Continuidad. 5.1 Continuidad en un punto

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1 Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos que f es continua en un punto a X si para todo U E(f(a)) existe un V E(a) tal que f(v ) U. Proposición (Continuidad y base de entornos). Sean (X, τ X ), (Y, τ Y ) dos espacios topológicos, f : X Y una aplicación y B(a) y B(f(a)) son bases de entornos de a en τ X y de f(a) en τ Y, respectivamente. Entonces f es continua en a si y sólo si para todo U B(f(a)) existe V B(a) tal que f(v ) U. Demostración. - Supongamos que f es continua en a. Dado U B(f(a)) existirá V E(a) tal que f(v ) U. Pero como B(a) es base de entornos tendremos que existe V B(a) de modo que V V, con lo que f(v ) f(v ) U. Sea ahora U E(f(a)), entonces existe U B(f(a)) de modo que U U. Por hipótesis existe V B(a) de modo que f(v ) U U y como V B(a) E(a). Corolario (Continuidad en un espacio métrico). Sean dos espacios métricos (X, d) e (Y, d ), una aplicación f : X Y, y un punto a X. Entonces f es continua en a si y sólo si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que siempre que d(x, a) < δ se verifica que d (f(x), f(a)) < ε. Demostración. Sólo hay que tener en cuenta que las bolas abiertas son base de entornos en una topología métrica. 45

2 46 CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD Ejemplo (1)La continuidad en R, con la topología usual, coincide con el concepto habitual de continuidad utilizado en Análisis. En particular se tiene la siguiente lista de funciones continuas de R en R: (a) las funciones constantes (b) la función identidad (c) las funciones elementales x a, sen(x), cos(x), e x y sus inversas en sus dominios de definición. (d) la suma y el producto de funciones continuas. (e) la inversa para el producto de una función continua no nula. (2)En R n con la topología usual (d = d 2 o d 1 o d ), podemos hacer algo similar: f : R n R n es continua en a = (a 1,..., a n ) R n si y sólo si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ d(f(x), f(a)) < ε (3) Consideremos el conjunto X = {a, b, c, d} con la topología τ = {X,, {a}, {b}, {a, b}, {b, c, d}}. La función f : X X, definida por el diagrama siguiente, es continua en d y no lo es en c. a b c d 3 a b c d Proposición (Continuidad y sucesiones). Sean dos espacios métricos (X, d) e (Y, d ), f : X Y una aplicación entre ellos, y a X. Entonces son equivalentes: (a) f es continua en a. (b) Si (x n ) n=1 es una sucesión en X con límite a, entonces {f(x n)} n=1 converge a f(a). Demostración. - (a) (b) Supongamos que f es continua en a X y que (x n ) n a. para ver que (f(x n )) n f(a) tenemos que probar que dado ε > 0, existe n o tal que n > n o d (f(x n ), f(a)) < ε

3 5.1. CONTINUIDAD EN UN PUNTO 47 Como f es continua en a, dado ε > 0, existe δ > 0 tal que d(x, a) < δ d (f(x), f(a)) < ε Por otra parte, como (x n ) n a, dado δ > 0, existe n o tal que n > n o d(x n, a) < δ Por tanto, si n > n o, d (f(x n ), f(a) < ε puesto que d(x n, a) < δ. b) a) Supongamos que (f(x n )) n converge a f(a) y supongamos que f no es continua. Eso significa que existe ε > 0 tal que para cada δ > 0 existe x δ X con d(x δ, a) < δ y d (f(x δ ), f(a) ε. Si para este ε fijo, tomamos Así sucesivamente para δ = 1 existe x 1 con d(x 1, a) < 1 y d (f(x 1 ), f(a)) > ε δ = 1 2 existe x 2 con d(x 2, a) < 1 2 y d (f(x 1 ), f(a)) > ε δ = 1 n existe x n con d(x n, a) < 1 n y d (f(x 1 ), f(a)) > ε De modo que hemos obtenido una sucesión (x n ) n en X que converge hacia a puesto que la sucesión de términos positivos (d(x n, a)) n es menor término a término que la sucesión ( 1 n ) n; y, sin embargo, la sucesión (f(x n )) n no converge a f(a) ya que siempre es d (f(x n ), f(a)) > ε. Ejemplo Sea función f : R R, en ambos casos con la topología usual, definida por { 1 x 1 f(x) si x 1 1 si x = 1 no es continua en x = 1, pues la sucesión x n = n tiene por límite 1, y sin embargo lim n f(x n ) = lim n 1 1 n = lim n n f(1) Proposición (Composición de funciones continuas). Sean (X, τ), (Y, τ ) y (Z, τ ) tres espacios topológicos, y sean f : X Y, g : Y Z dos aplicaciones tales que f es continua en a X, y g es continua en f(a). Entonces g f es continua en a.

4 48 CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD Demostración. Sea U E(g(f(a))). Por el hecho de ser g continua en f(a) existe V E(f(a)) tal que g(v ) U y como f es continua en a, existe W E(a) tal que f(w ) V. Pero entonces g(f(w )) g(v ) U. Proposición (Continuidad y adherencia). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, f : X Y una aplicación continua en a X y un subconjunto S X. Entonces si a S se cumple que f(a) f(s) (f(s) f(s)). Demostración. Sea U E(f(a)); como f es continua en a existe V E(a) tal que f(v ) U. Pero a es un punto de adherencia de S, por tanto V S. Esto implica que y así f(a) es un punto de adherencia de f(s). Ejemplo f(v S) f(v ) f(s) U f(s), El resultado anterior no es cierto ni para puntos interiores ni para puntos frontera pues la función cos : R R es una función continua, 0 R {}}{ y, sin embargo cos 0 = 1 / f(r)= ( 1, 1). Por otra parte, si S = [0, π] { 3π 2 }, 3π 2 fr(s), pero cos( 3π 2 ) = 0 / fr(cos(s)). 5.2 Continuidad en todo el espacio Definición (Función continua). Sean dos espacios topológicos (X, τ) e (Y, τ ), y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos que f es continua (en X) si lo es en todo punto de X. Proposición Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación. Entonces son equivalentes: a) f es continua. b) Para todo A τ, f 1 (A) τ. Demostración. - a) b) Supongamos que f es continua y sea A τ. Para demostrar que f 1 (A) es abierto en τ veremos que es entorno de todos sus puntos. Sea x f 1 (A), entonces f(x) A, luego A es entorno de f(x). Como f es continua, en particular lo será en x, y existe V E(a) tal que f(v ) A. Pero eso implica que V f 1 (A) y así f 1 (A) E(a).

5 5.2. CONTINUIDAD EN TODO EL ESPACIO 49 b) a) Supongamos ahora que para todo A τ, f 1 (A) τ y veamos que f es continua en cada punto de X. Sea x X y sea U E(f(x)). Entonces existe A τ tal que f(x) A U. Eso significa que x f 1 (A) y como f 1 (A) τ se puede tomar V = f 1 (A) E(x). Además, f(v ) = f(f 1 (A)) A U, por tanto f es continua en x. Proposición Una aplicación f : (X, τ) (Y, τ ) es continua si y sólo si para todo cerrado C en (Y, τ ), se tiene que f 1 (C) es un cerrado en (X, τ). Demostración. (Ejercicio) Proposición (Continuidad y bases). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos y B una base de (Y, τ ). Son equivalentes: (a) La aplicación f : X Y es continua. (b) Para todo B B, se cumple que F 1 (B ) es abierto en (X, τ). Demostración. Ejercicio. Ejemplo (1) Hay que tener en cuenta que, en general, si f : X Y es continua y A es un abierto en X, f(a) no tiene por qué ser abierto en Y. Por ejemplo la función f : R R, dada por f(x) = sen(x), es continua para la topología usual y sin embargo, f(r) = [ 1, 1] que no es un abierto en R. (2) Una función constante f : X Y es continua respecto cualquier topología en X y cualquier topología en Y. (3) Si (X, τ D ) es un espacio topológico discreto, toda aplicación f : X Y en un espacio topológico (Y, τ ) es continua. (4) Si (Y, τ T ) es un espacio topológico con la topología trivial, toda aplicación f : (X, τ) (Y, τ T ) es continua. (5) La función identidad 1 : (X, τ) (X, τ ) tal que 1(x) = x para cada x X, es continua si, y sólo si τ es más fina que τ. Proposición (Composición y continuidad). Sean f : (X, τ) (Y, τ ) y g : (Y, τ ) (Z, τ ) dos aplicaciones continuas, entonces la composición g f : X Z es continua. Demostración. Si A τ es un abierto, tenemos que probar que (g f) 1 (A) τ. En efecto, (g f) 1 (A) = f 1 (g 1 (A)), y como g es continua, g 1 (A) τ, y al ser f continua f 1 (g 1 (A)) τ.

6 50 CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD Definición (Aplicación abierta y aplicación cerrada). Sean dos espacios topológicos (X, τ) e (Y, τ ), y f : X Y una aplicación. Diremos que f es abierta si para todo A τ, f(a) τ y diremos que f es cerrada si para todo C X cerrado en τ, f(a) Y, es cerrado en τ. Ejemplo La proyección π : (R 2, d 2 ) (R, τ u ) del plano sobre el eje de las x, π(x, y) = x es una aplicación abierta puesto que la proyección de cualquier bola abierta B((a, b), r) sobre el eje de las x es un intervalo abierto (a r, a+r). Pero no es cerrada puesto que la proyección del conjunto cerrado C = {(x, y) R 2 : xy 1} es el intervalo (0, + ), que no es cerrado. B((a, b), r) C. (a r, a + r). (0, + ) La última parte de esta sección está dedicada al estudio de los homeomorfismos. Este concepto tiene mucha importancia en Topología, ya que dos espacios topológicos que sean homeomorfos se pueden considerar iguales topológicamente. Definición (Homeomorfismo). Dados dos espacios topológicos (X, τ) e (Y, τ ), se llama homeomorfismo entre (X, τ) e (Y, τ ) a una aplicación biyectiva f : X Y tal que tanto f como su inversa f 1 sean continuas (se dice que f es bicontinua). Diremos que dos espacios topológicos son homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Diremos que una propiedad en un espacio topológico una propiedad topológica si es invariante por homeomorfismos. La siguiente caracterización de los homeomorfismos es consecuencia inmediata de las definiciones y de las proposiciones y Proposición Sea f : X Y una aplicación biyectiva entre espacios dos topológicos (X, τ) e (Y, τ ).Son equivalentes: a) f es un homeomorfismo.

7 5.3. CONTINUIDAD UNIFORME. ISOMETRÍAS 51 b) Un subconjunto A X es abierto (A τ) si y sólo si f(a) τ. c) Un subconjunto C X es cerrado si y sólo si f(c) es cerrado en (Y, τ ). Ejemplo (1) Dos espacios topológicos triviales son homeomorfos si y sólo si existe una biyección entre ellos. (2) Lo mismo pasa si se consideran dos espacios topológicos discretos. (3) La aplicación sen : (0, π/2) (0, 1) es un homeomorfismo, ya que restringida a estos intervalos es biyectiva, y su inversa arcsen : (0, 1) (0, π/2) es también continua. (4) La función f : ( 1, 1) R definida por f(x) = tan ( π 2 x) es un homeomorfismo ya que f es biyectiva y continua y también lo es f 1. Esto implica que ( 1, 1) y R son topológicamente equivalentes. (5) La longitud y la acotación no son propiedades topológicas. En el ejemplo anterior, ( 1, 1) y R tienen longitudes diferentes y, además, el primero de ellos está acotado y el segundo no. (6) El que una sucesión sea de Cauchy tampoco es una propiedad topológica puesto que f : (0, + ) (0, + ) con f(x) = 1 x es homeomorfismo y a la sucesión de Cauchy ( 1 n ) n le corresponde por f la sucesión (n) n que no es de Cauchy. 5.3 Continuidad uniforme. Isometrías En el caso de los espacios métricos, además de las aplicaciones continuas, hay otras clases de aplicaciones interesantes: Definición (Función uniformemente continua). Diremos que una aplicación entre espacios métricos f : (X, d) (Y, d ) es uniformemente continua si para cada ε > 0 existe un δ > 0 tal que para todo x, y X con d(x, y) < δ se verifica que d (f(x), f(y)) < ε. Ejemplo Obviamente, toda aplicación uniformemente continua es continua, pero el recíproco no es cierto: basta considerar la función f(x) = x 2. Definición (Isometría). Dados dos espacios métricos (X, d) e (Y, d ), diremos que una aplicación biyectiva f : X Y es una isometría si verifica que para todos los puntos x 1, x 2 X, entonces d(x 1, x 2 ) = d (f(x 1 ), f(x 2 )). En este caso decimos que (X, d) e (Y, d ) son isométricos.

8 52 CAPÍTULO 5. CONTINUIDAD Proposición Una isometría es uniformemente continua. Proposición Si dos espacios métricos son isométricos, entonces también son homeomorfos. Ejemplo El recíproco de la última proposición no es cierto en general. Si Consideramos R con la distancia discreta y con la distancia { 2 si x y d(x, y) = 0 si x = y la aplicación identidad es un homeomorfismo que no es isometría.

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