1. VECTORES. Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica

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1 1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico 1. VECTORES Iván Vargas Blanco Físico Profesor, Instituto Tecnológico de Costa Rica 1.1 CNTIDDES VECTORILES Y ESCLRES Definición de Magnitud tributo de un fenómeno, cuerpo o sustancia que puede ser distinguido cualitativamente determinado cuantitativamente 1. También se entiende como cantidad física formada por un número la unidad de medida respectiva. Ejemplos: 0.3 µm, 3 km, 4 m/s, 1 J. Definición de Escalar Cantidad física que solo tiene magnitud. Son ejemplo de escalares: distancia, masa, tiempo, rapide, temperatura, área, volumen, densidad, trabajo, energía, potencia frecuencia. Los escalares pueden ser manipulados por las reglas del álgebra ordinaria. Ejemplos: 4 m, 5 kg, 60 s, 0 m/s, 37 C, 8 m, 4 m 3, 4 Kg/m 3, 1.78 J, 50 W 333 H Definición de Vector Cantidad física que tiene magnitud, dirección sentido. Son ejemplo de vectores: la velocidad, la aceleración, la fuera, el peso, la cantidad de movimiento, el desplaamiento, campo eléctrico el campo magnético.(la palabra vector significa portador en latín). Ejemplos: -4 m/s, +9.8 m/s, 500 N 30, -5 Kg m/s 0 m Representación gráfica de vectores Un vector se representa gráficamente, como un segmento dirigido de recta PQ de un punto P llamado punto inicial o origen a otro punto Q llamado punto terminal o termino. Una punta de flecha en un etremo indica el sentido; la longitud del segmento, interpretada con una escala determina la magnitud. La dirección del vector se especifica al dar los ángulos que forma el segmento de recta con los ejes de coordenadas. Ejemplo: P Origen Termino Q Dirección: 30 Magnitud: 60 m Escala: 1 cm = 0 m 1 Peste F. Vocabulario Internacional de Términos Fundamentales Generales de Metrología.Centro Nacional de Metrología.Méico.1996

2 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Notación de vectores lgebraicamente los vectores se representan con letras del alfabeto castellano, maúsculas o minúsculas; usualmente en un teto impreso se utilia la letra en negrita, tal como b que significa ambas propiedades del vector, magnitud dirección. En la escritura manual ponemos una flecha sobre la letra para denotar la cantidad vectorial, tal como b. Ejemplos: a : -35 m/s, : 50 millas Norte, b: 15 km Suroeste, B: 0 m Oeste, PQ : 50 m/s 30 La magnitud o longitud de un vector se representa colocando el vector entre barras o simplemente la letra asignada. = 50 millas, = 50 millas, PQ = : 50 m/s, PQ = : 50 m/s Dirección de un vector con puntos cardinales Para dar la dirección de un vector mediante puntos cardinales se anota de primero el punto cardinal norte o sur de acuerdo a la ubicación del vector, luego el ángulo que forma con el norte o sur finalmente el punto cardinal este u oeste según corresponda. N : 0 m Escala: 1 cm = 10 m 30 O E : 0 m, N 60 O 45 B : 30 m, S 45 E S B : 30 m Dirección de un vector con la medida del ángulo (coordenadas polares ) En este caso se anota la magnitud del vector el ángulo que forman la rama positiva del eje X el vector, el ángulo se toma como positivo o negativo en la misma forma que se hace en los estudios de trigonometría. La magnitud del vector el ángulo son llamados coordenadas polares. La magnitud : 0 m el ángulo son Escala: 1 cm = 10 m llamadas 30 Coordenadas Polares O : 0 m, B : 30 m, -45 B : 30 m

3 3 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Clasificación de vectores Definición de línea de acción de un vector Es la recta a la que pertenece el vector Ejemplo: Vectores paralelos Son aquellos que tienen sus líneas de acción paralelas. Ejemplo: B B Vectores iguales Son aquellos vectores que tienen la misma magnitud,dirección sentido aunque no tengan el mismo punto de aplicación. Ejemplo: θ θ B = B Vectores desliantes Son aquellos vectores que pueden moverse sobre su línea de acción sin cambiar su magnitud dirección. Ejemplo: B

4 4 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Vectores fijos Son aquellos vectores que no deben desliarse sobre su línea de acción porque interesa que el origen coincida con un punto de aplicación del sistema. Ejemplo: F Vectores libres Son aquellos vectores que pueden moverse libremente en el espacio con sus líneas de acción paralelas. Ejemplo: Vector opuesto de un vector Se define como aquel que tiene la misma magnitud del vector está a 180 respecto al vector se representa como el negativo del vector, a -a por lo cual se le llama vectores iguales opuestos o antiparalelos. Un vector puede ser opuesto a otro si solo tiene dirección opuesta. Ejemplo: - Vector unitario: û Es aquel vector de magnitud la unidad o longitud unitaria de igual dirección que el vector dado. Si o es un vector cualquiera de longitud >0, entonces / o / es un vector unitario denotado por a o â, con la misma dirección de. Por lo tanto =a o = ˆ a Ejemplo: Este es uno 7m60 de los : 7 m 60 ˆ a = = = 1 m 60 vectores mas 7 importantes â : 1 m 60 Por lo tanto podemos escribir el vector como = aˆ = 7 ˆ a m

5 5 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Vectores consecutivos Son aquellos vectores donde el término de uno coincide con el origen del siguiente. Ejemplo: b a c Vectores concurrentes Son aquellos vectores cuas líneas de acción se intersecan en un punto. Ejemplo: a b c 1. OPERCIONES CON VECTORES GRÁFICMENTE a)multiplicación de un escalar por un vector gráficamente Si se multiplica un escalar λ por un vector resulta el vector multiplicada por λ el sentido depende del signo del escalar. Ej: : m 30 sí λ = λ = ( m) = 4 m 30 λ cua magnitud ha sido Practica 1.1 Dado el vector a : 50 m 300. Hallar: a) La representación del vector b) El vector opuesto de a c) El vector unitario de a d) Un vector concurrente a a e) Un vector consecutivo a a f) Un vector perpendicular a a 1 g) Un vector cua magnitud sea a

6 6 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico b) Suma gráfica de vectores Para sumar vectores gráficamente eisten diferentes métodos: Método del triangulo Es el método para sumar dos vectores consecutivos formando un triangulo con la resultante. Se deben seguir los siguientes pasos: 1. En un diagrama dibujado a escala traar el vector a con su dirección propia en el sistema de coordenadas.. Dibujar el vector b a la misma escala con la cola en la punta de a,asegurándose de que b tenga su misma dirección propia. 3. Se traa un vector desde la cola de a hasta la punta del vector b. Se mide la longitud del vector resultante se realia conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con la rama positiva del eje X. Ejercicio 1.1 Dados los siguientes vectores: : 30 m, 35, B : 0 m, -45.Obtener el vector suma S = + B,mediante el método del triangulo. B S = + B Método del paralelogramo Es el método para sumar vectores concurrentes. Se dibujan los vectores f g con origen común, luego en la figura se traa una paralela a f por el término de f se traa una paralela a g ; ambas paralelas los dos vectores forman un paralelogramo. El vector resultante r de sumar f g se traa desde el origen de ambos vectores hasta la intersección de las paralelas. Se mide la longitud del vector resultante se realia conversión con la escala, esto nos da la magnitud del vector suma. Luego se mide el ángulo que forma el vector suma con la rama positiva del eje X. Ejercicio 1. Dados los siguientes vectores: f : 5 m 60, g : 35 m 0.Obtener el vector suma r = f + g, mediante el método del paralelogramo. f f r 60 g g

7 7 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Método del polígono Para sumar vectores por el método del polígono se colocan los vectores consecutivos el vector suma es la resultante que va desde el origen del primer vector al término del último vector. Ejercicio 1.3 Un auto se desplaa 300 m del Norte 30 al Este, luego 500 m del Sur 60 al Este finalmente 300 m al Sur. Hallar la distancia dirección a la que quedo del punto de inicio. N E b N s = a + b + c N a E s Propiedades de la suma de vectores 1. Le conmutativa para la suma. a + b = b + a b a c E b. Le asociativa para la suma. d + ( e + f ) = ( d + e) + f e f Lees del álgebra vectorial a d Si, B C son vectores, m n son escalares, entonces 1. + B = B + Le conmutativa para la suma. + ( B +C ) = ( + B )+C Le asociativa para la suma 3. m(n )= (mn) = n(m ) Le asociativa para la multiplicación 4. (m + n) = m + n Le distributiva 5. m( + B ) = m + m B Le distributiva Observe que en estas lees sólo la multiplicación de un vector por uno o más escalares está definida. Mas adelante se definen los productos entre vectores. Murra R.S. Matemáticas vanadas para Ingeniería Ciencias. M c GrawHill. Méico.001. pag.149.

8 8 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico b) Resta gráfica de vectores La resta de vectores es una suma indicada utiliando el concepto de vector opuesto. R = B = + ( B) Recuerde que Tiene la propiedad de no ser conmutativa. para la resta B B gráfica los Ejemplo 1.4 Sean : 0 m 60 vectores deben tener un origen B : 50 m 0. común Hallar: a) S = + B b) R = B c) R = B Practica 1. Sean : 30 m 110 B : 50 m 60 Hallar: a) S = + B b) R = B c) R = B d) Pruebe que B = ( B ) B B 1.3 OPERCIONES CON VECTORES NLÍTICMENTE 1) SUM NLÍTIC DE VECTORES Para sumar vectores analíticamente eisten diferentes métodos: Método de teoremas Consiste en hallar la resultante de la suma vectorial de dos vectores, utiliando relaciones como el teorema de Pitágoras o el teorema de cosenos senos. Teorema de Pitagoras Cuando los vectores forman un ángulo recto la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de Pitágoras la dirección por la relación trigonométrica tangente. S S = a + θ b b tan θ = a a b

9 9 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.3 Un avión vuela hacia el Norte a 90 m/s un fuerte viento sopla hacia el este a raón de 7 km/h desvía su rumbo. Hallar la velocidad del avión para un observador en la tierra. 0 m/s 90 m/s θ S S = a + b b tan θ = a 0 tan θ = S = ( 90) + (0) 90 S = 8500 tan θ = 0. S = 9. m/s θ = 1.5 Respuesta: S : 9. m/s, 1.5 ( en coordenadas polares ) Ejercicio Propuesto: l oír la cascabel de una serpiente, usted realia dos desplaamientos rápidos de 6.0 m 5.0 m, al oeste al sur respectivamente. Calcule la magnitud dirección del desplaamiento resultante utiliando el método del teorema de Pitágoras. Utilice el método gráfico para obtener la respuesta, compare los resultados. Respuesta: Teorema de cosenos senos Cuando los vectores forman cualquier ángulo la magnitud de la suma o resultante se obtiene por medio del teorema de cosenos la dirección por el teorema de los senos. a β b θ α s s = a + b ab cosθ (Le de cosenos) senα senβ senθ = = (Le de senos) a b c

10 10 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.4 Dos hombres tiran de un bote, uno aplica una fuera de 100 N el otro de 80 N con un ángulo de 60 entre ellas. Hallar la fuera resultante sobre el bote 60 Para la magnitud Para la dirección senα senβ senθ s = a + b ab cosθ = = a b c s = (100) + (80) (100)(80) cos10 senβ 10 = sen sen10 s = senβ = 156. s = 4400 sen β = s = 156. m/s β = 6. 3 Respuesta: s : 156. m/s, 6.3 (en coordenadas polares ) Ejercicio Propuesto: Un conductor de automóvil maneja 3 km en la dirección de 60 noreste luego 4 km en la dirección norte. Dónde termina respecto de su punto de inicio?.utilice el método anterior, compare su resultado con su respuesta si utilia el método grafico. Método de componentes rectangulares Dado un vector puede ser epresado en términos de muchos vectores que se suman consecutivamente llamados vectores componentes del vector =

11 11 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico La división de un vector en componentes no es única dado que un vector puede formarse por suma de mu diversas maneras, pero es de maor utilidad descomponer un vector solo en términos de sus vectores componentes rectangulares o cartesianas. a) Componentes Rectangulares o Cartesianas de un Vector Entre el ilimitado número de posibles divisiones de un vector en componentes tiene especial importancia las que se restringen a la dirección de los ejes cartesianos. Vectores unitarios rectangulares Los vectores unitarios rectangulares ˆ i, ˆj kˆ son vectores unitarios cua dirección sentido es la de los ejes positivos,, de un sistema de coordenadas rectangulares, a menos que se especifique de otra manera. Tales sistemas derivan su nombre del hecho de que un tornillo de rosca derecha girado 90 de O a O, avanará en la dirección positiva. Se dice que tres vectores que tienen puntos iniciales coincidentes, que no son coplanares forman un sistema derecho o sistema diestro si un tornillo de rosca derecha girado en un ángulo menor que 180 de a B avana en la dirección C = ˆ i C B = Bˆj C = Ckˆ kˆ ĵ B î ˆ i = ˆj = ˆ k = 1 Componentes de un vector en el plano ĵ : componente en la dirección del eje X : componente en la dirección del eje Y = + :Definición de suma de vectores Utiliando los vectores unitarios, se tiene = ˆ i = ˆ j = + = ˆ i + ˆj î θ

12 1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Módulo o magnitud del vector Usando el teorema de Pitágoras se tiene = + : los vectores unitarios tienen magnitud unitaria. = + + : magnitud del vector. Relaciones útiles = cos θ = cosθ = sen θ = senθ tan θ = θ = arc tan dirección del vector. Ejercicio 1.5 Calcule las componentes, de los siguientes vectores: a : 1 m, N 37 E b : 15 m, -40 c : 6 m, 60 con negativo en el tercer cuadrante a = a cosθ b = bcosθ c = c cosθ a = 1mcos53 b = 15mcos 40 = 6mcos 40 a = 7. m b = m c = 3 m a = asenθ b = bsenθ c = csenθ a = 1msen53 b = 15msen 40 = 6msen40 a = 9.6 m b = 9. 6 m c = 5. m a = a ˆ i + a ˆ j b = b ˆ i + b ˆ j a = ( 7.ˆ i ˆ) j m b = ( 11.5ˆ i 9.6 ˆ) j Ejercicio Propuesto: Calcule las componentes, de los siguientes vectores: :.4 m, S 0 O B : 1.7 m, -10 C : 3.4 m, 30 con negativo en el segundo cuadrante c c c = c ˆ i + c ˆ j m c = ( 3ˆ i 5. ˆ) j m

13 13 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.6 Calcule la magnitud dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) = 3.6 cm, = -7. cm b) B = -1.4 cm, B = cm = + + B = + B + B = + ( 3.6) + ( 7.) B = + ( 1.4) + ( 9.35) = B = = cm B = cm tanθ = tan β = θ = β = Respuestas: : 8.04 cm, ; B : 9.45 cm, 81.5 Ejercicio Propuesto: Calcule la magnitud dirección del vector representado por los siguientes pares de componentes: a) a = -.34 km, a = 8.70 km b) b = 1.60 km, b = 5.75 km b) Suma de varios vectores en el plano Sean los siguientes vectores, todos en el plano XY = ˆ i + ˆ j B B = B ˆ i + B ˆ j S S B C = C ˆ i + C ˆ j Sumando los vectores se tiene S = + B + C +... S = ( + B + C +...)ˆ i + ( + B + C +...) ˆj S B

14 14 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico S ( + B + C +...) : suma de las componentes en la dirección del eje X = = + B + C S ( +...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y S = S ˆ i + S ˆ j : vector resultante S = + S + S : magnitud del vector resultante S tan θ = S S θ = arc tan : ángulo que forma el vector resultante S Ejercicio 1.7 Una partícula eperimenta tres desplaamientos sucesivos en un plano, como sigue: 4.13 m SO, 5.6 m E, 5.94 m en una dirección de 64 NE. Elija el eje apuntando al este el eje apuntando hacia el norte, halle (a) las componentes de cada desplaamiento, (b) las componentes del desplaamiento resultante, (c) la magnitud dirección del desplaamiento resultante, (d) el desplaamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque. 3 N C : 5.94 m O B : 5.6 E m (a) : 4.13 m S = cosθ B = Bcosθ C = C cosθ = 4.13mcos 5 B = 5.6mcos 0 = 5.94mcos 6 =.9 m B = 5. 6 m C = m C = senθ B = Bsenθ C = Csenθ = 4.13msen5 B = 5.6msen0 = 5.94msen6 C =.9 m B = 0 m C =. 6 m = ˆ i + ˆ j B = B ˆ i + B ˆ j = (.9ˆ i.9 ˆ) j m B = ( 5.6ˆ i + 0 ˆ) j C = C ˆ i + C ˆ j m C = ( 5.3ˆ i +.6 ˆ) j m 3 Resnick.R. Física Vol.1. Cuarta Edición. Compañía Editorial Continental,S.. Méico Pb:

15 15 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico (b) (c) (d) = (.9ˆ i.9 ˆ) j m B = ( 5.6ˆ i + 0 ˆ) j m C = ( 5.3ˆ i +.6 ˆ) j m S = ( 7.7ˆ i 0.3 ˆ) j m S = + S S + S tan θ = S S = ( 7.7) + ( 0.3) tanθ = 7.7 S = +7.7 m θ =. el desplaamiento que se requerirá para traer de nuevo a la partícula hasta el punto del arranque es de 7.7 m. Ejercicio Propuesto: El vector es de.80 cm está 60 sobre el eje en el primer cuadrante. B es de 1.90 cm está 60 por debajo del eje en el cuarto cuadrante. Obtenga la magnitud dirección de + B. Dibuje un diagrama de la suma muestre que sus respuestas numéricas concuerdan con las de su dibujo 4. c) Componentes de un vector en el espacio tridimensional El procedimiento desarrollado para los vectores en el plano se etiende al espacio tridimensional de la siguiente forma. Cualquier vector en tres dimensiones se representa con su punto inicial en el origen O de un sistema de coordenadas rectangulares. Sean (,, ) las coordenadas rectangulares del punto terminal de un vector con punto inicial en O. Los vectores = ˆ i, = ˆ j, = ˆ k reciben el nombre de componentes rectangulares de un vector o simplemente vectores componentes en las direcciones de,, respectivamente. Por comodidad en la notación cada vector componente se epresa por la magnitud de la componente por un vector unitario en cada eje. estos vectores unitarios se les designa por ˆ i, ˆj kˆ donde: î = vector unitario en el eje = (1,0,0) ĵ = vector unitario en el eje = (0,1,0) kˆ = vector unitario en el eje = (0,0,1) Por lo tanto un vector en componentes rectangulares de tres dimensiones se escribe de la siguiente manera. = + + = ˆ i + ˆj + ˆ k 4 Sears F.W. Física Universitaria. Novena edición.pearson Educación. Méico.1999.Pb.1-37

16 16 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico donde (, ), son las magnitudes de los vectores componentes rectangulares o sea las proecciones del vector sobre los ejes,. = ˆ k = ˆ i = ˆ j De esta manera el vector queda epresado así = ˆ i + ˆj + ˆ k Ejercicio 1.8 Representar el vector : ( 3, -, 3 ) Practica 1.3 Represente los siguientes vectores (,, 4), ( -, 4, 3) Magnitud de un vector en tres dimensiones La magnitud se obtiene aplicando el teorema de Pitágoras dos veces. ( + ) = + = + + : Magnitud del vector

17 17 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Dirección de un vector en tres dimensiones La dirección del vector en tres dimensiones se puede obtener de dos maneras: a) por medio de los cosenos de los ángulos directores Son los ángulos que el vector forma con cada eje. α = ángulo entre el vector el eje β = ángulo entre el vector el eje γ = ángulo entre el vector el eje Los cosenos son respectivamente cos α = = cosα cos β = = cos β α, β, γ son los ángulos directores cos γ = = cosγ Luego se obtiene la función inversa para obtener cada ángulo. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede epresar con los ángulos directores así. = ˆ i + ˆ j + ˆ k = cosαˆ i + cos βˆj + cosγ ˆ k donde = cos α + cos β + cos γ b) por medio de los ángulos θ φ de las coordenadas esféricas Definimos dos ángulos; θ como el ángulo que hace el vector con el eje Z φ como el ángulo que hace la proección del vector sobre el plano XY con el eje X positivo ( ver figura ). Estos ángulos están dados de la siguiente forma: cos θ = = cosθ tan φ = = tanφ con esto se puede demostrar que: = senθ cosφ = senθsenφ = cosθ las variables (r,θ,φ) se les llama coordenadas esféricas. En nuestro caso r =. Por lo tanto todo vector en tres dimensiones se puede epresar de la siguiente forma. = ˆ i + ˆ j + ˆ k = senθ cosφˆ i + senθsenφˆj + cosθ ˆ k

18 18 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.9 Dado el vector C : 5 m α = 175 β = 75 γ = 140 Epresarlo en componentes rectangulares. = cosα = cos β = cosγ = 5mcos175 = 5mcos75 = 5mcos140 = 4.9 m = 6. 5 m = m = ˆ i + ˆ j + ˆ k = ( 4.9ˆ i ˆj 19.1 ˆ) k m Ejercicio 1.10 En el siguiente diagrama, hallar: a) Las componentes F,F, F b) Los angulos α, β, γ F 40 F 30 F= 500 N F F a)por medio de cosenos directores F = F cosα F = F cos β F = F cosγ F? F =? = 500N cos 40 = F = Rsenα F = Rcosα F = 31.4Nsen30 = 31.4N cos30 F F = N F = N R sen λ = R = Fsenλ F R = 500sen40 R = N F F =

19 19 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico F cos α = F F cos β = F cos α = 500 α = cos β = 500 β = 56. b)por medio de coordenadas esféricas Como θ = 40 φ = 60, tenemos F = Fsenθ cosφ F = Fsenθsenφ F = F cosθ F = 500Nsen40 cos 60 F = 500Nsen40 sen60 = 500N cos 40 F = N F = 78. 3N F = N Los ángulos se obtienen como en el caso anterior. Ejercicio Propuesto: Una fuera F actúa en el origen de un sistema en una dirección dado por α = 75 γ = 130 Sabiendo que F = 300 N. Hallar: a) La fuera F b) Las componentes F F c) El ángulo β Respuesta: F = 416.1N, F = 107.7N, F = 67.4N, β = d) Suma de vectores en el espacio La suma de vectores en el espacio se realia de manera similar a la empleada para los vectores en el plano. Sean los siguientes vectores, = ˆ i + ˆ j + ˆ k B = B ˆ i + B ˆ j + B ˆ k C = C ˆ i + C ˆj + C ˆ k Sumando los vectores se tiene S = + B + C +... S = ( + B + C +...)ˆ i + ( + B + C +...) ˆj + ( + B + C +...) ˆ k S ( + B + C +...) : suma de las componentes en la dirección del eje X = = + B + C = + B + C S ( +...) : suma de las componentes en la dirección del eje Y S ( +...) : suma de las componentes en la dirección del eje Z F

20 0 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico S = S ˆ i + S ˆ j + S ˆ k : vector resultante S = + S + S + S : magnitud del vector resultante. La dirección se obtiene por medio de una de las formas mencionadas anteriormente. Ejercicio 1.11 Dados los vectores: a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k b = ˆ i + ˆj + 5 ˆ k c = ˆ i 6 ˆj Hallar: a) S = { 3( )} 1 c a + b + b) la magnitud dirección de S c) Un vector unitario en la dirección de a d) Un vector opuesto a b e) El vector 5 a (a) b = ˆ i + ˆj + 5 ˆ k c = ˆ i 6 ˆj + 0 ˆ k ( b + c) = 3ˆ i 5 ˆj + 5 ˆ k 3 ( b + c) = 9ˆ i 15 ˆj + 15 ˆ k a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k a + 3 ( b + c) = 6ˆ i 13 ˆj + 11ˆ k S = { a b c } 1 + 3( + ) = ˆ i ˆj ˆ k + S = 3 ˆ i 6.5 ˆj ˆ k (b) S = + ( 3) + ( 6.5) + (5.5) S = dirección con ángulos directores: 3 cos α = cosα = α = cos β = 6.5 cos β = β = cos γ = cos γ = γ =

21 1 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Respuesta: S : 9.03, α = 109.4, β = 136.0, γ = 5. 5 dirección con coordenadas esféricas: 5.5 cos θ = cos θ = θ = tan φ = tanφ = φ = Respuesta: S : 9.03, θ = 5.5, φ = 65. (c) a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k a a a a ˆ a = = ˆ i + ˆj + ˆ k : vector unitario en coordenadas rectangulares a a a a (d) (e) a = a + a + a a = ( 3) + () + ( 4) a = a ˆ i ˆ 4 ˆ = + j + ˆ k ˆ a = 0.55ˆ i ˆj 0.74 ˆ k : vector unitario en la dirección de a b = ˆ i + ˆj + 5 ˆ k b = ˆ i ˆj 5 ˆ k a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k 5a = 15ˆ i + 10 ˆj 0 ˆ k Ejercicio Propuesto: Dados los vectores: = 3 ˆ i ˆj + ˆ k B = 4 ˆ i + 3 ˆ k C = ˆ i + 4 ˆj 5 ˆ k Hallar: a) S = + ( B + C) b) la magnitud dirección de C c) Un vector unitario en la dirección de Bˆ d) Un vector opuesto a e) Representar el vector C

22 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico e) Resta de vectores en el plano en el espacio Sean los siguientes vectores, = ˆ i + ˆ j + ˆ k B = B ˆ i + B ˆ j + B ˆ k Realiando la resta R = B se tiene R = B R = ( B )ˆ i + ( B ) ˆj + ( B ) ˆ k R = ( B) : resta de las componentes en la dirección del eje X R = ( B ) : resta de las componentes en la dirección del eje Y R = B ) : resta de las componentes en la dirección del eje Z ( R = R ˆ i + R ˆj + R ˆ k : vector resultante Ejercicio 1.1 Dados los vectores: = ˆ i + 5 ˆj 4 ˆ k B = ˆ i + 3 ˆj + 5 ˆ k C = ˆ i 6 ˆj Hallar: a) R = { 3( )} 1 C B b) Demuestre que ( C B) = ( B C) c) la magnitud dirección de C d) Un vector unitario en la dirección de e) + B + C + D = 0 Hallar D (a) B = ˆ i + 3 ˆj + 5 ˆ k C = ˆ i 6 ˆj + 0 ˆ k ( B C) = 0ˆ i + 9 ˆj + 5 ˆ k 3 ( B C) = 0ˆ i + 7 ˆj + 15 ˆ k = ˆ i + 5 ˆj 4 ˆ k 3( B C) = 0ˆ i 7 ˆj 15 ˆ k 3( B C) = ˆ i ˆj 19 ˆ k

23 3 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico (b) (c) R = 19 { 3( B C) } = ˆ i ˆj ˆ k 1 R = ˆ i 11ˆj 9.5 ˆ k Demuestre que ( C B) = ( B C) ( B C) = 0ˆ i + 9 ˆj + 5 ˆ k ( B C) = 0ˆ i 9 ˆj 5 ˆ k C = ˆ i 6 ˆj + 0 ˆ k B = ˆ i + 3 ˆj + 5 ˆ k ( C B) = 0ˆ i 9 ˆj 5 ˆ k C = ˆ i 6 ˆj + 0 ˆ k C = + C = 6.3 ( ) + ( 6) dirección para un vector en dos dimensiones: C 6 tan θ = tanθ = θ = C Respuesta: C : 6.3, θ = ( en coordenadas polares ) (d) = ˆ i + 5 ˆj 4 ˆ k ˆ = = ˆ i + ˆj ˆ k + = + + = ( ) + (5) + ( 4) = 6.7 ˆ ˆ 5 4 i ˆ = + j + ˆ k ˆ = 0.30ˆ i ˆj 0.60 ˆ k : vector unitario en la dirección de (e) + B + C + D = 0 Hallar D = ˆ i + 5 ˆj 4 ˆ k B = ˆ i + 3 ˆj + 5 ˆ k C = ˆ i 6 ˆj + 0 ˆ k + B + C = ˆ i + ˆj + ˆ k D = ( + B + C)

24 4 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico D = ( ˆ i + ˆj + ˆ) k D = ˆ i ˆj ˆ k Ejercicio Propuesto: Dados los vectores: a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k b = ˆ i + ˆj + 5 ˆ k c = ˆ i 6 ˆj Hallar: a) S = { 3( )} 1 c a b b) la magnitud dirección de c b) Un vector unitario en la dirección de b c) a + b + c + d = 0 Hallar d d) Un vector opuesto a a e) Representar el vector c ) MULTIPLICCIÓN DE VECTORES Definiremos tres clases de operaciones de multiplicación por vectores: 1- Multiplicación de un vector por un escalar - Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO ESCLR O PRODUCTO PUNTO) 3- Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO VECTORIL O CRUZ) a) Multiplicación de un vector por un escalar Sea = ˆ i + ˆ j + ˆ k : un vector dado m : un escalar Se define el producto del escalar (m) por el vector como el vector m = m ˆ i + m ˆj + m ˆ k tal que : m > 0 m : tiene la dirección sentido de m < 0 m : es de sentido opuesto a m = 0 m= 0 : el resultado es el vector nulo su magnitud es m = m Ejemplo: Por lo tanto = ˆ i 3 ˆj + ˆ k m= 4 4 = (4)ˆ i (4)3 ˆj + (4) ˆ k = 8ˆ i 1 ˆj + 4 ˆ k

25 5 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico b) Multiplicación de dos vectores para dar por resultado un escalar (PRODUCTO ESCLR O PRODUCTO PUNTO) El producto escalar de dos vectores B, denotado por B ( léase punto B ) se define como el producto de las magnitudes de B por el coseno del ángulo entre ellos. Simbólicamente, B = B cos θ 0 θ π Observe que Recuerde que el B es un escalar no un vector. resultado de B es Conmutatividad del producto escalar De la definición del producto escalar se tiene B = B cos θ = B cos θ = B Representación geométrica del producto escalar Geométricamente el producto escalar es la magnitud de un vector por la proección del otro sobre él, así B cos θ : magnitud del vector : proección del vector B sobre el vector un numero no un vector B θ B cos θ Producto escalar en componentes cartesianas plicando la definición del producto escalar a las unidades vectoriales cartesianas, se tiene ˆ i ˆ i = ˆ i ˆ i cos 0 = 1 ˆ i ˆj = ˆ i ˆj cos 90 = 0 kˆ De esta manera tenemos los resultados ĵ ˆ i ˆ i = ˆj ˆj = ˆ k ˆ k = 1 î ˆ i ˆj = ˆ i ˆ k = ˆj ˆ k = 0 Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores epresados en componentes rectangulares o cartesianas

26 6 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Sean los vectores = ˆ i + ˆ j + ˆ k B = B ˆ i + B ˆj + B ˆ k Multiplicando ambos vectores termino a termino, obtenemos: B = ( ˆ i + ˆj + ˆ) k ( B ˆ i + B ˆj B ˆ) k + = ˆ i B ˆ i + ˆ i B ˆj + ˆ i B ˆ k + ˆj B ˆ i + ˆj B ˆj + ˆj B ˆ k + ˆ k B ˆ i + ˆ k B ˆj + ˆ k B ˆ k = B ˆ i ˆ i + B ˆ i ˆj + B ˆ i ˆ k + B ˆj ˆ i + B ˆj ˆj + B ˆj ˆ k + B ˆ k ˆ i + B k ˆj + B ˆ k ˆ k = B ˆ i ˆ i + B ˆj ˆj + B ˆ k ˆ k B = B + B + B : producto escalar en términos de las componentes Relacionando la definición de producto escalar con el resultado anterior, tenemos B = B cos θ B = B + B + B Bcos θ = B + B + B Por lo tanto B + B cos θ = B + B : ángulo entre los vectores B Propiedades del Producto Escalar 1-El resultado de un producto escalar es un número. -El producto escalar satisface la propiedad conmutativa B = B 3-El producto escalar satisface la propiedad distributiva respecto a la suma ( B + C) = B + C 4-Si θ = 0 el producto escalar de vectores paralelos es B = B cos 0 = B es el máimo 5-El producto escalar de dos vectores iguales es = cos 0 = = 6-Si θ = 90 el producto escalar de vectores perpendiculares diferentes de cero es B = B cos 90 = 0 7-Si θ = 180 el producto escalar de vectores opuestos es B = B cos 180 = -B es un número negativo

27 7 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.13 Sean dos vectores de unidades respectivamente que forman entre sí un ángulo de 34. Calcular su producto escalar. B = B cos θ 0 θ π B = (35)(75) cos 34 B = 176. Ejercicio 1.14 Calcular el producto escalar de dos vectores de 5 1 unidades respectivamente si son: a) consecutivos colineales b) opuestos c) perpendiculares d) Obtenga el producto escalar de un vector consigo mismo (a) B = B cos θ 0 θ π B = (5)(1) cos 0 B = 60 (b) B = B cos θ 0 θ π B = (5)(1) cos 180 B = 60 (c) B = B cos θ 0 θ π B = (5)(1) cos 90 B = 0 (d) = cos θ 0 θ π = (5)(5) cos 0 = 5 Ejercicio 1.15 Sean los vectores: a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k b = ˆ i + ˆj + 5 ˆ k c = ˆ i 6 ˆj Hallar: a) a b = Son los vectores perpendiculares? b) Calcular el ángulo entre a b c) 3( a b) =

28 8 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico d) S = { ( )} 1 a b + c 3 a b = 0 Por que? (a) a b = ab cos θ 0 θ π a b = a b + a b + a b a b = ( 3) ( ) + () (1) + ( 4) (5) a b = 4 los vectores no son perpendiculares, pues, el producto escalar no es igual a cero. (b) a b + a b + a b cos θ = : ángulo entre los vectores a b ab (c) a = a + a + a a = a = 5.4 ( 3) + () + ( b = b + b + b b = b = 5.5 ( ) + (1) + 4) (5) 4 cosθ = (5.4)(5.5) θ = : ángulo entre los vectores a b 3( a b) = 3(-4) 3( a b) = -7 Dos vectores son perpendiculares si (d) S = { a ( b + )} 1 c 3 b = ˆ i + ˆj + 5 ˆ k c = ˆ i 6 ˆj + 0 ˆ k ( b + c) = 3ˆ i 5 ˆj + 5 ˆ k ( b + c) = 6ˆ i 10 ˆj + 10 ˆ k a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k a ( b + c) = ( 6)(3) + ( 10)() + (10)( 4) a ( b + c) = 78 1 S = { ( )} 1 3 a b + c = 3 ( 78) S = 6

29 9 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio Propuesto: 1.Dados los vectores : 6 u 60 B : 9 u 5 Hallar: B =? el ángulo entre los vectores.haciendo uso del producto escalar obtener la relación conocida con el nombre de teorema de los cosenos. c) Multiplicación de dos vectores para dar como resultado otro vector (PRODUCTO VECTORIL O CRUZ) El producto vectorial de B es un vector C = B ( léase cru B ). La magnitud de B se define como el producto de las magnitudes de B por el seno del ángulo entre ellos. La dirección del vector C = B es perpendicular al plano formado por B de modo que, B C forman un sistema derecho. sí B = B sen θ û 0 θ π donde û es un vector unitario que indica la dirección de vectorial esta dada por B = B sen θ. nticonmutatividad del producto vectorial Tenemos que B B pues B = ˆ ub sen θ B = ˆ ubsen θ B = B B.La magnitud del producto Esto es conocido como la regla de la mano derecha

30 30 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Representación geométrica del producto vectorial La magnitud del producto vectorial geométricamente se representa como la magnitud del vector por la componente del vector B perpendicular al vector.lo que es igual al área del paralelogramo formado por los dos vectores. B B sen θ B = (B sen θ ) θ Producto vectorial de unidades cartesianas plicando la definición del producto vectorial a las unidades vectoriales cartesianas, se tiene ˆ i ˆ i = ˆ i ˆ i sen 0 = 0 ˆ i ˆj = ˆ i ˆj sen 90 kˆ = kˆ kˆ De esta manera tenemos los resultados ĵ ˆ i ˆ i = ˆj ˆj = ˆ k ˆ k = 0 î ˆ i ˆj = ˆ k, ˆ j ˆ k = ˆ i, ˆ k ˆ i = ˆj ˆ i ˆ k = ˆj, ˆ k ˆj = ˆ i, ˆj ˆ i = ˆ k Regla nemotécnica î kˆ ĵ Producto vectorial en componentes cartesianas Estos resultados se aplican a la multiplicación de vectores epresados en componentes rectangulares o cartesianas Sean los vectores = ˆ i + ˆ j + ˆ k B = B ˆ i + B ˆ j + B ˆ k Multiplicando termino a termino, obtenemos B = ( ˆ i + ˆj + ˆ) k ( B ˆ i + B ˆj B ˆ) k + = ˆ i B ˆ i + ˆ i B ˆj + ˆ i B ˆ k + ˆj B ˆ i + ˆj B ˆj + ˆj B ˆ k + ˆ k B ˆ i + ˆ k B ˆj + ˆ k B ˆ k = B ˆ i ˆ i + B ˆ i ˆj + B ˆ i ˆ k + B ˆj ˆ i + B ˆj ˆj + B ˆj ˆ k + B ˆ k ˆ i + B k ˆj + B ˆ k ˆ k

31 31 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico = B ˆ i ˆj + B ˆ i ˆ k + B ˆj ˆ i + B ˆj ˆ k + B ˆ k ˆ i + B k ˆj = B ˆ k + B ( ˆ) j + B ( ˆ) k + B ˆ i + B ˆj + B ( ˆ) i B = ( B B )ˆ i + ( B B ) ˆj + ( B B ˆ ) k : producto vectorial en términos de las componentes rectangulares. Como este procedimiento resulta tedioso se puede utiliar el operador determinante que realia esta misma operación. Sean los vectores = ˆ i + ˆ j + ˆ k B = B ˆ i + B ˆj + B ˆ k B = ˆ i B ˆj B ˆ k = ( B B )ˆ i ( B B ) ˆj + ( B B ˆ ) k B Tomando la magnitud del producto vectorial podemos encontrar el ángulo entre los vectores. B = B sen θ 0 θ π B senθ = : ángulo entre los vectores B B Propiedades del Producto Vectorial 1-El resultado de un producto vectorial es un vector. -El producto vectorial no es conmutativa B = B 3-El producto vectorial satisface la propiedad distributiva respecto a la suma ( B + C) = B + C 4-Si θ = 0 el producto vectorial de vectores paralelos es B = B sen 0 û = 0 5-El producto vectorial de dos vectores iguales es = sen 0 û = 0 6-Si θ = 90 el producto vectorial de vectores perpendiculares diferentes de cero es B = B sen 90 û = Bˆ u 7-Si θ = 180 el producto vectorial de vectores opuestos es B = B sen 180 û = 0

32 3 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Ejercicio 1.16 Dados los vectores:. = 4ˆ i ˆj ˆ k B = ˆ i + 3 ˆj + 5 ˆ k C = ˆ i 6 ˆj Hallar: a) B = Son los vectores perpendiculares o paralelos? b) Calcular el ángulo entre B c) ( B C) = d) ( B C) = (a) ˆ i ˆj ˆ k B = 4 1 = ( 5 3 1)ˆ i (4 5 1) ˆj + (4 3 ) ˆ k 3 5 B = ( 10 3)ˆ i (0 ) ˆj + (1 4) ˆ k B = 7 ˆ i ˆj + 16 ˆ k Dos vectores son paralelos si a b = 0 Por que? Los vectores no son paralelos, pues, B 0. Para saber si son perpendiculares calculamos el producto escalar. B = B + B + B B = ( 4) () + ( ) (3) + ( 1) (5) B = 3 los vectores no son perpendiculares. (b) B = B sen θ 0 θ π B senθ = B : ángulo entre los vectores B = + + = = 4.6 ( 4) + ( ) + ( B = B + B + B 1)

33 33 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico B = ( ) + (3) + (5) B = 6.1 B = ( 7) + ( ) + (16) B = 8.1 sen θ = 8.0 (4.6)(6.1) Me parece que esto se esta complicando! ( B C) =? θ = 86. (c) ( B C) = B = ˆ i + 3 ˆj + 5 ˆ k C = ˆ i 6 ˆj ˆ i ˆj ˆ k B C = 3 5 = ( )ˆ i ( 0 1 5) ˆj + ( 6 1 3) ˆ k B C = ( 0 30)ˆ i (0 5) ˆj + ( 1 3) ˆ k B C = 30ˆ i 5 ˆj 9 ˆ k = 4ˆ i ˆj ˆ k ( B C) = (4)(30) + ( )( 5) + ( 1)( 9) ( B C) = 139 (d) ( B C) = B C = 30ˆ i 5 ˆj 9 ˆ k = 4ˆ i ˆj ˆ k ˆ i ˆj ˆ k ( B C) = 4 1 = ( 9 5 1)ˆ i ( ) ˆj + ( ) ˆ k ( B C) = 13ˆ i + 6 ˆj + 40 ˆ k Ejercicio 1.17 Un estudiante afirma que ha encontrado un vector tal que ( ˆ i 3 ˆj + 4 ˆ) k = (4ˆ i + 3 ˆj ˆ) k Cree usted que esto es cierto? Eplique 5 5 Serwa. Física I Tomo I.Cuarta Edición. M c Graw Hill. Pb.7,Cap11.

34 34 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico Sabemos que el vector resultante de un producto vectorial es perpendicular al plano que contiene a los vectores, por lo tanto si realiamos un producto escalar entre el vector ˆ i 3 ˆj + 4 ˆ k el vector 4ˆ i + 3 ˆj ˆ k, debe ser igual a cero pues son perpendiculares. a b = ab cos θ 0 θ π a b = a b + a b + a b a b = ( ) (4) + ( 3) (3) + (4) ( 1) a b = 5 El vector ˆ i 3 ˆj + 4 ˆ k el vector resultante 4ˆ i + 3 ˆj ˆ k, no son perpendiculares lo que nos dice que esto no es cierto. Ejercicio Propuesto: 1.Sean los vectores: a = 3ˆ i + ˆj 4 ˆ k b = ˆ i + ˆj + 5 ˆ k c = ˆ i 6 ˆj Hallar: a) a b = Son los vectores perpendiculares? b) Calcular el ángulo entre a b b) 3( a b) = S = 1 a ( b + c ) c) { } 3.Dados los vectores : 6 u 60 B : 9 u 5 Hallar: a) B =? el ángulo entre los vectores REFERENCIS BIBLIOGRÁFICS [1] Spiegel, M.,. Matemáticas vanadas para Ingeniería Ciencias,. McGraw-Hill, Méico, 001. [] Gonale, F. Principios de Mecánica, Oficina de Publicaciones de la Universidad de Costa Rica, Costa Rica, [3] Resnick, R., Hallida, D., Krane, K., Física Vol.1, Tercera edición, Compañía Editorial Continental,S.. de C.V., Méico, 1978.

35 35 VECTORES. Iván Vargas Blanco, Físico [4] Sears F., Zemansk M., Freedman R. Física Universitaría, Novena edición.pearson Educación. Méico [5] Calderon,., Física para Bachillerato, Segunda edición ampliada, Costa Rica, [6] Wilson, J., Física, Segunda edición, Prentice Hall Hispanoamericana, S., Méico, [7] Lea, J., Burke, J., Física: La Naturalea de las Cosas, International Thomson Editores, Méico, [8] Giancoli, D., Física: Principios con plicaciones, Prentice Hall Hispanoamericana, S., Méico,