TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA 2001 Kepler C k Ikastegia
|
|
- María Nieves Godoy San Martín
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 TRIGNMETRÍ ESFÉRI 2001 Kepler k Ikastegia
2 2 1.1 Introducción La Trigonometría es una rama de la Matemática en la que se analiza la medida de las partes de los triángulos, tanto de los triángulos planos como de los esféricos así como de las figuras que se forman con ellos. sí como en Topografía y en artografía es muy importante la Trigonometría Plana, en stronomía y en Geodesia es fundamental el análisis de los triángulos esféricos. En el posterior desarrollo de la Trigonometría Esférica se considera básico el conocimiento de la Trigonometría Plana y de las propiedades de las funciones trigonométricas. 1.2 Geometría sobre la superficie esférica El análisis de las figuras que se representan sobre la superficie esférica lo lleva a cabo la Geometría Esférica. Los conceptos fundamentales de esta Geometría son los siguientes: circunferencias máximas, circunferencias menores, distancia esférica, ángulo esférico... Mediante estos conceptos se definen el triángulo esférico y su triángulo polar y además se deducen sus propiedades fundamentales. Definición 1.1 Se llama circunferencia máxima o ciclo a la intersección de la superficie esférica con un plano que pase por su centro. Definición 1.2 Se llama circunferencia mínima o menor a aquella que se obtiene como intersección de la esfera con planos que no pasan por su centro. Definición 1.3 Se denominan polos de un ciclo a los extremos del diámetro de la esfera que es perpendicular al plano que define el ciclo.
3 1.2. GEMETRÍ SRE L SUPERFIIE ESFÉRI 3 ircunferencia menor P Polos iclo P Figura 1.1: iclos, polos y circunferencias menores Dados dos ciclos de una superficie esférica siempre se cortan en dos puntos que son los extremos de un diámetro de la esfera; en efecto, los planos que determinan los dos ciclos se cortan en una recta que pasa por el centro de la esfera, es decir, en un diámetro, luego los extremos del mismo son los puntos en que se cortan los ciclos. Definición 1.4 Se llama ángulo esférico entre dos ciclos al ángulo formado por las semitangentes a las circunferencias en uno de sus puntos de contacto. También se puede definir como el ángulo diedro que forman los planos que determinan los ciclos. Figura 1.2: Ángulo esférico Definición 1.5 Se define la distancia esférica entre dos puntos como la longitud del menor arco del ciclo que los contiene. Una de las aplicaciones del concepto anterior es el cálculo de la distancia entre dos lugares geográficos de la Tierra si consideramos que es una esfera. El arco de una circunferencia máxima en una esfera y el segmento de una recta en el plano son conceptos análogos y por tanto, la Geometría Esférica puede desarrollarse de la misma forma en que se ha desarrollado la Geometría Plana.
4 4 Figura 1.3: Distancia esférica 1.3 Triángulos esféricos. Propiedades Definición 1.6 Se llama triángulo esférico a la porción de superficie esférica limitada por tres arcos de ciclo. a b c Figura 1.4: Triángulo esférico Los lados del triángulo esférico son los arcos a, b y c; los vértices o ángulos, y son los ángulos diedros que forman los arcos dos a dos. bservación 1.1 Los lados de un triángulo esférico, si bien son arcos de ciclo, se considerarán como medidas angulares. En caso de querer conocer la medida de longitud del arco bastará multiplicar por el radio de la esfera. Definición 1.7 uando se unen mediante rectas el centro de la esfera con los vértices de un triángulo esférico, y, se forma un ángulo triedro que se denomina ángulo triedro asociado al triángulo esférico ; los lados del triángulo esférico a, b y c son precisamente los ángulos de las caras del
5 1.3. TRIÁNGULS ESFÉRIS. PRPIEDDES 5 ángulo triedro. Los ángulos del triángulo esférico, y son justamente los ángulos diedros del ángulo triedro. Figura 1.5: Ángulo triedro asociado a un triángulo esférico. bservación 1.2 Es posible, por tanto, definir también triángulo esférico como la intersección de una esfera con las tres caras de un ángulo triedro con vértice en el centro de la esfera. bservación 1.3 Es evidente que las medidas de los ángulos de las caras del ángulo triedro así como las de sus ángulos diedros son independientes del radio de la esfera, por tanto, las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo esférico también, así es que consideraremos el radio unidad. Teorema 1.1 cada una de las propiedades de un triángulo esférico le corresponde una propiedad análoga de su ángulo triedro asociado. En esta exposición tan sólo se considerarán triángulos esféricos en los que 0 < a, b, c,,, < 180 Definición 1.8 Dado un triángulo esférico, se define su triángulo polar y se denota por, al que se obtiene uniendo por arcos de circunferencia máxima los polos correspondientes a cada uno de los lados, escogiendo en cada caso aquél que se encuentre en el mismo hemisferio que el triángulo esférico.
6 6 Figura 1.6: Triángulo polar. Propiedades de los triángulos esféricos Se demostrarán algunas de las propiedades utilizando el ángulo triedro asociado al triángulo esférico. 1. ada uno de los lados de un triángulo esférico es menor estrictamente que la suma de los otros dos. a < b + c b < a + c c < a + b Es claro que la propiedad es cierta si los tres lados son iguales; con- X D Y Z Figura 1.7: ada lado es estrictamente menor que la suma de los otros dos sideremos un ángulo triedro XY Z en el que el ángulo c =<) XY es mayor que cualquiera de los ángulos de las otras dos caras, es decir, mayor que b =<) XZ y que a =<) ZY ; escojamos en X un punto arbitrario y en Y otro punto cualquiera. Sea D el punto del segmento tal que los ángulos <) D y <) XZ son iguales. Sea el punto en Z tal que los segmentos D y son iguales. continuación se unen y con. En el triángulo se cumple
7 1.3. TRIÁNGULS ESFÉRIS. PRPIEDDES 7 + > y = D + D luego + > D + D. hora bien, los triángulos y D son iguales, luego D = y entonces > D. onsecuentemente, como los lados D y del triángulo D son respectivamente iguales a los lados y del triángulo, resulta que a =<) ><) D; por construcción b =<) =<) D, por tanto, <) + <) ><) D + <) D =<) b + a > c 2. La suma de los lados de un triángulo esférico es menor que 360 Señalaremos tres puntos cualesquiera, y en las aristas del ángulo triedro XY Z; se observa que existen tres triángulos con vértice en y que la suma de los ángulos de estos triángulos es 540, es decir <) + <) + <) + (<) + <) ) + (<) + <) ) + (<) + <) ) = 540. hora bien, por la propiedad anterior, <) + <) ><) X Z Y Figura 1.8: La suma de los lados es menor que 360 <) + <) ><) <) + <) ><) Entonces <) + <) + <) + <) + <) + <) < 540 <) + <) + <) < 540 (<) + <) + <) ) = En un triángulo esférico isósceles los ángulos opuestos a los lados iguales son también iguales y recíprocamente. Supongamos que los ángulos b =<) XZ y a =<) ZY son iguales y sea un punto cualquiera del eje Z; tracemos el plano perpendicular al eje X que pasa por y llamemos al punto de corte; asimismo, tracemos
8 8 Z X D Y Figura 1.9: En un triángulo esférico isósceles los ángulos opuestos a los lados son iguales y recíprocamente. el plano perpendicular al eje Y que pasa por y llamemos al punto de corte; sea D el punto de intersección entre los dos planos anteriores y la cara del ángulo triedro determinada por los ejes X y Y ; es claro por construcción que los triángulos rectángulos y son iguales; se deduce igualmente que los triángulos rectángulos D y D son también iguales, y por tanto, los ángulos y son iguales como queríamos probar. El recíproco se deduce con análogas consideraciones. 4. Si en un triángulo esférico hay dos lados desiguales sus ángulos opuestos son también desiguales y viceversa; a mayor lado corresponde mayor ángulo y recíprocamente; es suficiente razonar como en el apartado anterior y se ve que si b =<) XZ > a =<) ZY entonces el segmento tiene más longitud que luego el ángulo es menor que el ángulo. 5. Si denota el triángulo polar del triángulo esférico entonces es el triángulo polar de. omo es el polo de y es el polo de dista un cuadrante (90 ) de y de, luego es el polo del arco ; análogamente se demuestra que es el polo del arco y que es el polo del arco. Por definición y están a un mismo lado de, es decir, en el mismo hemisferio, y además la distancia entre y cualquier punto de es menor que 180. Entonces, como es el polo de dista 90 de cualquier punto de, y así la distancia entre y es menor que 90. Finalmente, al ser el polo de dista 90 de cualquier punto de luego y están al mismo lado de ; análogamente se demuestra que y están a un mismo lado de y que y
9 1.4. RITERIS DE IGULDD DE TRIÁNGULS ESFÉRIS 9 Figura 1.10: Todo triángulo esférico es el polar de su triángulo polar. están a un mismo lado de. En definitiva es el triángulo polar de. 6. Dados y triángulos polares entre sí, se verifica que cada ángulo de uno de los triángulos es igual al suplementario del correspondiente lado opuesto del otro triángulo, es decir, = 180 a = 180 b = 180 c = 180 a = 180 b = 180 c Demostraremos que = 180 c ; en efecto, prolongando los arcos y hasta que corten al arco en los puntos D y E respectivamente, resulta que el arco DE es precisamente la medida del ángulo ; ahora E + D = + DE = c +. Por otra parte, puesto que es el polo de E y es el polo de D es E = D = 90 y así 180 = c + = 180 c. Las otras demostraciones son análogas. 7. La suma de los ángulos de un triángulo esférico está comprendida siempre entre 180 y 540, es decir, 180 < + + < 540 En efecto, sea un triángulo esférico de lados a, b y c, y sea su triángulo polar de lados a, b y c, entonces por la propiedad anterior + + = 540 (a + b + c ) < 540 ; además por la segunda propiedad, se tiene a + b + c < 360 luego 180 < riterios de igualdad de triángulos esféricos Dos triángulos esféricos son iguales si:
10 10 oinciden dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. oinciden dos ángulos y el lado que los une. oinciden los tres lados. oinciden los tres ángulos. 1.5 Área de un triángulo esférico Definición 1.9 Se denomina exceso esférico de un triángulo esférico y se denota por E al valor del ángulo en que la suma de los tres ángulos del triángulo esférico excede a 180, es decir, E = o E = + + π según si los ángulos vienen expresados en grados o en radianes respectivamente. Área: Sea un triángulo esférico sobre una esfera de radio R; se calcula su área con la fórmula: S = πr2 E 180 o S = R 2 E 1.6 Fórmulas de essel Las relaciones entre los elementos de un triángulo esférico son independientes del radio de la esfera ya que son las mismas que las que tienen sus correspondientes elementos del ángulo triedro asociado. Tomaremos entonces una esfera de radio R = 1. En este apartado se dan los resultados teóricos que a b c Figura 1.11: Triángulo esférico en esfera de radio unidad.
11 1.6. FÓRMULS DE ESSEL 11 permiten resolver triángulos esféricos, tanto rectángulos como oblicuángulos, es decir, a partir de tres elementos conocidos se trata de encontrar los otros tres. Teorema 1.2 (de los senos) Los senos de los lados de un triángulo esférico son proporcionales a los senos de sus ángulos opuestos. sen a sen = sen b sen = sen c sen Demostración: Tracemos el plano perpendicular al radio que pasa por y el plano perpendicular al radio que pasa por ; la intersección de estos dos planos con el ángulo triedro asociado al triángulo esférico la forman los triángulos planos ED y DF, tal y como se aprecia en la figura omo a b F E D x c H Figura 1.12: Teorema de los senos. el radio de la esfera es R = 1, es claro por construcción que sen b = E, cos b = E, sen a = F y cos a = F ; por otra parte, D = sen E y D = sen F ; así pues sen sen a = sen sen b de donde sen a sen = sen b sen
12 12 La otra razón, es decir, sen c sen es igual, y para ello se razona análogamente. Teorema 1.3 (del coseno) En un triángulo esférico el coseno de cualquier lado es igual a la suma del producto de los cosenos de los otros dos lados y el producto de los senos de los mismos por el coseno del ángulo opuesto, es decir, cos a = cos b cos c + sen b sen c cos cos b = cos a cos c + sen a sen c cos cos c = cos a cos b + sen a sen b cos Demostración: Según se aprecia en la figura anterior cos a = F = D cos(c x) = D cos c cos x + D sen c sen x = E cos c+de sen c = cos b cos c+e cos sen c = cos b cos c+sen b sen c cos Los otros dos casos son similares. Teorema 1.4 (Tercer grupo de fórmulas) Está formado por las siguientes fórmulas: cot a sen b = cos b cos + sen cot cot a sen c = cos c cos + sen cot cot b sen c = cos c cos + sen cot cot b sen a = cos a cos + sen cot cot c sen a = cos a cos + sen cot cot c sen b = cos b cos + sen cot Demostración: Demostraremos sólamente la primera ya que las demás son análogas. cos a ( = cos b cos c + ) sen b sen c cos = cos b(cos a cos b + sen a sen b cos ) + sen a sen b sen sen cos = cos 2 b cos a+cos b sen a sen b cos +sen b sen a sen cot cos a(1 cos 2 b) = cos b sen a sen b cos + sen b sen a sen cot cos a sen 2 b = sen a sen b(cos b cos + sen cot ) cot a sen b = cos b cos + sen cot Teorema 1.5 (del coseno para los vértices) plicando el teorema 1.3 al triángulo polar y teniendo en cuenta las relaciones de sus ángulos resultan las siguientes fórmulas: cos = cos cos + sen sen cos a cos = cos cos + sen sen cos b cos = cos cos + sen sen cos c Demostración: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos cos(180 ) =
13 1.6. FÓRMULS DE ESSEL 13 cos(180 ) cos(180 )+sen(180 ) sen(180 ) cos(180 a) cos = cos cos + sen sen ( cos a) cos = cos cos + sen sen cos a
TRIGONOMETRÍA. 1. Ángulos. 2. Razones trigonométricas de ángulos agudos
TRIGONOMETRÍA 1 Ángulos Hasta ahora se han considerado los ángulos como la porción del plano comprendida entre dos semirrectas con el origen común De esta manera, el ángulo está comprendido entre 0 y 360
Más detallesTRIGONOMETRÍA. π radianes. 1.- ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. 1.1 Los ángulos orientados
TRIGONOMETRÍA.- ÁNGULOS Y SUS MEDIDAS. Los ángulos orientados Son aquellos que además de tener una cierta su amplitud ésta viene acompañada de un signo que nos indica un orden de recorrido (desde la semirrecta
Más detallesRazones trigonométricas.
Razones trigonométricas. Matemáticas I 1 Razones trigonométricas. Medidas de ángulos. Medidas en grados (Deg.) El grado es el ángulo plano que teniendo su vértice en el centro de un círculo intercepta
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA ESCUELA NORMAL SUPERIOR DEL BAJO CAUCA
Las matemáticas, históricamente, comenzaron con la geometría. La geometría es la ciencia que estudia la forma y posición de la figuras y nos enseña a medir su extensión. Geometría (del griego geo, tierra,
Más detallesProblemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6
página 1/13 Problemas Tema 7 Enunciados de problemas ampliación Temas 5 y 6 Hoja 1 1. Dado el segmento de extremos A( 7,3) y B(5,11), halla la ecuación de su mediatriz. 2. Halla la distancia del punto
Más detallesMYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME)
MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) 2014-2015 Fecha 19/05/2015 APUNTES DE GEOMETRÍA 2º ESO 1. EL TEOREMA DE PITÁGORAS El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa
Más detallesRESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS
RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS Resolver un triángulo consiste en determinar la longitud de sus tres lados y la amplitud de sus tres ángulos. Vamos a recordar primero la resolución para triángulos rectángulos
Más detallesLas bisectrices de dos ángulos adyacentes son perpendiculares. Las bisectrices de los ángulos opuestos por el vértice están en línea recta.
CONCEPTOS Y TEOREMAS BÁSICOS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEOMETRÍA PLANA 1. CONSIDERACIONES GENERALES El objeto de la Geometría plana es el estudio de las figuras geométricas en el plano desde el
Más detalles1. Ángulos Referencia angular. TRIGONOMETRÍA La palabra, TRI-GONO-METRÍA, etimológicamente significa relación entre los lados
IES Joan Ramon Benaprès TRIGNMETRÍA La palabra, TRI-GN-METRÍA, etimológicamente significa relación entre los lados y ángulos de un triángulo 1 Ángulos Definición 1 (Ángulo) Un ángulo es la abertura de
Más detallesGeometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo,
Geometría del Espacio. Física Geográfica. Licenciatura de Humanidades. Febrero-Mayo, 2007. 42 Índice. 1. Superficies. 2. El espacio eucĺıdeo tridimensional. Coordenadas Cartesianas. 3. Distancia entre
Más detallesDefinición: un lugar geométrico plano es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una determinada propiedad.
Capítulo II. Lugar geométrico. Definición: un lugar geométrico plano es el conjunto de todos los puntos del plano que cumplen una determinada propiedad. Ejemplo: la mediatriz de un segmento es el conjunto
Más detallesSeno (matemáticas) Coseno Tangente
Seno (matemáticas), una de las proporciones fundamentales de la trigonometría. En un triángulo rectángulo, el valor del seno (que suele abreviarse sen) de un ángulo agudo es igual a la longitud del cateto
Más detallesCUERPOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO: APLICACIONES DIDÁCTICAS.
CUERPOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO Y EN EL ESPACIO: APLICACIONES DIDÁCTICAS. Resumen AUTORIA FERNANDO VALLEJO LÓPEZ TEMÁTICA DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA ETAPA ESO EN ÉSTE ARTÍCULO, SE ESTUDIAN LOS CUERPOS
Más detallesCURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT
CURSO DE GEOMETRÍA 2º EMT UNIDAD 0 REPASO 1º CIRCUNFERENCIA Y ANGULOS INSCRIPTOS Ángulos en la circunferencia 1. La circunferencia. 1.1. Elementos de una circunferencia Definición 1. Se llama circunferencia
Más detallesIntroducción. Este trabajo será realizado con los siguientes fines :
Introducción Este trabajo será realizado con los siguientes fines : Aprender mas sobre la geometría analítica. Tener mejores conceptos sobre ella ; los cuales me pueden ayudar con las pruebas ICFES. Otro
Más detallesGuía 3. Semejanzas de triángulos, Teorema de Tales, Teorema de la Bisectriz, Teorema del Seno.
Guía 3. Semejanzas de triángulos, Teorema de Tales, Teorema de la Bisectriz, Teorema del Seno. Sofía Taylor Enero 2011 1 Principios Teóricos 1.1 Semejanza de Triángulos Se dice que un triángulo es semejante
Más detallesRESUMEN DE VARIOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA
RESUMEN DE VARIOS CONCEPTOS BÁSICOS DE GEOMETRÍA 1.- Figuras Congruentes y Semejantes. Teorema de Thales. Escalas. - Se dice que dos figuras geométricas son congruentes si tienen la misma forma y el mismo
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Práctica
ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2012 2013) 1. En un espacio afín real de dimensión 3, se consideran dos sistemas de referencia R = O, ē 1, ē 2, ē 3 } y R = P, ū 1, ū 2, ū 3 },
Más detallesDepartamento de Educación Plástica y Visual. Unidad 3: Polígonos. 3º ESO EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL UNIDAD 3: POLÍGONOS.
EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL UNIDAD 3: POLÍGONOS Página 1 de 15 1. POLÍGONOS 1.1. Conocimiento de los polígonos regulares Polígono: Proviene de la palabra compuesta de Poli (muchos) Gonos (ángulos). Se
Más detallesCAP ÍTULO XI 69 INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ESFÉ RICA
CAP ÍTULO XI 69 INTRODUCCIÓN A LA TRIGONOMETRÍA ESFÉ RICA Conocimientos previos Suponemos conocido que: a) Un plano divide al espacio en 2 regiones llamadas semiespacios. El segmento que une dos puntos,
Más detallesx = 1-2t 3. [2014] [EXT-B] Dados el plano y la recta r siguentes: 2x-y+2z+3 = 0, r z = 1+t
. [04] [EXT-A] Dados los puntos A(,0,-), B(,-4,-), C(5,4,-) y D(0,,4) a) Calcular el área del triángulo de vértices A, B y C. b) Calcular el volumen del tetraedro ABCD.. [04] [EXT-A] Dados los planos x-z-
Más detallesLíneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se intersectan por mas que se prolonguen.
1.1 ngulos entre paralelas. apítulo 1. onceptos ásicos de Geometría Líneas paralelas. Se llaman líneas paralelas las que se hallan en un mismo plano y no se intersectan por mas que se prolonguen. Si una
Más detallesAdemás de la medida, que estudiaremos a continuación, consideraremos que los ángulos tienen una orientación de acuerdo con el siguiente convenio:
Trigonometría La trigonometría trata sobre las relaciones entre los ángulos y los lados de los triángulos. El concepto fundamental sobre el que se trabaja es el de ángulo. Dos semirrectas con un origen
Más detallesEJERCICIOS DE GEOMETRÍA
1) Sean las rectas EJERCICIOS DE GEOMETRÍA x 2y 6z 1 r : x y 0 x y 1 s: z 2 a a) Determinar la posición relativa de r y s según los valores de a. b) Calcular la distancia entre las rectas r y s cuando
Más detallesUnidad 3: Razones trigonométricas.
Unidad 3: Razones trigonométricas 1 Unidad 3: Razones trigonométricas. 1.- Medida de ángulos: grados y radianes. Las unidades de medida de ángulos más usuales son el grado sexagesimal y el radián. Se define
Más detallesLA RECTA Y SUS ECUACIONES
UNIDAD LA RECTA Y SUS ECUACIONES EJERCICIOS RESUELTOS Objetivo general. Al terminar esta Unidad resolverás ejercicios y problemas correspondientes a las rectas en el plano y sus ecuaciones. Objetivo. Recordarás
Más detalles11. ALGUNOS PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS
11. ALGUNOS PROBLEMAS CON TRIÁNGULOS Estos problemas son ejemplos de aplicación de las propiedades estudiadas. 11.1. Determinar la posición de un topógrafo que tiene tres vértices geodésicos A,B,C, si
Más detallesÁLGEBRA LINEAL II Práctica
ÁLGEBRA LINEAL II Práctica 3.1-3.2 Geometría afín. (Curso 2013 2014) 1. En un espacio afín real de dimensión 3, se consideran dos sistemas de referencia R = O, ē 1, ē 2, ē 3 } y R = P, ū 1, ū 2, ū 3 },
Más detallesTEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Temas 6 y 7 Rectas y planos en el espacio Matemáticas II - 2º Bachillerato 1 TEMAS 6 Y 7 RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO RECTAS Y PLANOS EJERCICIO 1 : Halla el volumen del tetraedro determinado por los ejes
Más detallesColegio Internacional Torrequebrada. Departamento de Matemáticas
Geometría. Problema 1: Calcula la distancia del punto P(1, 1, 1) a la recta Problema 2: Dadas las rectas, se pide: a) Analiza su posición relativa. b) Halla la ecuación general del plano π que contiene
Más detallesJosé Antonio Jiménez Nieto
TRIGONOMETRÍA. UNIDADES PARA MEDIR ÁNGULOS Un ángulo es una porción de plano limitada por dos semirrectas que tienen un origen común. Las unidades que más frecuentemente se utilizan para medir ángulos
Más detallesCapítulo 7. Trigonometría del triángulo rectángulo. Contenido breve. Presentación. Módulo 17 Medición de ángulos. Módulo 18 Ángulos notables
Capítulo 7 Trigonometría del triángulo rectángulo Contenido breve Módulo 17 Medición de ángulos Módulo 18 Ángulos notables La trigonometría se utiliza para realizar medidas indirectas de posición y distancias.
Más detallesProblemas de exámenes de Geometría
1 Problemas de exámenes de Geometría 1. Consideramos los planos π 1 : X = P+λ 1 u 1 +λ 2 u 2 y π 2 : X = Q+µ 1 v 1 +µ 2 v 2. Cuál de las siguientes afirmaciones es incorrecta? a) Si π 1 π 2 Ø, entonces
Más detallesCUERPOS GEOMÉTRICOS. Los cuerpos geométricos son porciones de espacio limitadas por superficies planas o curvas.
CUERPOS GEOMÉTRICOS CUERPOS GEOMÉTRICOS.- Los cuerpos geométricos son porciones de espacio limitadas por superficies planas o curvas. Clasificamos, en el siguiente esquema, los cuerpos geométricos: POLIEDROS.-
Más detallesAdemás del centro y el radio, distinguen: 1. Cuerda: segmento que une dos puntos cualquiera de la circunferencia. EF
23 1.5 ircunferencia efinición ado un punto y una distancia r, la circunferencia de centro y radio r, es el conjunto de puntos del plano y solo ellos, que están a la distancia r del punto. La circunferencia
Más detallesPuntos y rectas en el triángulo
Puntos y rectas en el triángulo En los triángulos hay un conjunto de rectas y puntos importantes. Las rectas son las bisectrices, las mediatrices, las alturas, las medianas y las bisectrices exteriores.
Más detallesUNIDADES DE TRABAJO PROGRAMA DE ALFABETIZACIÓN, EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA PARA JÓVENES Y ADULTOS UNIDAD DE TRABAJO Nº 1 PERIODO I
UNIDADES DE TRABAJO Código PGA-02-R0 INSTITUCIÓN EDUCATIVA CASD Armenia Quindío PROGRAMA DE ALFABETIZACIÓN, EDUCACIÓN BÁSICA Y MEDIA PARA JÓVENES Y ADULTOS 1. AREA INTEGRADA: MATEMATICA 2. CICLO: V 3.
Más detallesPotencia de un Punto
otencia de un unto Si es un punto cualquiera en el plano de una circunferencia dada, y una línea por interseca a la circunferencia en y, el producto de los segmentos y es constante. Esta propiedad característica
Más detallesIES EL PILES SELECTIVIDAD OVIEDO DPTO. MATEMÁTICAS Geometría
P.A.U. de. (Oviedo). (junio 994) Dados los puntos A (,0, ), B (,, ), C (,6, a), se pide: i) hallar para qué valores del parámetro a están alineados, ii) hallar si existen valores de a para los cuales A,
Más detallesAYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA
AYUDAS SOBRE LA LINEA RECTA AYUDA : Grafiquemos la función Solución: Se debe escoger algunos números que representan a la variable x, para obtener el valor de la variable y respectivamente así: El proceso:
Más detallesMATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio. Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias
Geometría del espacio: problemas de ángulos y distancias; simetrías MATEMÁTICAS II TEMA 6 Planos y rectas en el espacio Problemas de ángulos, paralelismo y perpendicularidad, simetrías y distancias Ángulos
Más detallesINECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO U.C.V. F.I.U.C.V. CÁLCULO I (051) - TEMA 1 Pág.: 1 de 3 1. Resuelva las siguientes ecuaciones: a. 4 3x = 5 b. x + 1x + = 3 c. x + 1x + 4 = 10 d. x 1 + = 4 e. x + 3 = 4 f.
Más detallesCUERPOS. Poliedros: Aquellos cuerpos geométricos totalmente limitados por polígonos, como por ejemplo, el prisma, la pirámide; etc.
CUERPOS Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio. Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Con estas se puede calcular el volumen del mismo
Más detallesCAPÍTULO I TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA
Preliminares Fórmula del coseno Fórmula del seno Otras fórmulas Polaridad Triángulos esféricos CAPÍTULO I TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA Índice del capítulo Problemas propuestos Bibliografía 1 1. Trigonometría
Más detallesTEMA 7 Las formas y las medidas que nos rodean. 2. Repaso a las figuras planas elementales
TEMA 7 Las formas y las medidas que nos rodean 1. Introducción 1.1. Qué es la geometría? Es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano
Más detallesTRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS.
TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS. 1. Triángulos. Al polígono de tres lados se le llama triángulo. Clasificación: Según sus lados, un triángulo puede ser Equilátero, si tiene los tres lados iguales Isósceles,
Más detallesPunto. Recta. Semirrecta. Segmento. Rectas Secantes. Rectas Paralelas. Rectas Perpendiculares
Punto El punto es un objeto geométrico que no tiene dimensión y que sirve para indicar una posición. A Recta Es una sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión. Semirrecta Es una línea
Más detallesGEOMETRÍA PLANA 3º E.S.O. Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados.
GEOMETRÍA PLANA 3º E.S.O. POLÍGONO.- Un polígono es una figura geométrica plana y cerrada limitada por tres o más segmentos llamados lados. El triángulo (tres lados), el cuadrilátero (cuatro lados), el
Más detallesGeometría. Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid
Geometría Jesús García de Jalón de la Fuente IES Ramiro de Maeztu Madrid Ángulos Un ángulo es la región del plano limitada por dos semirrectas con el origen común. Lados Vértice Clasificación de los ángulos
Más detallesFUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS
FUNCIONES Y FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE 1. Aunque el método para resolver las siguientes preguntas se sistematiza en la página siguiente, puedes resolverlas ahora: a) Cuántos
Más detallesNIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS R. CARRERA : GEOGRAFÍA AYUD. C. ESCOBEDO C. AÑO : 2009 GEOMETRÍA ANALÍTICA
UNIVERSIDAD DE CHILE FACULTAD DE ARQUITECTURA Y URBANISMO ESCUELA DE GEOGRAFÍA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS DE LA CONSTRUCCIÓN ASIGNATURA : MATEMATICAS MATERIAL DE APOYO NIVEL : 1er. AÑO PROF. L. ALTIMIRAS
Más detallesUNIDAD 2: ELEMENTOS GEOMÉTRICOS
UNIDAD 2: ELEMENTOS GEOMÉTRICOS POLÍGONO Región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. 1. Dibuja polígonos y señala los lados, vértices y ángulos. 4 lados Ángulo Vértice Lado 5 lados Este
Más detallesMATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA
MATEMÁTICAS Y SU DIDÁCTICA ESCUELA UNIVERSITARIA DE MAGISTERIO SAGRADO CORAZÓN UNIVERSIDAD DE CÓRDOBA Curso académico: 2011 2012 ACTIVIDADES DE GEOMETRÍA TRABAJO EN GRUPO Las siguientes actividades se
Más detallesTEMA 6: LAS FORMAS POLIGONALES
EDUCACIÓN PLÁSTICA Y VISUAL 1º DE LA E.S.O. TEMA 6: LAS FORMAS POLIGONALES Los polígonos son formas muy atractivas para realizar composiciones plásticas. Son la base del llamado arte geométrico, desarrollado
Más detallesESTUDIO GRÁFICO DE LA ELIPSE.
Curvas Cónicas para Dibujo y Matemáticas. Aplicación web Dibujo Técnico para ESO y Bachillerato Matemáticas para Bachillerato Educación Plástica y Visual Autor: José Antonio Cuadrado Vicente. ESTUDIO GRÁFICO
Más detalles4.1 Medida de ángulo: sistema sexagesimal. Para medir la amplitud de un ángulo podemos utilizar el sistema sexagesimal. 180º
PÍTULO 4 Tópicos de Geometría Geometría, palara que proviene del griego, geo: tierra; metrein: medir, es una de las ramas mas antiguas de las ciencias, que tal vez ha tenido y tenga mayor incidencia en
Más detalles1. LOS ELEMENTOS DEL PLANO 1.1. Punto, plano, segmento, recta, semirrectas.
MYP (MIDDLE YEARS PROGRAMME) 2015-2016 Fecha 30/03/2016 APUNTES DE GEOMETRÍA 1º ESO 1. LOS ELEMENTOS DEL PLANO 1.1. Punto, plano, segmento, recta, semirrectas. Un punto es una posición en el espacio, adimensional,
Más detallesECUACIÓN DE LA RECTA. 6. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto A ( 1, 2) y que determina en el eje X un segmento de longitud 6.
ECUACIÓN DE LA RECTA 1. El ángulo de inclinación de una recta mide 53º y pasa por los puntos ( 3, n) y ( 5, 4). Hallar el valor de n. A) 1 /5 B) 8 /5 C) 1 /5 D) 8 /5 E) 7 /3. Qué tipo de triángulo es el
Más detallesUnidad 11. Figuras planas
Unidad 11. Figuras planas Matemáticas Múltiplo 1.º ESO / Resumen Unidad 11 FIGURS LNS OLÍGONOS IRUNFERENI SIMETRÍ Elementos onstrucción lasificación Según el número de lados óncavos y convexos Regulares
Más detalles1.1. Puntos y rectas notables en el triángulo. Sean A, B y C los vértices de un triángulo de lados opuestos a, b y c, respectivamente.
apítulo 1 Rectas notables 1.1. Puntos y rectas notables en el triángulo ltura, mediana y bisectriz Sean, y los vértices de un triángulo de lados opuestos a, b y c, respectivamente. H a c h b a H c H b
Más detallesCUERPOS GEOMÉTRICOS. 2º E.S.O. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO DETERMINACIÓN DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS DETERMINACIÓN DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS
CUERPOS GEOMÉTRICOS. PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO 2º E.S.O. DETERMINACIÓN DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS Determinación de puntos: DETERMINACIÓN DE PUNTOS, RECTAS Y PLANOS Determinación de una recta:
Más detallesTEMA 9 CUERPOS GEOMÉTRICOS
Tel: 98 9 6 91 Fax: 98 1 89 96 TEMA 9 CUERPOS GEOMÉTRICOS Objetivos / Criterios de evaluación O.1.1 Conocer las fórmulas de áreas y volúmenes de figuras geométricas sencillas de D. O.1. Resolver problemas
Más detallesCUERPOS GEOMÉTRICOS (CONCEPTOS BÁSICOS)
CUERPOS GEOMÉTRICOS (CONCEPTOS BÁSICOS) Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio. Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Con estas se puede
Más detallesCUERPOS EN EL ESPACIO
CUERPOS EN EL ESPACIO 1. Poliedros. 2. Fórmula de Euler. 3. Prismas. 4. Paralelepípedos. Ortoedros. 5. Pirámides. 6. Cuerpos de revolución. 6.1. Cilindros. 6.2. Conos. 6.3. Esferas. 6.4. Coordenadas geográficas.
Más detallesGeometría. Cuerpos Geométricos. Trabajo
Geometría Cuerpos Geométricos Trabajo CUERPOS GEOMÉTRICOS 1. Clasifique los cuerpos geométricos. Dos grupos de sólidos geométricos del espacio presentan especial interés: 1.1. Poliedros: Aquellos cuerpos
Más detallesa) La ecuación del plano que pasa por el punto ( 1, 1, 0 ). (3 puntos) b) La ecuación del plano que es paralelo a la recta r.
PROBLEMAS DE SELECTIVIDAD. BLOQUE GEOMETRÍA 1. En el espacio se dan las rectas Obtener a) El valor de para el que las rectas r y s están contenidas en un plano. (4 puntos) b) La ecuación del plano que
Más detallesTEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA
Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO a Pasa a radianes los siguientes ángulos: y 7 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad
Más detallesGEOMETRIA EUCLIDEA. 3.-Determinar m para que el producto escalar de u=(m,5) y v=(2,-3) sea la unidad.
PRODUCTO ESCALAR GEOMETRIA EUCLIDEA 1.-Dados los vectores u,v y w tales que u*v=7 y u*w=8, calcular: u*(v+w); u*(2v+w); u*(v+2w) 2.-Sea {a,b} una base de vectores unitarios que forman un ángulo de 60.
Más detalles3.1. Distancia entre dos puntos. Definición 3.1. Sean a, b e, se llama distancia entre los números a y b que se denota por d (a, b), a la cantidad:
III. UNIDAD: GEOMETRIA ANALITICA LANA. La Geometría Analítica permite usar los métodos algebraicos en la solución de problemas geométricos, recíprocamente, los métodos de la geometría analítica pueden
Más detallesCurso Curso
Problema 84. Sea AB el diámetro de una semicircunferencia de radio R y sea O el punto medio del segmento AB. Con centro en A y radio OA se traza el arco de circunferencia OM. Calcular, en función de R,
Más detallesGUIA INFORMATIVA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
GUIA INFORMATIVA DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Para el estudio de la Trigonometría es importante tomar en cuenta conocimientos básicos sobre: concepto de triángulo, su clasificación, conceptos de ángulos
Más detallesAcademia de Matemáticas T.M Geometría Analítica Página 1
INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE ESTUDIOS CIENTIFICOS Y TECNOLOGICOS 10. CARLOS VALLEJO MÁRQUEZ PROBLEMARIO DE GEOMETRIA ANALITICA Distancia entre puntos 1.- Determina la distancia entre los puntos
Más detallesTEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA
TEMA 6. ECUACIONES DE LA RECTA Dados un punto y un vector, vamos a hallar las ecuaciones de la recta r que pasa por el punto A y es paralela al vector. Sea consideramos los vectores un punto cualquiera
Más detallesÁlgebra y Geometría Analítica I - LF 2016 Práctica 1: Algunos elementos de la Geometría Analítica
Álgebra y Geometría Analítica I - LF 2016 Práctica 1: Algunos elementos de la Geometría Analítica 1. a) Marcar en un eje los puntos a(1);b( 2) y c(4). b) Hallar los puntos simétricos respecto al origen
Más detallesTema 6: Trigonometría.
Tema 6: Trigonometría. Comenzamos un tema, para mi parecer, muy bonito, en el que estudiaremos algunos aspectos importantes de la geometría, como son los ángulos, las principales razones e identidades
Más detallesCuadriláteros y circunferencia
CLAVES PARA EMPEZAR Un triángulo isósceles tiene dos lados iguales: b c. Como es rectángulo, se cumple el teorema de Pitágoras: 10 2 b 2 b 2 100 2b 2 b 7,07. Los dos lados miden 7,07 cm cada uno. r A C
Más detallesANGULOS. La unidad de medida es el grado sexagesimal. La "circunferencia completa " mide 360º (grados sexagesimales). Además considere que.
PREUNIVERSITARIO PROGRAMA DE NIVELACIÓN Y REFORZAMIENTO M 04 PRO-OCTAV@ TEXTO Nº 2 GEOMETRÍA ANGULOS SISTEMAS DE UNIDADES DE MEDIDA: SISTEMA SEXAGESIMAL: La unidad de medida es el grado sexagesimal. La
Más detalles1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2)
1. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que pasa por A(1,-2) y B(-1,2) 2. Halla la ecuación de la recta r, sabiendo que es paralela a y=2x-3 y pasa por el punto (1,3). 3. Halla la ecuación de la recta
Más detallesx-z = 0 x+y+2 = [2012] [EXT-B] Halla el punto simétrico del P(2,1,-5) respecto de la recta r definida por
x = 1+t 1. [014] [EXT-A] Considera los puntos A(1,1,) y B(1,-1,-) y la recta dada por y = t. z = 1 a) Halla la ecuación general del plano que que contiene a r y es paralelo a la recta que pasa por A y
Más detallesAPUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre
Más detallesINSTITUCION EDUCATIVA NUESTRA SEÑORA DE BELEN
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Las funciones trigonométricas estudiadas en la circunferencia unitaria se pueden describir en triángulos rectángulos a partir de las relaciones entre
Más detallesTutorial MT-b14. Matemática Tutorial Nivel Básico. Geometría de proporción
134567890134567890 M ate m ática Tutorial MT-b14 Matemática 006 Tutorial Nivel ásico Geometría de proporción Matemática 006 Tutorial Geometría de proporción 1. Teorema de Thales: Thales de Mileto, (64-547
Más detallesTEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA
Temas 4 y 5 Trigonometría Matemáticas I º Bachillerato TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRÍA UNIDADES DE MEDIDAS DE ÁNGULOS EJERCICIO a Pasa a radianes los siguientes ángulos: y 7 b) Pasa a grados los ángulos: 7 rad
Más detallesUniversidad del istmo INGENIERÍA EN SISTEMAS CON ÉNFASIS EN SEGURIDAD INFORMATICA
Universidad del istmo INGENIERÍA EN SISTEMAS CON ÉNFASIS EN SEGURIDAD INFORMATICA ASIGNATURA: Cálculo Diferencial e Integral I PROFESOR: José Alexander Echeverría Ruiz CUATRIMESTRE: Segundo TÍTULO DE LA
Más detallesUNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
UNIDAD IV DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Dados los puntos: P(x1, y1) y Q(x2, y2), del plano, hallemos la distancia entre P y Q. Sin pérdida de generalidad, tomemos los puntos P y Q, en el primer cuadrante
Más detallesBLOQUE 2 : GEOMETRÍA
BLOQUE 2 : GEOMETRÍA EJERCICIO 1 Dado el plano Л : x + 2y z = 2, el punto P( 2,3,2) perteneciente al plano Л y la recta r de ecuación:, a) Determina la posición relativa de r y Л. b) Calcula la ecuación
Más detallesASIGNATURA: MATEMÁTICA. Contenido: TRIGONOMETRÍA I TEORÍA
ASIGNATURA: MATEMÁTICA Contenido: TRIGONOMETRÍA I TEORÍA Docente: Teneppe María Gabriela Medida de ángulos: Un ángulo es la región del plano comprendida entre dos semirrectas con origen común. A las semirrectas
Más detallesGeometría Analítica Agosto 2016
Laboratorio #1 Distancia entre dos puntos I.- Demostrar que los puntos dados no son colineales. 1) A (0, 5), B(3, 1), C( 11, 27) 2) A (1, 4), B( 2, 10), C(5, 5) II.- Demostrar que los puntos dados forman
Más detallesa1 3 siendo a 1 y a 2 las aristas. 2 a a1
Semejanza y Trigonometria. 77 Ejercicios para practicar con soluciones Dos rectángulos tienen sus lados proporcionales. Los lados del primero miden 6 y 8 cm respectivamente. Si el perímetro del segundo
Más detallesGEOMETRÍA MÉTRICA EN UN TETRAEDRO Manuel Díaz Regueiro Instituto de Bachillerato "Juan Montes". Lugo.
GEOMETRÍA MÉTRICA EN UN TETRAEDRO Manuel Díaz Regueiro Instituto de Bachillerato "Juan Montes". Lugo. v Boletín das Ciencias de Enciga. nº 3. Xuño de 1989. Si v 1 y v 2 son dos vectores ortogonales en
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN ANGULOS Y TRIANGULOS
MATEMÁTICAS BÁSICAS UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA - SEDE MEDELLÍN ANGULOS Y TRIANGULOS CONCEPTOS BÁSICOS Punto, línea recta y plano: son conceptos que no de nimos pero utilizamos su representación grá
Más detallesTALLER DE TALENTO MATEMÁTICO
TALLER DE TALENTO MATEMÁTICO PROBLEMAS DE OPOSICIONES DE SECUNDARIA DE ARAGÓN AÑOS 998, 00, 00 Y 0 (Algunas de las soluciones han sido tomadas de la academia DEIMOS) - En una circunferencia de centro O
Más detallesy cualquier par (x, y) puede escalarse, multiplicarse por un número real s, para obtener otro vector (sx, sy).
UNIDAD II: VECTORES EN DOS Y TRES DIMENSIONES Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios
Más detallesTEMA 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA EN EL PLANO
2ª EVALUACIÓN AMPLIACIÓN MATEMÁTICAS TEMA 1. ELEMENTOS DE GEOMETRIA EN EL PLANO 1. EL PUNTO El punto es uno de los conceptos primarios de geometría. El punto no es un objeto físico y no tiene dimensiones
Más detallesTEOREMAS, POSTULADOS Y COROLARIOS DE GEOMETRIA
UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA NACIONAL FRANCISCO MORAZÁN CENTRO UNIVERSITARIO REGIONAL DE LA CEIBA COMITÉ NACIONAL DE OLIMPIADAS MATEMÁTICAS DE HONDURAS ACADEMIA TALENTOS MATEMÁTICOS DE ATLÁNTIDA TEOREMAS, POSTULADOS
Más detallesGUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
ESCUELA PREPARATORIA OFICIAL No. 268 GUÍA DE ESTUDIO PARA EL EXAMEN EXTRAORDINARIO DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Profra: Citlalli Artemisa García García 1) Qué es la pendiente? 2) Cómo es la pendiente de rectas
Más detallesCÁLCULO II ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B
ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA MISCELÁNEAS DE PROBLEMAS CÁLCULO II VECTORES. 1. Sean A = (1, 2), B = ( 1, 3) y C = (0, 4); hallar: a) A + B b) A B + C c) 4A 3B d) 4(A + B) 5C e) 1 2 (A B) + 1 4 C 2. Sean
Más detallesSoluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 2009
Soluciones oficiales de los problemas de la Final de la XXI Olimpiada Nacional de Matemática 009 Comisión Académica 1 Nivel Menor Problema 1. Considere un triángulo cuyos lados miden 1, r y r. Determine
Más detallesGEOMETRÍA 1ESO ÁNGULOS & TRIÁNGULOS
Un punto se nombra con letras mayúsculas: A, B, C Una recta, formada por infinitos puntos, se nombra con letras minúsculas: a, b, c Dos rectas pueden ser paralelas, secantes o coincidentes. 1. Paralelas
Más detallesTEMA 3. TRIGONOMETRÍA
TEMA 3. TRIGONOMETRÍA Definiciones: 0 30 45 60 90 180 270 360 Seno 0 1 0-1 0 Coseno 1 0-1 0 1 Tangente 0 1 0 0 Teorema del seno: Teorema del coseno: Fórmulas elementales: FÓRMULAS TRIGONOMÉTRICAS. Suma
Más detalles