Materia: Matemática de 5to Tema: Producto Punto. Marco Teórico

Transcripción

1 Materia: Matemática de 5to Tema: Producto Punto Marco Teórico En términos comunes, el producto punto de dos vectores es un número que describe la cantidad de fuerza que dos vectores diferentes contribuyen en la dirección. Por tanto, este valor resulta de la multiplicación de las partes adecuadas de cada vector, y se refiere a veces como el producto escalar de los dos vectores. Un producto punto es una cantidad escalar que varía según el ángulo entre los dos vectores. El ángulo entre los vectores afecta el producto escalar porque la parte de la fuerza total de un vector dedicada a una dirección particular sube o baja si todo el vector está apuntando hacia o lejos de esa dirección. El valor máximo para el producto punto se produce cuando los dos vectores son paralelos entre sí (ambos vectores apuntan en la misma dirección), pero cuando los dos vectores son perpendiculares uno al otro, el valor del producto de punto es igual a 0 (un vector de fuerza tiene cero alineados en la dirección de la otra, y cualquier valor multiplicado por cero es cero). Hay dos formas de calcular el producto escalar. Una manera es multiplicar los componentes individuales. Cada componente del vector componentes del vector resultados. es multiplicado por los que apunta en la misma dirección. Luego añadimos los Otra forma de describir el proceso es decir que el producto punto es la multiplicación de un vector por el componente de un segundo vector que es paralelo al primer vector. En el siguiente diagrama son dos vectores A y B. Una línea perpendicular se ha elaborado radialmente hacia fuera desde B hacia A para crear un triángulo rectángulo con A como la hipotenusa. El componente de la cual es paralela a está dada por A cos θ por lo que la segunda forma de calcular el producto escalar es

2 Del mismo modo, el componente de la que es paralela a está dado por B cos θ, de manera que el producto escalar No importa cuál de los dos vectores se proyecte sobre el otro, el valor del producto escalar se maximiza cuando los dos vectores son paralelos y cero cuando los dos vectores son perpendiculares uno al otro. Cuando un vector está puesto sobre sí mismo, el resultado es el cuadrado de la magnitud del vector, ya que, por definición, un vector tiene la misma dirección que un vector igual a él. Naturalmente, el producto escalar de cualquier vector con un vector cero es cero ya que la magnitud del vector cero es 0. Ejemplo A (A) Calcular el producto escalar de los dos vectores que se muestran a continuación. (B) Determinar el ángulo entre los dos vectores. Y. Solución En primer lugar vamos a utilizar los componentes de los dos vectores para determinar el producto escalar. Ahora que sabemos que el producto punto es la definición alternativa del producto escalar, podemos usar para encontrar θ, el ángulo entre los vectores. En primer lugar encontramos las magnitudes de los dos vectores:

3 A continuación, utilice estas magnitudes con la versión coseno del producto escalar para encontrar θ. Ejemplo B Calcular el producto escalar de los dos vectores se muestran a continuación. A continuación, determinar el ángulo entre los dos vectores. Solución Utilice los componentes de los dos vectores para determinar el producto escalar. Aquí y. Ahora para encontrar el ángulo entre los vectores, en primer lugar encontrar las magnitudes de los dos vectores: A continuación, utilice estas magnitudes con la versión coseno del producto escalar para encontrar θ.

4 Ejemplo C El siguiente diagrama muestra los dos vectores AB y D juntos en la misma red. Determinar la proyección escalar de vector AB en la dirección del vector D. Solución Para encontrar la proyección escalar en la dirección de otro vector que necesitamos, se debe saber cuál es el vector unitario en la dirección del vector D. En primer lugar, los componentes son de Ahora la magnitud de es. Por último, el vector de dirección de es. Ahora podemos utilizar el producto escalar para calcular la proyección escalar de AB en la dirección del vector D.

5 Palabras Clave Un producto punto es la mismo que un producto escalar, y es el producto de la componente de un vector que es paralelo a un segundo vector y la magnitud del segundo vector. Ejercicios Resueltos Preguntas 1) Determinar el producto escalar de los dos vectores y 2) Determinar el producto escalar de los dos vectores que se muestran en el siguiente 3) Determinar el producto escalar de dos vectores y. A continuación, determinar el ángulo entre los dos vectores. 4) Determinar el producto escalar de los dos vectores siguientes.

6 5) Determinar la proyección del vector del vector sobre el vector. 6) Determinar el producto escalar de los dos vectores y, a continuación, determinar el ángulo entre los dos vectores. Soluciones 1) La forma de componentes del producto punto está dada por caso,. En este 2) La forma de ángulo del producto escalar está dada por. En este caso, 3) El producto escalar de dos vectores se define de dos maneras: y. Vamos a utilizar la primera para calcular el producto escalar y luego vamos a utilizar ese resultado, junto con la segunda definición para determinar el ángulo entre los dos vectores. Para encontrar el ángulo entre los dos vectores, necesitamos saber no sólo el producto escalar de los dos vectores, sino también la longitud de cada vector individual. Ahora utilizar la segunda definición del producto escalar para determinar el ángulo

7 4) La forma de ángulo del producto escalar está dada por. En este caso, 5) Determinar el ángulo entre los vectores y. Calculamos el producto escalar de y en el problema anterior: A continuación, podemos utilizar la definición para determinar el ángulo entre los dos vectores. Pero primero tenemos que determinar las magnitudes de los dos vectores. Al mirar el diagrama, podemos ver que el ángulo entre estos dos vectores es mayor que 90 o. Muchas calculadoras sólo dan el menor de los dos ángulos entre dos líneas. Como se puede ver a continuación, tanto θ y relacionan la línea azul a la línea roja.

8 Para nuestro problema, la calculadora devuelve un valor de 53,1 o. El ángulo real entre los dos vectores es 180 o o = o cuando tomamos en cuenta las direcciones de e. 6) El componente de la forma de producto escalar está dada por. Ahora podemos encontrar el ángulo entre los dos vectores usando la otra forma de la ecuación punto-producto:, pero primero tenemos que determinar las magnitudes de los dos vectores utilizando el Teorema de Pitágoras. Ejercicios Encuentra la magnitud 1. Cuál es la magnitud de? 2. Cuál es la magnitud de? 3. Cuál es la magnitud de? 4. Cuál es la magnitud de? Encuentra la Dirección

9 5. Cuál es el sentido de? 6. Cuál es el sentido de? 7. Cuál es el sentido de? 8. Cuál es el sentido de? Encontrar: a) El producto escalar de los vectores A y B, y b) La medida del ángulo se encuentra entre los vectores, redondeada al grado más próximo. 9. Vector A = B = 10. Vector A = B = 11. Vector A = B = 12. Vector A = B = 13. Vector A = B = 14. Vector A = B = 15. Vector A = B = 16. Demostrar que y son perpendiculares al mostrar su producto escalar es cero. 17. Explique por qué muestra el producto escalar de dos vectores es cero demuestra que son perpendiculares.