1.2. Producto escalar, longitud y distancia

Transcripción

1 22 Cálculo vectorial 27. Si PQR es un triángulo en el espacio y b > 0 es un número, existe un triángulo con lados paralelos a los de PQR y con longitudes b multiplicado por las longitudes de PQR. 28. Las medianas de un triángulo se intersecan en un punto, y este punto divide a cada mediana en razón de 2:1. Los problemas 29 y 30 requieren algún conocimiento de notación en química. 29. Escribir la ecuación química CO + H 2 0 = H 2 + C0 2 como una ecuación con ternas ordenadas (x u x 2, x 3 ) donde x x, x 2, x 3 son el número de átomos de carbono, hidrógeno y oxigeno, respectivamente, en cada molécula. 30. a) Escribir la ecuación química pc 3 H q0 2 = rc0 2 + ÍH 2 0 como una ecuación con ternas ordenadas con coeficientes desconocidos p, q, r y s. b) Hallar la solución positiva más pequeña para p, q, r y s. c) Ilustrar la solución mediante un diagrama en el espacio. 31. Encontrar una recta que esté completamente contenida en el conjunto definido por la ecuación x 2 + y 2 -z 2 =L 1.2. Producto escalar, longitud y distancia En esta sección y en la siguiente estudiaremos dos productos de vectores: el producto escalar y el producto vectorial. Ambos son muy útiles en algunas aplicaciones físicas y tienen interesantes interpretaciones geométricas. El primer producto que vamos a considerar se llama producto escalar. También se le llama a veces producto interno. El producto escalar Supongamos que tenemos dos vectores a y b en R 3 (Figura 1.2.1) y queremos determinar el ángulo entre ellos, esto es, el menor ángulo que forman a y b en el plano que ambos generan. El producto escalar nos permite hacerlo, pero antes de comprobar esto vamos a desarrollar el concepto formalmente. Sean a = a x \ + + a 3 k y b = b^i + + b 3 k. Definimos el producto escalar de a y b, y lo escribimos a b, como el número real i a - b = a l b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3. y X Figura >' es el ángulo entre los vectores a y b.

2 Capítulo 1. La geometría del espacio wrfclro 23 Nótese que el producto escalar de dos vectores es un escalar. Algunas veces el producto escalar se escribe <a,b); por tanto, <a,b> y a*b significan exactamente lo mismo. a) Si a = 3i + j - 2k y b = i - j + k, calcular a b. b) Calcular (2i + j - k) (3k - 2j). a) a'b = 3-l + l-(-l)+ (-2)-1 = = 0. b) (2i + j - k)-(3k - 2j) = (2i + j - k)-(0i - 2j + 3k) = = -5. Algunas propiedades del producto escalar se siguen directamente de la definición. Si a, b, y c son vectores en IR 3, y a y son números reales, entonces: i) a-a^0; a a = 0 si y sólo si a = 0. ii) ota'b = a(a*b) y a-/?b = j8(a*b). iii) a (b + c) = a b + a c y (a + b) c = a c + b c. iv) a b = b a. Para probar la primera de estas propiedades obsérvese que si a = a x \ + zj + ^3^, entonces a*a = a\ + a 2 + a 3. Como a,, a 2 y a 3 son números reales, sabemos que O] ^ 0, a 2 ^ 0, a\ ^ 0. Así, a*a ^ 0. Además, si a\ + a\ + al = 0, entonces a x = a 2 = a 3 = 0; por tanto, a = 0 (vector cero). Las demostraciones de las demás propiedades del producto escalar se pueden obtener también fácilmente. Se deduce del teorema de Pitágoras que la longitud del vector a = a^í + + a 3 k es a\ + a\ + a\ {véase la Figura 1.2.2). La longitud del vector a se denota por a. Esta cantidad se llama frecuentemente la norma de a. Como a a = a\ + a\ + al, se sigue que z INI = (a-a) 1/2 y X Figura 1.2A La longitud del vector a = (a,, a, 33) viene dada por la fórmula pitagórica: v a? + a t a.

3 Cálculo vectorial Vectores unitarios Los vectores que tienen norma 1 se llaman vectores unitarios. Por ejemplo, los vectores i, j, k son vectores unitarios. Nótese que para cualquier vector a, a/ a es un vector unitario; cuando dividimos a entre a, decimos que hemos normalizado a. E J E M P L O 1.19 a) Normalizar v = 2i + 3j k. b) Hallar vectores unitarios a, b y c en el plano, tales que b + c = a. a) Tenemos v = ^Jl (1/2) 2 = (1/2)^/53, de modo que la normalización de v es b) Puesto que los tres vectores deben tener longitud 1, el triángulo que tiene como lados a, b y c tiene que ser equilátero, como en la Figura Si situamos el triángulo como en la figura, podemos tomar a = i y entonces, necesariamente, Se puede comprobar que efectivamente j a = b = c = 1 y que b + c = a. y Figura Los vectores a, b y c están representados por los lados de un triángulo equilátero. En el plano, el vector i e = (eos 0)i + (sen 6)j es un vector unitario que forma un ángulo 9 con el eje x (véase la Figura 1.2.4). sen 8 eos 0 Figura Las coordenadas de i e son eos 9 y sen 6; es un vector unitario porque eos sen 2 9 = 1.

4 Capítulo 1. La geometría del espacio euclideo 25 Distancia Si a y b son vectores, hemos visto que el vector b a es paralelo y tiene la misma longitud que el segmento que une los extremos de a y b. De aquí se tiene que la distancia entre ambos extremos es precisamente b a (véase la Figura 1.2.5). Figura La distancia entre los extremos de a y b es b - a Producto escalar, longitud y distancia Si a «,i < aj + u,k > b - />,i i bj /»,k a b = a b + a 2 l>2 +' %&3, y la longitud do a es :MI = V a * * ' v /fl í + o? + «3 Para normalizar el \cctor a basta hacer a Hall' l.u distancia entre los entremos de a y b es Ja b'i, y la distancia entre P > Q es POJ. E J E M P L O 1.20 Hallar la distancia entre el extremo del vector i, esto es, el punto (1, 0, 0) y el extremo del vector j, es decir, el punto (0, 1, 0). llj - ill = 7(0 - l) 2 + (1 - O) 2 + (0- O) 2 = Jl. Angulo entre dos vectores Ahora veremos que el producto escalar sirve efectivamente para medir el ángulo entre dos vectores.

5 Cálculo vectorial TEOREMA 1 Sean a y b dos vectores en IR' y sea 0, donde 0 < f>^ jt,. el ángslo que forman (Figura 1.2.6). Entonces Se deduce de la identidad a-b = a b eos 0 que si a y b son distintos de cero, expresar el ángulo que forman como: podemos 0 = arceos a-b Figura Los vectores a. b y el ángulo 9 que forman entre ellos; la geometría del Teorema 1 y su demostración. DEMOSTRACIÓN Si aplicamos la regla trigonométrica del coseno al triángulo que tiene un vértice en el origen y como lados adyacentes los vectores a y b (como se muestra en la figura), se sigue que b-a 2 = a 2 + b 2-2 a b cos0. Puesto que b a 2 = (b a)-(b a), a 2 = a-a y b 2 = b-b, podemos escribir la ecuación anterior como (b - a)-(b - a) = a-a + b-b - 2 a b eos0. También podemos desarrollar (b - a) (b - a) así: (b - a) (b - a) = b ( b - a) - a-(b - a) = b - b - b - a - a - b + a-a = a- a + b- b-2a-b. Por tanto, Esto es, a-a + b-b - 2a-b = a-a + b-b - 2 a b cos0. a-b = a b eos 0.

6 Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo 27 E J E M P L O 1.21 Hallar el ángulo entre los vectores i + j + k y i + j k (véase la Figura 1.2.7). i + j + k Figura Cálculo del ángulo que forman a = í + j + k y b = I + j - k. Usando el Teorema 1, tenemos y así: Por tanto, Esto es, (i + j + k) - (i + j - k) = i + j + k i + j - k cos0, = (J?>)(sjl) eos 9. C O S 6 = 3. 9 = arceos (i) x 1,23 radianes (71 ). La desigualdad de Cauchy-Schwarz El Teorema 1 muestra que el producto escalar de dos vectores es el producto de sus longitudes por el coseno del ángulo que forman. Esta fórmula es a menudo muy útil en los problemas de naturaleza geométrica. Una consecuencia importante del Teorema 1 es: COROLARIO: Desigualdad de Cauchy-Scbwaf* I I I I M l«-b <IWW,.^^^ y b, se donde la igualdad se s itistacc si v sólo si a es un múltijf no do ellos es 0. DEMOSTRACIÓN Si a no es un múltiplo escalar de b entonces el ángulo 9 que forman ambos vectores no es cero ni TÍ, de modo que cos 9\ < 1 y se tiene la desigualdad; de hecho, si a y b son distintos de cero, se tiene la desigualdad estricta. Cuando a es un múltiplo escalar de b, entonces 9 = 0 o n y cos 9\ = 1, y en este caso se tiene la igualdad.

7 Cálculo vectorial E J E M P L O 1.22 Comprobar que se cumple la desigualdad de Cauchy-Schwarz para a = i + j + k y b = 3i + k. El producto escalar es a b = = -2, de modo que a b = 2. Además, a = = ^3 y b = J9 + 1 = ^flo, y ciertamente 2^^/3-^/ÍO ya que /3-./10 >./3- x /3 = 3 > 2. Si a y b son vectores de IR 3 distintos, no nulos, y 9 es el ángulo que forman, entonces a b = 0 si y sólo si eos 9 = 0. Por tanto, el producto escalar de dos vectores no nulos es cero si y sólo si los vectores son perpendiculares. De este modo, el producto escalar proporciona un buen método para determinar si dos vectores son perpendiculares. Con frecuencia diremos que los vectores perpendiculares son ortogonales. Los vectores de la base canónica i, j y k son ortogonales entre sí y tienen longitud 1; dichos sistemas de vectores se llaman ortonormales. Adoptaremos la convención de que el vector cero es ortogonal a todos los vectores. E J E M P L O 1.23 nales porque Los vectores í e = (eos 9)i + (sen 9)j y j 0 = - (sen 9)i + (eos 0)j son ortogoie'íe = ~~ cos0sen# + sen#cos0 = 0 (véase la Figura 1.2.8). MfUra ijut. Los vectores i e y j son ortogonales y tienen longitud 1, de modo que son ortonormales. E J E M P L O 1.24 Sean a y b dos vectores ortogonales no nulos. Si c es un vector en el plano generado por a y b, existen escalares a y /? tales que c = <xa + /?b. Usar el producto escalar para calcular a y (véase la Figura 1.2.9). Efectuando el producto escalar de a y c, tenemos Como a y b son ortogonales, a b = 0, y así a c = a (aa + j8b) = oca a + /?a b. a a*c a*c a-a Hall 2

8 Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo 29 Proyección ortogonal Al vector aa del ejemplo anterior se le llama proyección de c sobre a, y /?b es la proyección sobre b. Formulemos esta idea de manera más general. Si v es un vector, y / es la recta que pasa por el origen y tiene la dirección del vector a, la proyección ortogonal de v sobre a es el vector p cuyo extremo se obtiene al trazar una recta perpendicular a l desde el extremo de v, como se muestra en la Figura Figura p es la proyección ortogonal de v sobre a. Mirando el dibujo, vemos que p es un múltiplo de a, y que v es la suma de p y un vector q perpendicular a a. Por tanto, v = ca + q, donde p = ca y a q = 0. Si multiplicamos por a escalarmente en ambos lados de la igualdad v = ca + q, tenemos que a v = ca a, de modo que c = (a v)/(a a), y entonces a* v P = 77"^ a.

9 Cálculo vectorial La longitud de p es a v a v -yr llall = = l l v l l c O S l Proyección ortogonal La proyección ortogonal de v sobre a es el vector a a-v P = ;TT2 - E J E M P L O 1.25 Hallar la proyección ortogonal de i + j sobre i 2j. Llamando a = i 2jyv = i + j, la proyección ortogonal de v sobre a es (véase la Figura ). a v a = (i - 2j) = - - (i - 2j) a-a 1+4 Proyección ortogonal de v sobre a Figura La proyección ortogonal de v sobre a es igual a - a. La desigualdad triangular Una aplicación importante de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, conocida como desigualdad triangular, relaciona las longitudes de los vectores a y b con la de su suma a + b. Geométricamente, la desigualdad triangular dice que la longitud de cualquier lado de un triángulo es menor o igual que la suma de las longitudes de los otros dos lados (véase la Figura ). p Q Figura Esta configuración geométrica muestra que IIOQII = 0R + IIRQII o, con notación vectorial, que a + b ^ a + b. que es precisamente la desigualdad triangular.

10 Capítulo 1. La geometría del espacio euclídeo 31 TEOREMA 2: Desigualdad triangular Para dos \ ectores a y b cualesquiera en el espacio. a + b J K N I + b. DEMOSTRACIÓN Aunque el resultado es claro geométricamente, es útil dar una demostración usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, puesto que la prueba se puede generalizar al caso de vectores «-dimensionales. Primero elevamos el lado izquierdo al cuadrado: a + b 2 = (a + b)-(a + b) = a 2 + 2ab + b 2. Usando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, tenemos Por tanto, a 2 + 2a-b + b 2 < a a b + b 2 = ( a + b ) 2. a + b 2 < ( a + b ) 2 ; haciendo la raiz cuadrada en ambos lados se obtiene el resultado. E J E M P L O 1.26 a) Comprobar la desigualdad triangular para a = i + j y b = 2i+j + k. b) Demostrar que u v ^ u w + w - v para cualesquiera vectores u, v y w. Ilustrarlo con un dibujo en el que u, v y w tengan el mismo origen. a) Tenemos que a + b = 3i + 2j + k, luego [a + b = ^ = ^/l4. Por otra parte, IN = ^Jl y b = y/ó, así que la desigualdad triangular asegura que y/í4 ^ y / l + y/ó. Los números confirman esta afirmación: y/li ~ 3,74, mientras que y / l + y/ó «1,41 + 2,45 = 3,86. b) Si observamos que u v = (u w) + (w v), el resultado se sigue de la desigualdad triangular al reemplazar a por u - w y b por w v. Geométricamente, estamos considerando el triángulo sombreado de la Figura U V - V Figura Donde se ilustra la desigualdad u - v s; u - w + w - v.