6.14 Descomposición ortogonal y proyección ortogonal

Transcripción

1 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N Descomposición ortogonal y proyección ortogonal El resultado W W = IR n, significa que cada y IR n se puede escribir de forma única como suma de un vector ˆ y W y un vector z W y = ˆ y + z con ˆ y W y z W ˆ y es la proyección ortogonal de y sobre W, que denotamos también como proy W y También se puede dar esta definición equivalente: La proyección ortogonal de y sobre W es el vector ˆ y W tal que y ˆ y W Cómo obtener proy W y? Ya que W W = IR n podemos obtener una base de IR n B = { b 1, b 2,..., b d, b d+1,..., b n }, con { b 1, b 2,..., b d } base de W y { b d+1,..., b n } base de W. Entonces y = α 1 b1 + α 2 b α d bd + α d+1 bd α n bn }{{}}{{} proy W y W con proy W y = α 1 b1 + α 2 b α d bd W y z = α d+1 bd α n bn W z W Una vez obtenidas las coordenadas α 1, α 2,... α n, que son únicas (las coordenadas respecto de una base dada son únicas), podremos determinar el vector único proy W y W y el vector único z W tales que y = proy W y + z. Esquema en el espacio euclídeo canónico IR 3 : z y W 0 y v Por otra parte, ˆ y tiene la propiedad de ser el vector de W más cercano a y y proy W y < y v v W con v ˆ y Decimos entonces que dado y IR n, la mejor aproximación de y que puedo obtener mediante un vector de W, subespacio vectorial de IR n, es proy W y En qué sentido es mejor aproximación?. En el sentido de menor distancia. La distancia de y IR n al subespacio W se define como la distancia desde y al punto más cercano de W. Dicho de otra forma, la distancia de y a W es igual a y proy W y = z

2 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N 283 OBSERVACIONES z = proy W y, es decir, z es la proyección ortogonal de y sobre W. proy W y es la distancia de y a W..15 Proyección ortogonal sobre un subespacio del que conocemos una base ortogonal TEOREMA. Sea W un subespacio de IR n, { b 1, b 2... b d } una base ortogonal de W e y IR n. Entonces Demostración: proy W y = y b 1 b1 b 1 b1 + y b 2 b2 b 2 b y b p bd b d bd [3] proy W y W, por tanto proy W y = c 1 b1 + c 2 b c d bd [4] Multiplicando escalarmente la expresión anterior por el vector b 1 obtenemos: proy W y b 1 = c 1 b1 b = c 1 b1 b 1 proy W y b 1 = c 1 b1 b 1 Despejando c 1 : c 1 = proy W y b 1 b1 b 1 Multiplicando escalarmente por b 2 obtendríamos c 2 y así sucesivamente hasta obtener c d. En definitiva: c i = proy W y b i bi b i Por otra parte, i = 1... d, proy W y b i = ( y z) b i = y b i ya que z b i = 0 por ser vectores ortogonales entre sí, por tanto podemos escribir los coeficientes c i cómo: c i = y b i bi b i Sustituyendo los c i en la ecuación [4] obtenemos la igualdad [3] presentada en el teorema. proy W y = y b 1 b1 b 1 b1 + y b 2 b2 b 2 b y b p bp b p bp Justificaremos más adelante que la proyección ortogonal de y sobre , siendo { b 1, b 2,... b d } una base ortogonal, es igual a la suma de las d proyecciones ortogonales sobre subespacios de una dimensión, mutuamente ortogonales, en las direcciones de b 1, b 2,... b d. En efecto, cada sumando corresponde a la proyección ortogonal sobre un subespacio . Si la base { b 1, b 2... b d } es ortonormal la expresión [3] queda cómo: proy W y = ( y b 1 ) b 1 + ( y b 2 ) b ( y b d ) b d [5] Para cálculos a mano se recomienda utilizar la fórmula [3] ya que en la [5] aparecerán en general raíces cuadradas. COROLARIO. Si y W, entonces proy W y = y y z = 0.

3 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N 284 Esquema en el espacio euclídeo canónico IR 3 : y y y 2 0 y 1 y Esquema en el espacio euclídeo canónico IR 2 para la proyección ortogonal de un vector sobre una recta y b c b y = c b ( y c b). b = 0 y. b c b. b = 0 c = y. b b. b y = y. b b. b b Obsérvese que el vector proyección de y sobre no depende de como esté escalado b (con múltiplos de b obtendríamos el mismo vector proyección).

4 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N Ejemplos de ejercicios de descomposición ortogonal Ejemplo.15 Considere en el espacio euclídeo canónico IR 2 los vectores y = (7, ) y b = (4, 2). Encuentre la proyección ortogonal de y sobre y la distancia de y a la recta . Sol: Método 1 Calculamos en primer lugar un vector z 1 ortogonal a b = (4, 2). Un ejemplo es z 1 = (1, 2). Considerada la base B = { b, z 1 }, con un vector en la dirección de b y otro en la dirección ortogonal z 1, se calculan las coordenadas de (7, ) respecto a esta base, resultando ser (2, 1), es decir: (7, ) = 2(4, 2) + 1(1, 2) = (8, 4) + ( 1, 2) }{{}}{{} < z 1 > Por tanto la proyección de (7, ) sobre (4, 2) es el vector y = (8, 4) La longitud del vector proyección es igual a = = 100 = 10 La distancia de (7,) a la recta de dirección < (4, 2) > es: d = ( 1) = 5 Método 2 Este problema también se podía haber resuelto utilizando la fórmula de la Sección.14 puesto que el subespacio sobre el que se proyecta es de dimensión 1, y por tanto su base puede considerarse como base ortogonal. y = y. b b. b b y = (7, ).(4, 2) (4, 2).(4, 2) (4, 2) = (4, 2) = 2(4, 2) = (8, 4) La distancia de y a es igual a la norma de z = y y = (7, ) (8, 4) = ( 1, 2) d = ( 1) = 5

5 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N 28 Ejemplo.1 Considere en el espacio euclídeo canónico IR 2 y = [ ] 2 y b = suma de un vector en el subespacio generado por b y de un vector ortogonal a b. Sol: [ ] 7. Escriba y como 1 y = (2, ) (7, 1) (7, 1) = (7, 1) = (7, 1) = 2 5 (7, 1) = (14 5, 2 5 ) y = y + z z = y y z = [ ] 2 [ ] 14/5 = 2/5 [ ] 2 14/5 = 2/5 [ ] 4/5 28/5 Comprobación: [ ] [ ] 14/5 4/5 + = 2/5 28/5 }{{}}{{} < z 1 > [ ] 2 Ejemplo.17 Considere en el espacio euclídeo canónico IR 3 el plano W que pasa por el origen y por los puntos (0,10,2) y (4,10,2). Calcule la proyección ortogonal del vector v = (2, 4, 12) sobre W. Determine la distancia del punto (2,4,12) al plano W y a la recta W. Método 1 Para resolver el problema buscaremos la expresión de v en una base B que contenga los dos vectores generadores de W, que son a = (0, 10, 2) y b = (4, 10, 2), y un vector z 1 W. Los tres vectores forman una base de IR 3, B = { a, b, z 1 }, con a W, b W y z 1 W. a y b no forman una base ortogonal, por tanto no puede aplicarse la fórmula de la Sección.14. Encontraremos que W =< (0, 1, 5) >, mediante los métodos anteriormente descritos (es decir, buscando vector (x, y, z) ortogonal a la vez a (0, 10, 2) y a (4, 10, 2), y que por tanto cumpla las ecuaciones 10y + 2z = 0 y 4x + 10y + 2z = 0 ) o mediante el producto vectorial. Tomamos z 1 = (0, 1, 5). Se obtiene seguidamente que las coordenadas de v = (2, 4, 12) en la base B = { a, b, z 1 } son (3/2, 1/2, 28/13), por tanto, v = 3/2 a + 1/2 b + 28/13 z 1 Nos fijamos ahora en que 3/2 a + 1/2 b W y 28/13 z 1 W. Por tanto ya tenemos el vector v expresado como suma de un vector de W y otro de W, v = proy W y + z proy W y = 3/2 a + 1/2 b = (2, 80/13, 1/13) = (2,.15385, ) z = 28/13 z 1 = (0, 28/13, 140/13) = (0, , ) La distancia de v al plano es la norma de z, d = ( ) = La distancia de v a la recta W es la norma de proy W v, es decir: d = (.15385) =.587

6 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N 287 En este ejercicio también podríamos haber tomado a 1 = (0, 5, 1) y b 1 = (2, 5, 1) como base de W, para simplificar los cálculos. En este caso encontraríamos: v = 3/13 a 1 + b /13 z 1. Sustituyendo los vectores base obtendríamos obviamente los mismos vectores proy W y y z. Método 2 Una vez obtenido z 1 se obtiene la proyección de v sobre la recta < z 1 >= W : A continuación: proy W v = v. z 1 z 1 = 28 z 1. z 1 13 z 1 = (0, 28 13, 140 ) = (0, , ) 13 proy W v = v proy W v = (2, 4, 12) (0, 28 13, ) = (2, 13 13, 1 ) = (2,.15385, ) 13 Distancia al plano W es la norma de proy W v Distancia al plano W es la norma de proy W v Este es el método más simple para los casos en los que en la descomposición IR n = W + W uno de los dos subespacios tiene dimensión Ejemplo.18 En el espacio euclídeo canónico IR 3 considere v 1 = 5, v 2 = 1, e y = Observe que { v 1, v 2 } es una base ortogonal de W =< v 1, v 2 >. Escriba y como suma de un vector de W y un vector perpendicular a W. Obtenga el punto de W más cercano a y y la distancia de y a W. Por ser { v 1, v 2 } una base ortogonal puedo aplicar la siguiente fórmula: ( ) ( ) v ( ) 1 + ( ) proy W y = y v 1 v 1 + y v 2 v 2 = v 1 v 1 v 2 v 2 v 2 = /5 1 = 2 1 1/5 5 1 y = proy W y + z con z W z = y proy W y = 2/5 7/5 y = /5 14/5 W W 1 2/5 7/5 2 2 = 0 3 1/5 14/5 El punto más cercano es ( 2/5, 2, 1/5). La distancia de y a W es la norma de z = (7/5, 0, 14/5): d = 7/ = 7/5 5 = 7/ 5

7 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N 288 Ejemplo.19 Considerando el espacio euclídeo canónico IR 3, los vectores v 1 = 1 9 1, y = 1 y 2 W =< v 1, v 2 >, obtenga proy W y. 7 1, v 2 = 4 Se puede comprobar que v 1 y v 2 son ortogonales, y que por tanto es aplicable la fórmula siguiente: proy W y = ( y v 1) v 1 + ( y v 2) ( ) v 2 = v 1 v 1 v 2 v 2 ( ) v ( ) 1 + ( ) v 2 = 88 v 1 2 v 2 = 4 3 v v 2 = /3 + 1/3 27/3 9 1 = 4/3 1/3 = 3/3 = /3 + 2/3 18/3 En este caso encontramos que proy W y = y. Esto es debido a que y W, es decir, es combinación lineal de v 1 y de v 2. El punto más cercano de W a y es el propio y.

8 CAPÍTULO. ESPACIO EUCLÍDEO CANÓNICO IR N Ejercicios Ejercicio.1 Se consideran los siguientes subespacios del espacio euclídeo canónico IR 3 : W 1 = {x + 3y = 0, x + z = 0}, W 2 = {x = 0, y = 0}, W 3 = {x + 2y + 3z = 0}, W 4 = {x + 2y + 3z = 0, 2x + 4y + z = 0}. Hallar una base de cada uno de estos subespacios y una base de sus correspondientes complementos ortogonales. Ejercicio.2 En el espacio euclídeo canónico IR 4 hallar la proyección ortogonal del vector (0, 2, 1, 1) sobre el subespacio W = {(x, y, z, t) IR 4 / x + 3y = 0} Ejercicio.3 En el espacio euclídeo canónico IR 4 se considera el subespacio S = {(x, y, z, t) IR 4 /x z t = 0} a) Calcula una base ortonormal de S. b) Calcula una base ortonormal de S. c) Calcula la proyección ortogonal del vector v = (1, 0, 1, 1) sobre S. d) Calcula la distancia de v a S. Ejercicio.4 En el espacio euclídeo canónico IR 3 encuentra la distancia de y a W =, donde y = ( 1, 5, 10), b 1 = (5, 2, 1) y b 2 = (1, 2, 1). Ejercicio.5 En el espacio euclídeo canónico IR 4 demuestra que no es posible expresar el vector v = (30, 20,, 10) como combinación lineal de los vectores del conjunto S = {( 1, 0, 0, 1), (4, 1, 1, 2)}. Obtén los coeficientes de la combinación lineal de los vectores de S que dan el vector más cercano a v. Ejercicio. Supongamos dos clases de alimento, A y B, con las cantidades de vitamina C, calcio y magnesio dadas en la tabla siguiente. Las cantidades corresponden a miligramos por unidad de alimento. A B Vitamina C 1 2 Calcio 5 4 Magnesio 3 2 Demuestra que combinando las dos clases de alimentos no podemos obtener un aporte exacto v = (17 mg de vitamina C, 54 mg de calcio, 31 mg de magnesio) Determina el aporte más cercano al aporte exacto que se podría conseguir combinando los dos alimentos. Ejercicio.7 a) Dado el vector v = (3, 1, 1), descomponerlo como suma de un vector de W y otro de W, siendo W el plano dado por la ecuación x + y + z = 0. b) Obtén el vector simétrico de v respecto de W. Nótese que el vector simétrico de v respecto de W es el vector v = proy W v proy W v c) Calcula el área del triángulo de vértices 0, v y v.