cos 2θ k + σ i σ j 2 σ s = σ i σ j 2 sen 2θ k

Transcripción

1 El diagrama de Mohr para esfuerzos en 3D: En un sistema ortogonal, i, j, k, tenemos para los esfuerzos normal y de cizalla, actuando sobre un plano cualquiera, las expresiones: σ n = σ i + σ j + σ i σ j cos θ k σ s = σ i σ j sen θ k son independiente del plano escogido. Representan la forma general de las ecuaciones para calcular las componentes de esfuerzo normal y esfuerzo de cizalla sobre cualquier plano en un espacio fisico. Para plnos paralelos a cualquiera de los ejes pricipales x k, un diagrama D del plano x i x j es empleado, donde k i < j k. Asi, i, j, k) puede adquirir los valores 1, 3, ), 1,, 3) y, 3, 1). Mostraremos que estas expresiones representan los esfuerzos normal y de cizalla en el circulo de Mohr, una representacion D, de los esfuerzos en 3D. Sean, para la demostracion: i = 1, j = 3 y k =, sustituyendo estos subindices tenemos σ n = σ 1 + σ 3 + σ 1 σ 3 cos θ σ s = σ 1 σ 3 sen θ Para otros planos de coordenadas, exactamente las mismas propiedades del circulo de Mohr se aplican. Geometria para la determinacion del esfuerzo normal y esfuerzo de cizalla sobre un plano P de cualquier orientacion dada a traves de un punto. A. El plano P es paralelo al eje x pero orientacion arbitraria. 1

2 B. vista bidimesional de la geometria de la parte A, mosntrando la distribucion de las componentes del esfuerzo. Todas las componentes de esfuerzos y angulos mostrados son positivos en este diagrama. C. El elemento triangular sombreado en la parte B, mostrando solamente las componentes de traccion que actuan sobre el exterior del elemento. D. Diagrama de las fuerzas y componentes de las fuerzas derivado de las componentes de traccion

3 mostradas en la parte C. De la figura C mostrada, vemos que sen θ = A 3 A A 3 = A sen θ cos θ = A 1 A A 1 = A cos θ Representando las fuerzas que actuan sobre cada cara del prisma rectangular, tenemos Trasladando cada vector sobre su linea de accion de forma que queden todos ubicados con un origen comun, tenemos: Desconpogamos cada uno, y representemoslo como componentes paralela al plano y perpendicular al plano P de estudio, tendremos: 3

4 Luego, las componentes de F 1 son: cos θ = F 1n F 1 F 1n = F 1 cos θ sen θ = F 1s F 1 Las componentes de F 3, son: F 1s = F 1 sen θ cos θ = F 3s F 3 F 3s = F 3 cos θ sen θ = F 3n F 3 F 3n = F 3 sen θ Aplicando la condicion de equilibrio estatico tralacional para un cuerpo solido F = 0, esto implica que sobre cualquier sistema de coordenadas que se emplee debe cumplirse, por tanto, en nuestro caso debe cumplirse que: Fn = 0 Fs = 0 Aplicando la condicion 8, tenemos: Fn = 0 sustituyendo F1n y F3n en Eq, tenemos: F n F 1n F 3n = 0 F n F 1 cos θ F 3 sen θ = 0 4

5 Aplicando la condicion 9, tenemos: Fs = 0 F s F 1 + F 3 = 0 F s F 1 sen θ + F 3 cos θ = 0 De las ecuaciones 1 y, despejando F n y F s, se tiene: F n = F 1 cos θ + F 3 sen θ F s = F 1 sen θ F 3 cos θ Reecribimos las fuerzas en terminos de las componentes de los esfuerzos, recordemos que σ = F A por lo tanto F = σa, luego, cada una de las fuerzas se pueden representar como F n = σ n A, F s = σ s A, F 1 = σ 1 A 1 y F 3 = σ 3 A 3 y al sustituirlas obtenemos: σ n A = σ 1 A 1 cos θ + σ 3 A 3 sen θ σ s A = σ 1 A 1 sen θ σ 3 A 3 cos θ Reescribamos las areas A 1 y A 3 en terminos del area A, empleando: A 1 = A cos θ y A 3 = A sen θ, se tiene: σ n A = σ 1 A cos θ ) cos θ + σ 3 A sen θ ) sen θ σ n A = σ 1 A cos θ + σ 3 A sen θ eliminando la A que es factor comun en ambos mienbros de la igualdad: Para σ s, de forma similar, tenemos: Factorizando en el mienbro izquierdo, se obtiene: Por tanto, σ n = σ 1 cos θ + σ 3 sen θ σ s A = σ 1 A cos θ ) sen θ σ 3 A sen θ ) cos θ σ s A = σ 1 A sen θ cos θ σ 3 A sen θ cos θ σ s A = σ 1 σ 3 ) A sen θ cos θ σ s = σ 1 σ 3 ) sen θ cos θ Las expresiones anteriores para σ n y σ s son mas facilmente interpretadas si las reescribimos empleando las siguientes indentidades trigonometricas de doble angulo: cos θ = cos θ ) sen θ = 1 1 cos θ ) sen θ cos θ = 1 sen θ 5

6 Reemplazando las indentidad anteriores en las expresiones 3 y 4, tenemos: ] ] 1 1 σ n = σ cos θ ) + σ 3 1 cos θ ) reagrupando los terminos, se tiene: σ n = 1 σ σ 1 cos θ + 1 σ 3 1 σ 3 cos θ σ n = 1 σ σ σ 1 cos θ 1 σ 3 cos θ De forma similar para σ s tenemos: σ n = 1 σ 1 + σ 3 ) + 1 σ 1 σ 3 ) cos θ ] ] σ1 + σ 3 σ1 σ 3 σ n = + cos θ σ s = σ 1 σ 3 ) sen θ cos θ ] 1 σ s = σ 1 σ 3 ) sen θ ] σ1 σ 3 σ s = sen θ De las ecuaciones 5 y 6 podemos indicar que ] σ 1+σ 3 ] representa el esfuerzo normal medio y representa el esfuerzo de cizalla maximo posible. σ1 σ 3 Las expresiones 5 y 6 son ecuaciones parametricas para el circulo de Mohr, donde σ n y σ s son las variables y θ es el parametro. Podemos obtener una forma mas familiar matematicamente a la del circulo, para la ecuacion del circulo de Mohr, si eliminamos el parametro θ. Para ello, primero reescribimos la ecuacion 5, obtenemos: ] ] σ1 + σ 3 σ1 σ 3 = cos θ elevamos ambos mienbros de la ecuacion 7, obtenemos: σ ] ] 1 + σ 3 σ1 σ 3 = cos θ )] ) σ1 + σ 3 σ1 σ 3 = cos θ y tambien, elevamos ambos mienbros de la ecuacion 6, se tiene: ] σs σ1 σ 3 = sen θ 6

7 ) σs σ1 σ 3 = sen θ Realizamos la suma mienbro a mienbro de las ecuaciones 8 y 9: σ1 + σ 3 )] + σ s = ) ) σ1 σ 3 cos σ1 σ 3 θ + sen θ realizamos la factorizacion que aparece en el mienbro derecho de la igualdad σ1 + σ 3 )] + σ s = ) σ1 σ 3 cos θ + sen ] θ y por la identidad trigonometrica sen A + cos A = 1, tenemos que: σ1 + σ 3 )] + σ s = σ1 σ 3 por analogia con la ecuacion del circulo con centro sobre el eje x: x a) + y = r notamos que, el eje x representa los esfuerzos normales al plano de estudio σ n ), el eje y representa los esfuerzos de cizalla paralelos al plano de estudio σ s ). El radio r esta dado por σ1 σ3 y la distancia a sobre el eje x a la cual se encuentra desplazado el centro del circulo es σ1+σ3. Con esto, podemos representar el Circulo de Mohr: ) 7