1.18 Convertir de coordenadas cilíndricas a esféricas el campo vectorial H = (A/r), donde A es constante.

Transcripción

1 Problemas 1.5 Un campo vectorial está dado por G = 24xy + 12(x 2 + 2) + 18z 2. Dados dos puntos, P(1, 2, - 1) y Q(-2, 1, 3), encontrar: a) G en P; b) un vector unitario en la dirección de G en Q; c) un vector unitario de Q a P; d) la ecuación de la superficie en la que G = Demostrar que los campos vectoriales de A = r cos + r sen + r y B = r cos + r sen - r son ortogonales entre sí en cualquier punto a) Encontrar la componente vectorial de F = que es paralelo a G = b) Encontrar la componente vectorial de F perpendicular G. c) Encontrar la componente vectorial de G perpendicular a F Demostrar que los campos vectoriales A = (sen 2 )/ (sen )/ 2 y B = cos + son paralelos entre sí en cualquier punto Convertir de coordenadas cilíndricas a esféricas el campo vectorial H = (A/r), donde A es constante a) Expresar con componentes y variables cilíndricas el campo D = (x 2 + y 2 ) -1 (x + y ); b) evaluar D en el punto donde r = 2, = 0.2 y z = 5, expresando el resultado en componentes cilíndricas y cartesianas Expresar en componentes cilíndricas: a) el vector desde C(3, 2, - 7) hasta D(-1, -4, 2); b) un vector unitario en D dirigido hacia C; c) un vector unitario en D dirigido hacia el origen Expresar el campo E = A / 2 en a) coordenadas cartesianas; b) coordenadas cilíndricas.

2 1.25 Dado el punto P( = 0.8, = 30º, = 45º) y E = l/ 2 (cos + sen /sen ), a) encontrar E en P; b) encontrar E en P; c) hallar un vector unitario en la dirección de E en P Expresar el campo vectorial uniforme F = 5 en a) componentes cilíndricas; b) componentes esféricas Expresar el campo vectorial G = 8 sen en a) componentes cartesianas; b) componentes cilíndricas Expresar el vector unitario a x en componentes esféricas en el punto: a) = 2, = 1 rad, = 0.8 rad; b) x = 3, y = 2, z = - 1; c) r = 2.5, = 0.7 rad, z = Un campo vectorial tiene el valor A = en el punto B(5, 120º, 75º). Encontrar la componente vectorial de A que: a) es perpendicular a la superficie r =5; b) tangente a la superficie r = 5; c) tangente al cono = 120º. d) Encontrar un vector unitario que sea perpendicular a A y tangente al cono = 120º. RESPUESTAS 1.5 a) b) c) d) 100 = 16x 2 y 2 + 4x x z a) (0.93, 1.86, 2.79) b) (9.07, , 2.21) c) (0.02, 0.25, 0.26) a) (1/r) b) 0.5, o a) b)

3 c) a) b) 2.47 c) a) b) c) MARSHALL 1.1 Encuentre la distancia entre los puntos a y b si (a) El punto a se localiza en (x, y, z) = (1,2,4) y el punto b en (x, y, z) = (2, 1,3). (b) El punto a se localiza en (,, ) = (2, /4, /8) y el punto b en (,, ) = (1.5, /3, /3). 1.2 Calcule la distancia entre los dos puntos cuando uno de los puntos está en (r,, z) = (1,25, /8,2) y el otro en (r,, z) = (2.5,, 4). 1.3 Los puntos a y b se encuentran sobre la superficie de una esfera. La esfera tiene un radio de 4.5 m. En el punto a, = /7, = 1.5. En b, = /2, = / Sean A = , dos vectores. (a) Encuentre la proyección de A sobre B. (b) Sea un vector unitario en la dirección de B. determine los valores A B, A C, y tales que A pueda escribirse como A = A B + A C Donde es un vector unitario y es perpendicular a en tanto que A B, y A C son positivas Utilice las expresiones ρ sen cos sen sen cos x cos cos θ y cos sen θ z θ sen cos

4 para comprobar que: 1.13 Sea U( ) el campo vectorial en coordenadas esféricas a cartesianas. U r cos (a) Transforme este campo vectorial de coordenadas esféricas a cartesianas. (b) Convierta la respuesta del inciso a de coordenadas cartesianas a esféricas Los puntos, a, b, y d son tres puntos de una línea recta de longitud infinita. Las coordenadas cartesianas de los puntos a y b son (1, - 1,3) y (2,5,2), respectivamente. Las coordenadas del punto c son (6,2,2) y no está sobre la línea recta que contiene los puntos a, b, y d. La línea recta que conecta los puntos c y d es perpendicular a la línea recta que une los puntos a y b. (a) Obtenga el vector (en coordenadas cartesianas) del punto d al punto c. (b) Encuentre la distancia más corta entre el punto c y la línea que contiene los puntos a, b y d (suponga que las coordenadas se especifican en metros). (c) Determine las coordenadas x, y, y z del punto d Considere el campo vectorial ρ r (a) Pase este campo vectorial a coordenadas esféricas. (b) Con base en su respuesta al inciso a, cuál es el significado físico de la magnitud de U( )? 1.17 Determine la distancia más corta entre dos líneas rectas si una de ellas pasa por los puntos (x, y, z) = (1, -4,3) y (x, y, z) = (-2,04), en tanto que la otra cruza por los puntos (x, y, z) = (0,5,5) y (x, y, z) = (3,2,1). (Sugerencia si es un vector unitario perpendicular a las dos líneas, entonces la distancia más corta entre ellas es, donde v es un vector que va de un punto de una de las líneas a otro punto de la segunda línea.).

5 1.18 Dos tubos cilíndricos tienen el mismo radio ( 0 ). El eje de uno de los tubos cruza los puntos (x, y, z) = (1, 2, 3) y (2,2,2). El eje del otro tubo pasa por los puntos (x, y, z) (2,10) y (-1,2,1). Determine el mayor valor posible de 0 de forma que los tubos casi se toquen. (Véase la sugerencia del problema 1-17) La ecuación de un plano es 2x + 4y z = 18 (a) Encuentre el vector unitario normal al plano. (Advierta que en realidad hay dos respuestas a este problema puesto que si es un vector unitario normal al plano entonces - también es un normal unitaria. Para resolver esta ambigüedad, elija un vector unitario que tenga una componente positiva.) (b) Sea p un punto localizado en (x, y, z) = (13,24,32). Demuestre que este punto no se encuentra en el plano. Luego, calcule la distancia más corta del punto al plano A continuación se presenta las ecuaciones de dos planos que se intersectan. Determinar la línea de intersección que se forma. La ecuación del plano P 1 es 2x + 3y + 4z = 2 y la ecuación del plano P 2 es 4x 2y + 6z = 4 (a) Encuentre un vector unitario sobre la línea de intersección de los dos planos. (b) Obtenga un vector unitario perpendicular al plano P 1. (c) Determine un vector unitario perpendicular al plano P 2. (d) Determine los ángulos que forman los dos planos.