3. VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen.

Transcripción

1 ANÁLISIS VECTORIAL Semana VECTOR. Se representa mediante un segmento de recta orientado. En física sirve para representar a las magnitudes físicas vectoriales. Se representa por cualquier letra del alfabeto con una pequeña flecha en la parte superior. Todo vector tiene dos elementos fundamentales: el modulo la dirección. El módulo representa el tamaño o valor de la cantidad vectorial. La dirección representa la orientación del vector respecto del sistema coordenado cartesiano u otro sistema coordenado.. VECTORES UNITARIOS CARTESIANOS EN EL ESPACIO. El vector unitario es aquel que tiene como módulo o tamaño la unidad de medida. Los vectores cartesianos son: î : tiene dirección del eje X positivo. î : tiene dirección del eje X negativo. ĵ : tiene dirección del eje Y positivo ĵ : tiene dirección del eje Y negativo kˆ : tiene dirección del eje Z positivo. kˆ : tiene dirección del eje Z negativo. El módulo de cada vector unitario es igual a la unidad de medida: i ˆ ˆj kˆ 1 Los tres vectores unitarios son mutuamente perpendiculares: iˆ ˆj kˆ En el espacio tridimensional el vector a tiene tres componentes: a ( a ; a ; a ) a iˆ a ˆj a kˆ x z x z EJEMPLO 01: Se tiene un vector a 3iˆ 1 ˆj 4 kˆ. Determine el módulo del vector. Resolución Si graficamos el vector obtenemos un paralelepípedo, entonces el módulo del vector es igual al tamaño de la diagonal. a a 13 Respuesta: el módulo del vector es VECTOR UNITARIO DIRECCIONAL. Cada vector tiene su respectivo vector unitario. El vector unitario es paralelo a su respetivo vector de origen. uˆ a a a a. uˆ En general se puede obtener un vector unitario en una dirección determinada, relacionado dos o más vectores.

2 EJEMPLO 0: Determine el vector unitario del vector: A 3 i 4 j 1 Resolución A 3 i 4 j 1 k El vector unitario se define como: uˆ A 13 k El vector unitario es: uˆ i 13 1 j 13 k 4. COSENOS DIRECTORES. Son las componentes del vector unitario en el sistema coordenado cartesiano. En el sistema cartesiano tridimensional vector a tiene tres componentes rectangulares: a ( a ; a ; a ) a iˆ a ˆj a kˆ x z x z Designamos con, los ángulos que el vector a hace con los ejes cartesianos X, Y Z, respectivamente. Tenemos tres componentes: a x a. Cos, a a. Cos, a z a. Cos (1) Cálculo del módulo del vector: a x a a a () reemplazando (1) en () tenemos: x Cos Cos Cos 1 Entonces el vector unitario de a es: u ˆ Cos ; Cos ; Cos EJEMPLO 03: Calcular los cosenos directores del vector A 1 i 15 j 16 k. Cálculo del módulo del vector: a uˆ A 1 i 1 5 j 1 6 k 0, 4 8 i 0, 6 j 0, 6 4 k A u Cos ; Cos ; Cos Comparando tenemos que: C o s 0, 4 8, C o s 0, 6, C o s 0, 6 4 ˆ 5. PRODUCTO ESCALAR. Dado los vectores A, su producto escalar o interno se representa por A, se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman, esto es: A A..C o s. A.C o s, donde 0 Debemos enfatizar que A es un número real, (positivo, negativo o nulo), no un vector. Dado los vectores: A a.i a. j a.k b.i b. j b.k A a.b a.b a.b PROPIEDADES

3 Se cumple la propiedad conmutativa: A A Propiedad Distributiva: A C A A C Vectores paralelos: i i j j k k 1 Vectores ortogonales: i j j k i k 0 A A a a a 1 3 b b b Cuadrado del módulo: 1 3 A A A Si A 0 ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares. EJEMPLO 04: Los vectores a b De la definición: a b forman entre si un ángulo de 10. Sabiendo que a 3 b 4. Calcular: a b a. b.c o s 3 4 C o s EJEMPLO 05: Para qué valores de m los vectores a m.i 3 j k b 1 i j m.k son perpendiculares entre sí? De la definición: a a.i a. j a.k b b.i b. j b.k a b a.b a.b a.b De la condición: Si a b 0 ninguno de los vectores es nulo, ambos son mutuamente perpendiculares. Entonces: m m 0 Resolviendo: m 6 6. PRODUCTO VECTORIAL. Dado los vectores A, su producto vectorial o externo se representa por otro vector C, que se denota como C A. Su módulo se define como el producto de sus módulos por el seno del ángulo que forman entre sí, esto es: A A..S en, donde 0 Debemos enfatizar que C es perpendicular al plano formado por los vectores A. Regla de la mano Derecha: los dedos giran desde la dirección del vector A hacia la dirección del vector el dedo pulgar coincide con el vector C. El la figura el ángulo gira en el sentido desde A hacia.

4 PROPIEDADES I. Si A 0, entonces los vectores tienen la misma dirección o son paralelos. II. Anti conmutativo: A A III. Propiedad Distributiva: A C A A C IV. Vectores paralelos: i i j j k k 0 V. Vectores ortogonales: i j k, j k i, k i j VI. Dado los vectores: A a.i a. j a.k b.i b. j b.k entonces se cumple que: i j k A a a a 1 3 b b b 1 3 El área del paralelogramo formado por los vectores concurrentes A es: A rea d el p arale lo g ram o A El área de la región triangular formado por los vectores A es: A re a d e l tria n g u lo A EJEMPLO 06: Los vectores a b De la definición: a b forman entre si un ángulo de 30. Sabiendo que a 6 b 5. Calcular: a b a. b.s en 6 5 S en EJEMPLO 07: Dado los vectores A 3 i 1 j k 1 i j 1 k determinar las componentes vectoriales de: A De la definición del producto vectorial entre dos vectores: i j k A a a a 1 3 b b b 1 3 i j k i j k A 5 ˆ i 1 ˆ j 7 k ˆ EJEMPLO 08: Se conocen los vértices de un triángulo: A (0; 0; 0), (3; 0; 0) C (0; 4; 0), calcular el área de la región definida por el triángulo de vértices A, C. Sean los vectores A A C donde A 3; 0; 0 A C 0; 4; 0

5 i j k A A C a a a 1 3 b b b 1 3 i j k ˆ i ˆ j kˆ A A C 1 kˆ El valor o módulo es: A A C 1 A A C 1 A re a d e l tria n g u lo 6 Respuesta: el área de la región triangular es 6 unidades cuadradas. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices de un triángulo: A (; -1; ), (1; ; -1) C (3; ; 1), determinar las componentes vectoriales de: A C Determinamos las componentes de cada vector: A 1; 3; 3 C ; 0; i j k A C A C 6 ˆi 4 ˆj 6 kˆ ˆ i ˆ j kˆ TRIPLE PRODUCTO ESCALAR. Por medio del productos escalar vectorial de tres vectores A, C se forma: A C A A A 1 3 A C PROPIEDADES: 1 3 C C C 1 3 I. El producto triple escalar es un número real: A C n ú m ero real II. A C C A C A III. El valor del triple producto escalar representa el volumen de un paralelepípedo de aristas A, C. EJEMPLO 09: Se conocen los vértices A (4; 0; 0), (0; 5; 0), C (0; 0; 3) D (0; 0; 0) calcular el volumen del sólido de vértices A,, C D. Sean los vectores D A 4; 0; 0, D 0; 5; 0, D C 0; 0; 3 El valor del triple producto escalar representa el volumen de un paralelepípedo de aristas D A, D D C.

6 A A A 1 3 D A D D C 1 3 C C C Respuesta: el volumen del solido es 60 unidades cúbicas. EJEMPLO 10: Se dan los vectores a 1 i 1 j 3 k, b i j 1 k c 3i j 5 k. Determinar: a b c De la definición del producto vectorial entre dos vectores: i j k a b a a a 1 3 b b b 1 3 i j k i j k 1 1 a b 7 ˆ i 7 ˆ j 0 k ˆ Cálculo de: a b c 7 ; 7 ; 0 3; ; TRIPLE PRODUCTO. Por medio de productos vectoriales de tres vectores A, C se pueden formar productos como: A C, A C o vector. PROPIEDADES: I. No se puede asociar: A C A C II. A C A C A C III. A C A C C A EJEMPLO 11: Sean los vectores A 4; 0; 0, 0; 5; 0, C 0; 1; 3 A C se obtiene el mismo resultado? Primer caso: A C i j k C C A, en todos estos casos el resultado es otro, determine A C ˆ i ˆ j kˆ Cálculo de A C 4; 0; 0 1 5; 0; ˆi 0 ˆj 0 kˆ

7 i j k A ˆ ˆ ˆ C i 0 j 0 k Segundo caso: i j k A A C ˆ i ˆ j kˆ Cálculo de A C 0; 0; 0 0;1; 3 0 ˆi 0 ˆj 0 kˆ i j k A ˆ ˆ ˆ ˆ C i 0 j 0 k 0 i Es importante hacer notar que: A C A C 9. PROYECCIÓN DE UN VECTOR. La proección del vector A sobre el vector, es otro vector paralelo al vector que se denota del siguiente modo: A P r o e c A. Al módulo de la proección del vector A sobre el vector se le denomina Componente del vector A sobre el vector. C o m p A A P r o ec A C o m p A. ˆ P r o ec A C o m p A. u EJEMPLO 11: Determina las componentes rectangulares del vector m, sabiendo que es perpendicular a los vectores F 1 i 3 j 1 k F 1 i j 3 k además satisface a la condición: m 1 i j 7 k 1 0 Sea m q F F 1 pero F F 1 la condición: m 1 i j 7 k 1 0 la condición: q 7 ; 5; 1 1 ; ; Resolviendo la ecuación tenemos que: q 1 i j k 1 3 ˆ ˆ ˆ i 5 j 1 k 7 ; 5; 1

8 m 1 F F 7 ˆi 5 ˆj 1 kˆ Respuesta: 1 P r o ec m 7 ˆi, x P r o e c m 5 ˆj, P r o ec m z 1 kˆ PROLEMAS RESUELTOS DE VECTORES 1. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: a b c d Qué ángulo forman a b a b c d? c d Los vectores son: a 3 ˆi ˆj, b 1 ˆi ˆj, c ˆi ˆj, d ˆi ˆj Cálculo de: a b ˆ 4 i 0 j ˆ c d 0 i 4 j Piden: a b c d 4; 0 0; 4 0 Respuesta: a b c d forman un ángulo recto.. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: a b a c Qué ángulo forman a b a c? b 1 c a 1 Los vectores son: a 3 ˆi ˆj, b 4 ˆi ˆj, c 3 ˆi 1 ˆj Cálculo de: ˆ ˆ a b 7 i 0 j a c 0 ˆi 1 ˆj Piden: a b a c 7; 0 0; 1 0 Respuesta: a b a c forman un ángulo recto. 3. Se muestra un conjunto de vectores. Sabiendo que A m. n.c, donde m n son números reales. Determine m n A C Los vectores son: A ˆi 1 ˆj, 0 ˆi 1 ˆj, C 1 ˆi 1 ˆj Reemplazamos en la relación: A m. n.c, entonces ; 1 m. 0; 1 n. 1; 1

9 ; 1 n ; m n comparando las coordenadas cartesianas tenemos que: n 1 m n resolviendo m 3 Respuesta: m n 1 4. Verificar que los cuatro puntos A 3; 1;, 1; ; 1, C 1; 1; 3 D 3; 5; 3 son los vértices de un trapecio. Para formar vectores a partir de dos puntos en el espacio: A x x ; ; z z entonces: A ; 3; 3, C ; 1;, C D 4 ; 6 ; 6, D A 0 ; 4 ; 1 Comparando las coordenadas de los vectores A ; 3; 3 C D 4; 6; 6 K 1 entonces A K.C D Entonces A CD son paralelos, por consiguiente ACD es un trapecio. 5. Para qué valores de los vectores a ˆi 3 ˆj kˆ b ˆi 6 ˆj kˆ son colineales? Si a b sus componentes en los ejes cartesianos serán proporcionales: Reemplazando tenemos que: 3 K 6 Resolviendo se tiene que: 4 1 x 1 1 z 1 x z K

10 PROLEMAS PROPUESTOS DE VECTORES 1. Calcular el módulo del vector: A 6 i 3 j k. Calcular el módulo del vector: W 4 i 3 j 1 k 3. Dado los puntos A 3; 1; 1; ;1 determinar los vectores: A A respectivamente. 4. Dado los puntos P 3; ;1 Q 1; ; 1 determinar los vectores: PQ QP respectivamente. 5. Determinar el punto N, con que coincide el extremo del vector A 4 i 3 j k sabiendo que el origen coincide con el punto M de coordenadas 1; ; Determinar el punto P, con que coincide el extremo del vector C 4 i 3 j 5 k sabiendo que el origen coincide con el punto Q de coordenadas ; 1; 3. A 7. Se dan los vectores A 4 i j 6 k i 4 j. Determinar la proección del vector sobre los ejes coordenados cartesianos. 8. Dado el módulo de vector A los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x,, z respectivamente 45, Determinar la proección del vector A sobre los ejes coordenados. 9. Dado el módulo de vector A 10 los ángulos que forman con los ejes coordenados cartesianos x,, z respectivamente 90, Determinar la proección del vector A sobre los ejes coordenados. 10. Calcular los cosenos directores del vector A 1 i 15 j 16 k. 11. Calcular los cosenos directores del vector P 3 i 4 j 1 k. 1. Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes 45, 13. Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes 45, 14. Puede formar un vector con los ejes coordenados los ángulos siguientes 90, 15. Un vector forma con los ejes OX, OZ los ángulos forma el vector con el eje OY? 16. Un vector forma con los ejes OX, OY los ángulos forma el vector con el eje OZ? 17. Un vector forma con los ejes OY, OZ los ángulos ? 10? 60? respectivamente, qué ángulo respectivamente, qué ángulo respectivamente, qué ángulo forma el vector con el eje OX? 18. Determinar las coordenadas del punto M, si su radio vector forma con los ejes coordenados ángulos iguales su módulo es igual a 3 unidades. Qué ángulo forma el radio vector con los ejes coordenados cartesianos? 19. Calcular el vector unitario del vector T 4 i 3 j 1 k 0. Calcular el vector unitario del vector a 6 i j 3 k 1. Calcular el vector unitario del vector G 4 i 3 j. Determinar el vector unitario perpendicular al vector E 6 i 8 j 3. Se tiene un cuadrado de vértices A, C D; área 5 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (10; 0) el lado A es paralelo al vector 3 i 4 j. Determinar la posición de los vértices, C D. 4. Se tiene un cuadrado de vértices A, C D; área 100 unidades cuadradas. Si conocemos el vértice A (0; 10) el lado A es paralelo al vector 4 i 3 j. Determinar la posición de los vértices, C D. 5. Si los módulos de los vectores P Q son unidades sus cosenos directores con los ejes X, Y Z 1 son ; ; Dado A ; ; respectivamente. Determinar el resultado de: P, 19 A 4 Calcular: A Q

11 7. Sabiendo que los vectores A forman entre si un ángulo de 10 además A 3, 5 Determinar: A 8. Para qué valores de p q los vectores A i 3 j p k q i 6 j k son colineales? 9. Para qué valores de r s los vectores A r i 1 j 3 k 8 i sj k son paralelos? 30. Los siguientes vectores W 1 5 i 1 j 9 k P 5 i 4 j 3 k son colineales? 31. Los siguientes vectores E 1 5 i 1 j 9 k T 5 i 4 j 3 k son paralelos? 3. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (4; 9), (9; 9), C (9; 6) D (; 6). Es un trapecio? 33. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (3;-1; ), (1;,-1), C (-1; 1:-3) D (3;-5; 3). Es un trapecio? 34. Dado los puntos A (-15; -10), (5; -7,8), C (; :-7) D (5;-4; ). A CD son colineales? 35. El vector T de módulo 75 tiene dirección opuesta al vector a 16 i 15 j 1 k. Determinar las proecciones del vector T en el sistema coordenado cartesiano. 36. Dado los vectores en el plano p i 3 j q 1 i j. Expresar el vector A 9 i 4 j en función de los vectores p q. 37. Dado los vectores en el plano p 3 i j q i 1 j. Expresar el vector A 7 i 4 j en función de los vectores p q. 38. Dado los vectores en el plano p 3 i j q 7 i 4 j. Expresar el vector A i 1 j en función de los vectores p q. 39. Dado los vectores en el plano p 7 i 4 j q i 1 j. Expresar el vector A 3 i j en función de los vectores p q. 40. Se dan los vectores a 3 i 1 j, b 1 i j c 1 i 7 j. Determinar la descomposición del vector p a b c en base de los vectores a b. 41. Se dan los vectores a 6 i j, b 1 i 5 j c 1 i 7 j. Determinar la descomposición del vector a b c p en base de los vectores a b. 4. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -), (; 1), C (3; ) D (-; 3). Determinar la descomposición del vector AD tomado como base los vectores A A C. 43. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -), (; 1), C (3; ) D (-; 3). Determinar la descomposición del vector D tomado como base los vectores A A C. 44. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -), (; 1), C (3; ) D (-; 3). Determinar la descomposición del vector CD tomado como base los vectores A AC. 45. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -), (; 1), C (3; ) D (-; 3). Determinar la descomposición del vector A D C C D tomado como base los vectores A A C. 46. Se dan los vectores p 3 i j, q 1 i 1 j r i 1 j. Determinar la descomposición del vector c 1 1 i 6 j en base de los vectores p ; q r. 47. Se dan los vectores p 3 i j 1 k, q 1 i 1 j k r i 1 j 3k. Determinar la descomposición del vector c 1 1 i 6 j 5 k en base de los vectores p ; q r. 48. Los vectores a b forman entre si un ángulo de 10. Sabiendo que a 3 b 4. Calcular: a b 49. Los vectores a b forman entre si un ángulo de 10. Sabiendo que a 3 b 4. Calcular: a 50. Los vectores a b forman entre si un ángulo de 10. Sabiendo que a 3 b Los vectores a b forman entre si un ángulo de 10. Sabiendo que a 3 b 4. Calcular: a b. Calcular: a b

12 5. Los vectores a b forman entre si un ángulo de 10. Sabiendo que a 3 b 4. Calcular: 3a b a b 53. Los vectores a b forman entre si un ángulo de 10. Sabiendo que a 3 b 4. Calcular: 3 a b 54. Conociendo los vectores a 1 j, b 1 i j c 3 i. Determinar: E a b a c b c a b c 55. Conociendo los vectores a 3 i 1 j, b 1 i j c 4 i j. Determinar: a b a c b c K a b c 56. Los vectores a b son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de ellos un ángulo de 60. Sabiendo que: a 3, b 5 c 8 calcular: 3a b b 3c 57. Los vectores a b son perpendiculares entre si, además el vector c forma con cada uno de ellos un ángulo de 60. Sabiendo que: a 3, b 5 c 8 calcular: a b c 58. Cada par de vectores a, b c forman entre si un ángulo de 60. Sabiendo que a 4, b 6 a b c. c Determina el módulo de 59. Para que valores de m los vectores a m.i 3 j k b 1 i j m.k son perpendiculares entre sí. 60. Para que valores de p los vectores a 1.i p. j k b 1 i j p.k son perpendiculares entre sí. 61. Sabiendo que a 3 b 5 determinar para que valor de q los vectores a q. b a q. b son perpendiculares entre sí. 6. Sabiendo que a 4 b determinar para que valor de q los vectores a son q. b a q. b perpendiculares entre sí. 63. Qué condición deben satisfacer los vectores a b para que a b a b sean perpendiculares entre sí? 64. Demostrar que el vector p b a c c a b es perpendicular con el vector a. 65. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (1; -; ), (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) D (-5; -5; 3). Demostrar que las diagonales AC D son perpendiculares entre sí. 66. Los vectores a b forman 30 entre sí. Sabiendo que: a 3 b 1 Determine la medida del ángulo que forman entre si los vectores a b a b 67. Los vectores a b forman 10 entre sí. Sabiendo que: a 5 b 5 Determine la medida del ángulo que forman entre si los vectores a b a b 68. Los vectores a b forman 60 entre sí. Sabiendo que: a 5 b 3 Determina la medida del ángulo que forman entre si los vectores a b a b 69. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo isósceles. 70. Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuos lados son directamente proporcionales a los números 3, Calcular la medida del ángulo obtuso formado por las medianas trazadas desde los vértices de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo cuos lados son directamente proporcionales a los números 5, Calcular la componente del vector A 5 i j 5 k sobre el eje del vector i 1 j k 73. Calcularla proección del vector A 10 i 5 j sobre el eje del vector 3 i 4 j 74. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -; 4), (-4; -; 0) C (3; -; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice C.

13 75. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -; 4), (-4; -; 0) C (3; -; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice. 76. Se conocen los vértices de un triángulo: A (-1; -; 4), (-4; -; 0) C (3; -; 1). Calcular la medida del ángulo interno del vértice A. 77. El vector de módulo a 50 es colineal con el vector b 6 i 8 j 7, 5 k eje OZ. Determine las componentes cartesianas del vector a. forma un ángulo agudo con el 78. Determine las componentes cartesianas del vector a sabiendo que es colineal con el vector b i 1 j 1 k satisface la condición a b Determinar el vector m, si se sabe que es perpendicular con los vectores: A i 3 j 1 k 1 i j 3 k además satisface a la condición: m 1 i 1 j 1 k Se dan los vectores A 3 i 1 j 5 k 1 i j 3 k. Determinar el vector X que es perpendicular al eje OZ satisface a las condiciones: X A 9 X Se dan los vectores A i 1 j 3 k, 1 i 3 j k C 3 i j 3 k. Determinar el vector X que satisface a las condiciones: X A 5, X 11 X C 0 8. Determinar las componentes del vector S 4 i 3 j k sobre el eje L que forma con los ejes cartesianos ángulos agudos iguales. 83. Dado los vectores A, ; C D se cumple que: A 4 i 3 j 4 k i j 1 k además se sabe que C es paralelo a el vector D es ortogonal con. Si A C D determinar las expresiones vectoriales de C D. 84. Los vectores a b forman entre si un ángulo de 30. Sabiendo que a 6 b 5. Calcular: a b 85. Sabiendo que a 10 b, además a b 1. Calcular: a b 86. Sabiendo que a 3 b 6, además a b 7. Calcular: a b 87. Sabiendo que a 3 b 4, además a b Sabiendo que a 3 b 4, además a b Los vectores a b 90. Los vectores a b a b a b 91. Los vectores a b a 3b 3 a b. Calcular: a b a b. Calcular: 3 a b a b forman 10 entre sí. Sabiendo que: a 1 b forman 10 entre sí. Sabiendo que: a 1 b forman 10 entre sí. Sabiendo que: a 1 b. Calcular: a b. Calcular:. Calcular: 9. Dado los vectores A 3 i 1 j k 1 i j 1 k determinar las componentes vectoriales de: a b 93. Dado los vectores A 3 i 1 j k 1 i j 1 k determinar las componentes vectoriales de: a b b 94. Dado los vectores A 3 i 1 j k 1 i j 1 k determinar las componentes vectoriales de: a b a b 95. Dado los vectores A 3 i 1 j k 1 i j 1 k determinar las componentes vectoriales de: a 3b 3 a b 96. Se conocen los vértices de un cuadrilátero: A (; -1; ), (1; ; -1) C (3; ; 1), determinar las componentes vectoriales de: A C

14 97. Se conocen los vértices de un triángulo: A (; -1; ), (1; ; -1) C (3; ; 1), determinar las componentes vectoriales de: C.C A C 98. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; ), (7; 6) C (9; ), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice al lado AC. 99. Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; -1; ), (5; -6; ) C (1; 3; -1), calcular la longitud de la altura bajada desde el vértice al lado AC La fuerza F 3 i j 4 k está aplicada al punto A (; -1; -). Determinar el torque de esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r F donde r O A es el vector posición La fuerza F i 4 j 5 k está aplicada al punto A (4; -; 3). Determinar el torque de esta fuerza respecto del punto (3; ; -1). Sabiendo que r F donde r A es el vector posición. 10. La fuerza F 3 i j k está aplicada al punto A (; -1; 1). Determinar el torque de esta fuerza respecto del origen de coordenadas. Sabiendo que r F donde r O A es el vector posición Dado los vectores A i 1 j k 3 i j k, determinar los cosenos directores de A 104. Se dan las fuerzas F 1 i 1 j 3 k, F 3 i j 1 k F 3 4 i 1 j 3 k, determinar los cosenos directores de F F F Se dan las fuerzas F 1 i 1 j 3 k, F 3 i j 1 k F 3 4 i 1 j 3 k, determinar los cosenos directores de F F F Se dan las fuerzas F 1 i 1 j 3 k, F 3 i j 1 k F 3 4 i 1 j 3 k, determinar los cosenos directores de F F 1 F F Las fuerzas F 1 i 1 j 3 k, F 3 i j 1 k F 3 4 i 1 j 3 k están aplicadas en el punto A (;-1;-). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del origen de coordenadas Las fuerzas F 1 i 1 j 3 k, F 3 i j 1 k F 3 4 i 1 j 3 k están aplicadas en el punto A (- 1; 4; -). Determinar el torque que produce la fuerza resultante respecto del punto (; 3; -1) Se conocen los vértices de un triángulo: A (1; ; 0), (3; 0; -3) C (5; ; 6). Calcular el área de la región triangular El vector F 3 de módulo 6 es perpendicular a los vectores F 1 4 i j 3 k F 1 j 3 k, además forma con el eje OY un ángulo obtuso. Determinar las componentes rectangulares de F El vector F 3 de módulo 39 es perpendicular a los vectores F 1 4 i j 3 k F 1 j 3 k, además forma con el eje OY un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de F El vector m de módulo 51 es perpendicular al eje OZ al vector Q 8 i 1 5 j 3 k, además forma con el eje OX un ángulo agudo. Determinar las componentes rectangulares de m Determina las componentes rectangulares del vector m, sabiendo que es perpendicular a los vectores F 1 i 3 j 1 k F 1 i j 3 k además satisface a la condición: 114. Se dan los vectores a i 3 j 1 k, b 3 i 1 j k c 1 i j 3 k 115. Se dan los vectores a i 3 j 1 k, b 3 i 1 j k c 1 i j 3 k 116. Se dan los vectores a i 3 j 1 k, b 3 i 1 j k c 1 i j 3 k m 1 i j 7 k 1 0 a b c, calcular:, calcular: a b c, calcular: b a c 117. Se dan los vectores a i j 1 k, b 1 i 1 k c 1 i 1 j 4 k. Determinar el vector unitario ṷ contenido en el plano formado por los vectores a b además que sea perpendicular al vector c Se dan los vectores a i, b 4 k c 3 j 119. Se dan los vectores a 3 i, b 4 j c k a b c. Determinar: c b a. Determinar:

15 10. Se dan los vectores a 5 i, b 3 j c 4 k 11. Los vectores a b de módulo 3 es perpendicular a a c b. Determinar: forman entre si un ángulo de 30 además a 6 b 3 a b, calcular: a b c 1. Se dan los vectores a 1 i 1 j 3 k, b i j 1 k c 3i j 5 k 13. Se dan los vectores a 1 i 1 j 3 k, b i j 1 k c 3i j 5 k Sabiendo que el vector c. Determinar: a b c. Determinar: c b a 14. Se dan los vectores a i 3 j 1 k, b 1 i 1 j 3 k c 1 i 9 j 1 1 k. Son coplanares los vectores a, b c? 15. Se dan los vectores a 3 i j 1 k, b i 1 j k c 3 i 1 j k. Son coplanares los vectores a, b c? 16. Se dan los vectores a i 1 j k, b 1 i j 3 k c 3 i 4 j 7 k. Son coplanares los vectores a, b c? 17. Se conocen los cuatro puntos: A (1; -; ), (1; 4; 0), C (-4; 1; 1) D (-5; -5; 3). Son coplanares estos cuatro puntos? 18. Se conocen los cuatro puntos: A (1; ; -1), (0; 1; 5), C (-1; ; 1) D (; 1; 3). Son coplanares estos cuatro puntos? 19. Determinar el volumen de un tetraedro cuos vértices están en los puntos A (; -1; 1), (5; 5; 4), C (3; ; - 1) D (4; 1; 3) Se tiene un tetraedro cuos vértices son A (; 3; 1), (4; 1; -), C (6; 3; 7) D (-5; -4; 8). Calcular la longitud de la altura bajad desde el vértice D al plano AC El volumen de un tetraedro es 5 unidades cubicas, tres de sus vértices están en los puntos: A (; 1; -1), (3; 0; 1), C (; -1; 3). Determinar las coordenadas cartesianas del cuarto vértice, D, si se sabe que está contenida en el eje OY. 13. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes a 8 i, b i 8 j c 1 i 1 j 8 k 133. Determinar el volumen en unidades cubicas del paralelepípedo construido sobre los vectores concurrentes a 4 i, b 4 j c m. j 4 k, donde m es un número real Se tiene un plano P cua ecuación es: x z 0 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano Se tiene un plano P cua ecuación es: 3x z 0 = 0. Determine el vector unitario perpendicular al plano Descomponer el vector a 1 0 i 1 0 j 4 k en dos componentes rectangulares en las direcciones perpendicular paralela al plano P cua ecuación es: 6x +3 +z 11= Una fuerza F 0 i 1 0 j 3 0 k (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición A (; 3; -4) hasta (6; 4; -1). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta. El trabajo se calcula multiplicado escalarmente la fuerza por el F desplazamiento: W F d A A Las coordenadas estas expresadas en metros el trabajo se mide en joules (J) Una fuerza F 5 0 i 0 j 3 0 k (en newtons) actúa sobre un bloque que logra desplazarlo desde la posición A (; 0; -4) hasta (6; 4; 0). Determine la cantidad de trabajo que realiza la fuerza sobre el bloque cuando se desplaza desde A hasta. Las coordenadas estas expresadas en metros el trabajo se mide en joules (J) Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: a) F a b c d b) I a b c d

16 c) S a b a c b c a b c d) Y a b c d e) C a b a c a d b c b d c d f) A a b c d g) Sabiendo que a m.b n.c, donde m n son números reales. Determine m n h) Sabiendo que d r.b s.c, donde r s son números reales. Determine r s i) Sabiendo que c p.b q.d, donde p q son números reales. Determine p q 140. Se muestra un cuadriculado de lados igual a la unidad. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: a) a b c d b) a b c d c) a b a c b c a b c d) a b c c d a e) a b a c a d b c b d c d f) a b c d g) Sabiendo que a m.b n.c, donde m n son números reales. Determine m n h) Sabiendo que d r.b s.c, donde r s son números reales. Determine r s i) Sabiendo que c p.b q.d, donde p q son números reales. Determine p q 141. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida. En el sistema vectorial mostrado, determine el valor de la siguiente operación: a) a b c b b) a b c b a b c c) a b a c b c d) Y a b c a e) f) a b a c b c a a b b c c a b c a a b c g) El resultado de a b c compara con a b c son iguales?

17 14. Se muestra un cubo de arista igual a la unidad de medida. a) Calcular: a b c b) Calcular: a b 3 c c) Determine el vector unitario de: a b c d) Determine el vector unitario de: a b c e) Reducir: a b c b a b c f) Reducir: a b c b a b c a b c g) Reducir: a b a c b c h) a b c c b a a a b b c c i) a b c a c b b b a a c c j) a b b c a b c k) El resultado de a b c compara con son iguales? 143. Se muestra un sistema de vectores. a) Expresar el vector AC en función de los vectores A A D. b) Expresar el vector AD en función de los vectores A A C. c) Expresar el vector A en función de los vectores A D A C. a b c