z x x y y z z

15 Doble producto vectorial: definición Dados tres vectores, es el producto vectorial entre el primero y el vector resultante de multiplicar vectorialmente el segundo y el tercero. El vector que resulta es una combinación lineal del segundo y el tercero, así: A BC AC B AB C A B C C A B AC B C B A 29 Doble producto vectorial: propiedades No cumple la propiedad asociativa: A BC AC B AB C A B C C A B AC B CB A Satisface la identidad de Jacobi: A BC B CA C AB 0 30

16 Doble producto vectorial: aplicaciones Desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales: A B C D C D A B C BDA ADB AC BD AD BC Descomposición de cualquier vector A en una componente tangencial y otra ortogonal respecto de otro vector V no nulo: A A A 2 AVVVVAVAV VV AVAV V A A VV AVV AVV AVV A A, 2 2 t A 2 n 2 V V V V t n 31 Observaciones finales Los vectores y los escalares son entes diferentes que no deben igualarse ni sumarse Suma de escalares: escalar Suma de vectores: vector Al hacer un producto debe observarse qué factores y de que tipo de producto se trata Producto de escalares: escalar Escalar por un vector: vector Producto escalar de vectores: escalar Producto vectorial de vectores: vector Los vectores son independientes de la base 32