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Roberto Gil Torres
hace 7 años
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1 COORDENADAS POLARES. Algunas veces conviene representar un punto P en el plano por medio de coordenadas polares planas (r, ), donde r se mide desde el origen y es el ángulo entre r y el eje x (ver figura). Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e y. De la gráfica se sigue que: Las dos ecuaciones anteriores permiten expresar las coordenadas cartesiana en términos de las polares. Recíprocamente, las coordenadas polares pueden expresarse en términos de las cartesianas en la forma:

2 En forma vectorial podemos escribir donde y son vectores unitarios a lo largo de x e y. Es posible introducir una pareja de vectores unitarios y perpendiculares, en las direcciones en que se incrementan r y. Estos vectores se expresan en términos de y. Obsérvese que. =0 Recíprocamente: Al reemplazar y en la ecuación (1) es fácil concluir que:

3 EJERCICIOS. a) Demostrar que en coordenadas polares la velocidad está dada por: donde, y Podemos escribir para la velocidad, Pero de acuerdo con las ecuaciones (2) y (3):

4 Y por consiguiente, al reemplazar y en (4) se sigue que: b) Demostrar que en coordenadas polares, la aceleración está dada por: Donde,

5 Según la definición de aceleración y utilizando la expresión para de la parte a) resulta que: c) Utilizando la expresión de la aceleración, obtenida en el literal b), hallar las ecuaciones de movimiento de una partícula sometida a una fuerza central. Ante todo, la expresión general para una fuerza central tiene la forma:, donde es una función solo de la coordenada. Ahora bien, la ecuación (6) para la aceleración nos permite expresar la fuerza como:,

6 Y al igualar los coeficientes de los vectores unitarios correspondientes, encontramos que las ecuaciones de movimiento se pueden expresar como, d) Demostrar que si una partícula se mueve en un campo de fuerza central su momento angular se conserva y su trayectoria es una curva plana. El principio de conservación del momento angular orbital ejerce torque sobre la partícula. En efecto, de las ecuaciones, se deduce del hecho de que la fuerza central no Se sigue que:

7 y puesto que la conexión entre torque y momento angular es: Se sigue que, Lo que indica que el momento angular de la partícula es una constante del movimiento: = constante. Ahora bien, el momento angular se define como: Donde es el momento lineal, en consecuencia de acuerdo al numeral d):

8 Finalmente, si formamos el producto escalar tendremos y como el producto triple escalar que contiene dos vectores iguales es idénticamente nulo, se sigue que: =0 Por lo cual y son perpendiculares. En consecuencia, puesto que la dirección de permanece constante, el vector apuntará siempre en una dirección contenida en un plano (ver figura). Puesto que, el vector está en el mismo plano que. Esto indica que la trayectoria de un cuerpo sometido a una fuerza central se realiza en el plano perpendicular a la dirección de su momento angular. Obsérvese además que, puesto que = constante, es cierto que es constante. La fuerza de gravitación, que mantiene los planetas en movimiento alrededor del sol es una fuerza central. Como consecuencia las órbitas planetarias son planas y el momento angular se conserva.

9 e) Demostrar que si una partícula se mueve en un campo de fuerza central con 0 como su centro, entonces el radio vector dibujado desde 0 hasta la partícula barre áreas iguales en tiempos iguales (Ley de las áreas). Supongamos que en un tiempo la partícula se mueve desde A gasta B y barre el área sombreada. El área es aproximadamente la de un triángulo, tal que: Dividiendo por, y haciendo,

10 Utilizando el resultado del literal d), donde se obtuvo que es constante se concluye que =constante Equivalentemente: Se observa así que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales. La cantidad se denomina velocidad escalar. Esta es la prueba de la segunda ley de Kepler. Es cierto entonces que la segunda ley de Kepler es válida para fuerzas centrales cuyo ejemplo particular es la gravitación newtoniana. f) Demostrar que la ley de las áreas puede expresarse con coordenadas polares en la forma: De la ecuación (7) y reemplazando (4):

11 y por ser y vectores unitarios y perpendiculares es cierto que =1, se obtiene, entonces:,

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