CAPITULO 2 MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA. extremo. origen Vector. 2.1 Vectores Introducción.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CAPITULO 2 MATEMÁTICAS PARA LA FÍSICA. extremo. origen. 2.1.2 Vector. 2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción."

Transcripción

1 CPITULO 2 MTEMÁTICS PR L FÍSIC 2.1 Vectores Introducción. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próimo año, etc.). Eisten muchas magnitudes físicas que pueden describirse perfectamente de esta manera simple, que reciben el nombre de escalares. Son escalares el tiempo, la masa, la densidad, el volumen, la temperatura otras magnitudes que luego definiremos apropiadamente. También eisten magnitudes como el desplazamiento, la fuerza, la aceleración otras, que para quedar perfectamente descritas necesitan dirección, además de la magnitud ( camine 5 metros!, es una solicitud mu ambigua que puede conducir a una posición final distinta para cada persona que la reciba; en cambio, camine 5 metros por lameda hacia el Este! producirá eactamente el efecto requerido). Estas magnitudes se denominan vectoriales, operan según el Álgebra Vectorial que recordaremos brevemente a continuación Vector. Lo definiremos como elementos que poseen tres atributos: magnitud, dirección sentido Los vectores son elementos abstractos, pero pueden representarse en el espacio a través de segmentos dirigidos (flechas) cua longitud es proporcional a la del vector representado. Fig 2. 1 origen etremo Representación gráfica de un vector Vectores equipolentes. Dos vectores son equipolentes si son iguales sus respectivas magnitudes direcciones sentidos. Esta definición, que implica que un vector puede estar en cualquier punto del espacio sin alterar sus características, define a los vectores libres. Fig 2. 2 C D Vectores equipolentes: B =B=C=D 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 55

2 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Vectores opuestos. Dos vectores son opuestos cuando sus magnitudes sus direcciones son iguales sus sentidos son opuestos. Fig 2. 3 B Vectores opuestos: =- B Ponderación de Vectores. El producto entre un escalar m un vector se conoce como ponderación del vector. Fig 2. 4 B= 2 Ponderación de vectores: B=2 En el caso de dos vectores este procedimiento produce un triángulo formado por los vectores la resultante. Otra forma gráfica de sumar dos vectores consiste en unir los orígenes trazar líneas auiliares paralelas a los vectores, que pasen por el etremo del otro. La resultante es el vector que une los orígenes comunes con la intersección de las paralelas auiliares (método del paralelogramo). R B Fig 2. 6 Resultante: Método del Paralelogramo Note que el orden de la suma no afecta el resultado, mostrando que es conmutativa: Suma gráfica de vectores. Gráficamente la suma o RESULTNTE de vectores se obtiene uniendo sucesivamente los etremos orígenes de ellos, como se muestra en la figura. El vector suma o resultante se obtiene uniendo el primer origen con el último etremo. B R Fig 2. 5 Resultante: + B + C = R C + B = B+ Si sumamos los vectores, B C de la figura anterior a través del método del paralelogramo, veremos claramente que: ( + B) + C = + ( B+ C ) Mostrando que la suma es asociativa (se recomienda comprobarlo gráficamente). Por otra parte, es innecesaria la definición de resta, pues claramente -B es la suma de el opuesto de B. - B = +( -B) 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 56

3 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - R B Fig 2. 9 Â = ˆ Vector Unitario en la dirección de Fig 2. 7 Resta de vectores = suma del opuesto Si consideramos el paralelogramo que resulta de los vectores B las paralelas auiliares, observamos que la suma la resta de ambos vectores constituen gráficamente las diagonales maor menor respectivamente Vector nulo. Vector cua magnitud es cero. Gráficamente es representado por un punto. Fig 2. 8 B + B B Suma resta gráfica de vectores Componente de un vector. La proección ortogonal de un vector sobre una recta es una cantidad que se denomina componente (es un escalar) Vector unitario. Se define como un vector cua magnitud es la unidad cua dirección sentido son las del vector sobre el que está definido. Si consideramos un vector cua magnitud es, eiste un vector unitario en la dirección de, tal que: Esta se determina como la magnitud del segmento de la recta comprendido entre dos rectas perpendiculares a ella, que pasan por el origen el etremo del vector respectivamente. L = ˆ Observe que entonces: 1 Â = = Fig Componente de L sobre la recta L 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 57

4 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Vectores en el plano coordenado cartesiano. Un vector puede definirse en el plano cartesiano, conformado por dos líneas perpendiculares denominadas ejes. l eje horizontal se le denomina BSCIS se identificará con una letra maúscula (usualmente X, aunque en física será una letra que represente una magnitud física), mientras que al eje vertical se le denominará ORDEND (identificado por la letra Y, o una magnitud física) Fig Vector en el plano coordenado cartesiano El dibujo anterior muestra el primer cuadrante de este plano (que contiene los semiejes positivos de X e Y), dividido en cuatro partes. Note que (X 1 X 0 ) es la componente del vector sobre el eje X; que (Y 1 0 ) es la componente del vector sobre el eje Y. El origen del vector puede indicarse con propiedad a través de su ubicación en el plano, pues se encuentra en el punto (X 0,Y 0 ), mientras el etremo se encuentra en el punto (X 1, Y 1 ) Vectores unitarios en el plano Resulta útil definir vectores unitarios cuas direcciones sentidos sean las de los semiejes positivos del plano cartesiano (versores), direcciones que ocuparemos como referencia en el futuro. l vector unitario en dirección de +X se le define como î, mientras que al vector unitario en dirección de +Y se le define como ĵ Vectores en el espacio coordenado cartesiano. En el espacio un vector tiene tres componentes, pues a las anteriores debe agregarse aquella que proectará en el tercer eje, denominado eje Z. El espacio coordenado cartesiano está conformado por tres rectas perpendiculares entre sí (trirectangulares), como se muestra en la figura siguiente. llí se muestra el primer octante (las tres rectas dividen el espacio en 8 partes iguales), octante denominado positivo, pues contiene los tres semiejes positivos. z z Fig Proecciones de un vector en el espacio 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 58

5 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Como se ve en esta figura, un vector que no se encuentra ubicado en alguno de los planos cartesianos (XY, XZ o YZ), proecta tres componentes, cuas magnitudes son: X =(X 1 X 0 ), Y = (Y 1 Y 0 ) Z = (Z 1 Z 0 ) Note que aquí el plano XY se encuentra en el piso. Finalmente, se puede definir un vector unitario en dirección sentido del semieje positivo de Z, que se define usualmente como ˆk. Este versor, junto a los versores ˆˆ i, j del Componentes cartesianas de un vector. hora estamos en condiciones de encontrar relaciones analíticas para trabajar con los vectores, prescindiendo de las representaciones gráficas, que si bien es cierto prestan mucha auda didáctica, nos confundirán cuando trabajemos con magnitudes físicas, pues se tiende a relacionar la longitud del dibujo de un vector con su magnitud. Consideremos un vector libre en el plano XY, representado con su origen en el origen del sistema cartesiano de coordenadas para simplificar el análisis; representemos gráficamente además, sus componentes cartesianas sus versores: plano XY forma un trío de versores trirectangulares. z ˆk ĵ î Fig Versores trirectangulares Fig ĵ î Vector en el plano; componentes versores En virtud de lo previamente definido, se puede suponer la eistencia de dos vectores ficticios (que llamaremos vectores componentes), tales que sumados tengan al vector como resultante. El vector componente situado en la abscisa tiene magnitud equivalente a X dirección î, mientras el vector componente situado 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 59

6 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - en la ordenada tiene magnitud equivalente a dirección ĵ Suma de Vectores en función de sus componentes. Supongamos la los vectores B en el plano XY como en la figura siguiente. Fig Vectores componentes dibujado de manera tal que el etremo de coincida con el origen de B, con lo que la suma de ambos se puede obtener gráficamente uniendo el origen de con Como son vectores libres, los hemos quí resulta claro que: = + Y si recordamos nuestra definición de versor tenemos que: X î= por lo que X Y ĵ= por lo que Y X = i X = Y ˆ ˆ Y j Entonces el vector puede escribirse como: = ˆi + ˆj ( = ˆi + ˆj+ k ˆ ; En el espacio) X Y Z X Esta nos será mu útil para encontrar una forma más analítica de sumar vectores, como se verá a continuación. Y Y el etremo de B, como a sabemos. esta resultante le denominaremos R. B R R R B Fig Suma de vectores sus componentes Entonces las componentes de R son la suma aritmética de las componentes de los vectores B. RX = X + B X RY = Y + B Y Por lo que: R = ( + B )i ˆ + ( + B )j ˆ B X X Y Y Si el vector estuviese en el espacio, por etensión, se encuentra que: R = ( + B )i ˆ+ ( + B )j ˆ+ ( + B )k ˆ X X Y Y Z Z 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 60

7 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Esta epresión es válida para la suma de varios vectores, pues en ese caso a cada dimensión se le agregarán los términos correspondientes a las componentes de los nuevos vectores. Del mismo modo, la epresión permite restar vectores, pues como hemos visto, la resta corresponde a la suma del opuesto. Ejemplo 2.1 Sean los siguientes vectores: = 3i ˆ+ 4j ˆ+ 2k ˆ; B = ˆi + 3j-5k ˆ ˆ Encontrar: Notación polar. En muchas ocasiones nos veremos enfrentados a la necesidad de calcular o referirnos a los vectores en función de su magnitud dirección directamente. Para ello recurriremos a la notación polar, que da cuenta de su magnitud a través de su módulo a su dirección a través de un ángulo respecto de una recta de referencia. Consideremos un vector en el plano coordenado cartesiano, como se ve en la figura siguiente: a) + B b) B c) 2 Fig θ Componentes cartesianas polares B 3 1 ˆi 4 3 ˆj 2-5 k ˆ a) + = ( + ) + ( + ) + ( ) + B = 4i ˆ+ 7j-3k ˆ ˆ Pues la resultante se obtiene sumando las componentes respectivas. (- B) 3 1 ˆi 4 3 ˆj 2 5 k ˆ b) + = ( ) + ( ) + ( + ) + (-B) = 2i ˆ+ ˆj + 7k ˆ La dirección sentido del vector pueden indicarse a través de un ángulo, que usualmente es el ángulo entre el vector el semieje positivo de la abscisa su magnitud, a través del módulo del vector; analíticamente: =(,θ) Las componentes cartesianas se pueden encontrar fácilmente a través de las polares mediante las epresiones: Pues la resta no es más que la suma del opuesto. c) 2 = 6i ˆ+ 8j ˆ+ 4k ˆ X = cos θ Y = sen θ 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 61

8 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Del mismo modo, conocidas las componentes cartesianas, se pueden calcular las polares a través de las epresiones: 2 = 2 2 X + Y Note que si el origen del vector estuviera por ejemplo, en el punto (2,1), entonces el etremo estaría en el punto (6,4) pues sus componentes cartesianas son X =4 Y =3. θ= arctg Ejemplo 2.2 Sea un vector de módulo 5 dirección 37º respecto de +X situado en el plano XY. Encontrar sus componentes cartesianas. Y X º = 5 Fig Componentes del vector del ej. 2 Se tiene que =5 θ =37º. Por tanto: X =5cos37º=5(0,8)=4 Y =5sen37º=5(0,6)=3 Si suponemos que el origen está en el punto (0,0) del sistema de coordenadas, entonces el etremo del vector estará en el punto (4,3) Ejemplo 2.3 Sea B un vector cuas componentes cartesianas son B X =10 B Y =5 situado en el plano XY. Encontrar su magnitud dirección. Se tiene que B =10 B Y =5. Por tanto: B 2 = ; B=11,2 5 θ= rctg = 26,6º º 4 = 5 Fig Representación gráfica del vector del ej /04/2008 Jorge La Gajardo. 62

9 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC En el espacio X = cos θ X En el espacio la dirección queda determinada cuando se conocen los ángulos respecto de los tres ejes. La figura siguiente muestra los ángulos directores: Y = cos θ Y Z = cos θ Z Dadas las componentes cartesianas se pueden conocer la magnitud los ángulos directores a través de las siguientes relaciones, provenientes también de los cosenos directores: Fig Un vector en el espacio. θ X = arccos θ Y = arccos X Y quí se ve que los ángulos directores θ X, θ Y, θ Z determinan la dirección. La magnitud corresponde el módulo del vector (). El vector se puede representar analíticamente a través de su módulo de sus ángulos directores θ X ; θ Y ; θ Z Mu importantes son las siguientes relaciones etraídas de la figura anterior: cos θ X = cos θ Y = cos θ Z = X Y Z Denominados cosenos directores, permiten calcular las componentes cartesianas a partir de la magnitud los ángulos directores, pues de ellos se tiene: θ Z = arccos Z El módulo se puede calcular a través de la epresión: Ejemplo = X 2 + Y 2 + Z 2 Consideremos el vector C = 3i ˆ-6j ˆ+ 2k ˆ ubicado en el espacio coordenado cartesiano. Encontrar su magnitud dirección. Se tiene que C X =3, C Y =-6 C Z =2. Podemos calcular su magnitud: C 2 =3 2 +(-6) = 49 Por lo tanto su magnitud es: C=7 Y sus direcciones: 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 63

10 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - θ =arcos 3 7 =64,6º B+ C = B+ C 2.- ( ) (Distributividad respecto de la suma). θ =arcos 6 7 =149 º θ z =arcos 2 7 =73,4º m B m B mb siendo m 3.- ( ) = ( ) = ( ) un escalar Productos entre Vectores. Eisten dos formas de multiplicar vectores, siendo una denominada producto escalar (interno o de punto) la otro producto vectorial (eterior o de cruz), puesto que ofrecen como resultado un escalar un vector respectivamente. plicaciones: 1.- = 2 El producto escalar entre un vector si mismo, constitue el cuadrado del vector, corresponde al cuadrado de su módulo. Esto se debe a que si aplicamos la definición, tenemos: =cos0º=(1)= 2 Producto Escalar. Dados dos vectores B, su producto escalar se define como el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. 2.- ˆi ˆi =1 ˆj ˆj =1 kˆ k ˆ=1 Por las razones epuestas en el punto Si dos vectores son perpendiculares, entonces según la definición se tiene: B =Bcosθ (π θ 0) B =Bcos90º=B(0)= 0 La definición de producto escalar tiene aplicaciones mu relevantes, pues permite epresar magnitudes mu importantes para la física en forma mu sencilla. Las propiedades del producto escalar son: 1.- B= B (Conmutatividad) Esta es condición de perpendicularidad. 4.- De acuerdo a lo anterior, entonces: ˆi ˆj=0 ĵ ˆk =0 î ˆk =0 pues los vectores unitarios î, ĵ, ˆk forman un sistema trirectangular. 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 64

11 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC hora estamos en condiciones de encontrar una epresión que permita multiplicar escalarmente dos vectores epresados en coordenadas cartesianas. Sean los vectores: = ˆi + ˆj+ k; ˆ B = B ˆi + B ˆj+ B k ˆ z z Si queremos multiplicarlos escalarmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto escalar respecto de la suma de vectores: B = i + j+ k B i + B j+ B k ( ˆ ˆ ˆ z ) ( ˆ ˆ ˆ z ) B= B i i + B i j + B i k + ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ z ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) ( ˆ ˆ) + B j i + B j j + B j k + z + B k i + B k j + B k k z z z z Por tanto: B = B + B + B z z Ejemplo 2.6 Dados los vectores del ejercicio anterior, calcular el ángulo entre ellos. De acuerdo a la definición de producto escalar, se tiene que: B=Bcos θ Donde θ es el ángulo entre los vectores que nos solicitan. Por lo tanto: θ=arcos B B note que aquí B es el producto entre las magnitudes de los vectores B respectivamente. Entonces: 2 = B 2 = (-5) 2 =5,4 B=5,9 B=5 según el ejercicio 2.5. sí que: Ejemplo θ=arcos ( 5,4 )( 5,9 ) =arcos0,16=81º Sean los vectores: = 3i ˆ+ 4j ˆ+ 2k; ˆ B = ˆi + 3j-5k. ˆ ˆ Encontrar su producto escalar. De acuerdo a la definición, se tiene: B=(3)(1)+(4)(3)+(2)(-5)=5 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 65

12 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Producto Vectorial Sean los vectores B ; entonces su producto vectorial se define como: X B = (Bsenθ) û (π θ 0) Donde B son las magnitudes de los vectores B respectivamente; θ es el ángulo que forman ambos vectores û es un vector unitario cua dirección es perpendicular al plano que forman B. Fig B θ B û Producto vectorial Entonces el vector B es un vector libre, perpendicular al plano B, cua magnitud es ( B sen θ). Los vectores, B B forman un trío a derechas (un sistema detrosum), lo que quiere decir que la dirección B es la que indica el dedo pulgar de la mano derecha cuando esta se cierra desde el vector hacia el vector B, en el plano B. B Las propiedades del producto vectorial son: 1.- B= B nticonmutatividad 2.- (B+ C) = B+ C Distributividad respecto de la suma). 3.- m( B)=(m )B = (m B ) siendo m un escalar plicaciones: 1.- Si los vectores B son paralelos, entonces, por definición: B=(Bsenθ) û = 0 Esta es condición de paralelismo. 2.- î X î = 0; ĵ X ĵ = 0; ˆk X ˆk = 0 Según la aplicación anterior. 3.- También se tiene aplicando la definición que: î X ĵ ={(1)(1)(sen90º)} ˆk = ˆk ĵ X ˆk ={(1)(1)(sen90º)} î = î ˆk X î ={(1)(1)(sen90º)} ĵ = ĵ Y según la propiedad de anticonmutatividad: B θ ĵ X î =- ˆk ˆk X ĵ =- î Fig Regla de la mano derecha. î X ˆk =- ĵ 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 66

13 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - El gráfico siguiente resume lo encontrado, proporcionando además una buena forma de recordarlo en el futuro. ˆk ĵ î = X B X ( î X î )+ X B Y ( î X ĵ )+ XB Z ( î X ˆk )+ + Y B X ( ĵ X î )+ Y B Y ( ĵ X ĵ )+ YB Z ( ĵ X ˆk )+ + Z B X ( ˆk X î )+ Z B Y ( ˆk X ĵ )+ ZB Z ( ˆk X ˆk ) reemplazando los productos vectoriales entre paréntesis, se tiene: B= X B Y ˆk +X B Z (- ĵ )+ YB X (- ˆk )+ + Y B Z î + Z B X ĵ + ZB Y (- î ) B=( Y B Z Z B Y ) î +( Z B X X B Z ) ĵ + Fig Producto vectorial entre versores. +( X B Y - Y B X ) ˆk Note que el producto vectorial entre 2 versores es el tercer versor, es positivo cuando el producto sigue la dirección de las flechas en el gráfico, es decir, cuando el sentido es contrario al movimiento de las manecillas de un reloj (sentido antihorario). Que equivale al desarrollo del determinante siguiente: ˆi ˆj kˆ B = z B B B z 4.- hora estamos en condiciones de encontrar una epresión que permita encontrar el producto vectorial para vectores que están epresados en función de sus componentes rectangulares (cartesianas) sus respectivos versores. Sean los vectores: = X î + Y ĵ + Z ˆk B =BX î +B Y ĵ +B Z ˆk. 5.- La magnitud del producto vectorial es numéricamente igual que el área del paralelógramo formado por los vectores multiplicados las paralelas que pasan por sus etremos. Para mostrar esto, consideraremos la figura siguiente, que muestra dos vectores unidos por el origen las paralelas a ellos. Si queremos multiplicarlos vectorialmente, tenemos, recordando la propiedad de distributividad del producto vectorial respecto de la suma de vectores: B=( X î + Y ĵ + Z ˆk )X(BX î +B Y ĵ +B Z ˆk ) sen θ θ B Fig Área del paralelogramo formado por 2 vectores. B 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 67

14 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - El área de este paralelogramo se calcula multiplicando la base (B) por la altura (senθ): rea=bsenθ Que es igual a la magnitud del producto vectorial entre los vectores B. Ejemplo 2.8 Encontrar un vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores del ejemplo 7. Según la definición de producto vectorial se tiene que: Note que el área del triángulo formado por los vectores alguna de sus diagonales es justamente la mitad del área calculada. De donde: XB = XB u ˆ Ejemplo 2.7 û = B B = -26i ˆ+ 17ˆj + 5kˆ Encontrar el producto vectorial entre los vectores: = 3i ˆ+ 4j ˆ+ 2k; ˆ B = ˆi + 3j-5k. ˆ ˆ de acuerdo a la definición se tiene: -26i + + = ˆ 17j ˆ 5 k û ˆ = 0,83i ˆ+ 0,54 ˆj+ 0,16kˆ 31,5 Que es el vector solicitado, cua magnitud es 1 dirección es la del vector B. ˆi ˆj kˆ B = XB = ˆi 15 2 ˆj k ˆ ( ) ( ) ( ) XB = -26i ˆ+ 17j + 5k ˆ 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 68

15 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC Ejercicios resueltos. D=3,2 Ejercicio Dos vectores B de 3 5 unidades de magnitud respectivamente, forman un ángulo de 37º. Determine analíticamente la magnitud de la resultante de la diferencia entre ambos vectores. La resultante ( R = + B) así como la diferencia o la suma del opuesto ( D = -B) se puede ver en forma gráfica en la figura siguiente: 37º B Ejercicio Hallar el vector resultante entre los vectores B de 3 4 unidades de magnitud respectivamente, que forman un ángulo de 60º entre ellos. En la siguiente figura se observan los vectores sus ángulos: θ B R = + B 120º 37º R = + B 143º B La magnitud de la resultante se puede calcular con el teorema del coseno: R 2 = 2 +B 2 2Bcos120º D = B B 37º Entonces aplicando el teorema del coseno R 2 = 2 +B 2 2Bcos(143º) R 2 =9+25 2(3)(5)(- 0,8) R=7,6 la diferencia es: D 2 = 2 +B 2 2Bcos(37º) R 2 =14+9 2(4)(3)cos 120º R=6,1 El ángulo entre la resultante el vector se puede calcular con el teorema del seno: sen θ sen120º = R senθ 0,87 = 3 6,1 θ=arcsen0,43=25,5º D 2 =9+25 2(3)(5)(0,8) 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 69

16 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejercicio Un avión se mueve hacia el norte con una rapidez de 30 Km h, cuando es sometido a la acción del viento que sopla con rapidez de 40 Km en dirección h este. Encontrar el movimiento resultante del avión. En este problema se trabaja con la magnitud vectorial denominada velocidad. Para nosotros sin embargo, solo será un vector en este momento, por tanto, la velocidad resultante no será más que la suma de los vectores velocidad correspondiente al movimiento del avión propiamente tal, la velocidad del viento. En la siguiente figura se ilustra el ejemplo: N v Km V = ( 40i ˆ+ 30j ˆ) h Cua magnitud es V 2 =(40 Km h )2 + (30 Km h ) 2 V=50 Km h. Que es la rapidez resultante con que se moverá realmente el avión. La dirección de la velocidad resultante será: θ=arctg V V V =arctg 30 kph 40 kph =36,9º Es decir, la velocidad resultante tiene una dirección de 36,9º medidos desde el este hacia el norte (E36,9ºN). E v θ Ejercicio Otra magnitud física vectorial interesante es el denominado desplazamiento. V = velocidad del avión V V = velocidad del viento v v Entonces el vector velocidad del viento Km será el vector: Vv = 40 ˆ i mientras que h Km la velocidad del avión será: V = 30 ˆ j h si consideramos que el plano geográfico es el plano cartesiano XY. Por desplazamiento se entiende el vector de posición que une los puntos inicial final de un movimiento, sin importar la forma del camino recorrido entre ambos. Supongamos que dos personas caminan perdidas por un desierto plano hostil de manera tal que finalizado cada día anotan en su diario de viaje lo siguiente: De esta manera, la resultante debe ser: 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 70

17 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Día 1: caminamos 30 kilómetros en línea recta hacia el norte; no encontramos agua. Día 2: ho solo hemos logrado caminar 20 kilómetros en línea recta, en dirección norte 37º hacia el este (N37ºE); nos encontramos etenuados. No encontramos agua. Día 3: Por fin hemos encontrado agua. El feliz hecho ocurrió ho a las 16:00 horas, luego de caminar en línea recta durante 20 kilómetros hacia el sur. Nos encontramos a salvo. El relato anterior puede traducirse en términos de los desplazamientos diarios del desplazamiento final en forma analítica: R = D + D + D R = 12Kmi ˆ+ 26Kmj ˆ Cua magnitud es: R 2 =(12Km) 2 +(26Km) 2 R=28,6Km cua dirección es: 26 Km θ=arctg 12 Km =arctg2,17=65,3º En otras palabras, si nuestros viajeros hubiesen sabido la ubicación del pozo de agua, habrían caminado solo 28,6Km en línea recta, en dirección E65,3ºN. N (Y) d 2 Ejercicio a, de forma que Encontrar el valor de B sean 53º d 3 perpendiculares. d 1 R E (X) = 2i ˆ+ aj ˆ+ k; ˆ B = 4i ˆ-2j-2k ˆ ˆ Entonces los desplazamientos diarios son: D =30Km ĵ 1 D =20Km cos53º î +20Km sen53º ĵ 2 D =12Km î +16Km ĵ 2 La condición de perpendicularidad es que el producto escalar entre ambos debe ser cero: B =8 2a 2=0 De donde se obtiene a = 3 D =20Km(- ĵ ) 3 Por tanto, el desplazamiento resultante es 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 71

18 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejercicio Hallar la proección del vector = ˆi -2j ˆ+ k ˆ sobre el vector B = 4i ˆ-4j ˆ+ 7k ˆ En la figura se observa la proección pedida θ B B = cosθ De la definición de producto escalar se tiene que: B = Bcos θ Ejercicio Dados los vectores = 2i ˆ-ˆj; B = ˆi + k ˆ C = ˆj+ k, ˆ determinar: a) Un vector unitario en la dirección del vector + B-3C. b) Un vector perpendicular al plano formado por los vectores B C. c) Área del paralelogramo formado por B. a) + B- 3 C 3i-4j-2k ˆ ˆ ˆ 3i-4j-2k ˆ ˆ ˆ û = = = + B-3C ,39 Que se puede escribir como: B = B Ya que B =cosθcomo se observa en la figura anterior. En consecuencia: B B = = =2,1 B 9 B û =0,56 î 0,74 ĵ 0,37 ˆk ˆi ˆj kˆ b) P = BC = = -i ˆ-ˆj+ kˆ c) El Área es el módulo del producto vectorial entre B, por tanto: ˆi ˆj kˆ B = = -i ˆ-2j ˆ+ kˆ XB = 2,4 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 72

19 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - Ejercicio Dados los siguientes vectores: = 3i ˆ+ 2j ˆ+ 2k; ˆ B = ˆi -3j ˆ+ 4k ˆ C = 2i ˆ+ 3j-k ˆ ˆ. a) Determine analíticamente si B son o no perpendiculares. b) Calcular ( BXC ) ˆi ˆj kˆ BC= = 9i ˆ+ 9j ˆ+ 9kˆ BXC = 3i + 2j+ 2k 9i + 9j+ 9k ( ˆ ˆ ˆ) ( ˆ ˆ ˆ) BXC = = 9 a) Para ser perpendiculares deben cumplir con la condición B=0 B=3 6+8=5 Luego no son perpendiculares. Ejercicio siguientes: a) ˆ ˆ 2jX3k b) 3iX ˆ (-2k ˆ) c) ( ˆ ˆ) 2jXi -3k ˆ Hallar los productos b) La única interpretación posible de este producto, denominado producto triple ( que geométricamente representa el volumen del paralelogramo cuas aristas son los vectores, B C) es la operación ( BXC ) ) pues se tiene el producto escalar entre los vectores BXC. ( ) En cambio la operación ( BXC ) no está definida pues es la multiplicación vectorial entre un escalar ( B) un vector ( C ). Recordemos que el producto vectorial está definido entre vectores. Por tanto: a) 2jX3k ˆ ˆ = 6i ˆ 3iX ˆ -2kˆ = 3-2 ˆiXk ˆ = 6k ˆ b) ( ) ( )( ) 2jXi ˆ ˆ - 3kˆ = 2 -kˆ 3kˆ = 5k ˆ c) ( ) ( ) Ejercicio Demostrar que los vectores: = 2i ˆ+ ˆj-4k ˆ ; B = ˆi -3j ˆ+ 5k ˆ C = 3i ˆ-2j ˆ+ k ˆ forman un triángulo rectángulo. En primer lugar ha que demostrar que forman un triángulo, para lo que se necesita que la resultante de dos de ellos sea el tercero o que la resultante de los tres 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 73

20 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - sea el vector nulo, como se ve en la figura siguiente. C B + B = C + B+ C = 0 En segundo lugar, para que sea rectángulo, el producto escalar entre dos de ellos debe ser nulo. En nuestro ejemplo, + B = C por lo que son un triángulo C =6 2 4= 0 por lo que C. C B XB + XC = 0 ( i ) Si la multiplicamos vectorialmente por B : BX + BXB + BXC = BX0 BX + BXC = 0 ( ii ) si la multiplicamos vectorialmente por C : CX + CXB + CXC = 0 CX + CXB = 0 ( iii ) De (i): De (ii): XB = CX BX=CXB Ejercicio del seno. Deducir el teorema De (iii): CX = BXC Pues el producto vectorial es anticonmutativo. De donde se tiene: Suponer un triángulo formado por los vectores de la figura. XB = CX = BXC Es decir: θ C C β θ BC α γ B θ B B senθ B û =C senθ C û =BC senθ BC û por igualdad de vectores, se tiene: B sen θ B = C sen θ C = BC sen θ BC Entonces + B+ C = 0 Multiplicando vectorialmente por : + XB + XC = X0 debido a que sen (180-θ)=senθ: B senγ=c senβ=bc senα Dividiendo por BC: 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 74

21 UNIVERSIDD DE SNTIGO DE CHILE - DEPRTMENTO DE FISIC - senγ senβ senα = = C B Conocido con el nombre de teorema del seno. Ejercicio del coseno. Deducir el teorema Suponer que se tiene un triángulo formado por los vectores de la figura. B β Entonces: C = -B C Elevando al cuadrado la epresión: C C = ( -B ) ( -B ) C C= - B - B + B B ( ) ( ) ( ) ( ) C C= -2 B + B B ( ) ( ) ( ) C 2 = 2 +B 2 2Bcosβ Conocido como teorema del coseno. 16/04/2008 Jorge La Gajardo. 75

requerido). vectoriales, y operan según el Álgebra a continuación. 2.1.2 Vector. dirección. representados.

requerido). vectoriales, y operan según el Álgebra a continuación. 2.1.2 Vector. dirección. representados. 2.1 Vectores. 2.1.1 Introducción. Cuando queremos referirnos al tiempo que demanda un suceso determinado, nos basta con una magnitud (se demoró 3 segundos, saltó durante 1 minuto, volverá el próximo año,

Más detalles

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores

Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1. Vectores Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 1. Definiciones básicas Vectores 1.1. Magnitudes escalares y vectoriales. Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real: su medida. Por ejemplo:

Más detalles

1.1 Definición 1.2 Enfoque geométrico 1.3 Igualdad 1.4 Operaciones 1.5 Aplicaciones

1.1 Definición 1.2 Enfoque geométrico 1.3 Igualdad 1.4 Operaciones 1.5 Aplicaciones . Definición. Enfoque geométrico. Igualdad.4 Operaciones.5 Aplicaciones Objetios. Se persigue que el estudiante: epresente geométricamente un ector de Determine magnitud dirección de un ector. Sume ectores,

Más detalles

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción

Capítulo 1. Vectores en el plano. 1.1. Introducción Índice general 1. Vectores en el plano 2 1.1. Introducción.................................... 2 1.2. Qué es un vector?................................ 3 1.2.1. Dirección y sentido............................

Más detalles

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o.

ESTÁTICA 2. VECTORES. Figura tomada de http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~04001205/fisiqui/imagenes/vectores/473396841_e1de1dd225_o. ESTÁTICA Sesión 2 2 VECTORES 2.1. Escalares y vectores 2.2. Cómo operar con vectores 2.2.1. Suma vectorial 2.2.2. Producto de un escalar y un vector 2.2.3. Resta vectorial 2.2.4. Vectores unitarios 2.2.5.

Más detalles

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES CPITULO II MGNITUDES ESCLRES Y VECTORILES 1 CONTENIDO 1. VECTORES Y ESCLRES 2. ELEMENTOS DE UN VECTOR, CONCEPTO DE DIRECCION Y SENTIDO 3. LGEBR DE VECTORES 4. METODOS GRFICOS Y NLITICOS 5. COMPOSICION

Más detalles

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores.

A.2. Notación y representación gráfica de vectores. Tipos de vectores. Apéndice A: Vectores A.1. Magnitudes escalares y vectoriales Las magnitudes escalares son aquellas magnitudes físicas que quedan completamente definidas por un módulo (valor numérico) y la unidad de medida

Más detalles

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector

3.1 DEFINICIÓN. Figura Nº 1. Vector 3.1 DEFINICIÓN Un vector (A) una magnitud física caracterizable mediante un módulo y una dirección (u orientación) en el espacio. Todo vector debe tener un origen marcado (M) con un punto y un final marcado

Más detalles

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras.

a. Dibujar los paralelogramos completos, señalar los vértices con letras. PRACTICO DE VECTORES 1. Dada la siguiente figura, se pide determinar vectores utilizando los vértices. Por ejemplo, el vector, el vector, etcétera. Se pide indicar a. Tres vectores que tengan la misma

Más detalles

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA

CURSO BÁSICO DE FÍSICA MECÁNICA PROYECTO UNICOMFACAUCA TU PROYECTO DE VIDA UNICOMFACAUCA TU DE VIDA Tabla de contenido... 2 PARTES DE UN VECTOR... 3 Notación... 5 Tipos de vectores... 5 Componentes de un vector... 6 Operaciones con vectores... 7 Suma de vectores... 7 Resta de

Más detalles

1. VECTORES. Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica

1. VECTORES. Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica 1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico 1. VECTORES Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica 1.1 CNTIDDES VECTORILES Y ESCLRES Definición de Magnitud tributo de un fenómeno,

Más detalles

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1

Álgebra Vectorial. Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Álgebra Vectorial Principios de Mecánica. Licenciatura de Física. Curso 2007-2008. 1 Indice. 1. Magnitudes Escalares y Vectoriales. 2. Vectores. 3. Suma de Vectores. Producto de un vector por un escalar.

Más detalles

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales.

Vectores. Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Cantidades vectoriales escalares Vectores Las cantidades físicas que estudiaremos en los cursos de física son escalares o vectoriales. Una cantidad escalar es la que está especificada completamente por

Más detalles

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano

_ Antología de Física I. Unidad II Vectores. Elaboró: Ing. Víctor H. Alcalá-Octaviano 24 Unidad II Vectores 2.1 Magnitudes escalares y vectoriales Unidad II. VECTORES Para muchas magnitudes físicas basta con indicar su valor para que estén perfectamente definidas y estas son las denominadas

Más detalles

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define.

VECTORES. Módulo, dirección y sentido de un vector fijo En un vector fijo se llama módulo del mismo a la longitud del segmento que lo define. VECTORES El estudio de los vectores es uno de tantos conocimientos de las matemáticas que provienen de la física. En esta ciencia se distingue entre magnitudes escalares y magnitudes vectoriales. Se llaman

Más detalles

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores

Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Apoyo para la preparación de los estudios de Ingeniería y Arquitectura Física (Preparación a la Universidad) Unidad 4: Vectores Universidad Politécnica de Madrid 5 de marzo de 2010 2 4.1. Planificación

Más detalles

1. Magnitudes vectoriales

1. Magnitudes vectoriales FUNDACIÓN INSTITUTO A DISTANCIA EDUARDO CABALLERO CALDERON Espacio Académico: Física Docente: Mónica Bibiana Velasco Borda mbvelascob@uqvirtual.edu.co CICLO: V INICADORES DE LOGRO VECTORES 1. Adquiere

Más detalles

Definición de vectores

Definición de vectores Definición de vectores Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector posee unas características que son: Origen: O también denominado Punto de aplicación. Es el punto exacto sobre

Más detalles

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA. Escuela de Formación Básica - Departamento de Matemática. Álgebra y Geometría I.

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA. Escuela de Formación Básica - Departamento de Matemática. Álgebra y Geometría I. FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, INGENIERÍA Y AGRIMENSURA Escuela de Formación Básica - Departamento de Matemática Álgebra y Geometría I Vectores Raúl D. Katz 2010 1. Introducción Este material es una ampliación

Más detalles

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5.

VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. VECTORES: VOCABULARIO 1. Abscisa de un punto. 2. Ordenada de un punto. 3. Concepto de vector. 4. Coordenadas o componentes de un vector. 5. Elementos de un vector. 6. Concepto de origen de un vector. 7.

Más detalles

VECTORES. Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características:

VECTORES. Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características: Un vector v es un segmento orientado. VECTORES Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características: Punto de aplicación: es el lugar

Más detalles

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff

Seminario Universitario Material para estudiantes. Física. Unidad 2. Vectores en el plano. Lic. Fabiana Prodanoff Seminario Universitario Material para estudiantes Física Unidad 2. Vectores en el plano Lic. Fabiana Prodanoff CONTENIDOS Vectores en el plano. Operaciones con vectores. Suma y producto por un número escalar.

Más detalles

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales.

Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Este documento ha sido generado para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces a otras páginas no serán funcionales. Introducción Por qué La Geometría? La Geometría tiene como objetivo fundamental

Más detalles

SUMA Y RESTA DE VECTORES

SUMA Y RESTA DE VECTORES SUMA Y RESTA DE VECTORES Definición de vectores Un vector es la expresión que proporciona la medida de cualquier magnitud vectorial. Un vector es todo segmento de recta dirigido en el espacio. Cada vector

Más detalles

1. ESCALARES Y VECTORES

1. ESCALARES Y VECTORES 1. ESCLRES Y VECTORES lgunas magnitudes físicas se especifican por completo mediante un solo número acompañado de su unidad, por ejemplo, el tiempo, la temperatura, la masa, la densidad, etc. Estas magnitudes

Más detalles

Vectores en el plano

Vectores en el plano Vectores en el plano Magnitudes escalares y vectoriales En las aplicaciones de las Matemáticas, se denominan magnitudes escalares a todas aquellas propiedades de las cosas que se pueden medir; esto es,

Más detalles

VECTORES MAGNITUDES ESCALARES Y MAGNITUDES VECTORIALES.

VECTORES MAGNITUDES ESCALARES Y MAGNITUDES VECTORIALES. VECTORES ING. MARTA LIDIA MERLOS ARAGÓN Resumen. Los vectores son de vital importancia para el estudio de la Estática, la Dinámica, Mecánica de los Fluidos, Electricidad magnetismo, entre otras aplicaciones

Más detalles

Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia

Definición operacional, independientemente de cualquier sistema de referencia Carácter de las magnitudes físicas: Magnitudes escalares y vectoriales. Vectores unitarios, Operaciones con vectores. No todas las magnitudes físicas tienen las mismas características matemáticas El carácter

Más detalles

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn.

1. Vectores 1.1. Definición de un vector en R2, R3 (Interpretación geométrica), y su generalización en Rn. 1. VECTORES INDICE 1.1. Definición de un vector en R 2, R 3 (Interpretación geométrica), y su generalización en R n...2 1.2. Operaciones con vectores y sus propiedades...6 1.3. Producto escalar y vectorial

Más detalles

INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES

INTRODUCCIÓN A VECTORES Y MAGNITUDES C U R S O: FÍSIC Mención MTERIL: FM-01 INTRODUCCIÓN VECTORES Y MGNITUDES La Física tiene por objetivo describir los fenómenos que ocurren en la naturaleza, a través de relaciones entre magnitudes físicas.

Más detalles

Vectores y álgebra vectorial

Vectores y álgebra vectorial 1. Notas Preliminares Vectores y álgebra vectorial Desde siempre, desde los primeros cursos de Física en educación media, venimos hablando de vectores como cantidades que tienen que ser representadas con

Más detalles

Vectores: Producto escalar y vectorial

Vectores: Producto escalar y vectorial Nivelación de Matemática MTHA UNLP 1 Vectores: Producto escalar y vectorial Versores fundamentales Dado un sistema de coordenadas ortogonales, se considera sobre cada uno de los ejes y coincidiendo con

Más detalles

Vectores. Observación: 1. Cantidades vectoriales.

Vectores. Observación: 1. Cantidades vectoriales. Vectores. 1. Cantidades vectoriales. Los vectores se definen como expresiones matemáticas que poseen magnitud y dirección, y que se suman de acuerdo con la ley del paralelogramo. Los vectores se representan,

Más detalles

ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES

ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES ALGEBRA DE VECTORES Y MATRICES VECTORES DEFINICIÓN DE ESCALAR: Cantidad física que queda representada mediante un número real acompañado de una unidad. EJEMPLOS: Volumen Área Densidad Tiempo Temperatura

Más detalles

Geometría Tridimensional

Geometría Tridimensional Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio,

Más detalles

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA

NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA . NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA NOCIONES BÁSICAS DE LA GEOETRÍA ANALÍTICA CONTENIDO Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas Coordenadas cartesianas de un punto Distancia entre dos

Más detalles

1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES. Definición de Magnitud

1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES. Definición de Magnitud 1.1 CANTIDADES VECTORIALES Y ESCALARES Definición de Magnitud Atributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente y determinado cuantitativamente. También se entiende

Más detalles

La magnitud vectorial mas simple es el desplazamiento (cambio de posición de un punto a otro de una partícula o de un cuerpo)

La magnitud vectorial mas simple es el desplazamiento (cambio de posición de un punto a otro de una partícula o de un cuerpo) Existen ciertas magnitudes que quedan perfectamente determinadas cuando se conoce el nombre de una unidad y el numero de veces que se ha tomado.estas unidades se llaman escalares (tiempo, volumen, longitud,

Más detalles

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores:

De acuerdo con sus características podemos considerar tres tipos de vectores: CÁLCULO VECTORIAL 1. ESCALARES Y VECTORES 1.1.-MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES Existen magnitudes físicas cuyas cantidades pueden ser expresadas mediante un número y una unidad. Otras, en cambio, requieren

Más detalles

1.1Estándares de longitud, masa y tiempo

1.1Estándares de longitud, masa y tiempo CLASES DE FISICA 1 PRIMER PARCIAL 1) UNIDADES DE MEDIDA 2) VECTORES 3) MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION 4) MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES 5) MOVIMIENTO RELATIVO FÍSICA Y MEDICIONES Al igual que todas las demás

Más detalles

Cantidades vectoriales y escalares

Cantidades vectoriales y escalares Solución: Al sustituir las unidades por las cantidades en cada término, tenemos m m, m = ( ) H ^ ist se obtiene m = m + m Con esto se satisfacen tanto la regla 1 como la regla 2. Por tanto, la ecuación

Más detalles

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos.

ESTATICA: TIPOS DE MAGNITUDES: CARACTERÍSTICAS DE UN VECTOR. Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. ESTATICA: Rama de la física que estudia el equilibrio de los cuerpos. TIPOS DE MAGNITUDES: MAGNITUD ESCALAR: Es una cantidad física que se especifica por un número y una unidad. Ejemplos: La temperatura

Más detalles

Apuntes de Álgebra Lineal

Apuntes de Álgebra Lineal Apuntes de Álgebra Lineal 9 de noviembre de 2009 Deseo agradecer la cuidadosa lectura, las correcciones y las sugerencias para mejorar este documento realizadas por el M.C. César Rincón Orta. Deseo agradecer

Más detalles

Javier Junquera. Vectores

Javier Junquera. Vectores Javier Junquera Vectores Cómo describir la posición de un punto en el espacio: Sistemas de coordenadas Un sistema de coordenadas que permita especificar posiciones consta de: Un punto de referencia fijo,

Más detalles

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA

Geometría analítica. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro I.E.S. PASTORIZA Conoce los vectores, sus componentes y las operaciones que se pueden realizar con ellos. Aprende cómo se representan las rectas y sus posiciones relativas. Impreso por Juan Carlos Vila Vilariño Centro

Más detalles

Representación de un Vector

Representación de un Vector VECTORES Vectores Los vectores se caracterizan por tener una magnitud, expresable por un número real, una dirección y un sentido. Un ejemplo de vectores son los desplazamientos. Otro ejemplo de vectores

Más detalles

VECTORES. Por ejemplo: la velocidad de un automóvil, o la fuerza ejercida por una persona sobre un objeto.

VECTORES. Por ejemplo: la velocidad de un automóvil, o la fuerza ejercida por una persona sobre un objeto. Un vector v es un segmento orientado. VECTORES Se representa gráficamente por medio de una flecha, por ejemplo: Todos los vectores poseen las siguientes características: Punto de aplicación: es el lugar

Más detalles

Vectores en el espacio

Vectores en el espacio Vectores en el espacio Un sistema de coordenadas tridimensional se construye trazando un eje Z, perpendicular en el origen de coordenadas a los ejes X e Y. Cada punto viene determinado por tres coordenadas

Más detalles

Capítulo 9 Vectores en el espacio

Capítulo 9 Vectores en el espacio Capítulo 9 Vectores en el espacio Introducción El concepto de vector es muy amplio y su aplicación se evidencia en los diferentes campos de las ciencias. En matemáticas, un vector es un elemento de una

Más detalles

Elementos de álgebra vectorial

Elementos de álgebra vectorial Hier auf glatten Felsenwegen laufe ich tanzend dir entgegen, tanzend wie Du pfeifst und singst : der Du ohne Schiff und Ruder, als der Freiheit frei ster Bruder ueber wilde Meere springst. Friedrich Nietzsche

Más detalles

FÍSICA I PRÁCTICA 1 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA. OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE:

FÍSICA I PRÁCTICA 1 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE. UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA. OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE: UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE EL SALVADOR ESCUELA DE FORMACIÓN BÁSICA. FÍSICA I PRÁCTICA 1 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE. OBJETIVOS DEL APRENDIZAJE: IDENTIFICAR LAS FUERZAS QUE ACTÚAN SOBRE UN OBJETO. REPRESENTAR

Más detalles

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra

INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra INTRODUCCION A LA FISICA NEWTONIANA Manuscrito de cátedra ADVERTENCIA: manuscrito en estado de preparación muy preliminar, particularmente en lo que respecta a la secuencia temática, orden y terminación

Más detalles

INTRODUCCIÓN ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL Parte de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. Permite presentar mediante las ecuaciones de modelo matemático diversas situaciones

Más detalles

Recomendaciones para el docente sobre Vectores

Recomendaciones para el docente sobre Vectores Recomendaciones para el docente sobre Vectores Recomendaciones para el docente sobre Vectores Los estudiantes de primer año del GU conocen el plano cartesiano, puntos en el plano rectas. Este capítulo

Más detalles

GUÍA MAGNITUDES FÍSICAS SEGUNDO AÑO

GUÍA MAGNITUDES FÍSICAS SEGUNDO AÑO LICEO LUIS CRUZ MARTINEZ DEPARTAMENTO DE FÍSICA RODRIGO VEJAR ANCATÉN GUÍA MAGNITUDES FÍSICAS SEGUNDO AÑO Contenido: Aprendizaje esperado: Magnitudes Físicas Comprender la naturaleza y tipos de magnitudes

Más detalles

VECTORES EN EL PLANO

VECTORES EN EL PLANO VECTORES EN EL PLANO VECTOR: vectores libres Segmento orientado, con un origen y extremo. Módulo: es la longitud del segmento orientado, es un número positivo y su símbolo es a Dirección: es la recta que

Más detalles

Vectores, Rectas y Planos. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/

Vectores, Rectas y Planos. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ Vectores, Rectas y Planos. http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/ Walter Mora F. wmora2@yahoo.com.mx Centro de Recursos Virtuales - CRV Reista digital Matemática, Educación e Internet Escuela de Matemática

Más detalles

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas

MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Universidad de Cádiz Departamento de Matemáticas MATEMÁTICAS para estudiantes de primer curso de facultades y escuelas técnicas Tema 4 La recta en el plano Elaborado por la Profesora Doctora María Teresa

Más detalles

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas

Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas Tema 7. Geometría en plano. Vectores y rectas. Vectores y puntos en el plano. Coordenadas.... Operaciones con vectores... 5.. Suma y resta de vectores... 5.. Producto de un número real por un vector....

Más detalles

Papá, Has conseguido multiplicar las ternas? (A Hamilton de sus hijos) La justificación de la unidad la podemos hacer desde dos puntos de vista:

Papá, Has conseguido multiplicar las ternas? (A Hamilton de sus hijos) La justificación de la unidad la podemos hacer desde dos puntos de vista: TEMA 9: VECTORES Papá, Has conseguido multiplicar las ternas? (A Hamilton de sus hijos) 1. Justificación La justificación de la unidad la podemos hacer desde dos puntos de vista: Desde la propia estructura

Más detalles

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico

Unidad 4: Vectores. 4.1 Introducción. 4.2 Vectores: enfoque geométrico Unidad 4: Vectores 4.1 Introducción En este capítulo daremos el concepto de vector, el cual es una herramienta fundamental tanto para la física como para la matemática. La historia de los vectores se remonta

Más detalles

DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE 2016-1 SERIE ÁLGEBRA VECTORIAL

DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA ANALITICA SEMESTRE 2016-1 SERIE ÁLGEBRA VECTORIAL 1.-Sea C(2, -3, 5) el punto medio del segmento dirigido AB. Empleando álgebra vectorial, determinar las coordenadas de los puntos A y B, si las componentes escalares de AB sobre los ejes coordenados X,

Más detalles

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva:

1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: 1. Trace la curva definida por las ecuaciones paramétricas y elimine el parámetro para deducir la ecuación cartesiana de la curva: a) x = senθ, y = cosθ, 0 θ π t b), t x = e y = e + 1 c) x = senθ, y =

Más detalles

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 21

GUIAS DE ACTIVIDADES Y TRABAJO PRACTICO Nº 21 SIGNTU: MTEMTI EN IOLOGI DOENTE: LI.GUSTO DOLFO JUEZ GUI DE TJO PTIO Nº ES: POFESODO Y LIENITU EN IOLOGI _PGIN Nº 4_ GUIS DE TIIDDES Y TJO PTIO Nº OJETIOS: Lograr que el lumno: Interprete la información

Más detalles

VECTORES: DERIVADAS E INTEGRALES

VECTORES: DERIVADAS E INTEGRALES VECTOES: DEIVADAS E INTEGALES ( ), calcular: Siendo el vector de componentes 1, sen( t), cos t Solución: I.T.I. 93, I.T.T. 05 Derivando componente a componente: ( 0, cos( t), sen t (1) ) Derivando de nuevo:

Más detalles

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO)

Tema 1. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO) Vectores Tema. VECTORES (EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO Definición de espacio vectorial Un conjunto E es un espacio vectorial si en él se definen dos operaciones, una interna (suma y otra externa (producto

Más detalles

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física

ESTATICA. Componentes ortogonales de una fuerza. Seminario Universitario Física ESTATICA Es la parte de la física que estudia las fuerzas en equilibrio. Si sobre un cuerpo no actúan fuerzas o actúan varias fuerzas cuya resultante es cero, decimos que el cuerpo está en equilibrio.

Más detalles

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO

APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO APUNTES DE MATEMÁTICAS TEMA 4: VECTORES 1º BACHILLERATO ÍNDICE VECTORES EN EL PLANO... 3 Vector Fijo... 3 VECTOR LIBRE... 3 Operaciones con Vectores... 3 Suma de vectores... 3 Producto de un número por

Más detalles

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z

GEOMETRÍA. Septiembre 94. Determinar la ecuación del plano que pasa por el punto M (1,0, la recta x 1 y z GEOMETRÍA Junio 94. 1. Sin resolver el sistema, determina si la recta x 3y + 1 = 0 es exterior, secante ó tangente a la circunferencia (x 1) (y ) 1. Razónalo. [1,5 puntos]. Dadas las ecuaciones de los

Más detalles

REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1

REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1 REPASO DE VECTORES GRM Semestre 2013-1 Basado en material de Serway-Jewett, Physics, Chapters 3, 6,10; Volume 1. Bauer-Westfall, Fisica para ingeniería y ciencias, caps. 1, 5 y 10, Volumen 1 Tipler-Mosca,

Más detalles

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL

TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO VECTORIAL Página Principal del Profesor: Luis Gerardo Guerrero Ojeda Ir al Capítulo 1 Página Principal de Apuntes de Cursos Pág. Principal de los Apuntes de Teoría TEORÍA ELECTROMAGNÉTICA APÉNDICE A INTRODUCCIÓN

Más detalles

Teoría de Conjuntos y Funciones

Teoría de Conjuntos y Funciones Elaborado por: Lic. Eleazar J. García República Bolivariana de Venezuela. Tinaco.- Estado Cojedes Teoría de Conjuntos Funciones Este capítulo comienza con el estudio de las nociones de la teoría de conjuntos

Más detalles

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio

Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Segundo de Bachillerato Geometría en el espacio Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid 204-205. Coordenadas de un vector En el conjunto de los vectores libres del espacio el concepto

Más detalles

Alternativamente, los vectores también se pueden poner en función de los vectores unitarios:

Alternativamente, los vectores también se pueden poner en función de los vectores unitarios: 1. Nociones fundamentales de cálculo vectorial Un vector es un segmento orientado que está caracterizado por tres parámetros: Módulo: indica la longitud del vector Dirección: indica la recta de soporte

Más detalles

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES I 1 MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES El movimiento no puede estar limitado a una carretera recta ni a un caída o vuelo vertical, es decir, a una sola dimensión. Cuando caminamos,

Más detalles

Te damos los elementos básicos de los vectores para que puedas entender las operaciones básicas.

Te damos los elementos básicos de los vectores para que puedas entender las operaciones básicas. 4 año secundario Vectores, refrescando conceptos adquiridos Te damos los elementos básicos de los vectores para que puedas entender las operaciones básicas. El término vector puede referirse al: concepto

Más detalles

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber:

x R, y R Según estas coordenadas dividiremos al plano en cuatro cuadrantes a saber: Apéndice A Coordenadas A.1 Coordenadas en el Plano R A.1.1 Cartesianas (x, y) Dotar al plano bidimensional R de coordenadas cartesianas D es establecer una biyección entre el conjunto de puntos del plano

Más detalles

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8

Muchas veces hemos visto un juego de billar y no nos percatamos de los movimientos de las bolas (ver gráfico 8). Gráfico 8 Esta semana estudiaremos la definición de vectores y su aplicabilidad a muchas situaciones, particularmente a las relacionadas con el movimiento. Por otro lado, se podrán establecer las características

Más detalles

MOVIMIENTO ABSOLUTO Y MOVIMIENTO RELATIVO

MOVIMIENTO ABSOLUTO Y MOVIMIENTO RELATIVO BOLILLA 5 MOVIMIENTO ABSOLUTO Y MOVIMIENTO RELATIVO Sistemas de referencia Inerciales y No-inerciales En la bolilla anterior vimos que las leyes de Newton se cumplían en marcos de referencia inercial.

Más detalles

Estática. Vectores de Fuerzas

Estática. Vectores de Fuerzas Estática 2 Vectores de Fuerzas Objetivos Regla del paralelogramo. Vectores en forma cartesiana. Producto escalar y ángulo entre 2 vectores. Índice 1. Escalares y vectores. 2. Operaciones con vectores.

Más detalles

Unidad I: Algebra de vectores

Unidad I: Algebra de vectores Unidad I: Algebra de vectores 1.1 Definición de un vector en R2, R3 y su Interpretación geométrica Ejemplo: El segmento dirigido, donde P(2,3) y Q(5,10), es equivalente al Vector, donde las componentes

Más detalles

Unidad V: Integración

Unidad V: Integración Unidad V: Integración 5.1 Introducción La integración es un concepto fundamental de las matemáticas avanzadas, especialmente en los campos del cálculo y del análisis matemático. Básicamente, una integral

Más detalles

Capitulo 2: Movimientos en 2 y 3 dimensiones

Capitulo 2: Movimientos en 2 y 3 dimensiones Capitulo 2: Movimientos en 2 3 dimensiones Índice 1. Posicionamiento en mas de una dimensión 2 1.1. Propiedades de Vectores................................. 5 1.2. Componentes de un Vector................................

Más detalles

Cinemática en una Dimensión. Posición, velocidad. Cantidades vectoriales: operación de suma y diferencia.

Cinemática en una Dimensión. Posición, velocidad. Cantidades vectoriales: operación de suma y diferencia. Cinemática en una Dimensión. Posición, velocidad. Cantidades vectoriales: operación de suma y diferencia. Resumen Para cualquier numero que resulte de una medición es importante especificar su incertidumbre

Más detalles

1. SISTEMAS DE FUERZAS

1. SISTEMAS DE FUERZAS 1. SISTEMS DE UERZS 1.1 MGNITUDES VECTRILES 1.1.1 Unidades Toda magnitud, sea escalar o vectorial, posee unidades, que constituen una información fundamental siempre deben indicarse (cuánto de qué). Sin

Más detalles

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES

GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES GUIAS ÚNICAS DE LABORATORIO DE FÍSICA I ASPECTOS PRELIMINARES SUMA DE VECTORES SANTIAGO DE CALI UNIVERSIDAD SANTIAGO DE CALI DEPARTAMENTO DE LABORATORIOS SUMA DE VECTORES OBJETIVOS Usar la mesa de fuerzas

Más detalles

1.1. Magnitudes y Unidades

1.1. Magnitudes y Unidades Capítulo 1 Introducción La Física es la ciencia que estudia los fenómenos que tienen lugar en la Naturaleza e intenta darles una explicación racional. Además, se encarga de investigar dichos fenómenos

Más detalles

Ejercicios resueltos de vectores

Ejercicios resueltos de vectores Ejercicios resueltos de vectores 1) Sean a(2,-1,3), b(3,0,-2) y c(-2,-2,1), realiza las siguientes operaciones con vectores: a) 3a + b - c b) a -2b c) a c 2) Utilizando los vectores del ejercicio 1, comprueba

Más detalles

TEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS

TEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL 3º DE LA E.S.O. TEMA 8: TRAZADOS GEOMÉTRICOS En dibujo técnico, es fundamental conocer los trazados geométricos básicos para construir posteriormente formas o figuras de mayor

Más detalles

Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas.

Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas. Área Académica: Matemáticas (Geometría Analítica) Tema: Coordenadas rectangulares y polares, definiciones fundamentales y teoremas. Profesor(a): Juana Inés Pérez Zárate Periodo: Enero Junio 2012 Topic:

Más detalles

2. GRAFICA DE FUNCIONES

2. GRAFICA DE FUNCIONES . GRAFICA DE FUNCIONES En vista de que el comportamiento de una función puede, en general, apreciarse mu bien en su gráfica, vamos a describir algunas técnicas con auda de las cuales podremos hacer un

Más detalles

5.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento

5.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento 105 UNIDAD V 5 Sistemas de Partículas 5.1 Dinámica de un sistema de partículas 5.2 Movimiento del centro de masa 5.3 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento 5.4 Teorema de conservación de

Más detalles

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula

Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Apuntes de Mecánica Newtoniana Cinemática de la Partícula Ariel Fernández Daniel Marta Introducción. En este capítulo se introducirán los elementos necesarios para la descripción del movimiento de una

Más detalles

Teoría Tema 5 Espacios vectoriales

Teoría Tema 5 Espacios vectoriales página 1/14 Teoría Tema 5 Espacios vectoriales Índice de contenido Puntos en 2 y 3 dimensiones...2 Vectores en el plano...5 Suma de vectores...7 Combinación lineal de vectores...8 Sistema generador...10

Más detalles

Sistemas de vectores deslizantes

Sistemas de vectores deslizantes Capítulo 1 Sistemas de vectores deslizantes 1.1. Vectores. Álgebra vectorial. En Física, se denomina magnitud fsica (o simplemente, magnitud) a todo aquello que es susceptible de ser cuantificado o medido

Más detalles

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015

VECTORES. Abel Moreno Lorente. February 3, 2015 VECTORES Abel Moreno Lorente February 3, 015 1 Aspectos grácos. 1.1 Deniciones. Un vector entre dos puntos A y B es el segmento de recta orientado que tiene su origen en A y su extremo en B. A este vector

Más detalles

Vectores en R n y producto punto

Vectores en R n y producto punto Vectores en R n y producto punto Departamento de Matemáticas, CCIR/ITESM 10 de enero de 011 Índice 4.1. Introducción............................................... 1 4.. Vector..................................................

Más detalles

TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS. 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores.

TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS. 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores. J.A DÁVILA BAZ - J. PAJÓN PERMUY CÁLCULO VECTORIAL 29 UNIDAD DIDÁCTICA I: CÁLCULO VECTORIAL. TEMA II ÁLGEBRA VECTORIAL; FUNDAMENTOS 2.1.- Definicion, notacion y clasificacion de los vectores. Un vector

Más detalles

SESIÓN 2 VECTORES Y SISTEMAS DE FUERZAS

SESIÓN 2 VECTORES Y SISTEMAS DE FUERZAS SESIÓN 2 VECTORES Y SISTEMAS DE FUERZAS I. CONTENIDOS: 1. Cantidades escalares y vectoriales. 2. Características de un vector. 3. Sistemas de fuerzas. 4. Resultante de un sistema de fuerzas. 5. Método

Más detalles

Nombre:..Curso:.. GUIA DE TRABAJO Y POTENCIA MECANICA. Un niño traslada una caja desde el punto A al punto B recorriendo 4 m (fig.

Nombre:..Curso:.. GUIA DE TRABAJO Y POTENCIA MECANICA. Un niño traslada una caja desde el punto A al punto B recorriendo 4 m (fig. Nombre:..Curso:.. GUIA DE TRABAJO Y POTENCIA MECANICA Trabajo realizado por una fuerza. Un niño traslada una caja desde el punto A al punto B recorriendo 4 m (fig. N 1), fig N 1 Desde el punto de vista

Más detalles