Espacios vectoriales con producto escalar

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1 147 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal Capítulo 10 Espacios vectoriales con producto escalar 10.1 Producto escalar. Norma. Distancia Definición 71.- Un producto escalar o producto interior en un espacio vectorial real V es una función, que a cada par de vectores u, v V le asocia un número real, que denotaremos por u, v, de tal manera que se cumplen las siguientes propiedades: 1.- u, v = v, u ; u, v V..- u + v, w = u, w + v, w ; u, v, w V. 3.- ku, v = k u, v ; u, v V y k R. 4.- u, u 0; u V y u, u = 0 u = 0. Otra propiedades que se deducen de las anteriores son: 1.- 0, u = 0.- u, v + w = u, v + u, w 3.- u, kv = k u, v Ejemplo Considerar en R [X], la función p(x, q(x = p(1q(1 + p (1q (1 + p (1q (1. (1 p(x, q(x = p(1q(1 + p (1q (1 + p (1q (1 = q(1p(1 + q (1p (1 + q (1p (1 = q(x, p(x ( ( ( ( p(x + r(x, q(x = ( p(1 + r(1 q(1 + p (1 + r (1 ( q (1 + p (1 + r (1 q (1 = p(1q(1+p (1q (1+p (1q (1 + r(1q(1+r (1q (1+r (1q (1 = p(x, q(x + r(x, q(x (3 kp(x, q(x = kp(1q(1 ( + kp (1q (1 + kp (1q (1 = k p(1q(1 + p (1q (1 + p (1q (1 = k p(x, q(x ( ( ( (4 p(x, p(x = p(1p(1 + p (1p (1 + p (1p (1 = p(1 + p (1 + p (1 0. Y, se da la igualdad si y sólo si, p(1 = p (1 = p (1 = 0. Entonces, sea p(x = a + bx + cx, de donde p (X = b + cx y p (X = c; de las igualdades se tiene: a + b + c = 0 p(1 = p (1 = p (1 = 0 b + c = 0 a = b = c = 0 p(x = 0. c = 0 Luego tenemos un producto escalar definido en R [X]. A partir de un producto escalar sobre un espacio V se definen los conceptos de norma, distancia y ángulo. Definición 7.- Si V es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud o módulo de un vector v V se denota mediante v y se define como v = + v, v. La distancia entre dos vectores u y v de V se denota mediante d(u, v y se define como d(u, v = u v = + u v, u v. Desigualdad de Cauchy-Schwarz 73.- Para todo u, v V, espacio con producto escalar, se tiene u, v u v o en la forma u, v u v.

2 148 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 10.1 Producto escalar. Norma. Distancia Propiedades básicas de la norma u 0; u V.- u = 0 u = ku = k u ; u V y k R 4.- u+v u + v ; u, v V Propiedades básicas de la distancia d(u, v 0; u, v V.- d(u, v = 0 u = v 3.- d(u, v = d(v, u; u, v V 4.- d(u, v d(u, w+d(w, v; u, v, w V La prueba de estas propiedades es análoga a la de Propiedades del módulo complejo Matriz del producto escalar Observación: Sean V un espacio con producto interior y B = {u 1,..., u n } una base de V. Tomemos dos vectores v = a 1 u a n u n y w = b 1 u b n u n, entonces v, w = a 1 u a n u n, w = a 1 u 1, w + + a n u n, w = a 1 u 1, b 1 u b n u n + + a n u n, b 1 u b n u n = a 1 u 1, u 1 b a 1 u 1, u n b n + + a n u n, u 1 b a n u n, u n b n = ( u 1, u 1 u 1, u n b 1 a 1 a n = (v B Q [w] B = [v] t B Q [w] B u n, u 1 u n, u n luego, fijada una base, un producto interior se puede obtener a partir de las coordenadas en la base. b n Definición 76.- Sea B base de un espacio V con producto interior. Se llama matriz métrica (o de Gram del producto escalar asociada a la base B, a la matriz Q tal que u, v = [u] t B Q [v] B para cada u, v V Observaciones Por cumplise las propiedades a y 3 a del producto escalar se puede construir la matriz Q; por las propiedades 1 y 4 (1 a parte, la matriz Q debe de ser simétrica y tener los elementos de la diagonal positivos. Y por la propiedad 4 ( a parte debe cumplirse que u, u = [u] t B Q [u] B > 0 para todo u V {0}. Una matriz simétrica compliendo esto último se dice matriz definida positiva (ver Tema 13 de Formas cuadráticas. Criterio de Sylvester 77.- Una matriz simétrica S es definida positiva si y solo si son positivos los menores s 11 > 0 s 11 s 1 s 11 s 1k s 1 s > > 0 S > 0 s k1 s kk Nota: De lo anterior, para comprobar si una función dada, es un producto escalar, basta comprobar que se cumplen las propiedades y 3, construir la matriz Q referida a una base y comprobar si esta es simétrica, y en ese caso ver si es también definida positiva con el Criterio de Sylvester 77 anterior. Proposición 78.- Sea V un espacio con producto escalar. Si Q 1 es la matriz métrica del producto escalar en la base B 1, Q la matriz métrica en la base B y P la matriz de paso de B a B 1, entonces: Q = P t Q 1 P Demostración: Sabemos que x, y = [x] t B 1 Q 1 [y] B1 y P [v] B = [v] B1, con lo que sustituyendo la tercera igualdad en la primera x, y = [x] t B 1 Q 1 [y] B1 = (P [x] B t Q 1 (P [y] B = [x] t B P t Q 1 P [y] B x, y pero como también se cumple x, y = [x] t B Q [y] B, debe ser Q = P t Q 1 P Definición 79.- Dos matrices simétricas A y A son congruentes, si existe P inversible tal que A = P t AP

3 149 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 10. Ortogonalidad El espacio euclídeo n-dimensional R n Definición 80.- En el espacio vectorial R n, la función que a cada x, y R n le asocia x, y = x y = (x 1,..., x n (y 1,..., y n = x 1 y x n y n = n x i y i es un producto interior que se conoce como producto escalar euclídeo o producto euclídeo (ya usado en R y R 3. Que da lugar a la norma y distancia euclídeas, ya conocidas: x = x x = x x n y d(x, y = x y = (x 1 y (x n y n Y llamaremos espacio euclídeo n-dimensional a R n con el producto escalar euclídeo. Nota: También se suele denominar de manera genérica como Espacio euclídeo a cualquier espacio vectorial con un producto interior, pero como ya hemos dicho nosotros reservaremos esta denominación para R n con el producto euclídeo. Intentamos evitar cualquier tipo de dualidad. De la misma manera reservamos la notación x y para el producto euclídeo, remarcando así con x, y que vamos a usar un producto escalar que no es el euclídeo. Observación: En R n con el producto euclídeo, la matriz métrica en la base canónica es la identidad. Pero también al revés, cuando la matriz métrica sea la identidad cualquier producto interior se reduce al producto euclídeo de las coordenadas; y esto ocurre precisamente para las bases ortonormales que se estudimos a continuación 10. Ortogonalidad Ángulos y ortogonalidad Definición 81.- Si u y v son vectores distintos de cero de un espacio con producto interior, como consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz se tiene que 1 u,v u v 1 y, por tanto, existe un único ángulo, θ, tal que u, v cos θ = u v, con 0 θ π Definición 8.- En un espacio vectorial con producto interior, dos vectores u y v se dicen que son ortogonales si u, v = 0. Suele denotarse por u v. Si u es ortogonal a todos los vectores de un conjunto W, se dice que u es ortogonal a W. Se dice que S = {v 1, v,..., v k } es un conjunto ortogonal si los vectores son ortogonales dos a dos, es decir, si v i v j para todo i j. Ejemplo Los vectores de la base canónica de R 3 con el producto escalar euclídeo son ortogonales entre si, pero no lo son si el producto interior definido es: v, w = v 1 w 1 + v 1 w + v w 1 + v w + v 3 w 3. (Pruébese que es un producto interior. En efecto: e 1, e = (1, 0, 0, (0, 1, 0 = = 1 0. Nota: Si dos vectores son ortogonales, el ángulo que forman es de π radianes (los famosos 90 grados. De hecho, en R n con el producto escalar euclídeo, la ortogonalidad coincide con la perpendicularidad. Una curiosidad: Teorema general de Pitágoras 83.- Si u y v son dos vectores ortogonales de un espacio vectorial con producto interior, entonces u + v = u + v. Este resultado, de fácil comprobación, se reduce en R con el producto escalar al Teorema de Pitágoras. También es sencillo probar el resultado siguiente (ver ejercicio 10.58: Proposición 84.- Si w {v 1, v,..., v k }, entonces w lin{v 1, v,..., v k }. Mucho más interesante es el siguiente, que relaciona ortogonalidad e independencia: Teorema 85.- Si S = {v 1, v,..., v k } un conjunto finito de vectores no nulos, ortogonales dos a dos, entonces S es linealmente independiente. i=1

4 150 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 10. Ortogonalidad 10.. Bases ortonormales. Proyección ortogonal Definición 86.- Sean V un espacio vectorial de dimensión n con producto interior. Se dice que la base B = {v 1, v,..., v n } es una base ortonormal de V, si B es un conjunto ortogonal y v i = 1, i. {( ( } Ejemplo Las bases canónica y B 1 = 1 1, 1, 1, son ortonormales en R con el producto escalar euclídeo. La base B = {(, 0, (0, } es ortonormal para el producto interior x, y = x1y1 4 + xy. Teorema 87.- Si B = {v 1, v,..., v n }( es una base ortonormal para un espacio V entonces v V se tiene que (v B = v, v 1, v, v,..., v, v n. Es decir, v = v, v 1 v 1 + v, v v + + v, v n v n, con producto escalar, Demostración: Si v = c 1 v c i v i + + c n v n, para cada i, se tiene que v, v i = c 1 v c i v i + + c n v n, v i = c 1 v 1, v i + + c i v i, v i + + c n v n, v i = c i v i, v i = c i v i = c i Es decir, en una base ortonormal, la obtención de cordenadas es más sencilla. Y no sólo eso: Teorema 88.- Si P es la matriz de paso de una base ortonormal B 1 a otra base ortonormal B, entonces P es una matriz ortogonal (es decir, P 1 = P t. La prueba es puramente operativa, con la definición y el apartado b del ejer (ver también ejer Definición 89.- Sean V un espacio con producto escalar, W subespacio de V y B = {w 1, w,..., w k } base ortonormal de W. Para cada v V, llamaremos proyección ortogonal de v sobre W al vector de W Proy W (v = v, w 1 w 1 + v, w w + + v, w k w k. Al vector v Proy W (v se le llama componente ortogonal de v sobre W. La proyección ortogonal no depende la base ortonormal elegida, es decir, tomando otra se obtiene lo mismo. La prueba puede encontrarse en el Anexo, pág. 150, tras la demostración del Lema 90 siguiente. Lema 90.- Sean V un espacio vectorial con producto interior y W subespacio de V, entonces para cada v V, el vector v Proy W (v es ortogonal a W Teorema y ortonormalización de Gram-Schmidt El siguiente teorema prueba la existencia de bases ortonormales para cualquier producto escalar, y no solo eso sino que la prueba es un método de construcción de esa base ortonormal. Proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt 91.- Sean V un espacio vectorial con producto interior y de dimensión n. Vamos a describir este proceso que construye a partir de una base B ={v 1, v,..., v n } una base ortonormal B = {u 1, u,..., u n }. Demostración: 1 a etapa.- Como v 1 0 por ser de B, el vector u 1 = v 1 v 1 tiene norma 1 y lin{u 1} = lin{v 1 }. a etapa.- Sea W 1 = lin{u 1 }, por el Lema anterior, el vector v Proy W1 (v es ortogonal a W 1, en particular a u 1, y es distinto del vector 0 pues Proy W1 (v W 1 y v / W 1 = lin{v 1 }, entonces tiene que u = v Proy W1 (v v Proy W1 (v = v v, u 1 u 1 v v, u 1 u 1 lin{v 1, v } es ortogonal a u 1 y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u } = lin{v 1, v }.

5 151 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 10. Ortogonalidad 3 a etapa.- Sea ahora W = lin{u 1, u }, como antes, el vector v 3 Proy W (v 3 es ortogonal a W, en particular a u 1 y u, y es distinto del vector 0, pues Proy W (v 3 W y v 3 / W = lin{v 1, v }, entonces se tiene que u 3 = v 3 Proy W (v 3 v 3 Proy W (v 3 = v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u u v 3 v 3, u 1 u 1 v 3, u u lin{v 1, v, v 3 } es ortogonal a u 1 y u, y tiene norma 1. Además, lin{u 1, u, u 3 } = lin{v 1, v, v 3 }. n a etapa.- Con la repetición del proceso se ha construido un conjunto ortonormal de n vectores no nulos, B = {u 1, u,..., u n }, tal que lin B = lin B = V. Luego B es una base ortonormal de V. Ejemplo En R 4 con el producto euclídeo, x, y = x y, transformar { } B = v 1 =(1, 1, 1, 1, v =( 1, 1, 0,, v 3 =(0, 1,, 1, v 4 =( 1, 0, 1, 1 en una base ortonormal u 1 = v1 v = ( 1 1, 1, 1, 1 y W 1 = lin{u 1 } u = v Proy W (v 1 v Proy W1 (v u 3 = v3 Proy W (v 3 v 3 Proy W (v 3 u 4 = v4 Proy W (v 3 4 v 4 Proy W3 (v 4 ( v = v,u 1 u 1 v ( v,u 1 u 1 = 1 6 ( 1, 1.0, y W = lin{u 1, u } ( v = v3 3,u 1 u 1+ v 3,u u = v 3 ( v 6 3,u 1 u 1+ v 3,u u ( v = v4 4,u 1 u 1+ v 4,u u + v 4,u 3 u 3 = v 4 ( v 1 4,u 1 u 1+ v 4,u u + v 4,u 3 u 3 10 ( 1 6, 7 6,, 4 6 y W 3 =lin{u 1, u, u 3 } 35 ( 9, 7, 3, 1 Observación El cálculo de la base ortonormal mediante el proceso de Gram-Schmidt es simple, es algorítmico luego basta seguir los pasos indicados, pero muy laborioso. Si buscamos sólo dos o a lo sumo tres vectores ortogonales a veces puede hacerse por simple inspección u obligando a que cumplan las condiciones de ortogonalidad y resolviendo los sistemas resultantes; basta ahora con normalizar los vectores para tener la base. Menos sistemático pero válido. Hay otro proceso que también construye una base ortogonal a partir de otra dada, pero que usa las matrices métricas. Consiste en obtener la matriz métrica identidad a partir de la matriz métrica de la base dada Base ortonormal mediante diagonalización congruente Para un producto escalar dado, la matriz métrica referida a una base ortonormal es la identidad (referida a una base ortogonal es diagonal. Este hecho y la Proposición 78 nos proporcionan la idea de buscar una base ortonormal buscando una matriz de cambio de base de manera que P t QP = I. El proceso de que hablamos, se basa de nuevo en hacer operaciones elementales sobre la matriz. La idea del método es la siguiente: haciendo operaciones elementales en las filas de la matriz podemos conseguir una matriz triangular inferior, pero como necesitamos que la matriz obtenida sea simétrica (debe ser congruente con la anterior, seguir siendo una matriz métrica, después de cada operación que hagamos en las filas repetiremos la misma operación sobre las columnas. Tras cada doble paso (operacion sobre las filas y misma operación sobre las columnas la matriz obtenida seguirá siendo simétrica y congruente con la inicial y, al final del proceso la matriz obtenida será diagonal. La justificación no es dificil de entender si usamos las matrices elementales que representan a cada operación elemental (ver la subsección 8..1 sobre matrices elementales en la página 17, pues: si E es una matriz elemental obtenida de realizar una aplicación elemental sobre I, al multiplicar EA se tiene la matriz resultante de realizar la misma operación elemental de E sobre las filas de A (Th.09 y si multiplicamos a la traspuesta de A, EA t realiza la operación sobre las columnas de A. Entonces: la matriz E(EA t realiza la operación sobre las columnas de la matriz en la que ya hemos realizado la operación de las filas; pero como E(EA t = EA t E t = EAE t (por ser A simétrica, esta matriz es simétrica y congruente con A (pues E es inversible. Luego repitiendo el proceso hasta obtener una matriz diagonal y haciendo 1 los elementos de la diagonal: I = E k E k 1 E 1 A E t 1 E t k 1E t k = (E k E k 1 E 1 A (E k E k 1 E 1 t = P t A(P t t = P t AP

6 15 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 10.3 Ejercicios que será congruente con A pues P es inversible al ser producto de inversibles. Diagonalización congruente mediante operaciones elementales 9.- Ampliamos la matriz A con la identidad, (A I y efectuamos en A y en I las operaciones elementales en las filas para escalonar A y repetimos cada operación en las columnas de A, al cabo de un número finito de pasos obtendremos (D P t Nota: Construimos así una matriz congruente diagonal, que se corresponde con una base ortogonal. Basta ahora con hacer 1 los elementos de la diagonal para obtener la base ortonormal. Ejemplo 93 Sea x, y = x 1 y 1 + x 1 y + 3x y + x y 1 + x y 3 + x 3 y + 4x 3 y 3 un producto escalar sobre R 3. Obtener una base ortonormal La matriz métrica en la base canónica es S = 0 3 1, luego para obtener una matriz congruente con S que sea la identidad, hacemos el proceso de (S I (I P t. Detallamos los pasos ha dar: F F F 3 F C (S I = C 1 C C F 1 1 C Tenemos entonces la matriz identidad y la matriz, P = 1 F C { } B = ( 1, 0, 0, ( 1, 1, 0, ( 1 3, 1 1 3, 3 a la canónica, que verifican que P t SP = I. =(I P t, de paso de la base ortonormal 10.3 Ejercicios Sean u = (u 1, u, u 3 y v = (v 1, v, v 3. Determinar si u, v = u 1 v 1 u v + u 3 v 3 define un producto interior en R a Encontrar dos vectores de R con norma euclídea 1 y cuyo producto euclídeo con (, 4 sea cero b Probar que hay infinitos x R 3 con x = 1 y el producto euclídeo x ( 1, 7, = Sean a = ( 1 5, 1 5 y b = ( 30, Demostrar que {a, b} es ortonormal si R tiene el producto interior u, v = 3u 1 v 1 + u v donde u = (u 1, u y v = (v 1, v, y que no lo es si R tiene el producto euclídeo Sea V un espacio con producto interior. Probar que si un vector w es ortogonal a cada uno de los vectores v 1, v,..., v k entonces es ortogonal a todo el conjunto lin{v 1, v,..., v k } Considerar R 3 con el producto interior euclideo. Utilizar tanto el proceso de Gram-Schmidt como la diagonalización congruente para transformar, en cada caso, la base {u 1, u, u 3 } en una base ortonormal. a u 1 = (1, 1, 1, u = ( 1, 1, 0, u 3 = (1,, 1. b u 1 = (1, 0, 0, u = (3, 7,, u 3 = (0, 4, Sea R 3 con el producto escalar u, v = u 1 v 1 + u v + 3u 3 v 3. Utilizar tanto el proceso de Gram-Schmidt como la diagonalización congruente para transformar la base formada por los vectores (1, 1, 1, (1, 1, 0 y (1, 0, 0 en una base ortonormal Sea B = {v 1, v, v 3 } una base ortonormal de un espacio V con producto interior. Comprobar que: a w = w, v 1 + w, v + w, v 3 ; w V. b u, w = (u B (w B = [u] t B [w] B ; u, w V.

7 153 Fundamentos de Matemáticas : Álgebra Lineal 10.3 Ejercicios 10.6 Tomemos en R 4 el producto interior euclideo. Expresar el vector w = ( 1,, 6, 0 en la forma w = w 1 +w donde, w 1 esté en el subespacio W generado por los vectores u 1 = ( 1, 0, 1, y u = (0, 1, 0, 1, y w sea ortogonal a W Suponer que R 4 tiene el producto interior euclideo. a Hallar un vector ortogonal a u 1 = (1, 0, 0, 0 y u 4 = (0, 0, 0, 1, y que forme ángulos iguales con los vectores u = (0, 1, 0, 0 y u 3 = (0, 0, 1, 0. b Hallar un vector x de longitud 1, ortogonal a u 1 y a u, tal que el coseno del ángulo entre x y u 3 sea el doble del coseno del ángulo entre x y u Hallar la distancia del vector u = (1, 1, 1, 1 de R 4 al subespacio generado por los vectores v 1 = (1, 1, 1, 0 y v = (1, 1, 0, Dados los vectores x = (x 1, x, x 3 e y = (y 1, y, y 3 de R 3, demostrar que la expresión x, y = x 1 y 1 + x y + x 3 y 3 + x 1 y + x y 1 define un producto interior. Encontrar una base {u 1, u, u 3 } ortonormal respecto al producto interior anterior tal que u y u 3 tengan igual dirección y sentido que los vectores (0, 1, 0 y (0, 0, 1, respectivamente Probar que una matriz A de orden n es ortogonal si, y sólo si sus vectores fila forman un conjunto ortonormal en R n.