Soluciones a los ejercicios de vectores

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Juan Carlos Díaz Valenzuela
hace 6 años
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1 Soluciones a los ejercicios de vectores Tomás Rocha Rinza 28 de agosto de De acuerdo con la propiedad de la norma entonces si x 0, se tiene que luego, si x 0 el vector x/ x es unitario. 2. Si x = 3, 1, 2) y y = 0, 1, 2) entonces α x = α x 1) x x = 1 x x = 1 x x = 1 a) x + 3 y = 3, 1, 2) + 30, 1, 2) = 3, 1, 2) + 0, 3, 6) = 3, 2, ), y su dirección está dada por el vector unitario 1/ ) 2 )3, 2, ) = 1/ 29)3, 2, ) b) x y = 3, 1, 2) 0, 1, 2) = ) ) = 0 1 = 5 c) x = x x = 3, 1, 2) 3, 1, 2) = ) = 1 y y = y y = 0, 1, 2) 0, 1, 2) = ) 2 + 2) 2 = 5. d) x+3 y) x+3 y) = 16 x x+212) x y +9 y y = )+9 5 = ))+5 = = 19 e) x+3 y) x+5 y) = 16 x x+12+20) x y+9 y y = )+9 5 = ))+5 = = 109 f ) x, y) = cos 1 x y x y = cos 1 5 = cos = o g) Dado que x = 1, entonces los dos vectores que se piden son 1/ 1)3, 1, 2) y 1/ 1)3, 1, 2). h) Dado que y = 5, entonces los dos vectores que se piden son 1/ 5)0, 1, 2) y 1/ 5)0, 1, 2). 3. Parte si: Cuando a+ = a se tiene a+ 2 = a 2, es decir, +2 a b+ a a b = 2 a b+ a a, b por tanto, a b = 0, entonces a b = 0. Parte solo si: Si a b = 0 entonces a + = Lo que se desea demostrar se ilustra gráficamente en la Figura 1 a a + 2 a b + b = a a 2 a b + b = a 1

2 a a a + Figura 1: a + = a si y solo si a b = 0.. Todo triángulo se puede construir mediante dos vectores no paralelos, distintos de 0, a y, tal como se indica en la Figura 2. Luego, a 2 = a) a) = a a + b 2 a b = a a cos a, )) 2) que es precisamente la ley de los cosenos. El cambio de las etiquetas para los lados del triangulo Figura 2 a), b) y c)), establece la ley de los cosenos, para los otros lados y ángulos del triángulo. Para demostrar la ley de los senos, se considera la Figura 3 de ella se obtiene que a) = a cos θa de donde, cos 2 θ a = b a) a ) 2 y entonces, ) b 2 b a) sen 2 θ a = 1 cos 2 θ a = 1 = 2 ) 2 b a 2 b a) b a 2 a 2 = 2 a 2 2 ) 2 b a 2 a 2 De acuerdo con la ecuación 2) se tiene que a b = a = 1 2 a a 2) luego, sen 2 θ a = 2 b a a a 2)) 2 2 a 2 = 2 a a 2 + a 2)) 2 2 a 2 2

3 a θ a, a a θ a, a θ a, a a a) b) c) Figura 2: Construcción de un triángulo con tres vectores para la desmostración de la ley de los cosenos = 2 a a + a +2 2 a a 2 2 a 2 a 2) 2 a 2 = 2 2 a a 2 +2 a 2 a 2 + a + a ) 2 a 2 y entonces sen 2 θ a a 2 = 2 2 a a 2 +2 a 2 a 2 + a + a ) a 2 2 3) b a 2 Si se aplican los mismos argumentos a la expresión se puede concluir que tú debes dar los detalles!) a a ) = a a cos θ b sen 2 θ b 2 = 2 a 2 a 2 +2 a a 2 a + + a ) 2 a 2 a ) b 2 Como a = a, entonces, las expresiones 3 y implican que sen 2 θ a a 2 = sen2 θ b 2 Puesto que los ángulos internos de un triángulo suman π radianes, se tiene que θ a, θ b 0, π), entonces sen θ a = sen θ a, sen θ b = sen θ b. Por otro lado, a > 0 y > 0, luego sen 2 θ a sen a 2 = 2 θ b = b 2 sen θ a a = sen θ b = sen θ a a = sen θ b = sen θ a a = sen θ b Mediante un cambio en las etiquetas de los lados y los ángulo internos del triángulo como se hizo en la ley de los cosenos, se demuestra la ley de los senos para todos los ángulos y lados del triángulo ver Figura 1 de los Ejercicios) 3

4 a a θ b a θ b a θ a a θ a Figura 3: Construcción de un triángulo con tres vectores para la demostración de la ley de los senos. sen θ a a = sen θ b b = sen θ c c 5. El trabajo hecho por las dos fuerzas constantes F 1 = 2î + 3ĵ Newtons), F 2 = 3ĵ + 2 k Newtons) sobre un partícula que se mueve desde r 1 = î + 3ĵ metros) hasta r 2 = 2î + 5 k metros) es F 1 + F ) 2 ) r 2 r 1 ) = 2î + 3ĵ + 3ĵ + 2 k) N 2î + 5 k î + 3ĵ) = 2 2) + 6 3) Joules = 12 Joules 6. La proyección, p, de un vector x sobre otro y 0, está dada por m = 2î + 6ĵ + 2 k) N 2î 3ĵ + 5 k) m p = x ŷ = x y y 5) luego, la proyección del vector x = 5,, 6) sobre el vector y =, 1, 0) es p = 5,, 6), 1, 0) 17 = = 2 17 Los ángulos directores de un vector x 0 en R 3 son los ángulos que hace x con los vectores î, ĵ y k, es decir 1 x î α = cos x 1 x ĵ β = cos x 1 x k γ = cos x 6) Luego, los ángulos directores para el vector x son:

5 1 5,, 6) 1, 0, 0) α x = cos = cos 1 5 = o ,, 6) 0, 1, 0) β x = cos = cos 1 = o ,, 6) 0, 0, 1) γ x = cos = cos 1 6 = 6.86 o y para el vector y 1, 1, 0) 1, 0, 0) α y = cos = cos 1 = 1.03 o Es posible verificar para x y y que 1, 1, 0) 0, 1, 0) β y = cos = cos 1 1 = o , 1, 0) 0, 0, 1) γ y = cos = cos 1 0 = o cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 7) 7. Para que el avión alcance su destino en 30 minutos es necesario que su velocidad con respecto al piso sea 00 km/h ĵ î es un vector unitario en la dirección del este y ĵ es un vector unitario en la direccion del norte). Pero, este vector está dado por la suma: v piso avión = v piso aire + v aire avión donde v a b es la velocidad de b medida desde a, entonces: v aire avión = v piso avión v piso aire = 00 km/h ĵ 30 km/h = 30 km/h î ) 2 2 km/h ĵ 1 î 1 ) ĵ Para encontrar el ángulo de enlace C C C en el diamante es necesario identificar dos primeros vecinos de un átomo de C en la estructura. En la Figura se ve que los posibles primeros vecinos de O son A, B, C y D. Sin embargo, debido a que el componente de B y C en la dirección paralela c es 3/, es claro que los vectores r B r O y r C r O, tienen una magnitud mayor que r A r O y r D r O r B r O = r C r O = 1 16 a a b c c = a a + a a + a a = a 8) r A r O = r D r O = 1 16 a a b c c = a a + a a + a a = a 9)

6 c 0 b = 1/2 1/2 1/ 3/ A B 0 a = 1/2 a 1/2 0 1/2 O 3/ 1/ C D 0 1/2 0 Figura : Representación de los átomos en la estructura del diamante. Los primeros vecinos de O son A y D Dos vectores que salen de O hacia primeros vecinos son: r A r O = 1 a ) 1 c 2 a + 1 ) 2 = 1 a ) b + c r D r O = 3 a ) 1 c 2 a + 1 ) 2 = 1 a + ) b + c Dado que a b = a c = c = 0, se tiene que y entonces r A r O ) r D r O ) = 1 a ) b + c 1 a + ) b + c = 1 a c 2) = a 2 16 a C C C) = cos 1 r 2 A r O ) r D r O ) r A r O r D r O = 16 cos = cos 1 a 2 1 ) = o 3 En lo que respecta a la longitud del enlace C C en el diamante se tiene que está dada por la expresión ) con el valor de a = Å C C = 3 3 a = Å) = 1.5 Å 6

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