CAPITULO 2 MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA. extremo. origen Vector. 2.1 Vectores Introducción.

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1 CPITULO 2 MTEMÁTICS PR L FÍSIC 2.1 Vectores Introducción. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próimo año, etc.). Eisten muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, que reciben el nombre de escalares. Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura otras magnitudes que luego definiremos apropiadamente. También eisten magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud ( camine 5 metros!, es una solicitud mu ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, camine 5 metros por lameda hacia el Este! producirá eactamente el efecto requerido). Estas magnitudes se denominan vectoriales, operan según el Álgebra Vectorial que recordaremos brevemente a continuación Vector. Lo definiremos como elementos que poseen tres atributos: magnitud, dirección sentido Los vectores son elementos abstractos, pero pueden representarse en el espacio a través de segmentos dirigidos (flechas) cua longitud es proporcional a la del vector representado. Fig 2. 1 origen etremo Representación gráfica de un vector Vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes si son iguales sus respectivas magnitudes direcciones sentidos. Esta definición, que implica que un vector puede estar en cualquier punto del espacio sin alterar sus características, define a los vectores libres. Fig 2. 2 C D Vectores equipolentes: B =B=C=D 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 55

2 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Vectores opuestos. Dos vectores son opuestos cuando sus magnitudes sus direcciones son iguales sus sentidos son opuestos. Fig 2. 3 B Vectores opuestos: =- B Ponderación de Vectores. El producto entre un escalar m un vector se conoce como ponderación del vector. Fig 2. 4 B= 2 Ponderación de vectores: B=2 En el caso de dos vectores este procedimiento produce un triángulo formado por los vectores la resultante. Otra forma gráfica de sumar dos vectores consiste en unir los orígenes trazar líneas auiliares paralelas a los vectores, que pasen por el etremo del otro. La resultante es el vector que une los orígenes comunes con la intersección de las paralelas auiliares (método del paralelogramo). R B Fig 2. 6 Resultante: Método del Paralelogramo Note que el orden de la suma no afecta el resultado, mostrando que es conmutativa: Suma gráfica de vectores. Gráficamente la suma o RESULTNTE de vectores se obtiene uniendo sucesivamente los etremos orígenes de ellos, como se muestra en la figura. El vector suma o resultante se obtiene uniendo el primer origen con el último etremo. B R Fig 2. 5 Resultante: + B + C = R C + B = B+ Si sumamos los vectores, B C de la figura anterior a través del método del paralelogramo, veremos claramente que: ( + B) + C = + ( B+ C ) Mostrando que la suma es asociativa (se recomienda comprobarlo gráficamente). Por otra parte, es innecesaria la definición de resta, pues claramente -B es la suma de el opuesto de B. - B = +( -B) 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 56

3 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - R B Fig 2. 9 Â = ˆ Vector Unitario en la dirección de Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores B las paralelas auiliares, observamos que la suma la resta de ambos vectores constituen gráficamente las diagonales maor menor respectivamente Vector nulo. Vector cua magnitud es cero. Gráficamente es representado por un punto. Fig 2. 8 B + B B Suma resta gráfica de vectores Componente de un vector. La proección ortogonal de un vector sobre una recta es una cantidad que se denomina componente (es un escalar) Vector unitario. Se define como un vector cua magnitud es la unidad cua dirección sentido son las del vector sobre el que está definido. Si consideramos un vector cua magnitud es, eiste un vector unitario en la dirección de, tal que: Esta se determina como la magnitud del segmento de la recta comprendido entre dos rectas perpendiculares a ella, que pasan por el origen el etremo del vector respectivamente. L = ˆ Observe que entonces: 1 Â = = Fig Componente de L sobre la recta L 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 57

4 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Vectores en el plano coordenado cartesiano. Un vector puede definirse en el plano cartesiano, conformado por dos líneas perpendiculares denominadas ejes. l eje horizontal se le denomina BSCIS se identificará con una letra maúscula (usualmente X, aunque en física será una letra que represente una magnitud física), mientras que al eje vertical se le denominará ORDEND (identificado por la letra Y, o una magnitud física) Fig Vector en el plano coordenado cartesiano El dibujo anterior muestra el primer cuadrante de este plano (que contiene los semiejes positivos de X e Y), dividido en cuatro partes. Note que (X 1 X 0 ) es la componente del vector sobre el eje X; que (Y 1 0 ) es la componente del vector sobre el eje Y. El origen del vector puede indicarse con propiedad a través de su ubicación en el plano, pues se encuentra en el punto (X 0,Y 0 ), mientras el etremo se encuentra en el punto (X 1, Y 1 ) Vectores unitarios en el plano Resulta útil definir vectores unitarios cuas direcciones sentidos sean las de los semiejes positivos del plano cartesiano (versores), direcciones que ocuparemos como referencia en el futuro. l vector unitario en dirección de +X se le define como î, mientras que al vector unitario en dirección de +Y se le define como ĵ Vectores en el espacio coordenado cartesiano. En el espacio un vector tiene tres componentes, pues a las anteriores debe agregarse aquella que proectará en el tercer eje, denominado eje Z. El espacio coordenado cartesiano está conformado por tres rectas perpendiculares entre sí (trirectangulares), como se muestra en la figura siguiente. llí se muestra el primer octante (las tres rectas dividen el espacio en 8 partes iguales), octante denominado positivo, pues contiene los tres semiejes positivos. z z Fig Proecciones de un vector en el espacio 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 58

5 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Como se ve en esta figura, un vector que no se encuentra ubicado en alguno de los planos cartesianos (XY, XZ o YZ), proecta tres componentes, cuas magnitudes son: X =(X 1 X 0 ), Y = (Y 1 Y 0 ) Z = (Z 1 Z 0 ) Note que aquí el plano XY se encuentra en el piso. Finalmente, se puede definir un vector unitario en dirección sentido del semieje positivo de Z, que se define usualmente como ˆk. Este versor, junto a los versores ˆˆ i, j del Componentes cartesianas de un vector. hora estamos en condiciones de encontrar relaciones analíticas para trabajar con los vectores, prescindiendo de las representaciones gráficas, que si bien es cierto prestan mucha auda didáctica, nos confundirán cuando trabajemos con magnitudes físicas, pues se tiende a relacionar la longitud del dibujo de un vector con su magnitud. Consideremos un vector libre en el plano XY, representado con su origen en el origen del sistema cartesiano de coordenadas para simplificar el análisis; representemos gráficamente además, sus componentes cartesianas sus versores: plano XY forma un trío de versores trirectangulares. z ˆk ĵ î Fig Versores trirectangulares Fig ĵ î Vector en el plano; componentes versores En virtud de lo previamente definido, se puede suponer la eistencia de dos vectores ficticios (que llamaremos vectores componentes), tales que sumados tengan al vector como resultante. El vector componente situado en la abscisa tiene magnitud equivalente a X dirección î, mientras el vector componente situado 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 59

6 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - en la ordenada tiene magnitud equivalente a dirección ĵ Suma de Vectores en función de sus componentes. Supongamos la los vectores B en el plano XY como en la figura siguiente. Fig Vectores componentes dibujado de manera tal que el etremo de coincida con el origen de B, con lo que la suma de ambos se puede obtener gráficamente uniendo el origen de con Como son vectores libres, los hemos quí resulta claro que: = + Y si recordamos nuestra definición de versor tenemos que: X î= por lo que X Y ĵ= por lo que Y X = i X = Y ˆ ˆ Y j Entonces el vector puede escribirse como: = ˆi + ˆj ( = ˆi + ˆj+ k ˆ ; En el espacio) X Y Z X Esta nos será mu útil para encontrar una forma más analítica de sumar vectores, como se verá a continuación. Y Y el etremo de B, como a sabemos. esta resultante le denominaremos R. B R R R B Fig Suma de vectores sus componentes Entonces las componentes de R son la suma aritmética de las componentes de los vectores B. RX = X + B X RY = Y + B Y Por lo que: R = ( + B )i ˆ + ( + B )j ˆ B X X Y Y Si el vector estuviese en el espacio, por etensión, se encuentra que: R = ( + B )i ˆ+ ( + B )j ˆ+ ( + B )k ˆ X X Y Y Z Z 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 60

7 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Esta epresión es válida para la suma de varios vectores, pues en ese caso a cada dimensión se le agregarán los términos correspondientes a las componentes de los nuevos vectores. Del mismo modo, la epresión permite restar vectores, pues como hemos visto, la resta corresponde a la suma del opuesto. Ejemplo 2.1 Sean los siguientes vectores: = 3i ˆ+ 4j ˆ+ 2k ˆ; B = ˆi + 3j-5k ˆ ˆ Encontrar: Notación polar. En muchas ocasiones nos veremos enfrentados a la necesidad de calcular o referirnos a los vectores en función de su magnitud dirección directamente. Para ello recurriremos a la notación polar, que da cuenta de su magnitud a través de su módulo a su dirección a través de un ángulo respecto de una recta de referencia. Consideremos un vector en el plano coordenado cartesiano, como se ve en la figura siguiente: a) + B b) B c) 2 Fig θ Componentes cartesianas polares B 3 1 ˆi 4 3 ˆj 2-5 k ˆ a) + = ( + ) + ( + ) + ( ) + B = 4i ˆ+ 7j-3k ˆ ˆ Pues la resultante se obtiene sumando las componentes respectivas. (- B) 3 1 ˆi 4 3 ˆj 2 5 k ˆ b) + = ( ) + ( ) + ( + ) + (-B) = 2i ˆ+ ˆj + 7k ˆ La dirección sentido del vector pueden indicarse a través de un ángulo, que usualmente es el ángulo entre el vector el semieje positivo de la abscisa su magnitud, a través del módulo del vector; analíticamente: =(,θ) Las componentes cartesianas se pueden encontrar fácilmente a través de las polares mediante las epresiones: Pues la resta no es más que la suma del opuesto. c) 2 = 6i ˆ+ 8j ˆ+ 4k ˆ X = cos θ Y = sen θ 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 61

8 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Del mismo modo, conocidas las componentes cartesianas, se pueden calcular las polares a través de las epresiones: 2 = 2 2 X + Y Note que si el origen del vector estuviera por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el etremo estaría en el punto (6,4) pues sus componentes cartesianas son X =4 Y =3. θ= arctg Ejemplo 2.2 Sea un vector de módulo 5 dirección 37º respecto de +X situado en el plano XY. Encontrar sus componentes cartesianas. Y X º = 5 Fig Componentes del vector del ej. 2 Se tiene que =5 θ =37º. Por tanto: X =5cos37º=5(0,8)=4 Y =5sen37º=5(0,6)=3 Si suponemos que el origen está en el punto (0,0) del sistema de coordenadas, entonces el etremo del vector estará en el punto (4,3) Ejemplo 2.3 Sea B un vector cuas componentes cartesianas son B X =10 B Y =5 situado en el plano XY. Encontrar su magnitud dirección. Se tiene que B =10 B Y =5. Por tanto: B 2 = ; B=11,2 5 θ= rctg = 26,6º º 4 = 5 Fig Representación gráfica del vector del ej /04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 62

9 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC En el espacio X = cos θ X En el espacio la dirección queda determinada cuando se conocen los ángulos respecto de los tres ejes. La figura siguiente muestra los ángulos directores: Y = cos θ Y Z = cos θ Z Dadas las componentes cartesianas se pueden conocer la magnitud los ángulos directores a través de las siguientes relaciones, provenientes también de los cosenos directores: Fig Un vector en el espacio. θ X = arccos θ Y = arccos X Y quí se ve que los ángulos directores θ X, θ Y, θ Z determinan la dirección. La magnitud corresponde el módulo del vector (). El vector se puede representar analíticamente a través de su módulo de sus ángulos directores θ X ; θ Y ; θ Z Mu importantes son las siguientes relaciones etraídas de la figura anterior: cos θ X = cos θ Y = cos θ Z = X Y Z Denominados cosenos directores, permiten calcular las componentes cartesianas a partir de la magnitud los ángulos directores, pues de ellos se tiene: θ Z = arccos Z El módulo se puede calcular a través de la epresión: Ejemplo = X 2 + Y 2 + Z 2 Consideremos el vector C = 3i ˆ-6j ˆ+ 2k ˆ ubicado en el espacio coordenado cartesiano. Encontrar su magnitud dirección. Se tiene que C X =3, C Y =-6 C Z =2. Podemos calcular su magnitud: C 2 =3 2 +(-6) = 49 Por lo tanto su magnitud es: C=7 Y sus direcciones: 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 63

10 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - θ =arcos 3 7 =64,6º B+ C = B+ C 2.- ( ) (Distributividad respecto de la suma). θ =arcos 6 7 =149 º θ z =arcos 2 7 =73,4º m B m B mb siendo m 3.- ( ) = ( ) = ( ) un escalar Productos entre Vectores. Eisten dos formas de multiplicar vectores, siendo una denominada producto escalar (interno o de punto) la otro producto vectorial (eterior o de cruz), puesto que ofrecen como resultado un escalar un vector respectivamente. plicaciones: 1.- = 2 El producto escalar entre un vector si mismo, constitue el cuadrado del vector, corresponde al cuadrado de su módulo. Esto se debe a que si aplicamos la definición, tenemos: =cos0º=(1)= 2 Producto Escalar. Dados dos vectores B, su producto escalar se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. 2.- ˆi ˆi =1 ˆj ˆj =1 kˆ k ˆ=1 Por las razones epuestas en el punto Si dos vectores son perpendiculares, entonces según la definición se tiene: B =Bcosθ (π θ 0) B =Bcos90º=B(0)= 0 La definición de producto escalar tiene aplicaciones mu relevantes, pues permite epresar magnitudes mu importantes para la física en forma mu sencilla. Las propiedades del producto escalar son: 1.- B= B (Conmutatividad) Esta es condición de perpendicularidad. 4.- De acuerdo a lo anterior, entonces: ˆi ˆj=0 ĵ ˆk =0 î ˆk =0 pues los vectores unitarios î, ĵ, ˆk forman un sistema trirectangular. 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 64

11 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC hora estamos en condiciones de encontrar una epresión que permita multiplicar escalarmente dos vectores epresados en coordenadas cartesianas. Sean los vectores: = ˆi + ˆj+ k; ˆ B = B ˆi + B ˆj+ B k ˆ z z Si queremos multiplicarlos escalarmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto escalar respecto de la suma de vectores: B = i + j+ k B i + B j+ B k ( ˆ ˆ ˆ z ) ( ˆ ˆ ˆ z ) B= B i i + B i j + B i k + ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ z ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) + B j i + B j j + B j k + z + B k i + B k j + B k k z z z z Por tanto: B = B + B + B z z Ejemplo 2.6 Dados los vectores del ejercicio anterior, calcular el ángulo entre ellos. De acuerdo a la definición de producto escalar, se tiene que: B=Bcos θ Donde θ es el ángulo entre los vectores que nos solicitan. Por lo tanto: θ=arcos B B note que aquí B es el producto entre las magnitudes de los vectores B respectivamente. Entonces: 2 = B 2 = (-5) 2 =5,4 B=5,9 B=5 según el ejercicio 2.5. sí que: Ejemplo θ=arcos ( 5,4 )( 5,9 ) =arcos0,16=81º Sean los vectores: = 3i ˆ+ 4j ˆ+ 2k; ˆ B = ˆi + 3j-5k. ˆ ˆ Encontrar su producto escalar. De acuerdo a la definición, se tiene: B=(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 65

12 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Producto Vectorial Sean los vectores B ; entonces su producto vectorial se define como: X B = (Bsenθ) û (π θ 0) Donde B son las magnitudes de los vectores B respectivamente; θ es el ángulo que forman ambos vectores û es un vector unitario cua dirección es perpendicular al plano que forman B. Fig B θ B û Producto vectorial Entonces el vector B es un vector libre, perpendicular al plano B, cua magnitud es ( B sen θ). Los vectores, B B forman un trío a derechas (un sistema detrosum), lo que quiere decir que la dirección B es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector hacia el vector B, en el plano B. B Las propiedades del producto vectorial son: 1.- B= B nticonmutatividad 2.- (B+ C) = B+ C Distributividad respecto de la suma). 3.- m( B)=(m )B = (m B ) siendo m un escalar plicaciones: 1.- Si los vectores B son paralelos, entonces, por definición: B=(Bsenθ) û = 0 Esta es condición de paralelismo. 2.- î X î = 0; ĵ X ĵ = 0; ˆk X ˆk = 0 Según la aplicación anterior. 3.- También se tiene aplicando la definición que: î X ĵ ={(1)(1)(sen90º)} ˆk = ˆk ĵ X ˆk ={(1)(1)(sen90º)} î = î ˆk X î ={(1)(1)(sen90º)} ĵ = ĵ Y según la propiedad de anticonmutatividad: B θ ĵ X î =- ˆk ˆk X ĵ =- î Fig Regla de la mano derecha. î X ˆk =- ĵ 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 66

13 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - El gráfico siguiente resume lo encontrado, proporcionando además una buena forma de recordarlo en el futuro. ˆk ĵ î = X B X ( î X î )+ X B Y ( î X ĵ )+ XB Z ( î X ˆk )+ + Y B X ( ĵ X î )+ Y B Y ( ĵ X ĵ )+ YB Z ( ĵ X ˆk )+ + Z B X ( ˆk X î )+ Z B Y ( ˆk X ĵ )+ ZB Z ( ˆk X ˆk ) reemplazando los productos vectoriales entre paréntesis, se tiene: B= X B Y ˆk +X B Z (- ĵ )+ YB X (- ˆk )+ + Y B Z î + Z B X ĵ + ZB Y (- î ) B=( Y B Z Z B Y ) î +( Z B X X B Z ) ĵ + Fig Producto vectorial entre versores. +( X B Y - Y B X ) ˆk Note que el producto vectorial entre 2 versores es el tercer versor, es positivo cuando el producto sigue la dirección de las flechas en el gráfico, es decir, cuando el sentido es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (sentido antihorario). Que equivale al desarrollo del determinante siguiente: ˆi ˆj kˆ B = z B B B z 4.- hora estamos en condiciones de encontrar una epresión que permita encontrar el producto vectorial para vectores que están epresados en función de sus componentes rectangulares (cartesianas) sus respectivos versores. Sean los vectores: = X î + Y ĵ + Z ˆk B =BX î +B Y ĵ +B Z ˆk. 5.- La magnitud del producto vectorial es numéricamente igual que el área del paralelógramo formado por los vectores multiplicados las paralelas que pasan por sus etremos. Para mostrar esto, consideraremos la figura siguiente, que muestra dos vectores unidos por el origen las paralelas a ellos. Si queremos multiplicarlos vectorialmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto vectorial respecto de la suma de vectores: B=( X î + Y ĵ + Z ˆk )X(BX î +B Y ĵ +B Z ˆk ) sen θ θ B Fig Área del paralelogramo formado por 2 vectores. B 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 67

14 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - El área de este paralelogramo se calcula multiplicando la base (B) por la altura (senθ): rea=bsenθ Que es igual a la magnitud del producto vectorial entre los vectores B. Ejemplo 2.8 Encontrar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores del ejemplo 7. Según la definición de producto vectorial se tiene que: Note que el área del triángulo formado por los vectores alguna de sus diagonales es justamente la mitad del área calculada. De donde: XB = XB u ˆ Ejemplo 2.7 û = B B = -26i ˆ+ 17ˆj + 5kˆ Encontrar el producto vectorial entre los vectores: = 3i ˆ+ 4j ˆ+ 2k; ˆ B = ˆi + 3j-5k. ˆ ˆ de acuerdo a la definición se tiene: -26i + + = ˆ 17j ˆ 5 k û ˆ = 0,83i ˆ+ 0,54 ˆj+ 0,16kˆ 31,5 Que es el vector solicitado, cua magnitud es 1 dirección es la del vector B. ˆi ˆj kˆ B = XB = ˆi 15 2 ˆj k ˆ ( ) ( ) ( ) XB = -26i ˆ+ 17j + 5k ˆ 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 68

15 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Ejercicios resueltos. D=3,2 Ejercicio Dos vectores B de 3 5 unidades de magnitud respectivamente, forman un ángulo de 37º. Determine analíticamente la magnitud de la resultante de la diferencia entre ambos vectores. La resultante ( R = + B) así como la diferencia o la suma del opuesto ( D = -B) se puede ver en forma gráfica en la figura siguiente: 37º B Ejercicio Hallar el vector resultante entre los vectores B de 3 4 unidades de magnitud respectivamente, que forman un ángulo de 60º entre ellos. En la siguiente figura se observan los vectores sus ángulos: θ B R = + B 120º 37º R = + B 143º B La magnitud de la resultante se puede calcular con el teorema del coseno: R 2 = 2 +B 2 2Bcos120º D = B B 37º Entonces aplicando el teorema del coseno R 2 = 2 +B 2 2Bcos(143º) R 2 =9+25 2(3)(5)(- 0,8) R=7,6 la diferencia es: D 2 = 2 +B 2 2Bcos(37º) R 2 =14+9 2(4)(3)cos 120º R=6,1 El ángulo entre la resultante el vector se puede calcular con el teorema del seno: sen θ sen120º = R senθ 0,87 = 3 6,1 θ=arcsen0,43=25,5º D 2 =9+25 2(3)(5)(0,8) 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 69

16 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejercicio Un avión se mueve hacia el norte con una rapidez de 30 Km h, cuando es sometido a la acción del viento que sopla con rapidez de 40 Km en dirección h este. Encontrar el movimiento resultante del avión. En este problema se trabaja con la magnitud vectorial denominada velocidad. Para nosotros sin embargo, solo será un vector en este momento, por tanto, la velocidad resultante no será más que la suma de los vectores velocidad correspondiente al movimiento del avión propiamente tal, la velocidad del viento. En la siguiente figura se ilustra el ejemplo: N v Km V = ( 40i ˆ+ 30j ˆ) h Cua magnitud es V 2 =(40 Km h )2 + (30 Km h ) 2 V=50 Km h. Que es la rapidez resultante con que se moverá realmente el avión. La dirección de la velocidad resultante será: θ=arctg V V V =arctg 30 kph 40 kph =36,9º Es decir, la velocidad resultante tiene una dirección de 36,9º medidos desde el este hacia el norte (E36,9ºN). E v θ Ejercicio Otra magnitud física vectorial interesante es el denominado desplazamiento. V = velocidad del avión V V = velocidad del viento v v Entonces el vector velocidad del viento Km será el vector: Vv = 40 ˆ i mientras que h Km la velocidad del avión será: V = 30 ˆ j h si consideramos que el plano geográfico es el plano cartesiano XY. Por desplazamiento se entiende el vector de posición que une los puntos inicial final de un movimiento, sin importar la forma del camino recorrido entre ambos. Supongamos que dos personas caminan perdidas por un desierto plano hostil de manera tal que finalizado cada día anotan en su diario de viaje lo siguiente: De esta manera, la resultante debe ser: 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 70

17 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Día 1: caminamos 30 kilómetros en línea recta hacia el norte; no encontramos agua. Día 2: ho solo hemos logrado caminar 20 kilómetros en línea recta, en dirección norte 37º hacia el este (N37ºE); nos encontramos etenuados. No encontramos agua. Día 3: Por fin hemos encontrado agua. El feliz hecho ocurrió ho a las 16:00 horas, luego de caminar en línea recta durante 20 kilómetros hacia el sur. Nos encontramos a salvo. El relato anterior puede traducirse en términos de los desplazamientos diarios del desplazamiento final en forma analítica: R = D + D + D R = 12Kmi ˆ+ 26Kmj ˆ Cua magnitud es: R 2 =(12Km) 2 +(26Km) 2 R=28,6Km cua dirección es: 26 Km θ=arctg 12 Km =arctg2,17=65,3º En otras palabras, si nuestros viajeros hubiesen sabido la ubicación del pozo de agua, habrían caminado solo 28,6Km en línea recta, en dirección E65,3ºN. N (Y) d 2 Ejercicio a, de forma que Encontrar el valor de B sean 53º d 3 perpendiculares. d 1 R E (X) = 2i ˆ+ aj ˆ+ k; ˆ B = 4i ˆ-2j-2k ˆ ˆ Entonces los desplazamientos diarios son: D =30Km ĵ 1 D =20Km cos53º î +20Km sen53º ĵ 2 D =12Km î +16Km ĵ 2 La condición de perpendicularidad es que el producto escalar entre ambos debe ser cero: B =8 2a 2=0 De donde se obtiene a = 3 D =20Km(- ĵ ) 3 Por tanto, el desplazamiento resultante es 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 71

18 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejercicio Hallar la proección del vector = ˆi -2j ˆ+ k ˆ sobre el vector B = 4i ˆ-4j ˆ+ 7k ˆ En la figura se observa la proección pedida θ B B = cosθ De la definición de producto escalar se tiene que: B = Bcos θ Ejercicio Dados los vectores = 2i ˆ-ˆj; B = ˆi + k ˆ C = ˆj+ k, ˆ determinar: a) Un vector unitario en la dirección del vector + B-3C. b) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores B C. c) Área del paralelogramo formado por B. a) + B- 3 C 3i-4j-2k ˆ ˆ ˆ 3i-4j-2k ˆ ˆ ˆ û = = = + B-3C ,39 Que se puede escribir como: B = B Ya que B =cosθcomo se observa en la figura anterior. En consecuencia: B B = = =2,1 B 9 B û =0,56 î 0,74 ĵ 0,37 ˆk ˆi ˆj kˆ b) P = BC = = -i ˆ-ˆj+ kˆ c) El Área es el módulo del producto vectorial entre B, por tanto: ˆi ˆj kˆ B = = -i ˆ-2j ˆ+ kˆ XB = 2,4 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 72

19 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejercicio Dados los siguientes vectores: = 3i ˆ+ 2j ˆ+ 2k; ˆ B = ˆi -3j ˆ+ 4k ˆ C = 2i ˆ+ 3j-k ˆ ˆ. a) Determine analíticamente si B son o no perpendiculares. b) Calcular ( BXC ) ˆi ˆj kˆ BC= = 9i ˆ+ 9j ˆ+ 9kˆ BXC = 3i + 2j+ 2k 9i + 9j+ 9k ( ˆ ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ˆ) BXC = = 9 a) Para ser perpendiculares deben cumplir con la condición B=0 B=3 6+8=5 Luego no son perpendiculares. Ejercicio siguientes: a) ˆ ˆ 2jX3k b) 3iX ˆ (-2k ˆ) c) ( ˆ ˆ) 2jXi -3k ˆ Hallar los productos b) La única interpretación posible de este producto, denominado producto triple ( que geométricamente representa el volumen del paralelogramo cuas aristas son los vectores, B C) es la operación ( BXC ) ) pues se tiene el producto escalar entre los vectores BXC. ( ) En cambio la operación ( BXC ) no está definida pues es la multiplicación vectorial entre un escalar ( B) un vector ( C ). Recordemos que el producto vectorial está definido entre vectores. Por tanto: a) 2jX3k ˆ ˆ = 6i ˆ 3iX ˆ -2kˆ = 3-2 ˆiXk ˆ = 6k ˆ b) ( ) ( )( ) 2jXi ˆ ˆ - 3kˆ = 2 -kˆ 3kˆ = 5k ˆ c) ( ) ( ) Ejercicio Demostrar que los vectores: = 2i ˆ+ ˆj-4k ˆ ; B = ˆi -3j ˆ+ 5k ˆ C = 3i ˆ-2j ˆ+ k ˆ forman un triángulo rectángulo. En primer lugar ha que demostrar que forman un triángulo, para lo que se necesita que la resultante de dos de ellos sea el tercero o que la resultante de los tres 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 73

20 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - sea el vector nulo, como se ve en la figura siguiente. C B + B = C + B+ C = 0 En segundo lugar, para que sea rectángulo, el producto escalar entre dos de ellos debe ser nulo. En nuestro ejemplo, + B = C por lo que son un triángulo C =6 2 4= 0 por lo que C. C B XB + XC = 0 ( i ) Si la multiplicamos vectorialmente por B : BX + BXB + BXC = BX0 BX + BXC = 0 ( ii ) si la multiplicamos vectorialmente por C : CX + CXB + CXC = 0 CX + CXB = 0 ( iii ) De (i): De (ii): XB = CX BX=CXB Ejercicio del seno. Deducir el teorema De (iii): CX = BXC Pues el producto vectorial es anticonmutativo. De donde se tiene: Suponer un triángulo formado por los vectores de la figura. XB = CX = BXC Es decir: θ C C β θ BC α γ B θ B B senθ B û =C senθ C û =BC senθ BC û por igualdad de vectores, se tiene: B sen θ B = C sen θ C = BC sen θ BC Entonces + B+ C = 0 Multiplicando vectorialmente por : + XB + XC = X0 debido a que sen (180-θ)=senθ: B senγ=c senβ=bc senα Dividiendo por BC: 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 74

21 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - senγ senβ senα = = C B Conocido con el nombre de teorema del seno. Ejercicio del coseno. Deducir el teorema Suponer que se tiene un triángulo formado por los vectores de la figura. B β Entonces: C = -B C Elevando al cuadrado la epresión: C C = ( -B ) ( -B ) C C= - B - B + B B ( ) ( ) ( ) ( ) C C= -2 B + B B ( ) ( ) ( ) C 2 = 2 +B 2 2Bcosβ Conocido como teorema del coseno. 16/04/2008 Jorge La Gajardo. jla@usach.cl 75