) + t( a 1 CILINDRO. = { P = Q( u) + ta / t! u! } Γ = Q F 1 ( u), F 2 ( u), F 3. Σ cil. ,a 3 ) / t! u! } ,a 2

Transcripción

1 CILINDRO Conjunto de puntos en el espacio en donde se genera una superficie por una recta que se mantiene siempre paralela con respecto a otra, la cual pasa por una superficie plana contenida en alguno de los planos coordenados, en donde la recta fija se llama generatriz y la curva se llama directriz. A esta superficie se le conoce como Superficie Cilíndrica o Cilindro Rectas paralelas al vector a λ(generatriz) Vector a X De acuerdo con la figura, se obtiene la ecuación vectorial de la generatriz: λ = { P = Q( u) + ta / t! } Y de la directriz: ( ) Γ = Q F 1 ( u), F ( u), F 3 u Γ(Directriz) Q(u) Por lo tanto la ecuación vectorial del cilindro es: Σ cil = { P = Q( u) + ta / t! u! } Σ cil = {( x, y,z) = ( F 1 ( u), F ( u), F 3 ( u) ) + t( a 1,a,a 3 ) / t! u! } Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 1

2 Si P cil P = ( x, y,z) x = F 1 ( u) + ta 1 y = F ( u) + ta t! Ecuaciones parametricas del cilindro ( u) + ta 3 u! z = F 3 Para llegar a la ecuación cartesiana, se eliminan los parámetros ( t u). E J E M P L O S: 1) Determinar la ecuación vectorial, paramétricas y ecuación vectorial de un cilindro con rectas generatrices paralelas al vector a = ( 1, 3, ) y cuya curva directriz esta dada como: Solución: a = ( 1, 3, ) Γ : x, y,z ( x 3) 4 ( x 3) ( y ) ( + y ) 16 = 1 z = 0 Γ : + = 1 z = Ecuaciones paramétricas de Γ : cos u + sen u = 1 cos u = x 3 cos u = cosu = x 3 cosu + 3 = x x 3 sen u = y 4 sen u = y 4 senu = y 4 4senu + = y Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág.

3 x = cosu + 3 y = 4senu + u 0;π z = 0 = P = ( x, y,z) = ( cosu + 3,4senu +,0) / u 0;π Q u { } Ecuación vectorial de Γ Por lo que la ecuación vectorial de la superficie cilíndrica cil = { P = ( x, y,z) = Q( u) + ta / t! u ( 0, ) } cil = { P = ( x, y,z) = ( cosu + 3,4senu +,0) + ( 1,3, ) / t! u 0;π } Unas paramétricas son las siguientes: x = cosu + 3 t y = 4senu + +3t t! u 0;π z = t Despejando los parámetros para eliminarlos y obtener su ecuación cartesiana: z t = sustituyendo t en x y se tiene: x = cosu + 3 z x 3+ z = cosu x 3+ z = cosu y = 4senu z y = 4senu + + 3z y 3z = 4senu y 3z 4 = senu como: cos u + sen u = 1 z 3z x 3+ y + = 1 4 x 3x + xz 3z 3x xz 3z + z 4 + y y 3y = 1 Lo anterior se reduce a: 4x 4y + z + 4xz 4x 16y 1z + 8 = 0 Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 3

4 ) Determine la ecuación vectorial y cartesiana de un cilindro cuya directriz es: Γ : en dirección del vector a = ( 3, 1,1 ) {( x, y,z) z = ln x + 3 y = } Solución: Unas ecuaciones paramétricas de la curva Γ son: x = u y = ; u 0; z = lnu + 3 Q( u) = ( u,,lnu + 3) / u ( 0; ) cil = { P = ( x, y,z) = Q( u) + ta / t! u ( 0, ) } cil = { P = ( x, y,z) = ( u,,lnu + 3) + t( 3, 1,1 ) / t! u ( 0, ) } Unas paramétricas de la superficie son: x = u + 3t y = t ; t! u 0, z = lnu + 3+ t Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 4

5 eliminando los paramétros y+ = t sustituyendo en x : x = u+ 3 y+ x = u 3y a despejando u de u = x+ 3y 6 a Sustituyendo u ( + ) ( ) t en z : z = ln x+ 3y y z = ln x+ 3y y Cilindro Logarítmico a X Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 5

6 Otra vista es la siguiente. (Nota: la orientación de los ejes son diferentes, para tratar de que se note la superficie) Un caso particular de los cilindros es aquel cuyo conjunto de puntos en! 3 equidistan de una recta fija y se llama Cilindro Circular Recto. λ Por ejemplo, el siguiente dibujo es el de un cilindro con eje el eje Z y radio = a: Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 6

7 Z a Y Es decir, si tomamos dos puntos pertenecientes a el cilindro, P = x, y,z P' = 0,0,z distancia( P; P' ) = x + y + ( z z) = a = a X x + y = a La cual es la ecuación cartesiana del cilindro. Unas ecuaciones paramétricas son: x = acosu y = asenu u 0;π z = v v! v es un parametro por lo que tiene un valor de - ; Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 7

8 COORDENADAS CILINDRICAS Las coordenadas cilíndricas r θ son las coordenadas polares del punto P, que es la proyección ortogonal del punto P sobre el plano xy. La coordenada cilíndrica z es la altura de P sobre el plano xy tal como se muestra en la figura: θ r P'(x,y,z) Y X la relación entre coordenadas cilíndricas y rectangulares es: Resumiendo: x = rcosθ y = r sen θ z = z La forma de expresar un punto en! 3 es : - Coordenadas rectangulares P( x, y, z ) - Coordenadas esféricas Prθφ (,, ) - Coordenadas cilíndricas Pr (, θ, z) La forma de expresar un punto en! es : - Coordenadas cartesianas P( x, y ) - Coordenadas polares, Prθ Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 8

9 E J E M P L O S: 1) Expresar en coordenadas cilíndricas los siguientes puntos: a) ( 1,1, 3) b) (,0, 1) Solución, inciso a: El punto es ( 1,1, 3) r = x + y = y θ =angtan = x θ =angtan1 θ 0 =45 ó z = 3 π 4 Por lo tanto el punto es: π,, 3 4 Resolver el otro inciso. ) Expresar en coordenadas rectangulares las siguientes coordenadas cilíndricas: a) π 3,, 0 b) (,0,1 ) c) π 1,, 3 Solución, inciso a: π x = 3cos = 0 π y=3sen = 3 z=0 Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 9

10 Por lo tanto el punto es: ( 0,3,0 ) Resolver los otros incisos. 3) Expresar en coordenadas cilíndricas las siguientes ecuaciones de los cilindros: a) x + y = 5 b) x + y 3 = 9 Solución, inciso a: x + y = 5 x = rcosθ y = rsenθ z = z sustituyendo en la ecuación del cilindro, ( r θ) ( r θ) r r cos + sen = 5 cos θ + r sen θ = 5 ( θ θ) cos + sen = 5 además por la identidad cos θ + sen θ = 1 r 1 = 5 r = r = 5 5 Por lo que la ecuación en coordenadas cilíndricas es: r = 5 Resolver el otro inciso. Clase 5,Cilindros Ing. David G.C. Pág. 10