Geometría Hiperbólica y sus amigos I

Transcripción

1 Geometría Hiperbólica y sus amigos I Gabriel Ruiz Hernández gruiz@matem.unam.mx Instituto de Matemáticas, UNAM, México EMALCA La Paz, Bolivia 2014

2 Nota Historica La Geometría Hiperbólica fue creada en la primera mitad del siglo XIX en medio de los intentos para entender los axiomas de Euclides para la Geometría. La historia asocia cinco nombres con esta empresa, dos aficionados y tres profesionales. Los aficionados fueron Schweikart y su sobrino Taurinus ( ). Los profesionales fueron Carl Friedrich Gauss ( ), Nicolas Lobachevsky ( ) y Janos Bolyai ( ).

3 Axiomas de Euclides 1 Cualesquiera dos puntos se pueden unir por un único segmento de linea recta. 2 Cualquier segmento de linea recta se puede extender indefinidamente en cualquier dirección. 3 Existe una unica circunferencia de un radio y centro dados. 4 Todos los ángulos rectos son congruentes entre ellos. 5 Si una linea recta corta a otras dos lineas rectas con ángulos internos, a uno de sus lados, menores a un ángulo recto entonces si las lineas se extienden indefinidamente se deben intersectar en ese lado. Suponiendo los otros cuatro, el Axioma (5) es equivalente al axioma de la paralelas: Dada una linea recta y un punto fuera de ella, existe una única linea que pasa por el punto y es paralela a la recta dada.

4 Disco de Poincare B := {x = (x 1,..., x n ) R n x 2 = x x 2 n < 1} con métrica d B (x, y) := cosh 1 (1+ donde y = (y 1,...,y n ). 2 x y 2 ) (1 x 2 )(1 y 2, ) Las geodésicas son semi circulos ó diametros ortogonales a la frontera. Los ángulos son Euclidianos.

5 La distancia a la frontera De acuerdo a la función cosh 1 en la imagen la distancia de un punto dado a la frontera converge a infinito.

6 Modelo del Semi plano superior H := {x = (x 1,...,x n ) R n x n > 0} d U (x, y) := cosh 1 ( 1+ ) x y 2, 2x n y n Las geodésicas son semi circulos ó semi rectas ortogonales a x n = 0. Los ángulos son Euclidianos.

7 Modelo de Klein K := {x = (x 1,...,x n ) R n x 2 = x x n 2 < 1} con métrica ( ) d K (x, y) := cosh 1 1 x y, 1 x 2 (1 y 2 ) Las geodésicas son las cuerdas o segmentos de recta. Los ángulos NO son Euclidianos.

8 La suma de los ángulos internos de un triángulo hiperbólico Para probar la desigualdad α+β +γ < π. Se aplica una transformación del modelo de Poincare al modelo de klein que mande al punto en el ángulo α al centro del disco en el modelo de Klein. Dicha tranformación es una isometría y por tanto manda geodesicas en geodésicas y preserva ángulos.

9 Existencia Proposición Dados tres números reales α,β,γ tales que α+β +γ < π existe un triángulo hiperbólico que los realiza. Es único hasta isometrías Una isometría entre dos espacios métricos (X, d X ) y (Y, d Y ) es una función biyectiva f : X Y que preserva la distancia: d Y (f(x), f(y)) = d X (x, y). El conjunto de isometrías de (X, d) en si mismo forma un grupo (bajo la composición de funciones), llamado el grupo de isometrias de (X, d). Se denota como Iso(X, d) ó Iso(X).

10 El grupo de Isometrías Iso(X, d) es un grupo bajo la composición de funciones ya que satisface las siguientes condiciones: Si f Iso(X, d) entonces f I = I f = f donde I : X X es la función I(x) = x (para todo x X). Si f, g, h Iso(X, d) entonces (f g) h = f (g h). Si f, g Iso(X, d) entonces f g Iso(X, d). Si f Iso(X, d) entonces f 1 Iso(X, d).

11 Acción de Iso(X, d) en X es la función Iso(X, d) X X donde la pareja (f, x) tiene imagen f(x) y satisface: Para todo f, g Iso(X, d) y x X (f g)(x) = f(g(x)) I(x) = x La orbita de x X bajo la acción de Iso(X, d) es el conjunto Iso(X, d) x := {f(x) X f iso(x, d)} X. La acción de Iso(X, d) en X se dice transitiva si la orbita de cualquier x X es todo X. Equivalentemente, si para toda pareja x, y X existe f Iso(X, d) tal que f(x) = y. Dos subconjuntos A, B X se dicen congruentes si existe una isometría f Iso(X, d) tal que f(a) = B. Un triángulo hiperbólico (que realiza tres ángulos dados) T en (B, d B ) se dice único salvo isometrías si para cualquier otro triágulo R hiperbólico con los mismos ángulos existe una isometría f Iso(B, d B ) tal que f(t) = R.

12 Modelo de la semi esfera Proyección estereográfica del modelo de Poincare en el modelo de la semiesfera. S := {(x 1,... x n, x n+1 ) R n+1 x n+1 > 0, x x 2 n+1 = 1}. Las geodésicas son semi circulos ó ortogonales al ecuador. Los ángulos son Euclidianos.

13 Transformaciones entre modelos B := {x = (x 1,..., x n ) R n x 2 = x x 2 n < 1} H := {x = (x 1,...,x n ) R n x n > 0} K := {x = (x 1,...,x n ) R n x 2 = x x 2 n < 1} S := {(x 1,... x n, x n+1 ) R n+1 x n+1 > 0, x x 2 n+1 = 1}. A : S B, A(x) = ( x n+1 + 1,..., x n x n ), B : S H, B(x) = ( 2x 2 x 1 + 1,..., 2x n+1 x ), x 1 C : S K, C(x) = (x 1,..., x n ).

14 Inversiones o Reflexiones La inversión con respecto al circulo rojo con centro en O y de radio r en la tranformación σ : R 2 R 2 del plano en el plano que manda a un punto P al punto P = σ(p) y que cumple (OP)(OP ) = r 2. σ 2 (P) = P para todo P R 2 \{O} y σ deja fijo punto a punto al circulo rojo (Steiner) es conforme y manda circulos en circulos deja fijo punto a punto a un circulo ortogonal (en color azul)

15 El grupo de Mobius Definimos la esfera de Riemann como S 2 := R 2 { }. Una inversión σ : R 2 R 2 se extiende a σ : S 2 S 2 definiendo σ(o) :=, σ( ) := O y σ(p) := σ(p) en otro caso. El grupo generado por todas las inversiones (bajo la composición de funciones) en circulos es el grupo de Mobius Möb(S 2 ). El subgrupo de Möb(S 2 ) que deja fijo a disco unitario B en R 2 R 2 { } se denota por Möb(B). Las transformaciones Möb(S 2 ) estan generadas por traslaciones T(x) = x + a. rotaciones T SO(2) dilataciones T(x) = λx la inversión T(x) = x/ x 2.

16 PSL(2, R) Teorema Iso(B, d B ) =Möb(B) y Iso + (B, d B ) =Möb + (B). Si z denota las coordenadas complejas del plano entonces Iso + (B, d B ) es isomorfo al grupo { } az + b Iso + (U, d U ) = a, b, c, d R, ad bc = 1. cz + d Este último grupo es isomorfo a PSL(2,R) := SL(2,R)/{±I}.

17 Subgrupo discreto de isometrías La región de dicontinuidad de un subgrupo G de Iso(B, d B ) es el conjunto de puntos p en B := B S 1 para los cuales existe una vecindad U de p tal que: #{g G gu U } <. Teorema Un subgrupo G de Iso(B, d B ) es discreto ssi su región de discontinuidad en B es todo B.

18 Conjunto limite El conjunto limite de un subgrupo discreto G de (B, d B ) es el conjunto de puntos de acumulación en B de las orbitas de puntos en B. Teorema Un subgrupo G de Iso(B, d B ) es discreto. Entonces el conjunto limite de G es el complemento de la región de discontinuidad de G en S 1.

19 Grupo Fuchsiano Un grupo Fuchsiano clásico es un subgrupo discreto de PSL(2,R). Dados tres enteros p, q, r 2 tal que 1/p+1/q + 1/r < 1 definimos a T como el triangulo acotado por geodésicas y con angulos π/p,π/q,π/r. Sea G el grupo generado por las inversiones en cada uno de los tres lados de T. G es un subgrupo discreto de isometrías de Iso(B, d b ). Para tener un subgrupo discreto de PSL(2, R) hay que tomar un numero par de composiciones de las tres inversiones ya que PSL(2,R) es isomorfo a Iso + (B, d b ).

20 Teselación 2-3-7

21 Teorema de Pitagoras en G. Hiperbólica I cosh c = (cosh a) (cosh b), c = d B (A, B), a = d B (B, C) y b = d b (A, C).

22 Teorema de Pitagoras en G. Hiperbólica II cosh c = 1+ eiφ ki 2 2k sinφ ( e iφ ki )( e iφ + ki ) = 1+ 2k sinφ = 1+ k k sinφ 2k sinφ B C 2 cosh a = 1+ 2 Im B Im C (k 1)2 = 1+ = k k 2k cosh b = 1+ eiφ i 2 2 sinφ = 1+ cos2 φ+(sinφ 1) 2 2 sinφ = k k sinφ = 1 sinφ.

23 Bibliografía 1 A. Cano, J. P. Navarrete and J. Seade, Complex Kleinian Groups, Progress in Mathematics 303 (2013). 2 J. G. Ratcliffe, Foundations of Hyperbolic Manifolds Springer. 3 W. P. Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology, Princeton University Press. GRACIAS POR SU ATENCIÓN