Anexo 1 ( Momentos de segundo orden )

Transcripción

1 .1 neo 1 ( Momentos de segundo orden ) 1. Momento de inercia En muchas de las fórmulas empleadas en ingeniería aparecen epresiones analíticas de la forma ρ d, siendo ρ la distancia de un elemento diferencial de área d a un eje. Las integrales de este tipo reciben el nombre genérico de momentos de inercia o momentos de segundo orden. sí pues, si como representa la figura 1.1, las coordenadas del centro del elemento diferencial d son (,), el momento de inercia respecto del eje X es la suma de los productos de cada área d por el cuadrado de su brazo de momento. Por tanto: d Momento de inercia respecto al eje Figura 1.1 Y análogamente, el momento de inercia respecto al eje Y será: d Momento de inercia respecto al eje Las unidades de e son de una longitud a la cuarta, cabe reseñar que el valor es siempre positivo a que la distancia que aparecen en la integral está elevada al cuadrado, en cuanto al diferencial de área, un valor negativo carece de significado físico.

2 .. Momento polar de inercia El momento polar de inercia de un área respecto de un eje perpendicular a su plano se llama momento polar de inercia, se representa por p (o o). Si tomamos la figura.1, el momento de inercia de un área cualquiera delimitada en el plano XY respecto del eje Z perpendicular a XY viene dada por: p o z r d o + ( ) d d + d o + o Figura.1 Esto quiere decir que el momento polar de inercia de un área respecto de un eje perpendicular a su plano es igual a la suma de los momentos de inercia respecto de dos ejes perpendiculares contenidos en dicho plano que pasen por el punto de intersección del eje polar del plano. 3. Radio de giro El radio de giro se define como aquella distancia a la que debe situarse el área total, para que tenga el mismo momento de inercia respecto del eje. O sea: i i z z i

3 .3 4. Producto de inercia El producto de inercia es una epresión matemática de la forma d d Figura 4.1 Las dimensiones son las mismas que las de un momento de inercia, es decir [L] 4. Sin embargo, el signo, al contrario que en los momentos de inercia, depende de la situación del área respecto de los ejes coordenados. Por ejemplo, el área de la figura4.1 está en el primer cuadrante del sistema de ejes. Por tanto el producto de inercia es positivo a que toda e de cualquier diferencial de área de la sección es positiva. Sin embargo, girando la sección 90º en sentido antihorario, nos encontramos que el valor de es negativo puesto que todos los valores de son negativos. ntuitivamente podemos afirmar que esa variación de positivo a negativo será continua, eistiendo una posición crítica en la que el producto de inercia es igual a cero. Los ejes que ocupan esa posición se llaman ejes principales de la sección. Merece la pena mencionar que si una sección tiene algún eje de simetría automáticamente, podemos decir que dicho eje es un eje principal de inercia a que el producto de inercia se anula. Refiriéndonos a la figura 4., tendremos que: Por tanto: h 0 d 0 h d Figura 4. h d 0 h

4 .4 5. Traslación paralela de ejes: teorema de Steiner Con frecuencia, se da el caso de que los momentos de inercia son conocidos con respecto a unos ejes sin embargo necesitamos el valor de los momentos de inercia con respecto a unos segundos ejes, paralelos a los primeros. Para evitar una segunda integración, se utiliza el teorema de Steiner cua demostración se muestra a continuación: Figura 5.1 d ( a) d d ad + a d z as a + siendo S el momento estático del área total, respecto al eje nálogamente: as + b siendo S el momento estático del área total, respecto al eje Si los ejes, pasaran por el centro de gravedad, los momentos estáticos S S serían nulos, por lo que estas ecuaciones se reducirían a: ' + a + b Teorema de Steiner Obsérvese que tanto a como b están medidos con respecto a los ejes e, siendo estos en general los ejes que pasan por el CDG de la sección.

5 .5 Veamos ahora qué es lo que pasa con los productos de inercia: ' ' d ( b)( a) d ' d ad bd + abd as bs + ab ' si los ejes e pasan por el centro de gravedad de la sección tenemos que: + ab a b respecto de ' 6. Cambio de dirección de los ejes. Determinación de los ejes principales de inercia. veces es necesario determinar el momento de inercia respecto de unos ejes que forman un ángulo α con los empleados normalmente. Claro está que puede determinarse el nuevo momento de inercia por integración, pero suele ser más fácil aplicar la epresión general de la rotación de ejes. Figura 6.1 Las relaciones entre estas coordenadas, que se obtienen proectando sobre los ejes U,V son: U senα+cosα V cosα-senα

6 .6 Y por definición, u e v son iguales a: u v d v u d Sustituendo V por su valor resulta: ( cos α senα cosα + sen α) d u ( cos αd + sen αd senα cosαd u cos α + sen αd sen α u sustituendo las relaciones: cos 1 cosα 1 cosα α +, sen α, se tiene : u + + cosα senα 0 1 análogamente, se obtiene que: v + cosα + senα Si sumamos la 1 la resulta: u + v + cte O sea, el tensor de inercia es invariante. Para determinar uv, recordemos que está definido por: uv uvd Y sustituendo los valores de u v se obtiene:

7 .7 uv (sen α cos α + cos α sen α sen α cos α ) d uv sen α + cos α sen α sen α uv sen α + cosα 3 Si rotamos los ejes u v, se puede observar que eiste un valor de α para el cual el producto de inercia se anula. demás, en esa dirección el momento de inercia será máimo ( para α + π/ será mínimo). Por tanto, podemos obtener las direcciones principales de la forma siguiente: d u 0 ( ) sen α cosα dα tgα tg( α + π ) Esta ecuación da dos valores de α que difieren en π, a que tgαtg(α+π). En consecuencia, las dos soluciones de α diferirán en π/. Un valor define el eje de momento de inercia máimo el otro el de momento de inercia mínimo ( ejes principales de inercia). Sustituendo el valor de α en u v obtendremos el valor los momentos principales de inercia. ma ( ) + 4 min + 1 ( ) + 4 así mismo se puede comprobar que para este valor de α el producto de inercia es nulo.

8 .8 7. Circulo de Mohr de momentos de inercia Ecepto por la distinta significación de los símbolos que intervienen en ellas, las ecuaciones 1, 3 del apartado anterior son idénticas a las que epresan las tensiones intrínsecas obtenidas en elasticidad. Por consiguiente, análogamente a cuanto se ha hecho en la obtención del círculo de Mohr de tensiones, puede obtenerse una circunferencia de Mohr de momentos de inercia. Con ello se consigue una representación gráfica de todos los valores posibles de, respecto de cualquier par de ejes ortogonales. Centro m + Radio r + Figura 7.1 El ángulo entre dos radios cualesquiera de la circunferencia de Mohr es el doble del ángulo real entre los dos ejes de inercia que representan. El sentido de rotación de este ángulo es el mismo en la circunferencia de Mohr en la realidad, es decir, si el eje U forma un ángulo α en sentido antihorario respecto del eje, el radio representativo de U forma un ángulo de α en sentido antihorario del radio representativo de. ma ( ) + 4 min + 1 ( ) + 4 tgα tg( α + π)

9 Centroides momentos de inercia de algunas figuras comunes..9