8. Geometrías no euclidianas. Modelo de Poincaré de la Geometría Hiperbólica

Transcripción

1 LECTURA N 14 Capítulo 8 de LA GEOMETRÍA EN LA FORMACIÓN DE PROFESORES de Luis SANTALÓ - Red Olímpica. Buenos Aires Geometrías no euclidianas. Modelo de Poincaré de la Geometría Hiperbólica Bibliografía: 1. H. S. M. COXETER, Non euclidean Geometry, Toronto University press, Toronto, 3 a ed S. KULCZYCKI, Non-euclidean Geometry, Pergamon Press, L. A. SANTALO, Geometrías No Euclidianas, Cuaderno de EUDEBA, Buenos Aires, LOS "ELEMENTOS" DE EUCLIDES EUCLIDES se supone que vivió alrededor del año 300 antes de nuestra era. Su obra fundamental se titula "Elementos" y fue el modelo que sirvió para toda la producción matemática posterior, sobre todo para la Geometría. Las bases de las que parte Euclides son: Definiciones, (en número de 23), muchas de ellas lógicamente discutibles el día de hoy, pero que sentaron el precedente de que en toda teoría hay que definir antes que nada los conceptos que se van a utilizar. Ejemplos de las definiciones de Euclides, son: Punto es lo que no tiene partes; línea es una longitud sin anchura, recta es la línea que yace igualmente en todos sus puntos; ángulo es la inclinación entre dos líneas de un plano que se encuentran y no están en línea recta; rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano, no se encuentran al prolongarlas indefinidamente, etc. Postulados. Son los famosos 5 postulados de Euclides, a saber; I. Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta. II. Toda recta limitada puede prolongarse indefinidamente en la misma dirección. III.Con cualquier centro y cualquier radio se puede trazar una circunferencia. IV. Todos los ángulos rectos son iguales. V. Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores de dos rectos, estas rectas prolongadas indefinidamente, se cortan del lado en que están los ángulos menores de dos rectos. Nociones comunes. Finalmente, Euclides establece unas cuantas nociones comunes, que algunos autores han llamado también "axiomas", entre las cuales figuran: a) Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí: b) Si a cosas iguales se les quita o añade cosas iguales, los resultados obtenidos son también iguales; c) Cosas que se puedan superponer una a la otra, son iguales entre sí; d) El todo es mayor que la parte. Además de esta estructura general que fue básica para toda la matemática posterior, la parte más

2 importante de los "Elementos" fueron los postulados, es decir, el hecho de demostrar, o intentar demostrar, que toda la geometría conocida en su época se podía deducir a partir de 5 postulados por sucesivas deducciones lógicas. El postulado que más llamó la atención fue el V, llamado el postulado de las paralelas, el cual, comparado con los otros, parece más bien un teorema, por lo que durante siglos se intentó su "demostración". Se dieron del postulado varias formas equivalentes, entre ellas la que dice "por un punto exterior a una recta, se puede trazar una y una sola paralela a dicha recta". Este postulado supone que las rectas son infinitas, lo que se sobrentiende por el postulado LA GEOMETRÍA DE LA ESFERA Con la métrica subordinada por la geometría euclidiana de R³ la geometría de la esfera tiene a las circunferencias máximas como geodésicas, o sea curvas de longitud mínima entre dos puntos, por lo que ellas hacen el papel de rectas. Los ángulos y las áreas, como las longitudes, tienen el mismo sentido de la geometría elemental subordinada de la geometría euclidiana de R 3. La fórmula más importante es la del área del triángulo esférico, que vamos a dar. Considerando el triángulo esférico ABC de la figura, supuesto sobre la esfera de radio unidad, los usos correspondientes a los ángulos A, B, C, tienen por área a(a) = 2A, a(b) = 2B, a(c) = 2C, expresiones deducidas de

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4 3. LA GEOMETRÍA HIPERBÓLICA Así como la geometría elíptica, en la cual no existen paralelas, equivale, en las condiciones dichas, a la geometría sobre la esfera, existe también la geometría hiperbólica, en la cual por un punto exterior a una recta pasan dos paralelas e infinitas no secantes, la cual se demuestra que coincide con la geometría sobre las superficies de curvatura de Gauss constante y negativa (se suele suponer K = -1). Un ejemplo de estas superficies es la pseudoesfera que ya obtuvimos por rotación de la curva tractriz (página 51). El estudio de la geometría hiperbólica, directamente sobre las superficies de curvatura constante negativa, exige métodos de la geometría diferencial y puede verse en el libro: F. SCHILLING, Pseudosphärische, hiperbolisch - sphärische und elliptischsphärische Geometrie, Teubner, Berlín, Más simples son otros modelos de la geometría hiperbólica. Uno es el modelo proyectivo, que puede verse en el cuaderno de EUDEBA de Santaló antes citado, y otro es el llamado modelo de Poincaré que vamos a mencionar. Supongamos el plano euclidiano referido a un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales. Cada punto (x, y) puede representarse por un número complejo z = x + iy. Entonces, las características del modelo de Poincaré de la geometría hiperbólica son: 1. El plano hiperbólico está constituido por el semiplano euclidiano y>0. 2. Los puntos son los mismos del plano euclidiano. Las rectas son las semicircunferencias cuyos centros están sobre el eje x, y como caso límite, las rectas perpendiculares al eje x. 3. Los "movimientos" del plano hiperbólico son las transformaciones De aquí se deduce a) Una recta queda determinada por dos puntos. b) Como el eje x no pertenece al plano hiperbólico, las rectas son ilimitadas. c) Como la función z z' es analítica, la representación z z' es conforme, es decir, los movimientos conservan los ángulos, medidos en el sentido euclidiano. Por tanto, los ángulos en el modelo de Poincaré se miden como si se tratara del plano euclidiano. Dos rectas ortogonales serán dos semicircunferencias con el centro sobre el eje x que sean ortogonales entre sí. Ver la construcción de la recta perpendicular a otra desde un punto exterior. d) La distancia entre dos puntos A, B, para que sea invariante por movimientos debe ser una función de la razón doble (UVAB), que es el único invariante por transformaciones proyectivas z z'. Para que la distancia sea aditiva, o sea, AB + BC = AC, siendo

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6 e) Dada una recta a y un punto A que no pertenece a ella, por A pasan dos rectas que unen A con los puntos del infinito U, V de la recta, es decir, por A pasan dos rectas paralelas a la recta a, e infinitas no secantes comprendidas entre ellas. El ángulo α que forman las dos paralelas entre sí, es el doble del llamado ángulo de paralelismo en A respecto de la recta a. f) Las circunferencias euclidianas tangentes al eje x constituyen los oriciclos de la geometría hiperbólica y las circunferencias secantes al eje x son los hiperciclos.

7 g) Las trayectorias ortogonales del haz de rectas que pasan por un punto O, son las circunferencias de la geometría hiperbólica, que son también circunferencias euclidianas, si bien, como tales, tienen el centro distinto de O. en lugar de la simple ds 2 = dx 2 + dy 2 de la geometría euclidiana. Para el elemento de área, en lugar de la simple fórmula da = dx dy, se tiene da = (1/y 2 ) dx dy. Con esta fórmula se puede calcular el área de un triángulo ABC. El cálculo se puede ver, por ejemplo, en J. Lehner, A short course in Automorphic functions, Hold, Rinehart and Winston, New York, 1966, pág El resultado es

8 Toda la geometría hiperbólica se puede estudiar a partir del modelo de Poincaré que hemos descrito, resultando hechos curiosos que relacionan la geometría de circunferencias del plano euclidiano, con resultados de la geometría hiperbólica. Puede verse, por ejemplo, que por un punto exterior a una recta pasa una sola perpendicular, que se puede dibujar fácilmente, y también que dos perpendiculares a una misma recta, o son no secantes o son rectas paralelas, entre otros motivos porque el ángulo que forman debe ser nulo, por constituir, con la recta dada, un triángulo que ya tiene dos ángulos rectos. Un texto interesante al respecto es el de H. MESCHOWSKI, Non euclidean Geometry, Academic Press, New York, 1964.