CONJUNTOS COMPACTOS. . En consecuencia, ninguna unión finita de {G n n N} puede contener a H H no es compacto

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamaño: px
Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "CONJUNTOS COMPACTOS. . En consecuencia, ninguna unión finita de {G n n N} puede contener a H H no es compacto"

Transcripción

1 CONJUNTOS COMPACTOS Denición. Se dice que un conjunto K es compacto si siempre que esté contenido en la unión de una colección g = {G α } de conjuntos abiertos, también esta contenido en la unión de algún número finito de conjuntos en g. Una colección g de conjuntos abiertos cuya unión contiene a K con frecuencia se llama cubierta de K. De modo que el requisito para que K sea compacto es que toda cubierta g de K se pueda sustituir por una cubierta finita g de K. Ejemplo.- Sea k = {x, x 2,..., x m } un subconjunto finito de R n si G = {G α } es una colección de abiertos tal que k {G α } y si todo punto de k pertenece a algún subconjunto de {G α } entonces cuando más m subconjuntos de {G α } k k es un subconjunto compacto de R n. Ejemplo.- Considere al subconjunto H = {x R x 0}. Sea G n = (, n) n N de tal manera que {G n n N} sea una colección de subconjuntos abiertos de R cuya union contenga a H. Si {G n, G n2,..., G nk } es una subcolección finita de {G n n N}. Sea M = sup{n, n 2,..., n k } de tal manera que G nj G nk de aqui deducimos que G M es la union de {G n, G n2,..., G nk }. Sin embargo el número real M no pertenece a G M y por lo tanto no pertenece a k j= G n j. En consecuencia, ninguna unión finita de {G n n N} puede contener a H H no es compacto Ejemplo.- Todo recubrimiento abierto del intervalo cerrado y acotado [a, b] posee un subrecubrimiento finito Demostración. Sea R un recubrimiento de [a, b]. Sea S el conjunto de puntos x [a, b] tal que [a, x] esta cubierto por un número finito de conjuntos de R queremos probar

2 que b S. ) S pues [a, a] = {a} pertenece a algún conjunto de R 2) S esta acotado superiormente pues S [a, b]. Sea α = sups como S [a, b] a α b como α [a, b] y R recubre a [a,b] existiría A R tal que α A con A abierto entonces ɛ > 0 tal que [α ɛ, α] A como α = sups x S tal que α ɛ x < α ponemos [a, α] = [a, x] [x, α]. Si x S el intervalo [a, α] esta cubierto por un número finito de conjuntos de R y por otro lado [x, α] [α ɛ, α] está cubierto por A, luego [a, α] esta cubierto por un número finito de conjuntos de R α S. tenemos que ver que α = b suponemos que α < b como α A y A es abierto x tal que [α, x] A y [α, x] estaría cubierto por un número finito de conjuntos de R luego x S y x > α α = b Proposición.- Demuestrese que todo intervalo cerrado [a, b] de R es compacto. Demostración. Supongamos un recubrimiento abierto [a, b] tal que no admite subrecubrimiento finito. Entonces tampoco existe un subrecubrimiento finito para [a, c] [c; b] con c punto medio. Sea [a, b ] = [a, c] el intervalo para el cual no existe el subrecubrimiento finito. Sea p el punto de intersección y sea U el recubrimiento que contiene a p y sea [p ε, p + ε] U. Siguiendo esta construcción obtenemos una sucesión de intervalos [a n, b n ] [a n, b n ] de longitudes [b n, a n ] = b a 2 n tales que ninguno de ellos admite un subrecubrimiento finito. Entonces existe r N tal que n > r, b a < ε y n r [a 2 n n, b n ] U ningun [a k, b k ] admitía un subrecubrimiento finito. ya que 2

3 Ejemplo.- Sea H = (0, ) en R. Si G n = {, } para n > 0 entonces la colección n n {G n, G n2,..., G nk } es una subcolección finita de {G n n > 2}. Sea M = sup{n,..., n k } de tal manera que G nj G M se ifiere que G M es la unión de {G n, G n2,..., G nk } sin embargo el número real m pertenece a H pero no pertenece a G M ninguna subcolección finita de G n n > 2 puede formar una subcolección finita para H H no es compacto Teorema. Sean X, Y compactos. Demuestrese que X Y es compacto. Demostración. Sea {u i } i I un recubrimiento abierto de X Y. Entonces para todo p X Y existe i I tal que p U i y existen unicos V p y W p en X, Y respectivamente tales que p v p w p. La familia {v p w p } p X Y forma un recubrimiento abierto de X Y. Para todo punto x 0 X se verifica que {x 0 } Y es homeomorfo a Y luego {x 0 } Y es compacto. La familia {V p W p } p X Y forma un recubrimiento abierto de {x 0 } Y luego existe un subrecubrimiento finito V x,..., V xn para cada V xi sean V xi W yi,... V xi W yim los abiertos correspondientes en el recubrimiento {x i } Y entonces la familia {V xi W yi } forman un recubrimiento finito de X Y y como para cada uno de ellos existe U x del recubrimiento primitivo resulta que existe un subrecubrimiento finito de dicho recubrimiento. Teorema. Los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos. Demostración. Sea F un conjunto cerrado y K un conjunto compacto tal que F K R n. Sea {G α } una cubierta abierta de F, entonces {G α } {F c } es una cubierta abierta 3

4 de K, como K es compacto entonces {G α F c } tiene subcubierta finita que cubren a F. Podemos quitar F c y se sigue cubriendo a F. Así obtenemos un refinamiento finito de cualquier cubierta abierta de F. F es compacto. Teorema. Si E K R n, donde E es un conjunto infinito y K es compacto, entonces E tiene un punto de acumulaión en K. Teorema: Heine - Borel. Todo subconjunto cerrado y acotado es compacto.. K compacto implica que K es cerrado. Demostración: Sea x K c y sea G m = {y R n y x >, m N} entonces m y ExtB( x, m ) cada G m es abierta, la unión de todas las G m consta de todos los puntos de R n excepto x. Dado que x K cada punto de K pertenece a algún G m. Debido a la compacidad m de K, se infiere que existe M N tal que K G i. Dado que los conjuntos G m incrementan con m, K G m de donde la vecindad {z R n z x < m } no intercepta a K demostrando que K c es abierto. K es cerrado. 2. K compacto implica K es acotado. Demostración: Sea H m = {x R n x < m todo el espacio R n y por tanto K está contenido en la unión de los conjuntos crecientes, H m m N. Dado que K es compacto existe M N tal que K H m por lo que K esta acotado. Para completar la demostración de este teorema se necesita probar que si K es un subconjunto cerrado y acotado contenido en la unión de una colección g = {G α } de conjuntos abiertos en R n, entonces está contenido en la unión de algún número finito de conjuntos de g. 4

5 Dado que K esta acotado, encontramos un punto de acumulación de K, como K es cerrado y K y esta en alguna celda abierta, por lo tanto existe ε > 0 tal que para cada w con y w < ε en la celda abierta y si suponemos que g = {G α } no admite un subrecubrimiento finito llegamos a una contradicción. Hallamos asi una celda [a k, b k ]... [a ki, b ki ] que esta contenia en una vecindad del punto de acumulación y y además [a k, b k ]... [a ki, b ki ] admite un subrecubrimiento finito 5

Espacios Topológicos 1. Punto de Acumulación. Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A (A a Notación).

Espacios Topológicos 1. Punto de Acumulación. Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A (A a Notación). Espacios Topológicos 1 Punto de Acumulación Definición: Sea A un subconjunto arbitrario de R n, se dice que x R n es un punto de acumulación de A si toda bola abierta con centro x contiene un punto A distinto

Más detalles

Sucesiones en R n. Ejemplos.-Considerando el espacio R 2 sea la sucesión {x k } 1 dada por x k = ( k, 1 k) podemos listar como sigue:

Sucesiones en R n. Ejemplos.-Considerando el espacio R 2 sea la sucesión {x k } 1 dada por x k = ( k, 1 k) podemos listar como sigue: Sucesiones en R n Definición. Una sucesión en R n es cualquier lista infinita de vectores en R n x, x,..., x,... algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión x, x,...,

Más detalles

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Topología

- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Topología - Fernando Sánchez - - 6 Topología Cálculo I en R 26 10 2015 Elementos de la topología en R. Una topología en un conjunto da un criterio para poder hablar de proximidad entre los elementos de un conjunto.

Más detalles

Funciones integrables en R n

Funciones integrables en R n Capítulo 1 Funciones integrables en R n Sean un subconjunto acotado de R n, y f : R una función acotada. Sea R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] un rectángulo que contenga a. Siempre puede suponerse que f está

Más detalles

Por ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}

Por ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R} Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.

Más detalles

Teoremas de Convergencia

Teoremas de Convergencia Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y

Más detalles

Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión

Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada

Más detalles

Una topología de los números naturales*

Una topología de los números naturales* Una topología de los números naturales* Divulgación Gabriel Ruiz Hernández Instituto de Matemáticas, UNAM 1 de septimebre de 1997 resumen En este trabajo vamos a describir un espacio topológico X con las

Más detalles

1. Sucesiones y redes.

1. Sucesiones y redes. 1. Sucesiones y redes. PRACTICO 7. REDES. Se ha visto que el concepto de sucesión no permite caracterizar algunas nociones topológicas, salvo en espacios métricos. Esto empieza con algunas definiciones

Más detalles

Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.

Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto

Más detalles

Recordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos.

Recordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos. Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre

Más detalles

Límites Laterales. El límite por la derecha se denota. x 2 + x 2 = 1. x 2. x + x 2. x = x + x 2. El límite por la izquierda se denota

Límites Laterales. El límite por la derecha se denota. x 2 + x 2 = 1. x 2. x + x 2. x = x + x 2. El límite por la izquierda se denota Límites Laterales Denición. Si f : D R R y x 0 es un punto de D, decimos que l d es ite de f en x 0 por la derecha si ɛ > 0 δ ɛ > 0 f(x) l d < ɛ si 0 < x x 0 < δ ɛ ɛ > 0 δ ɛ > 0 f(x) l d < ɛ si x 0 < x

Más detalles

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones

Semana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará

Más detalles

Continuidad. 5.1 Continuidad en un punto

Continuidad. 5.1 Continuidad en un punto Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos

Más detalles

Sucesiones y Suma Finita

Sucesiones y Suma Finita Sucesiones y Suma Finita Hermes Pantoja Carhuavilca Centro Pre-Universitario CEPRE-UNI Universidad Nacional de Ingeniería Algebra Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21 CONTENIDO Convergencia de una sucesión

Más detalles

Subconjuntos notables de un Espacio Topológico

Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 34 Capítulo 4 Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 4.1 Adherencia Definición 4.1.1 (Punto adherente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto de X. Diremos que x X es un punto

Más detalles

Espacios conexos. Capítulo Conexidad

Espacios conexos. Capítulo Conexidad Capítulo 5 Espacios conexos 1. Conexidad En este capítulo exploraremos el concepto de conexidad en un espacio métrico, y estudiaremos algunas de sus aplicaciones. Definición 5.1. Decimos que el espacio

Más detalles

y tenemos que f(x) > M < 1 M 1 f(x) < 1 M 3x 5 (x 2) 2 = +

y tenemos que f(x) > M < 1 M 1 f(x) < 1 M 3x 5 (x 2) 2 = + Teorema. Suponga que f() > 0 ( 0 δ, 0 + δ) donde 0 es punto de acumulación del Dom f, Demostración. ( ) Supongamos que esto quiere decir f() = + 0 f() = + 0 0 M > 0 R δ > 0 A con 0 < 0 < δ f() > M si M

Más detalles

1. Construcción de la Integral

1. Construcción de la Integral 1. Construcción de la Integral La integral de Riemann en R n es una generalización de la integral de funciones de una variable. La definición que vamos a dar reproduce el método de Darboux para funciones

Más detalles

Axiomas de separación

Axiomas de separación CAPíTULO 6 Axiomas de separación Tema 1. Axiomas de separación: conceptos básicos El objetivo de este capítulo es considerar ciertas propiedades topológicas que comparten algunos espacios topológicos y

Más detalles

Funciones de Clase C 1

Funciones de Clase C 1 Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,

Más detalles

Espacios topológicos. 3.1 Espacio topológico

Espacios topológicos. 3.1 Espacio topológico Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes

Más detalles

1 Números reales. Funciones y continuidad.

1 Números reales. Funciones y continuidad. 1 Números reales. Funciones y continuidad. En este tema nos centraremos en el estudio de la continuidad de funciones reales, es decir, funciones de variable real y valor real. Por ello es esencial en primer

Más detalles

Límite superior y límite inferior de una sucesión

Límite superior y límite inferior de una sucesión Límite superior y límite inferior de una sucesión Objetivos. Definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión y estudiar sus propiedades básicas. Requisitos. Supremo e ínfimo de

Más detalles

Teorema del valor medio

Teorema del valor medio Práctica 6 - Parte 1 Teorema del valor medio El teorema del valor medio para derivadas (o teorema de Lagrange) es un resultado central en la teoría de funciones reales. Este teorema relaciona valores de

Más detalles

Las particiones y el Teorema de Bolzano

Las particiones y el Teorema de Bolzano Miscelánea Matemática 41 (005) 1 7 SMM Las particiones y el Teorema de Bolzano Carlos Bosch Giral Departamento de Matemáticas ITAM Río Hondo # 1 Tizapán San Angel 01000 México D.F. México bosch@itam.mx

Más detalles

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales

Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.

Más detalles

Sucesiones Introducción

Sucesiones Introducción Temas Límites de sucesiones. convergentes. Sucesiones divergentes. Sucesiones Capacidades Conocer y manejar conceptos de sucesiones convergentes y divergentes. Conocer las principales propiedades de las

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad Límite funcional 6 6. Límite funcional 79 6.2 Límites infinitos y en el infinito 8 6.3 Cálculo de límites 83 6.4 Continuidad 84 6.5 Teorema del valor intermedio 87 6.6 Monotonía 89 6.7 Ejercicios 9 La

Más detalles

Integrales múltiples

Integrales múltiples ntegrales múltiples Cálculo (2003) El objetivo de este capítulo es definir y aprender a calcular integrales de funciones reales de varias variables, que llamamos integrales múltiples. Las motivación más

Más detalles

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros

ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto

Más detalles

Análisis Matemático I: La integral de Riemann

Análisis Matemático I: La integral de Riemann Contents : La integral de Riemann Universidad de Murcia Curso 2006-2007 Contents 1 Definición de la integral y propiedades Objetivos Definición de la integral y propiedades Objetivos 1 Definir y entender

Más detalles

1. Convergencia en medida

1. Convergencia en medida FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA3801 Teoría de la Medida. Semestre 2009-02 Profesor: Jaime San Martín Auxiliares: Andrés Fielbaum y Cristóbal Guzmán Clase auxiliar 7 21 de Septiembre

Más detalles

Conjuntos Medibles. Preliminares

Conjuntos Medibles. Preliminares Capítulo 18 Conjuntos Medibles Preliminares En el capítulo anterior vimos que la medida exterior de Lebesgue no resulta σ-aditiva en todo R n. Ahora vamos a construir una familia M de subconjuntos de R

Más detalles

Demostraciones a Teoremas de Límites

Demostraciones a Teoremas de Límites Demostraciones a Teoremas de Límites Programa de Bachillerato.Universidad de Chile. Otoño, 009 En esta sección solo daremos los fundamentos teóricos que nos permiten resolver los problemas que se nos plantean,

Más detalles

4. " $#%&' (#) para todo $#* (desigualdad triangular).

4.  $#%&' (#) para todo $#* (desigualdad triangular). 10 Capítulo 2 Espacios Métricos 21 Distancias y espacios métricos Definición 211 (Distancia) Dado un conjunto, una distancia es una aplicación que a cada par le asocia un número real y que cumple los siguientes

Más detalles

MÁS REFLEXIONES SOBRE CONJUNTOS ESTRELLADOS: LA FÁBRICA DE CONTRAEJEMPLOS

MÁS REFLEXIONES SOBRE CONJUNTOS ESTRELLADOS: LA FÁBRICA DE CONTRAEJEMPLOS MÁS REFLEXIONES SOBRE CONJUNTOS ESTRELLADOS: LA FÁBRICA DE CONTRAEJEMPLOS Comunicación efectuada por el Dr. Guillermo Hansen en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires en la sesión privada extraordinaria

Más detalles

1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS.

1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. UNIDAD 1.- CONCEPTOS REQUERIDOS CONJUNTOS. AXIOMAS DE PERTENENCIA, PARALELISMO, ORDEN Y PARTICIÓN. 1 NOCIONES BÁSICAS SOBRE CONJUNTOS. SÍMBOLOS. 1.1 Determinaciones de un conjunto. Un conjunto queda determinado

Más detalles

Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes

Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes Tema XIV: SUCESIONES Y SERIES DE NÚMEROS REALES XIV.1. Sucesiones. Sucesiones convergentes 1. Sucesiones DEF. Una sucesión infinita de números reales es una función cuyo dominio es N y su imagen un subconjunto

Más detalles

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal.

Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal. Álgebra Lineal VII: Independencia Lineal José María Rico Martínez Departamento de Ingeniería Mecánica División de Ingenierías, Campus Irapuato-Salamanca Universidad de Guanajuato email: jrico@salamancaugtomx

Más detalles

Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral

Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral Capítulo 8 Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral En este capítulo estudiaremos sucintamente bajo qué circunstancias puede intercambiarse el orden de la integral con las operaciones

Más detalles

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu

Conjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también

Más detalles

Dependencia e independencia lineal

Dependencia e independencia lineal CAPíTULO 3 Dependencia e independencia lineal En este capítulo estudiaremos tres conceptos de gran importancia para el desarrollo del álgebra lineal: el concepto de conjunto generador, el concepto de conjunto

Más detalles

El Teorema Fundamental del Álgebra

El Teorema Fundamental del Álgebra El Teorema Fundamental del Álgebra 1. Repaso de polinomios Definiciones básicas Un monomio en una indeterminada x es una expresión de la forma ax n que representa el producto de un número, a, por una potencia

Más detalles

Estructuras Algebraicas

Estructuras Algebraicas Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos

Más detalles

TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS

TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS TEMA 1. NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 1.1 DEFINICIÓN AXIOMATICA DE LOS NÚMEROS REALES 1.1.1 Axiomas de cuerpo En admitimos la existencia de dos operaciones internas la suma y el producto, con estas operaciones

Más detalles

Límites y continuidad

Límites y continuidad 9 Matemáticas I : Cálculo diferencial en IR Tema 9 Límites y continuidad 9. Límite y continuidad de una función en un punto Definición 9.- Un punto IR se dice punto de acumulación de un conjunto A si,

Más detalles

A partir de la definición obtenemos las siguientes propiedades para estas funciones:

A partir de la definición obtenemos las siguientes propiedades para estas funciones: Capítulo 1 Conjuntos Supondremos conocidas las nociones básicas sobre teoría de conjuntos, tales como subconjuntos, elementos, unión, intersección, complemento, diferencia, diferencia simétrica, propiedades

Más detalles

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos

ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Tópicos previos Para tomar el curso de ecuaciones en derivadas parciales es importante la familiaridad del alumno con los conceptos que se detallan a continuación. Sugerimos

Más detalles

Seminario de problemas-eso. Curso Hoja 10

Seminario de problemas-eso. Curso Hoja 10 Seminario de problemas-eso. Curso 011-1. Hoja 10 5. Dado un triángulo cualquiera, demuestra que es posible recubrir el plano con infinitos triángulos iguales al dado, de forma que estos triángulos no se

Más detalles

Cálculo Diferencial en una Variable

Cálculo Diferencial en una Variable UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS Cálculo Diferencial en una Variable Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Febrero

Más detalles

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad

Relaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean

Más detalles

Sucesiones y series de números reales

Sucesiones y series de números reales Capítulo 2 Sucesiones y series de números reales 2.. Sucesiones de números reales 2... Introducción Definición 2... Llamamos sucesión de números reales a una función f : N R, n f(n) = x n. Habitualmente

Más detalles

Algebra lineal y conjuntos convexos

Algebra lineal y conjuntos convexos Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar

Más detalles

TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y

TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos

Más detalles

José Luis Navarro Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza

José Luis Navarro Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza TOPOLOGÍA GENERAL II José Luis Navarro Departamento de Matemáticas Universidad de Zaragoza (1) Introducción (2) Topología Producto (3) Topología Cociente (4) Separación (5) Compacidad (6) Conexión (7)

Más detalles

Tema 3: Cálculo de Probabilidades. Métodos Estadísticos

Tema 3: Cálculo de Probabilidades. Métodos Estadísticos Tema 3: Cálculo de Probabilidades Métodos Estadísticos 2 INTRODUCCIÓN Qué es la probabilidad? Es la creencia en la ocurrencia de un evento o suceso. Ejemplos de sucesos probables: Sacar cara en una moneda.

Más detalles

EL CUERPO ORDENADO REALES

EL CUERPO ORDENADO REALES CAPÍTULO I. EL CUERPO ORDENADO DE LOS NÚMEROS REALES SECCIONES A. Elementos notables en R. B. Congruencias. Conjuntos numerables. C. Método de inducción completa. D. Desigualdades y valor absoluto. E.

Más detalles

Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte

Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 2: Inducción y Recursión 1 / 20 Motivación

Más detalles

Notas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.

Notas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam. Notas de Análisis Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.mx Marzo del 2005 2 Contenido 1 Topología de espacios métricos

Más detalles

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.

(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N. TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas

Más detalles

Minicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 2014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana

Minicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 2014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana Minicurso de Teoría de Gráficas Escuela de Verano 014 por María Luisa Pérez Seguí Facultad de Ciencias Físico-Matemáticas, Universidad Michoacana Índice 1. Conceptos básicos 1 1.1. Nomenclatura...................................

Más detalles

CÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II

CÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier

Más detalles

Semana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones

Semana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones Semana05[1/14] 28 de marzo de 2007 Introducción Semana05[2/14] Ya en los capítulos anteriores nos acercamos al concepto de relación. Relación Dados un par de conjuntos no vacíos A y B, llamaremos relación

Más detalles

BLOQUE 1. LOS NÚMEROS

BLOQUE 1. LOS NÚMEROS BLOQUE 1. LOS NÚMEROS Números naturales, enteros y racionales. El número real. Intervalos. Valor absoluto. Tanto el Cálculo como el Álgebra que estudiaremos en esta asignatura, descansan en los números

Más detalles

Regla de la Potencia para la Integración

Regla de la Potencia para la Integración Regla de la Potencia para la Integración Ejercicios. Calcule cada integral y compruebe los resultados derivando 1. Si comparamos con la definición entonces y Si derivamos obtenemos 2. Para que tenga la

Más detalles

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices

Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una

Más detalles

IIC2213. IIC2213 Teorías 1 / 42

IIC2213. IIC2213 Teorías 1 / 42 Teorías IIC2213 IIC2213 Teorías 1 / 42 Qué es una teoría? Una teoría es un cúmulo de información. Debe estar libre de contradicciones. Debe ser cerrada con respecto a lo que se puede deducir de ella. Inicialmente

Más detalles

CAPÍTULO II TEORÍA DE CONJUNTOS

CAPÍTULO II TEORÍA DE CONJUNTOS TEORÍ DE ONJUNTOS 25 PÍTULO II TEORÍ DE ONJUNTOS 2.2 INTRODUIÓN Denotaremos los conjuntos con letras mayúsculas y sus elementos con letras minúsculas, si un elemento p pertenece a un conjunto escribiremos

Más detalles

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 10

Funciones convexas Definición de función convexa. Tema 10 Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en

Más detalles

El Autómata con Pila: Transiciones

El Autómata con Pila: Transiciones El Autómata con Pila: Transiciones El Espacio de Configuraciones Universidad de Cantabria Esquema Introducción 1 Introducción 2 3 Transiciones Necesitamos ahora definir, paso por paso, como se comporta

Más detalles

Cálculo infinitesimal de varias variables reales Volumen 2

Cálculo infinitesimal de varias variables reales Volumen 2 Cálculo infinitesimal de varias variables reales Volumen 2 C Gabriel D. Villa alvador Departamento de Control utomático Centro de Investigación y de Estudios vanzados del I.P.N. Contenido Contenido Prefacio

Más detalles

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21

Algebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21 Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

Más detalles

Divergencia de sucesiones

Divergencia de sucesiones Tema 7 Divergencia de sucesiones Nuestro próximo objetivo es prestar atención a ciertas sucesiones no acotadas de números reales, ue llamaremos sucesiones divergentes. Estudiaremos su relación con los

Más detalles

Un grafo G = (V, E) se dice finito si V es un conjunto finito.

Un grafo G = (V, E) se dice finito si V es un conjunto finito. 1 Grafos: Primeras definiciones Definición 1.1 Un grafo G se define como un par (V, E), donde V es un conjunto cuyos elementos son denominados vértices o nodos y E es un subconjunto de pares no ordenados

Más detalles

si este límite es finito, y en este caso decimos que f es integrable (impropia)

si este límite es finito, y en este caso decimos que f es integrable (impropia) Capítulo 6 Integrales impropias menudo resulta útil poder integrar funciones que no son acotadas, e incluso integrarlas sobre recintos no acotados. En este capítulo desarrollaremos brevemente una teoría

Más detalles

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre

Más detalles

Espacios vectoriales reales.

Espacios vectoriales reales. Tema 3 Espacios vectoriales reales. 3.1 Espacios vectoriales. Definición 3.1 Un espacio vectorial real V es un conjunto de elementos denominados vectores, junto con dos operaciones, una que recibe el nombre

Más detalles

1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido

1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña

Más detalles

Análisis IV. Joaquín M. Ortega Aramburu

Análisis IV. Joaquín M. Ortega Aramburu Análisis IV Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en Julio de 2001 2 Índice General 1 Integral de Riemann 5 1.1 Integración de Riemann............................... 5 1.2 Contenido

Más detalles

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0),

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), NÚMEROS COMPLEJOS 1. Preliminares Definición. Se llama número complejo a todo par ordenado de números reales. Si z = (a, b) es un número complejo, se dice que a es la parte real de z y b es la parte imaginaria

Más detalles

MOOC UJI: La Probabilidad en las PAU

MOOC UJI: La Probabilidad en las PAU 4. Probabilidad Condicionada: Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes 4.1. Probabilidad Condicionada Vamos a estudiar como cambia la probabilidad de un suceso A cuando sabemos que ha ocurrido otro

Más detalles

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2.

Evidentemente, la superficie es un triángulo rectángulo de base 1 y altura también la unidad, por tanto su área es 1/2. LA INTEGRAL DEFINIDA En los dos temas anteriores se ha hecho el estudio de las primitivas de una función, descubriendo distintos procedimientos para el cálculo de primitivas, es decir, se han encontrado

Más detalles

Inducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS. Números naturales. Inducción matemática

Inducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS. Números naturales. Inducción matemática Inducción en definiciones y demostraciones AUTÓMATAS Y LENGUAJES FORMALES PRELIMINARES MATEMÁTICOS Francisco Hernández Quiroz Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias, UNAM E-mail: fhq@ciencias.unam.mx

Más detalles

Cardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.

Cardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable. Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de

Más detalles

Álgebras de Boole. Definición 1 Un álgebra de Boole es un conjunto parcialmente ordenado (B, ) que verifica las siguientes condiciones:

Álgebras de Boole. Definición 1 Un álgebra de Boole es un conjunto parcialmente ordenado (B, ) que verifica las siguientes condiciones: Álgebras de Boole Sea (P, ) un conjunto parcialmente ordenado y sea S un subconjunto de P. Una cota superior de S es un elemento c P tal que s c para todo s S. Una cota inferior de S es un elemento d P

Más detalles

Introducción a la topología

Introducción a la topología Introducción a la topología Beatriz Abadie CENTRO DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA Agosto de 2013 i Índice general Capítulo 1. Elementos de la teoría de conjuntos 1 1.1.

Más detalles

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Unidad V. 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Unidad V Aplicaciones de la derivada 5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales. Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma

Más detalles

CURSOS DE MATEMÁTICAS

CURSOS DE MATEMÁTICAS CURSOS DE MATEMÁTICAS Relaciones de equivalencia FERNANDO REVILLA http://www.fernandorevilla.es Jefe del Departamento de Matemáticas del IES Santa Teresa de Madrid y profesor de Métodos Matemáticos de

Más detalles

Sigma-álgebras. Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos.

Sigma-álgebras. Requisitos. Operaciones con conjuntos, operaciones con familias de conjuntos. Sigma-álgebras Objetivos. Definir la noción de σ-álgebra y estudiar sus propiedades básicas. Definir la noción de σ-álgebra generada por un conjunto de conjuntos. Requisitos. Operaciones con conjuntos,

Más detalles

TRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS

TRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS TRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS Introducción.- Anteriormente, a partir de la congruencia de triángulos, hemos estudiado las condiciones que han de verificarse para que dos

Más detalles

Reglas de l Hôpital Teorema del Valor Medio Generalizado. Tema 7

Reglas de l Hôpital Teorema del Valor Medio Generalizado. Tema 7 Tema 7 Reglas de l Hôpital Estudiamos en este tema el método práctico más efectivo para calcular ites de funciones en los que se presenta una indeterminación del tipo [0/0], o [ / ]. Este método se atribuye

Más detalles

SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES

SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES SESIÓN 4: ESPACIOS VECTORIALES Un espacio vectorial sobre un campo (como el cuerpo de los números reales o los números complejos) es un conjunto no vacío, dotado de dos operaciones para las cuales será

Más detalles

Lenguajes Regulares. Antonio Falcó. - p. 1

Lenguajes Regulares. Antonio Falcó. - p. 1 Lenguajes Regulares Antonio Falcó - p. 1 Cadenas o palabras I Una cadena o palabra es una sucesión finita de símbolos. cadena {c, a, d, e, n}. 10001 {0, 1} El conjunto de símbolos que empleamos para construir

Más detalles

Introducción. El uso de los símbolos en matemáticas.

Introducción. El uso de los símbolos en matemáticas. Introducción El uso de los símbolos en matemáticas. En el estudio de las matemáticas lo primero que necesitamos es conocer su lenguaje y, en particular, sus símbolos. Algunos símbolos, que reciben el nombre

Más detalles

4.12 Ciertos teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades

4.12 Ciertos teoremas fundamentales del cálculo de probabilidades 1 de 9 15/10/2006 05:57 a.m. Nodo Raíz: 4. Cálculo de probabilidades y variables Siguiente: 4.14 Tests diagnósticos Previo: 4.10 Probabilidad condicionada e independencia de 4.12 Ciertos teoremas fundamentales

Más detalles

5. Integrales dobles de Riemann.

5. Integrales dobles de Riemann. 68 Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 5. Integrales dobles de Riemann. El desarrollo de la teoría de integrales múltiples de Riemann lo haremos con

Más detalles

Conjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO

Conjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada

Más detalles

Índice general 1. El Espacio Normado 2. La Diferencial de Fréchet 3. Teoremas de Taylor

Índice general 1. El Espacio Normado 2. La Diferencial de Fréchet 3. Teoremas de Taylor Índice general 1. El Espacio Normado R n 1 1. Normas equivalentes....................... 6 2. Continuidad y limites de funciones............... 9 2.1. Reglas de cálculo para límites.............. 13 2.2.

Más detalles

Kolmogorov y la teoría de la la probabilidad. David Nualart. Academia de Ciencias y Universidad de Barcelona

Kolmogorov y la teoría de la la probabilidad. David Nualart. Academia de Ciencias y Universidad de Barcelona Kolmogorov y la teoría de la la probabilidad David Nualart Academia de Ciencias y Universidad de Barcelona 1 La axiomatización del cálculo de probabilidades A. N. Kolmogorov: Grundbegriffe des Wahrscheinlichkeitsrechnung

Más detalles