VECTORES Y OPERACIONES CON VECTORES

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Irene Márquez Lucero
hace 6 años
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1 BOLILLA 2 Sistema de Coordenadas VECTORES Y OPERACIONES CON VECTORES Un sistema de coordenadas permite ubicar cualquier punto en el espacio. Un sistema de coordenadas consta de: Un punto fijo de referencia O, llamado origen Un conjunto de ejes o direcciones especificados Instrucciones que digan como indicar un punto en el espacio con relación a los ejes y al origen. El sistema que más vamos a utilizar es el sistema de coordenadas cartesianas: Consta de de 3 ejes perpendiculares entre si (X, Y, Z). Existen otros tipos de sistemas de coordendas, por ejemplo: Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas Coordenadas polares Refrescando la memoria: Trigonometría:

Coseno y Seno: Cos α = cateto adyacente/ hipotenusa Sen α = cateto opuesta/ hipotenusa Tg α = cateto opuesto/ cateto adyacente = sen/cos Cantidades vectoriales y escalares.

2 Coseno y Seno: Cos α = cateto adyacente/ hipotenusa Sen α = cateto opuesta/ hipotenusa Tg α = cateto opuesto/ cateto adyacente = sen/cos Cantidades vectoriales y escalares. Una cantidad escalar es la que esta especificada completamente por un número con unidades apropiadas. Es decir, Una cantidad escalar solo tiene magnitud y no dirección. Las cantidades físicas que tienen propiedades tanto numéricas como de dirección se representan por medio de vectores. Por otra parte, una cantidad vectorial es una cantidad fisica completamente especificada por un número con unidades apropiadas más una dirección. Es decir, Una cantidad vectorial tiene magnitud tanto como dirección. El número de manzanas en una cesta es ejemplo de una cantidad escalar. Si usted dice que hay 38 manzanas en la cesta dará la información completa requerida; no es necesario especificar una dirección. Otros ejemplos de cantidades escalares son la temperatura, el volumen, la masa y los intervalos de tiempo. Las reglas de la aritmética ordinaria se emplean para manejar cantidades escalares. La fuerza es un ejemplo de una cantidad vectorial. Para describir de una manera completa la fuerza sobre un objeto se debe especificar la dirección de la Fuerza aplicada, un número para indicar la magnitud de la fuerza, y a menudo la línea de aplicación de la fuerza. La velocidad es otro ejemplo de una cantidad vectorial. Si se desea describir la velocidad de un auto en movimiento, se deberá especificar tanto su rapidez (digamos, 25 m/s) como la dirección en la cual se mueve (por ejemplo el suroeste). Con las reglas de la aritmética ordinaria no se pueden manejar cantidades vectoriales. En su lugar se combinan vectores de acuerdo con reglas especiales que se estudiaran. Un tercer ejemplo de cantidad vectorial es el desplazamiento de una partícula. Suponga que la partícula se mueve de algún punto O hasta el punto P a lo largo de una trayectoria recta. Este

3 desplazamiento se representa con una flecha de O a P en la cual su punta representa la dirección y su longitud representa la magnitud del desplazamiento. Si la partícula se desplaza a lo largo de alguna otra trayectoria de O a P, su desplazamiento sigue siendo la flecha dibujada de O a P. En el caso de que la partícula viaje a lo largo de cualquier trayectoria indirecta de O y P, su desplazamiento se define de manera equivalente al desplazamiento correspondiente a la trayectoria directa de O a P. Si una partícula se mueve a lo largo del eje x de la posición xi, a la posición xj, su desplazamiento está dado por x = x f - x i (Los índices i y f se refieren a los valores iniciales y final.). Con la letra griega delta ( ) se denota el cambio en una cantidad. Es importante recordar que la distancia recorrida por una partícula es diferente a su desplazamiento. La distancia recorrida (una cantidad escalar) es la longitud de la trayectoria, la cual puede ser mucho mayor que la magnitud del desplazamiento. La magnitud de cualquier desplazamiento es la distancia mas corta entre los puntos extremos del vector desplazamiento. En este texto se emplean letras negritas, como A, por ejemplo, para representar una cantidad vectorial. Otro método común en la notación vectorial de cuyo uso usted debe estar enterado, es el de una flecha sobre la letra A. La magnitud del vector A se escribe A o, de manera alternativa, A. La mangitud de un vector tiene unidades físicas, como metros para el desplazamiento o metros por segundo para la velocidad. Componentes de un vector y vectores unitarios Un método geométrico de suma de vectores no es recomendable en situaciones en las cuales sea necesaria una gran exactitud o en problemas tridimensionales. En esta sección, describiremos un método de suma de vectores que emplea las proyecciones de un vector a lo largo de los ejes de un sistema de coordenadas rectangular. Estas proyecciones se denominan las componentes del vector. Cualquier vector puede describirse por completo mediante sus componentes. Considérese un vector A localizado en el plano xy y que forma un ángulo arbitrario θ con el eje positivo, como se muestra en la figura. Este vector puede expresarse como la suma de otros dos vectores A x y A y. En la figura 1 se ve que los tres vectores forman un triángulo rectángulo y que A = A x + A y. Con frecuencia nos referiremos a las componentes de un vector A, escritas como Ax y Ay (sin escribirlas en negritas). La componente Ax representa la proyección de A a lo largo del eje x, y Ay la proyección de A a lo largo del eje y. Figura 1. Descomposición de un vector en sus componentes. Suma y resta de vectores. La suma de dos vectores A y B se ilustra con la Fig. 2. El vector -B es de igual intensidad que el B pero opuesto a él. El vector diferencia A-B se obtiene mediante la

4 operación A+(-B) Se llaman vectores unitarios, a los que teniendo la dirección y sentido de uno de los ejes x,y,z de un sistema de coordenadas cartesianas dextrógiro, su módulo (longitud) es la unidad; hay, pues, tres vectores unitarios, indicados por las letras i,j,k, respectivamente. De la definición de suma de vectores se deduce que un vector cualquiera A puede representarse por la suma A = A x i + A y j + A z k Los escalares A x, A y, A z son las longitudes de las proyecciones de A sobre los ejes x,y,z, respectivamente (Fig. 3). Fig. 2. Suma de vectores Fig. 3. Descomposición de un vector en sus componentes cartesianas. Ello también implica que el producto de un escalar por un vector, tal como ba, es un vector de la misma dirección y sentido que A pero con un módulo b veces el de A. El módulo o intensidad A del vector expresado en función de los unitarios i,j,k, es simplemente: A = A = (Ax 2 + Ay 2 + Az 2 )½ Dos vectores son iguales si lo son sus módulos y coinciden en dirección y sentido, lo que equivale a lo siguiente: A = B si A x =B x, A y =B y, A z =B z Y también es consecuencia de las definiciones precedentes que la suma y la diferencia entre dos vectores A y B están dadas por A + B = (A x ± B x )i ± (A y, ± B y )j + (A z ± B z )k Producto escalar. Hay diversos modos de multiplicar vectores, dos de los cuales se describen y serán usados aquí. El producto escalar de dos vectores, indicado por la notación A.B es un escalar definido como sigue: A.B = A B cosθ = ABcosθ

5 donde θ es el ángulo (<=180 ) entre los vectores A y B. Aplicando este producto a los vectores unitarios, se obtiene Es inmediato que A. B = (A x i + A y j + A z k). (B x i + B y j + B z k) = (A x B x + A y B y + A z B z ) = B. A Producto vectorial. El producto vectorial de dos vectores A x B es un vector cuya dirección es aquella en la que avanzaría un tornillo que girase desde A a B por el camino más corto (a través de θ < 180 ) y cuyo módulo es ABsenθ. En la Fig. 4 el producto A x B es un vector perpendicular al plano de la página, con sentido hacia afuera de ella, hacia el lector. De la definición se deduce que i x i = j x j = k x k = O (sen θ = 0); y Fig. 4. Angulo entre dos vectores. Derivación de vectores. Consideremos un vector A = A x i + A y j + A z k cuyas componentes son funciones del tiempo. Entonces, al ser constantes los vectores unitarios,

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