Espacios Métricos. 25 de octubre de 2011

Transcripción

1 Espacios Métricos 25 de octubre de Nociones de espacios métricos Llamaremos espacio métrico a un conjunto X con una función d : X X R 0 (que llamaremos la métrica de X) que verifica las siguientes propiedades: (1) d(x, y) 0 x, y X; (2) d(x, y) = d(y, x) x, y X; (3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) x, y, z X, ( desigualdad triangular); (4) d(x, y) = 0 sólo si x = y. (Ocasionalmente hablaremos de pseudométricas, que son funciones que satisfacen las primeras 3 propiedades). Al número no negativo d(x, y) lo llamaremos la distancia de x a y. Los siguientes son algunos ejemplos de espacios métricos: 1. En el conjunto R de los números reales d(s, t) = s t es una métrica. 2. En cualquier conjunto X, d(x, y) = llama métrica discreta. { 1 si x y, 0 si x = y es una métrica; usualmente se 3. En el conjunto R n las siguientes funciones son métricas: si x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) d 1 (x, y) = n x i y i ; d 2 (x, y) = ( n x i y i 2 ) 1/2 ; d (x, y) = máx,...,n x i y i ; d p (x, y) = ( n x i y i p ) 1/p si 1 p < +.

2 La comprobación de que las funciones d p (1 < p < ) cumplen la propiedad triangular depende de la importante desigualdad de Hölder a i b i ( a p i )1/p ( b q i )1/q válida para a i, b i no negativos, donde q está definido por la identidad 1 p + 1 q = 1. Desigualdad de Hölder. Si p > 1 llamamos a q = (1) Si a, b > 0 vale p p 1 el exponente conjugado de p. Entonces ab ap p + bq q. (2) Dados (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) R n vale x i y i ( ) 1/p ( ) 1/q x i y i x i p y i q. Demostración. (1) La función f(x) = xp p x + 1 q definida en R 0 es derivable y su derivada f (x) = x p 1 1 sólo se anula en x = 1. Además f (x) < 0 si x < 1 y f (x) > 0 si x > 1, de modo que f alcanza su mínimo en x = 1 y f(1) = 0, o sea f(x) = xp + 1 x 0 x 0. Tomando x = p q ab q/p y multiplicando la desigualdad obtenida ap b q + 1 p q ab q/p 0 por b q, obtenemos el resultado, para b q/p+q = b. (2) Escribamos x p = ( n x i p ) 1/p ; y q = ( n y i q ) 1/q y definamos Por la parte (1) tenemos que Sumando Pero a i = x i x p, b i = y i y q. a i b i 1 x i p p x p + 1 y i q p q y q. q a i b i 1 n x i p p x p + 1 n 1 y i q p q y q = 1 q p + 1 q = 1. 1 a i b i = x p y q x i y i. Resulta n x iy i n x iy i x p y q como debíamos probar. En particular si p = 2 obtenemos la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

3 Una consecuencia de esto es la famosa Desigualdad de Minkowski. Si x, y R n y p 1 entonces x + y p x p + y p. Demostración. Si p = 1 la desigualdad es evidente usando las propiedades del módulo en R. Supongamos que p > 1. Si i = 1, 2,..., n vale x i + y i p = x i + y i p 1 x i + y i x i + y i p 1 ( x i + y i ). Aplicando la desigualdad de Hölder dos veces obtenemos ( ) 1/q ( ) 1/p x i + y i p 1 x i x i + y i (p 1)q x i p. y ( ) 1/q ( ) 1/p x i + y i p 1 y i x i + y i (p 1)q y i p. Como (p 1)q = p, concluimos que x + y p p = x i + y i p x + y p/q p ( x p + y p ), de donde x + y p = x + y p p/q p x p + y p. 4. Si X es un espacio métrico con función distancia d entonces cualquier subconjunto Z de X es un espacio métrico con la misma distancia. 5. Si X es el conjunto de todas las sucesiones x = (s n ) de números reales entonces d(x, y) = 1 s n t n 2 n 1+ s n t n define una métrica sobre X. 6. Si X es el conjunto de las sucesiones acotadas de números reales entonces d(x, y) = sup n s n t n es una métrica sobre X. Usualmente se denota a X por el símbolo l ó l (N). 7. Consideremos, para p [1, + ) el conjunto l p = {x = (s n ) : n s n p < + }. Entonces d(x, y) = ( n=1 s n t n p ) 1/p define una métrica en l p. Particularmente importantes son los espacios l 1 y l 2.

4 8. Si C[a, b] es el conjunto de todas las funciones continuas sobre el intervalo [a, b] con valores reales entonces d (f, g) = sup t [a,b] f(t) g(t) es una métrica sobre X. Usualmente d se denomina la métrica uniforme de C[a, b]. Obsérvese que gracias al teorema que dice que una función continua sobre un intervalo compacto alcanza su máximo, la distancia d(f, g) se alcanza en algún punto, o sea existe t 0 [a, b] tal que d (f, g) = f(t 0 ) g(t 0 ). Obviamente, t 0 depende de f y de g. Obsérvese también que si en lugar de funciones continuas sobre [a, b] tenemos funciones continuas sobre (a, b) entonces d (f, g) = sup t (a,b) f(t) g(t) puede ser + : por ejemplo, d(f, 0) = + si f(s) = 1/s para s (0, 1). Así, d no es una métrica sobre C(a, b). Hay otras maneras de metrizar C(a, b). Por ejemplo, definiendo d(f, g) = n=1 donde f g n = sup t [a+ 1 n,b 1 ] f(t) g(t). n 1 2 n f g n 1 + f g n 9. Una métrica que proviene de la teoría de las comunicaciones es la métrica de Hamming: llamamos mensaje de longitud n a un vector R n con coordenadas 0 ó 1 (o sea un elemento de {0, 1} n ); la distancia de Hamming entre dos mensajes de longitud n es el número de coordenadas en las que ambas difieren. Generalmente en la forma de la métrica de un espacio de funciones interviene el tipo de funciones: si son funciones generales intervienen expresiones del tipo f(t) g(t), si son funciones derivables intervienen además expresiones del tipo f (t) g (t), si son funciones con n derivadas tendremos expresiones del tipo f (k) (t) g (k) (t), 1 k n. Algunos de los ejemplos anteriores son casos particulares de lo siguiente. Si E es un espacio vectorial sobre R ó sobre C, una norma sobre E es una función : E R 0 que verifica: (1) x 0 x E y x = 0 si y sólo si x = 0. (2) λx = λ x x E, λ R (ó C). (3) x + y x + y, x, y E. El par (E, ) es un espacio normado. Si definimos d(x, y) = x y para todo x, y E entonces (E, d) es un espacio métrico y se dice que d es la métrica inducida por la norma. Los ejemplos 1, 3, 6, 7 y 8 corresponden a espacios normados. Construcción de métricas. (1) Si d 1, d 2 son métricas entonces a 1 d 1 +a 2 d 2 es una métrica para todo a 1 > 0, a 2 > 0. También es una métrica máx{d 1, d 2 }.

5 t (2) Si d es una métrica entonces d = d t es creciente en 1+t R+ entonces 1+d es una métrica. En efecto como la función d(x, y) 1 + d(x, y) d(x, z) + d(z, y) 1 + d(x, z) + d(z, y) Se deja como ejercicio demostrar estás afirmaciones. d(x, z) d(z, y) d(x, z) 1 + d(z, y). 2. Nociones topológicas en un espacio métrico Fijemos un espacio métrico (X, d). Llamaremos puntos a los elementos de X. Si x 0 X y r es un número real, la bola abierta de centro x 0 y radio r es el conjunto B(x 0, r) = {x X : d(x, x 0 ) < r}. (Si r 0 entonces B(x 0, r) =. Descartaremos este caso en lo sucesivo). La bola cerrada de centro x 0 y radio r es el conjunto B[x 0, r] = {x X : d(x, x 0 ) r}. Como vimos, en un conjunto X se pueden definir diferentes métricas. Diremos que dos métricas d y d son equivalentes si para cada x X y r > 0 existen números positivos α, β tales que B d (x, α) B d (x, r) y B d (x, β) B d (x, r). Teorema 2.1 En R n todas las métricas d p, 1 p + son equivalentes. Más generalmente, se puede probar que todo espacio vectorial real E, de dimensión finita, es homeomorfo a R n y dos normas cualesquiera en E son equivalentes. Un subconjunto U de X se llama abierto si para todo x 0 U existe r > 0 tal que B(x 0, r) U. Un subconjunto F de X se llama cerrado si su complemento X F es abierto. Un subconjunto puede no ser abierto ni cerrado: por ejemplo en X = R un intervalo semiabierto [a, b) = {t R : a t < b} donde a < b. Proposición 2.2 Si (X, d) es un espacio métrico entonces: (1) toda bola abierta B(x 0, r) es un abierto de X; (2) toda unión de conjuntos abiertos es abierto; (3) toda intersección de una cantidad finita de abiertos es abierto.

6 Demostración. (1) Si x B(x 0, r) entonces d = d(x, x 0 ) < r. Veamos que B(x, s) B(x 0, r) si s (0, (r d)/2): si d(z, x) < s entonces d(z, x 0 ) d(z, x) + d(x, x 0 ) < r 2 d 2 + d = r + d 2 < r. (2) Si U i (i I) es abierto y x i U i entonces existe i 0 I tal que x U i0 y como U i0 es abierto, existe r > 0 tal que B(x, r) U i0 i U i. (3) Si U i,..., U n son abiertos y x n U i entonces x U 1, x U 2,..., x U n ; como los U i son abiertos, existen r 1 > 0, r 2 > 0,..., r n > 0 tales que B(x, r i ) U i, i = 1, 2,..., n. Si r = mín{r 1, r 2,..., r n } entonces B(x, r) U 1 U 2 U n. Proposición 2.3 Un subconjunto de un espacio métrico es abierto si y sólo si es unión de bolas abiertas. Demostración. Toda unión de bolas abiertas es abierta por la proposición anterior. Recíprocamente, si U es abierto entonces para todo x U existe r x > 0 tal que B(x, r x ) U. Entonces U = x U B(x, r x). Para algunos espacios métricos se conoce la forma que tienen todos sus subconjuntos abiertos. Obviamente, si (X, d) es discreto todo Z X es abierto. Mencionemos el siguiente resultado no trivial. Un conjunto X es numerable si existe una función f : N X biyectiva. Teorema 2.4 Todo subconjunto abierto de R (con la métrica d(s, t) = s t ) es de la forma n=1 (a n, b n ) donde a n < b n < a n+1 n. Así, todo abierto de R es la unión de una cantidad numerable de intervalos abiertos que no se intersecan entre sí. No existe una caracterización análoga para R n con n 2. Corolario 2.5 Todo cerrado de R es intersección de una cantidad numerable de conjuntos de la forma R (a, b). Dado Z X, el interior de Z es el mayor conjunto abierto contenido en Z. Lo denotamos Z 0 ó intz. Por ejemplo, si Z es abierto entonces Z = Z. Puede ocurrir que Z no sea vacío pero Z = : por ejemplo, en R el subconjunto Q de los números racionales tiene interior vacío.

7 Proposición 2.6 El interior de Z es la unión de todos los conjuntos abiertos contenidos en Z, es decir, Z = G, donde G Z y G es abierto. Proposición 2.7 El interior de un subconjunto Z de X es la unión de todas las bolas abiertas contenidas en Z. Demostración. El conjunto x Z, B(x,δ) Z B(x, δ) es abierto y está contenido en Z. Luego está contenido en Z. Recíprocamente si z Z, entonces existe B(x, δ) Z Z, y por lo tanto x x Z, B(x,δ) Z B(x, δ). De manera dual, llamamos clausura de Z al menor cerrado que contiene a Z. Lo notaremos Z. Proposición 2.8 La clausura de Z es la intersección de los conjuntos cerrados que contienen a Z, es decir, Z = F, donde F Z y F es cerrado. Observemos que Z Z Z. Es falso, en general, que la clausura de la bola abierta B(x 0, r) sea la bola cerrada B[x 0, r]. Sin embargo, esta afirmación es verdadera para espacios normados. Diremos que Z es denso en X si Z = X. Proposición 2.9 Z es denso si y sólo si X Z tiene interior vacío, es decir (Z c ) =. Demostración. Supongamos que Z es denso. Luego Z = X. Si suponemos que X Z no tiene interior vacío, entonces existe x (X Z), o equivalentemente, existe δ > 0 tal que B(x, δ) X Z, o bien B(x, δ) Z c. Luego B(x, δ) c Z. Como B(x, δ) es abierta, su complemento es cerrado y luego B(x, δ) c Z, ya que Z es el menor cerrado que contiene a Z. Entonces Z X, que es absurdo. Recíprocamente, si (X Z) = y suponemos que Z no es denso, entonces X Z. Además X Z = (Z) c es abierto y X Z X Z, luego (X Z), absurdo. Corolario 2.10 Z es denso si y sólo si para todo conjunto G abierto no vacío, se verifica que G Z. Demostración. Si existe G abierto no vacío tal que G Z = entonces G Z c = X Z, o equivalentemente (X Z), con lo cual Z no es denso. Recíprocamente, supongamos que para todo G abierto no vacío, G Z y supongamos que Z no es denso. Entonces Z c tiene interior no vacío, es decir (Z c ). Si G = (Z c ) entonces G Z Z c Z = y G, absurdo. El subconjunto Q de R es denso en R esencialmente porque cada intervalo abierto contiene números racionales. La siguiente proposición nos da una caracterización de los puntos de Z.

8 Proposición 2.11 Z = {x X : δ > 0, B(x, δ) Z }. Demostración. Supongamos que x 0 Z = F Z F, F cerrado y supongamos que existe δ > 0 tal que B(x 0, δ) Z =. Entonces Z B(x 0, δ) c = F 0, F 0 es cerrado y x 0 / F 0, absurdo. Luego, x 0 {x X : δ > 0, B(x, δ) Z }. Recíprocamente si x 0 {x X : δ > 0, B(x, δ) Z } y suponemos que x 0 / Z, entonces existe un conjunto cerrado F Z tal que x / F. Luego x 0 F c, que es abierto. Entonces existe δ > 0 y B(x 0, δ) F c, absurdo. Llamamos frontera de Z X al conjunto Z = Z (X Z) = Z Z c. Por ejemplo si X = C[a, b] y Z = {f X : sup t [a,b] f(t) 1} entonces Z = {f X : sup t [a,b] f(t) < 1} y Z = {f X : sup t [a,b] f(t) = 1}. Más generalmente si E es un espacio normado y Z = B[x, r] = {x E : x r} entonces Z = Z, Z = B(x, r) = {x E : x < r} y Z = {x E : x = r}. Se dejan como ejercicios estas afirmaciones. Ejercicio: Sea (X, d) un espacio métrico y sean G y F subconjuntos de X. Probar que G es abierto si y sólo si G = G ; F es cerrado si y sólo si F = F. Proposición 2.12 Dado Z X vale que Z = Z Z = Z Z. Demostración. Z = Z Z c Z. Luego Z Z Z Z Z. Recíprocamente si x Z, hay dos posibilidades, o bien x Z o x / Z. Si x Z, listo. Supongamos x / Z, entonces δ > 0 tal que B(x, δ) Z. Luego δ > 0, B(x, δ) Z c, con lo cual x Z c. Luego, x Z Z c = Z. Un espacio métrico (X, d) es separable si existe D X denso numerable. Por ejemplo R n es separable con cualquier métrica d p (1 p + ) Sucesiones. Una sucesión en un espacio métrico X es una función f : N X. Usualmente se la denota por sus valores: si f(n) = x n, se habla de la sucesión {x n } ó (x n ). Diremos que la sucesión (x n ) converge si existe x X tal que lím n d(x, x n ) = 0; al punto x se lo llama el límite de la sucesión (x n ). La expresión x n x significa que x es el límite de (x n ). Obsérvese que x n x significa que para todo ε > 0 existe n 0 N tal que d(x, x n ) < ε si n n 0. La siguiente proposición expresa la condición de ser abierto, cerrado o denso en términos de sucesiones.

9 Proposición 2.13 Si (X, d) es un espacio métrico y V, F, D son subconjuntos de X entonces: (1) V es abierto si y sólo si para todo x V y toda sucesión (x n ) en X tal que x n x existe n 1 N tal que x n V si n n 1 ; x F. (2) F es cerrado si y sólo si para toda sucesión (x n ) en F tal que x n x se verifica (3) D es denso en X si y sólo si para todo x X existe (x n ) en D tal que x n x. Demostración. (1) : Supongamos que V es abierto, x V y x n n x. Como V es abierto existe ε > 0 tal que B(x, ε) V ; como x n x, dado ε > 0 existe n 0 tal que si n n n 0 entonces d(x n, x) < ε, o x n B(x 0, ε) V si n n 0. Recíprocamente, supongamos que para todo x V, si x n x entonces existe n 0 tal n que x n V si n n 0. Supongamos que V no es abierto. Entonces existe x V tal que para todo ε > 0, el conjunto B(x, ε) no está incluido en V. Sea ɛ n = 1 y tomemos para n cada n, x n B(x, 1 ) V. Entonces para todo n, d(x n n, x) < 1 o sea que x n n x y x n / V, absurdo. (2) : Supongamos que F es cerrado y sea (x n ) F tal que x n x. Si x / F entonces x F c ; además F c es abierto y x n x pero no existe n 0 tal que si n n 0 entonces x n F c, lo que contradice (1). Recíprocamente, si para toda sucesión (x n ) F, x n x implica que x F y supongamos que F no es cerrado entonces F c no es abierto, luego existe x F c tal que para todo ε > 0, el conjunto B(x, ε) no está incluido en F c. Razonando como en 1) llegamos a un absurdo. (3) : Si D es denso entonces (D c ) =, luego si x D c, para todo ε > 0, B(x, ε) D y puedo construir una sucesión (x n ) tomando ε n = 1 n tal que (x n) D, x n x. Si x D tomo x n = x para todo n. Recíprocamente, supongamos que para todo x X existe (x n ) D tal que x n x. Entonces (D c ) = ya que si x D c sea x n x, (x n ) D. Entonces dado ε > 0, existe n 0 tal que si n n 0, x n B(x, ε). Es fácil probar que si Z X y a X entonces a Z si y sólo si existen (x n ) en Z, (y n ) en X Z tales que lím x n = lím y n = a. (Ejercicio). La convergencia uniforme sobre C[a, b] es la que define la métrica d. En otras palabras, si (f n ) es una sucesión en C[a, b] entonces d (f n, f) 0 se expresa diciendo que f n converge uniformemente a f. Obsérvese que si l [a, b] es el conjunto de todas las funciones reales acotadas sobre [a, b] entonces (l [a, b], d ) es un espacio métrico. Se puede demostrar fácilmente que C[a, b] es un subconjunto cerrado de l [a, b]. En efecto, el límite de una sucesión uniformemente convergente de funciones continuas es una función continua.

10 Proposición 2.14 Dos métricas d, d sobre el mismo conjunto X son equivalentes si y sólo si tienen las mismas sucesiones convergentes: d(x n, x) 0 d (x n, x) 0. Demostración. Ejercicio. Si x es un punto del espacio métrico X, llamamos entorno de x a todo subconjunto V X tal que existe un abierto U tal que x U V. En particular, x pertenece a V. Es fácil ver que toda unión de entornos de x, así como toda intersección finita es un entorno de x. Nótese que todo entorno de x tiene interior no vacío; más aún, el interior de un entorno de x es un entorno de x. Proposición 2.15 Si A X y x X son equivalentes: (1) x A; (2) todo entorno abierto de x interseca a A; (3) todo entorno de x interseca a A; (4) existe (a n ) A tal que a n x. Demostración. (1) (2) : Supongamos que U es un entorno abierto de x. Entonces existe δ > 0 tal que B(x, δ) U. Aplicando la Proposición 2.11, B(x, δ) A. (2) (3) : Si V es un entorno de x entonces V es un entorno abierto de x y por (2) A V no es vacío. Con mayor razón entonces A V no es vacío. (3) (4) : Consideremos la sucesión de entornos de x formada por las bolas abiertas B(x, 1/n). Si a n A B(x, 1/n) (la intersección no es vacía, por (3)) entonces d(a n, x) < 1/n y entonces a n x. (4) (1) : Si (a n ) A converge a x y si F es un cerrado que contiene a A entonces, aplicando (2) de la Proposición 2.13, x F. Esto prueba que x F donde F A y F es cerrado. Luego x A. Diremos que x es un punto de acumulación o punto límite de A X si para todo entorno V de x, (V {x}) A no es vacío. Denotemos A al conjunto de puntos límite de A. Corolario 2.16 A = A A. Demostración. Vale que A A. Veamos que A A: si x A entonces existe (x n ) A tal que x n x, por (4) de la proposición anterior x A. Recíprocamente, supongamos que x A. Si x A, listo. Supongamos que x / A. Como x A, existe (x n ) A tal que x n x, entonces x A, por definición.

11 Si (X, d) es un espacio métrico y A es un subconjunto de X el diámetro de A se define como δ(a) = sup{d(a 1, a 2 ) : a 1, a 2 A}. El diámetro puede ser un número no negativo ó +. Proposición 2.17 δ(a) = δ(a). Diremos que A es acotado si δ(a) es finito. Así, todo conjunto finito, toda bola abierta o cerrada, toda unión finita de bolas son conjuntos acotados. Si (x n ) es una sucesión de Cauchy, entonces {x n : n 1} es un conjunto acotado. Conviene recordar que si (X, d) es un espacio métrico entonces existe una métrica d que es equivalente a d y X es acotado con respecto a d, es decir En efecto d = d 1+d δ (X) = sup{d (x 1, x 2 ) : x 1, x 2 X} < +. define una métrica acotada equivalente a d (ejercicio). 3. Continuidad Si (X, d), (Y, d ) son espacios métricos y f : X Y es una función diremos que f es continua en x 0 X si dado ε > 0 existe δ > 0 tal que d (f(x), f(x 0 )) < ε si d(x, x 0 ) < δ. Equivalentemente, si dado ε > 0 existe δ > 0 tal que f(b(x 0, δ)) B(f(x 0 ), ε). Proposición 3.1 f es continua en x 0 si y sólo si para todo entorno V de f(x 0 ) existe un entorno U de x 0 tal que f(u) V. Demostración. Supongamos que f es continua y sea V un entorno de f(x 0 ), entonces existe ε > 0 tal que B(f(x 0 ), ε) V y como f es continua en x 0, existe δ > 0 tal que f(b(x 0, δ)) B(f(x 0 ), ε) V. Tomando U = B(x o, δ) resulta que f(u) V. Recíprocamente, sea ε > 0 y tomemos V = B(f(x 0 ), ε) entonces existe U entorno de x 0 tal que f(u) V. Pero como x 0 U, existe δ > 0 tal que B(x 0, δ) U. Luego, f(b(x 0, δ)) B(f(x 0 ), ε). En términos de sucesiones tenemos la siguiente descripción de continuidad en un punto x 0 : Proposición 3.2 f es continua en x 0 si y sólo si para toda sucesión (x n ) vale que lím n f(x n ) = f(x 0 ) si lím n x n = x 0.

12 Demostración. En efecto, si f es continua en x 0 y x n x 0 dado ε > 0 existe δ > 0 tal que si d(x n, x 0 ) < δ entonces d(f(x n ), f(x 0 )) < ε. Supongamos que f no es continua en x 0. Entonces existe ε > 0 tal que para cada n existe x n X que verifica d(x n, x 0 ) < 1/n y d(f(x n ), f(x 0 )) > ε. Entonces x n x 0 pero f(x n ) f(x 0 ). Diremos que f : X Y es continua si f es continua en x para todo x X. Proposición 3.3 Son equivalentes: (1) f es continua; (2) para todo abierto V de Y, f 1 (V ) es abierto en X; (3) para todo cerrado F de Y, f 1 (F ) es cerrado en X. Demostración. (1) (2) : Si V es abierto en Y y x f 1 (V ) entonces f(x) V, nótese que V es entorno de f(x) de modo que aplicando la Proposición 3.1 existe U entorno de x tal que f(u) V. Así, x U f 1 (V ) y luego f 1 (V ) es abierto, en particular es un entorno abierto de x. (2) (1) : Supongamos que vale (2) y sea V un entorno de f(x 0 ). Puedo suponer que es abierto. entonces f 1 (V ) es abierto y x 0 f 1 (V ) = U. Además f(u) V. Luego f es continua en x 0. La equivalencia entre (2) y (3) se deduce de la relación f 1 (B c ) = f 1 (B) c. Diremos que una función f : (X, d) (Y, d ) entre espacios métricos es un homeomorfismo si f es biyectiva y tanto f como f 1 : (Y, d ) (X, d) son continuas. Los homeomorfismos preservan muchas esctructuras. Se suele llamar propiedades topológicas a aquellas que son invariantes por homeomorfismos. Veremos más adelante que la separabilidad, la compacidad o la conexión están entre ellas. Se deja esta afirmación como ejercicio. También es fácil ver que si sobre un conjunto X hay dos métricas d 1 y d 2 entonces la función identidad 1 X : (X, d 1 ) (X, d 2 ) es un homeomorfismo si y sólo si las métricas d 1 y d 2 son equivalentes. 4. Espacios métricos completos. Más útil que la noción de sucesión convergente en las aplicaciones es la noción de sucesión de Cauchy o sucesión fundamental: (x n ) es de Cauchy si para todo ε > 0 existe n 0 N tal que d(x n, x m ) < ε si n, m n 0. Toda sucesión convergente es fundamental aunque la recíproca no es cierta en general: en el espacio métrico (0, 1) la sucesión ( 1 ) es n fundamental pero no es convergente. Es más útil porque no es necesario encontrar el límite, aún si éste existe.

13 Ejercicio: probar que toda sucesión de Cauchy es acotada; y que si una sucesión de Cauchy admite una subsucesión convergente, entonces toda la sucesión es convergente. Claramente toda sucesión convergente es de Cauchy (probar esta afirmación), pero la recíproca no es cierta en general: en (0, 1) con la métrica del valor absoluto la sucesión (x n ) con x n = 1 es una sucesión de Cauchy que no converge. n Diremos que (X, d) es un espacio métrico completo si toda sucesión de Cauchy es convergente. Veamos algunos ejemplos: 1. Q no es completo. 2. Todo espacio métrico (X, d) con d la métrica 0-1 es completo ya que toda sucesión de Cauchy en X es constante a partir de un n 0 y luego convergente. 3. No todo espacio métrico discreto ( es decir sin puntos de acumulación) es completo: por ejemplo X = {1, 1/2,..., 1/n,...} con la métrica inducida por (R, ). 4. (R, ) es un espacio métrico completo. Demostración. Sea (x n ) una sucesión de Cauchy en R, entonces es acotada. Usando el axioma de completitud, existe b = sup n {x n }. Usando nuevamente el axioma de completitud en R, es fácil ver que toda sucesión monótona y acotada en R es convergente. Para cada n N sea X n = {x n, x n+1,...}. Entonces X 1 X 2... X n... y los conjuntos X n son acotados. Sea a n = ínf X n, n N; entonces a 1 a 2... a n a n+1... b y luego {a n } es convergente. Sea a = lím n a n. Veamos que a = lím n x n. Para probar esto, basta ver que existe una subsucesión de (x n ), (x nk ) tal que x nk a: si a = lím n a n, dado ε > 0 y n 1 N, existe m > n 1 tal que a ε < a m < a + ε. Como a m = ínf X m, existe n m tal que a m x n < a + ε. Luego x n (a ε, a + ε). 5. R n con la métrica d p (1 p + ) es un espacio métrico completo. 6. l p, para p 1 es un espacio métrico completo. Demostración. Veamos, por ejemplo, que l 2 es completo. Veamos primero que l 2 es un espacio vectorial: si x = (x n ), y = (y n ) l 2 entonces x + y l 2 : Si x e y l 2 entonces x i y i < : por la desigualdad de Cauchy-Schwarz, x i y i ( x i 2 ) 1/2 ( y i 2 ) 1/2 x 2 y 2.

14 Como la desigualdad vale para todo n, haciendo tender n, listo. Por lo tanto x i y i x 2 y 2. Entonces, n (x i + y i ) 2 = n x i 2 + n y i n x iy i x y x 2 y 2. Haciendo tender n, listo. Análogamente, se demuestra que λx l 2, λ C. Veamos que l 2 es completo con 2 : sea (x n ) l 2 una sucesión de Cauchy, x n = (x n1, x n2,..., x ni,...). Para cada i fijo x mi x ni x m x n 2 y luego (x ni ) n N es de Cauchy. Por lo tanto x ni n a i para todo i. Sea a = (a i ). Como (x n ) es de Cauchy, dado ε > 0, existe n 0 n, m n 0, x n x m 2 < ε. Por lo tanto, para todo k, N tal que si k x mi x ni 2 ε 2. Por lo tanto, para k fijo, haciendo tender m k a i x ni 2 ε 2, n n 0. Haciendo tender k a i x ni 2 ε 2, con lo cual a x n l 2, entonces a = a x n + x n l 2 y a x n 2 ε si n n 0. Entonces x n n a, en norma C[a, b] con d es un espacio métrico completo. Es fácil ver que en un espacio métrico completo todo conjunto cerrado es completo y que todo subespacio completo de un espacio métrico es cerrado. (Ejercicio). Ejercicio: Ver que C[0, 2] no es completo con d 1 (f, g) = 2 f(t) g(t) dt. 0 Sugerencia: considerar la sucesión de funciones continuas 0 si 0 x 1 1 n, f n (x) = nx + 1 n si 1 1 n < x 1 1 si 1 < x 2.

15 Teorema 4.1 Un espacio métrico X es completo si y sólo si para toda sucesión (F n ) de subconjuntos cerrados no vacíos de X tales que F n F n+1 (n = 1, 2,... ) y δ(f n ) 0 existe x n=1 F n. Demostración. Supongamos que X es completo y sea a n F n n N. Dado ε > 0 existe n 0 1 tal que δ(f n0 ) < ε. Entonces d(a n, a m ) < ε si n, m n 0, pues a n F n F n0, a m F m F n0 y δ(f n0 ) < ε. Como (a n ) es una sucesión de Cauchy, es convergente. Si a = lím n a n entonces a n=1 F n: fijando F n, a m F n m n y como F n es cerrado a = lím m a m F n. Recíprocamente, si X tiene la propiedad de encaje de cerrados y (x n ) es una sucesión de Cauchy entonces A n = {x k, k n} verifica A n A n+1 n y δ(a n ) 0. Entonces (A n ) es una sucesión decreciente de cerrados con diámetro tendiendo a 0, de modo que existe x n=1 A n. Para ver que x n x, dado ε > 0 encontremos n 0 1 tal que δ(a n ) < ε si n n 0. Entonces d(x n, x) δ(a n ) < ε si n n 0 y esto prueba que x n x. La hipótesis δ(f n ) n 0 es fundamental: consideremos F n = [n, + ), n N; cada F n es cerrado de R, F n+1 F n pero n=1 F n =. Otro ejemplo es el siguiente: consideremos en l 2 (N) la familia de conjuntos F n = {e n, e n+1,...}, donde el elemento e n es la sucesión de l 2 que tiene todas sus coordenadas nulas salvo la n-ésima, que es uno. Probar que cada F n es cerrado, F n+1 F n, δ(f n ) = 2 y n=1 F n =. Observemos que la completitud no es una propiedad topológica: por ejemplo, la función tangente, tg : ( π, π ) R es un homomeorfismo, cuya inversa es la función arco tangente; 2 2 sin embargo, R es un espacio completo mientras que el intervalo abierto ( π, π ) no lo es. 2 2 Una función f : (X, d) (Y, d ) entre espacios métricos es uniformemente continua si dado ε > 0 existe δ > 0 tal que d (f(x), f(x )) < ε si d(x, x ) < δ. Es fácil ver que un homeomorfismo f tal que tanto f como f 1 son uniformemente continuas, preserva la completitud. Es fácil ver que la continuidad de una función no es suficiente para preservar sucesiones de Cauchy: por ejemplo f : (0, 1) R definida por f(t) = 1/t es continua, x n = 1 es una sucesión de Cauchy pero n = f( 1 ) no es de Cauchy. n n Sin embargo: Proposición 4.2 Si f : (X, d) (Y, d ) es uniformemente continua y (x n ) X es de Cauchy entonces (f(x n )) Y es de Cauchy. Demostración. En efecto, dado ε > 0 existe δ > 0 como en la definición de continuidad uniforme. Si d(x n, x m ) < δ para n, m n 0 entonces d(f(x n ), f(x m )) < ε, si n, m n 0. Un ejemplo trivial de función uniformemente continua es el de las isometrías. Decimos que f : (X, d) (Y, d ) es una isometría si d (f(x), f(y)) = d(x, y) x, y X. El siguiente

16 resultado técnico será utilizado en varias ocasiones, a veces inclusive sin mención explícita. Proposición 4.3 Si X e Y son espacios métricos completos y A X, B Y son subconjuntos densos entonces toda función uniformemente continua f : A B se extiende unívocamente a una función uniformemente continua f : X Y. En particular, si f : A B es una isometría entonces f : X Y también lo es. Demostración. Sea x X, entonces existe (x n ) A tal que x n x pues A = X. Como f es uniformemente continua (f(x n )) B es de Cauchy. Como Y es completo, existe y = lím n f(x n ). Definimos f(x) = y. Veamos primero que f está bien definida: si x n x, (x n) A entonces d(x n, x n) 0. Como f es uniformemente continua resulta que si y n = f(x n ), entonces d(y n, y n) 0. Luego si y n y, d(y, y ) d(y, y n ) + d(y n, y n) + d(y n, y ) n 0 e y = y. De manera análoga se puede probar que f es uniformemente continua. Si (X, d) es un espacio métrico llamaremos una completación de (X, d) a un espacio métrico completo (Y, d ) con una isometría f : (X, d) (Y, d ) tal que f(x) es denso en Y. Se puede demostrar que todo espacio métrico admite una completación y que dos completaciones del mismo espacio métrico son isométricamente isomorfas: para probar la última afirmación, consideremos (Y 1, δ 1 ), (Y 2, δ 2 ) completaciones de (X, d) entonces existen isometrías f 1 : X Y 1, f 2 : X Y 2 tales que Z 1 = f 1 (X) es denso en Y 1 y Z 2 = f 2 (X) es denso en Y 2. Entonces f 2 f 1 1 : Z 1 Z 2 es una isometría y por lo tanto es uniformemente continua, de modo que se extiende de manera única a una función uniformemente continua φ : Y 1 = Z 1 Y 2 = Z 2. Es fácil probar que φ es un homeomorfismo isométrico de Y 1 sobre Y 2. Mostraremos dos formas de probar la existencia de una completación. La primera consiste en definir un nuevo espacio métrico ( X, d) a partir de (X, d) y probar que es una completación de (X, d). Para ello llamamos X al conjunto de todas las sucesiones de Cauchy (x n ) en X. Diremos que (x n ), (x n) en X son equivalentes (en símbolos, (x n ) (x n)) si d(x n, x n) 0. Es fácil ver que es una relación de equivalencia en X. Definimos X = X / o sea que X es el conjunto de clases de equivalencia de sucesiones de Cauchy de X. Si denotamos [(x n )] la clase de equivalencia de (x n ) y definimos d([(x n )], [(y n )]) = lím d(x n, y n ), se prueba fácilmente que este límite existe y que sólo depende de la clase de equivalencia de (x n ) e (y n ). Veamos que dadas (x n ) e (y n ) de Cauchy, el límite d(x n, y n ) existe: sea a n = d(x n, y n ), (a n ) R + es de Cauchy pues a n a m = d(x n, y n ) d(x m, y m ) d(x n, y n ) d(x m, y n ) + d(x m, y n ) d(x m, y m ) d(x n, x m ) + d(y n, y m ).

17 Como (x n ) e (y n ) son sucesiones de Cauchy, (a n ) resulta de Cauchy en R y por lo tanto existe a = lím n a n. Para ver que el límite sólo depende de [(x n )] y de [(y n )], sean ( x n ) [(x n )] e (ỹ n ) [(y n )]. Entonces si lím n d( x n, ỹ n ) = a a a a d( x n, ỹ n ) + d( x n, ỹ n ) d(x n, ỹ n ) + d(x n, ỹ n ) d(x n, y n ) + d(x n, y n ) a a d( x n, ỹ n ) + d( x n, x n ) + d(ỹ n, y n ) + d(x n, y n ) a n 0. Es fácil ver que ( X, d) es un espacio métrico. Sea f : X X, definida como f(x) = {(x n ) X : x n n x} = [(x n )], donde x n = x n, para cada x X. Entonces f es una isometría pues si x e y X, d(f(x), f(y)) = lím n d(x n, y n ), donde x n x e y n y. Luego d(f(x), f(y)) = d(x, y). Además, si identificamos X con f(x), X resulta denso en X: sea x X y ε > 0. Sea (x n ) x entonces si n, m n 0 d(x n, x m ) < ε. Para cada n fijo, sea la sucesión (y k ), definida como y k = x n k. d([(y k )], x) = d([(y k )], [(x k )]) = lím k d(y k, x k ) = lím k (x n, x k ) < ε. Finalmente, veamos que X es completo. Para esto, observemos primero que dada una sucesión de Cauchy (x n ) X, la sucesión (f(x n )) X converge al punto x = [(x n )]. Pues para n fijo, d( x, f(x n )) = d([(x k )], [(y k )]) = lím k d(x k, y k ) < ε, si n n 0. Entonces dada una sucesión de Cauchy ( x n ) X, sea ỹ n X tal que d( x n, ỹ n ) < 1 n. Luego (ỹ n ) ỹ y luego x n ỹ. La segunda manera de completar un espacio métrico (X, d) consiste en considerar el espacio métrico completo (l (X), d ) y probar que, fijado x 0 X, la función f x0 : (X, d) (l (X), d ) definida por (f x0 (x))(y) = d(x, x 0 ) d(x 0, y) es una isometría. Si Z es la imagen de f x0 entonces (Z, d ) es una completación de (X, d). Ninguna construcción de la completación de un espacio métrico es satisfactoria en el sentido de que no permite imaginar cómo es o qué forma tienen sus elementos. Más adelante mostraremos que la completación del espacio métrico C[a, b] con la métrica d ( p 1/p b (1 p < + ) definida por d p (f, g) = f g p = dt) f(t) a g(t) p es el espacio de Lebesgue L p [a, b], construido a partir de la medida de Lebesgue en [a, b]. También puede probarse que las llamadas distribuciones o funciones generalizadas pueden pensarse como los elementos de la completación de un espacio de verdaderas funciones. Una contracción entre espacios métricos es una función que disminuye (contrae) distancias: más precisamente, f : (X, d) (Y, d ) es una contracción si existe una constante λ, 0 < λ < 1, tal que d (f(x), f(y)) λ d(x, y) para todo x, y X.

18 El siguiente es uno de los teoremas más útiles del análisis y sus aplicaciones. Teorema 4.4 (Principio de la contracción o teorema de Banach-Cacciopoli). Si (X, d) es un espacio métrico completo y f : X X es una contracción entonces existe un único elemento x 0 X tal que f(x 0 ) = x 0. Más aún, para todo z X la sucesión x 1 = f(z), x 2 = f(x 1 ), x n = f(x n 1 ), converge a x 0 y d(x 0, x n ) λn d(f(z), z). 1 λ Demostración. Probemos primero la unicidad del punto fijo x 0. En efecto, si y es otro punto fijo entonces x 0 = f(x 0 ), y = f(y) y d(x 0, y) = d(f(x 0 ), f(y)) λd(x 0, y). Como λ < 1, la desigualdad obliga a que d(x 0, y) sea nula, o sea y = x 0. Dado z X definimos x 1 = f(z), x n+1 = f(x n ) para n N. Entonces d(x n+1, x n ) = d(f(x n ), f(x n 1 )) λd(x n, x n 1 ) λ 2 d(x n 1, x n 2 ) λ n d(f(z), z). Si p 1, d(x n+p+1, x n ) n+p k=n d(x k+1, x k ) n+p k=n λk d(f(z), z) = ( n+p k=n λk) d(f(z), z). Como 0 < λ < 1, la serie m=0 λm converge a 1/(1 λ) y entonces (x n ) es una sucesión de Cauchy. Como (X, d) es completo, existe x 0 = lím n x n. Como f es continua f(x 0 ) = lím n f(x n ) = lím n x n+1 = x 0. Esto prueba la existencia del punto fijo x 0. Finalmente d(x 0, x n ) d(x 0, x n+p+1 ) + d(x n+p+1, x n ) d(x 0, x n+p+1 ) + d(f(z), z) d(x 0, x n+p+1 ) + λn d(f(z), z) 1 λ y haciendo p obtenemos d(x 0, x n ) λn d(f(z), z). 1 λ Daremos a continuación una extensión del teorema de Banach-Cacciopoli. Teorema 4.5 Si (X, d) es un espacio métrico completo y f : B(x 0, r) X es una contracción con constante λ (0, 1) que verifica d(f(x 0 ), x 0 ) < r(1 λ) entonces existe un único x B(x 0, r) tal que f(x) = x. Demostración. Como antes, construimos (x n ) poniendo x n = f(x n 1 ). Observemos que las hipótesis garantizan que x n pertenece a B(x 0, r): inductivamente d(x 1, x 0 ) = d(f(x 0 ), x 0 ) < r(1 λ) < r; si x k B(x 0, r) para k = 1, 2,..., n 1 entonces, como antes, n 1 n 1 d(x n, x 0 ) d(x n, x n 1 ) + + d(x 1, x 0 ) d(f(x 0 ), x 0 ) λ k < r(1 λ) λ k r. Del mismo modo, (x n ) es una sucesión de Cauchy y si x = lím n x n entonces f(x) = x. De la desigualdad d(x, x n ) λn d(f(x 1 λ 0), x 0 ) obtenemos que d(x, x 0 ) d(x, x n ) + d(x n, x 0 ) ( λn + ( n 1 1 λ k=0 λk) )d(f(x 0 ), x 0 )), para todo n. Luego d(x, x 0 ) d(f(x 0), x 0 ) 1 λ < r, k=0 k=n k=0 λ k

19 o sea x B(x 0, r). Veamos algunas aplicaciones. 1. Ecuaciones integrales. Si K : [a, b] [a, b] R es una función núcleo se trata de encontrar para cada g C[a, b] y cada λ R una función f C[a, b] tal que f(t) = λ b a K(t, s)f(s)ds + g(t) t [a, b]. (1) La ecuación (1) es una ecuación integral lineal no homogénea de Fredholm. Proposición 4.6 Si K : [a, b] [a, b] R es continua y λ < 1/ K (b a) entonces existe una única función f C[a, b] que verifica (1). (En el enunciado K = sup t,s [a,b] K(t, s).) Para probarlo, consideramos el espacio métrico C[a, b] con la métrica uniforme y la contracción T : C[a, b] C[a, b], (T f)(t) = λ b K(t, s)f(s)ds + g(t): la elección λ < a 1/(b a) K garantiza que T sea una contracción. La completitud de C[a, b] y el teorema de la contracción terminan la tarea. 2. Ecuaciones funcionales. Si X es un espacio métrico completo y ϕ : X R R es una función continua tal que existe λ (0, 1) que verifica ϕ(x, t) ϕ(x, s) λ t s x X, t, s R entonces existe una única función continua u : X R tal que u(x) = ϕ(x, u(x)) x X. Acá se aplica el teorema de la contracción al espacio métrico completo C (X) = l (X) C(X) y a la contracción T : C (X) C (X), (T u)(x) = ϕ(x, u(x)): observar que (T u)(x) (T v)(x) = ϕ(x, u(x)) ϕ(x, v(x)) λ u(x) v(x) de modo que d(t u, T v) = T u T v λ u v = λd(u, v) para todo u, v C (X). 3. Ecuaciones diferenciales. Consideremos el problema de valores iniciales y = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 (2) donde f : G R es continua, G = {(x, y) R 2 : a < x < b, c < y < d} = (a, b) (c, d), (x 0, y 0 ) G y además f es de Lipschitz en la segunda variable, i.e., f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) M y 1 y 2. La existencia y unicidad de solución de (2) está dada por el siguiente resultado.

20 Teorema 4.7 (de Picard) En las condiciones anteriores existe un δ > 0 tal que en el intervalo (x 0 δ, x 0 + δ), el problema (2) tiene una única solución. Demostración. El problema (2) es equivalente a la ecuación integral ϕ(x) = y 0 + x x 0 f(t, ϕ(t))dt. (3) Como f es continua en G, podemos hallar un conjunto compacto G G tal que f es acotada en G y (x 0, y 0 ) G. Es decir que f(x, y) K, si (x, y) G. Más aun, existe un rectángulo abierto, incluido en G, que contiene a (x 0, y 0 ). También es posible hallar un número δ > 0 que verifique que Mδ < 1 y (x, y) G si x x 0 δ y y y 0 Kδ. Consideremos el espacio X = C[x 0 δ, x 0 + δ] con la norma y el subespacio métrico S de las funciones ϕ tales que ϕ(x) y 0 Kδ. El subespacio S es cerrado y luego es completo ya que X es completo. Sea (T ϕ)(x) = y 0 + x x 0 f(t, ϕ(t))dt, para ϕ S. Veamos que T (S) S: dada ϕ S entonces x T ϕ(x) y 0 = f(t, ϕ(t))dt Kδ, x [x 0 δ, x 0 + δ]. x 0 Además T ϕ 1 (x) T ϕ 2 (x) x x 0 f(t, ϕ 1 (t)) f(t, ϕ 2 (t)) dt Mδ ϕ 1 ϕ 2. Como Mδ < 1, el operador T resulta una contracción. Entonces la ecuación ϕ = T ϕ tiene una única solución en S. 5. Espacios métricos compactos Compacidad. Un espacio métrico (X, d) es compacto si para todo cubrimiento de X por abiertos existe un subcubrimiento finito: en otros términos para toda familia {U i : i I} de abiertos de X tal que i U i = X existen i 1, i 2,..., i n I tales que n k=1 U i k = X. Diremos que X tiene la propiedad de la intersección finita si toda familia de cerrados de X {F i : i I} tal que para cada subconjunto finito {i 1, i 2,..., i n } I la intersección n k=1 F i k no es vacía, entonces la intersección i I F i no es vacía. Proposición 5.1 X es compacto si y sólo si X tiene la propiedad de intersección finita. Demostración. Supongamos que X es compacto y sea {F i : i I} una familia de cerrados de X tales que n k=1 F i k es no vacío, para toda sub-familia finita y supongamos que

21 i I F i =. Entonces X = ( i I F i) c = i I F i c. Como los F i son cerrados, {Fi c : i I} es un cubrimiento por abiertos de X. Luego existe un subcubrimiento finito de X, {Fi c,...fi c n }, ya que X es compacto. Pero entonces X = n k=1 F i c k que es absurdo. y luego n k=1 F i k =, lo Recíprocamente, supongamos que X tiene la propiedad de la intersección finita y sea {G i, i I} un cubrimiento por abiertos de X. Supongamos que no existe un subcubrimiento finito. Entonces {G c i, i I} es una familia de cerrados tales que m k=1 Gc i k para toda subfamilia finita, pues en caso contrario, X = n k=1 G i k y {G ik : k = 1,..., n} sería un subcubrimiento finito. Luego, como X tiene la propiedad de la intersección finita, i I Gc i, entonces i I G i X, y esto es absurdo. Uno de los teoremas básicos del análisis matemático es el siguiente Teorema 5.2 Heine-Borel-Lebesgue. Todo intervalo cerrado acotado de R es compacto. Más generalmente si consideramos en R n la métrica d p (1 p + ) entonces K R n es compacto si y sólo si K es cerrado y acotado. Obsérvese que este enunciado es falso en general: si (X, d) es discreto entonces X es cerrado y acotado (la métrica discreta es acotada) pero K X es compacto si y sólo si K es finito. Un subconjunto A de un espacio métrico (X, d) es totalmente acotado si para todo ε > 0 existe una cantidad finita de bolas abiertas de radio ε que cubren A; es decir si existen x 1,..., x n X tales que A n B(x i, ε). Al conjunto {x 1,..., x n } se lo suele llamar una ε-red de A. Obsérvese que A es totalmente acotado se para cada ε > 0 existe una descomposición de A en una cantidad finita de subconjuntos de diámetro menor que ε. Todo conjunto totalmente acotado es acotado: en efecto, si r = máx{d(x i, x k ) : i, k = 1,..., n} entonces A B(x i, r + ε) para cualquier i, de modo que δ(a) 2(r + ε). La recíproca es falsa en general: un conjunto infinito con la métrica discreta es acotado pero no es totalmente acotado. Más interesante es el siguiente ejemplo: consideremos el espacio normado l 2 N con la métrica inducida d 2(x, y) = ( n=1 x n y n 2 ) 1/2 y el subconjunto A = B(0, 1) = {(x n ) l 2 N : n=1 x n 2 1}. Claramente, A es un conjunto acotado pues δ(a) 2. Por otro lado, si e n es el elemento de l 2 N con todas sus coordenadas nulas excepto la n-ésima, que es 1, entonces es claro que e n A y que d 2 (e n, e m ) = e n e m 2 = 2. Por lo tanto, si 0 < ε < 2 cualquier ε-red de {e n : n N} debe ser infinita: en efecto, cada bola de radio ε contiene a lo sumo un e n. El resultado siguiente contiene varios criterios equivalentes a la compacidad.

22 Teorema 5.3 Si (X, d) es un espacio métrico, las siguientes propiedades son equivalentes 1. X es compacto; 2. X es totalmente acotado y completo; 3. todo subconjunto infinito de X admite un punto de acumulación; 4. toda sucesión (x n ) en X admite una subsucesión convergente. Demostración. 1 2 : Supongamos que X es compacto. Veamos que X es totalmente acotado. Dado ε > 0 la familia {B(x, ε) : x X} es un cubrimiento por abiertos de X y luego existe un subcubrimiento finito, i.e., existen x 1,..., x n X tal que X n B(x i, ε). Para ver que X es completo consideremos una familia {F n : n N} de subconjuntos cerrados no vacíos de X, tales que δ(f n ) n 0 y F n F n+1. Entonces si I N es finito i I F i = F i0, donde i 0 = máx I. Como X es compacto, aplicando la Proposición 5.1, resulta n F n. Luego, por el Teorema 4.1, X es completo. 2 3 : Sea Y X infinito. Sea ε = 1. Como X es totalmente acotado, existen x 1,..., x n X tales que X n B(x i, 1). Luego existe al menos un k entre 1 y n tal que B(x k, 1) contiene infinitos puntos de Y. De otro modo Y sería finito. Repetimos el razonamiento para ε 2 = 1 y el conjunto infinito Y 2 1 = Y B(x k, 1) y obtenemos un subconjunto infinito de Y contenido en una bola B(x k, 1)). En general, para ε 2 n = 1 existe n un subconjunto infinito de Y contenido en una bola de radio 1 n. Tomamos y 1 Y 1, y 2 Y 2 {y 1 },..., y n Y n {y 1,..., y n 1 }. Esto es posible ya que los conjuntos Y k son infinitos. Luego (y n ) Y es de Cauchy y como X es completo, y n y. Además y es un punto de acumulación de Y, ya que y n y m si n m. 3 4 : Sea (x n ) X; si (x n ) es un conjunto finito entonces alguno de los finitos valores se repite infinitas veces. Es decir que para todo n existe m n > n tal que x mn donde c es uno de los finitos valores de la sucesión y la sucesión constante x mn c. Supongamos entonces que (x n ) n N es infinito. Entonces (x n ) tiene un punto de acumulación x. Es decir que para k N, B (x, 1 k ) (x k) donde B (x, 1 k ) = B(x, 1 k ) {x}. Sea n 1 tal que x n1 B (x, 1). Observemos que d(x, x n1 ) > 0. Sea n 2 tal que 1 n 2 < d(x, x n1 ) y n 2 > n 1. Entonces existe x n2 B (x, 1 n 2 ). Así puedo construir una subsucesión x nk x. 4 1 : Veamos primero que X es totalmente acotado. Sea ε > 0 y x 1 X cualquiera. Si no existe x 2 X tal que d(x 1, x 2 ) ε entonces X B(x 1, ε). Si no, considero el conjunto A ε = {x 1, x 2 }. En general, sea x n X tal que d(x n, x k ) ε, k = 1,..., n 1. La sucesión (x n ) debe ser finita pues en caso contrario no tendría ninguna subsucesión convergente y luego (x n ) = {x 1,..., x n0 } = A ε y X n B(x i, ε). Entonces X es = c

23 totalmente acotado. Además X es separable pues A = n N A 1 es un conjunto denso en n X y es numerabe (lo probaremos más adelante). Sea {G i } i I un cubrimiento por abiertos de X. Dado G i, sea x G i, como G i es abierto existe ε > 0 tal que B(x, ε) G i y existe y A tal que d(x, y) < 1 < ε. Por lo tanto, 2n 2 B(y, 1 ) G 2n i. Para cada y A y n N elijo i tal que B(y, 1 ) G 2n i, esta subfamilia de {G i } i I es numerable y es un cubrimiento de X. Se prueba, de manera similar, que en este caso puedo extraer un subcubrimiento finito de X. En los cursos de topología si X satisface 3 se dice que satisface la propiedad de Bolzano- Weierstrass y si X satisface 4 se dice que es secuencialmente compacto. El siguiente resultado será utilizado con frecuencia en estas notas. Proposición 5.4 Si f : X Y es una función continua y A X es compacto entonces f(a) Y es compacto. En particular, si f es biyectiva, continua y f 1 continua, entonces X es compacto si y sólo si Y es compacto. es también Demostración. En efecto, si {V i : i I} es un cubrimiento abierto de f(a) entonces {f 1 (V i ) : i I} es un cubrimiento abierto de A; como A es compacto, existen i 1,..., i n I tales que n k=1 f 1 (V ik ) A y aplicando f a ambos miembro resulta n V ik f(a). k=1 (En todo el argumento anterior se utilizan propiedades conjuntistas de la imagen inversa, demostradas en el Apéndice I). Usando este resultado, si f : X Y es continua y biyectiva y si f 1 : Y X también es continua, entonces Y (= f(x)) es compacto si X lo es y recíprocamente.