TRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS

Transcripción

1 TRIÁNGULOS: RELACIONES DE DESIGUALDAD ENTRE SEGMENTOS Y ÁNGULOS Introducción.- Anteriormente, a partir de la congruencia de triángulos, hemos estudiado las condiciones que han de verificarse para que dos ángulos o dos lados de un triángulo, sean congruentes. Ahora, veremos cuando podemos afirmar que un ángulo o lado de un triángulo es mayor que otro. Para ello utilizaremos la medida de los ángulos y los segmentos y las propiedades de los números reales. Def.1.- Decimos que un segmento AB es menor que otro segmento CD, cuando la longitud de AB es menor que la longitud de CD. Lo expresaremos así: AB < CD. Def.2.- Decimos que un ángulo ^A es menor que otro ángulo ^B, si la medida de ^A es menor que la medida de ^B. Lo expresaremos ^A<^B. Tª.1.- de las partes (1) Si D AB y A-D-B, entonces AB>AD y AB>DB. (2) Si D es un punto del ^ABC que no pertenece a sus lados, entonces: ^ABC>^ABD y ^ABC>^DBC. (1) Si A-D-B entonces d(a,b) = d(a,d) + d(d,b). Como d(a,d) y d(d,b) son números positivos, por la propiedad de los números reales: si a = b+c, c>0 1a>b, tenemos que d(a,b) > d(a,d) y d(a,b) > d(d,b). Lo cual, por definición equivale a decir: AB>AD y AB >DB. (2) Por el axioma de adición de ángulos, se verifica: m ^ABC = m ^ABD + m ^DBC; puesto que la medida de un ángulo es un número positivo y por la propiedad de los números reales antes mencionada, se deduce que m ^ABC > m ^ABD y m ^ABC > m ^DBC. Lo cual, por definición, equivale a decir: ^ABC > ^ABD y ^ABC > ^DBC. ÁNGULO EXTERIOR DE UN TRIÁNGULO Def.3.- Dado un triángulo ABC, se dice que el ángulo ^DCB es un ángulo exterior del triángulo ABC, si A-C-D. LLamaremos a ^DCB = ext.^c. 46

2 Fijándonos en la definición anterior, podemos decir: ^DCB es ext.c si ^DCB es adyacente de ^C. Por este motivo podemos definir también: Def.4.- Un ángulo que sea adyacente a un ángulo de un triángulo, se dice que es un ángulo exterior de dicho triángulo. Tenemos que los ángulos exteriores son 6, y vienen representados por tres pares de ángulos opuestos por el vértice, por lo que son congruentes los ángulos de cada par: β α Def.5.- Dado un triángulo ABC, llamamos ángulos interiores no adyacentes de los ángulos exteriores con vértice en C, a los ángulos ^A y ^B. ^A y ^B son los ángulos interiores no adyacentes de ^α y ^β. Análogamente, ^A y ^C son los ángulos interiores no adyacentes correspondientes a los ángulos exteriores de vértice B; y ^B, ^C, son los ángulos interiores no adyacentes, correspondientes a los ángulos exteriores de vértice A. 47

3 Tª.2.- del ángulo exterior Cualquier ángulo exterior de un triángulo, es mayor que cada uno de sus ángulos interiores no adyacentes. Dado el triángulo ABC, sean ^α y ^β los ángulos exteriores correspondientes al vértice C. Veamos que ^α> ^B. (Análogamente se comprobaría que ^α> ^A) β α Considero el segmento BC, sea M su punto medio. Trazamos la recta AM, y en la semirrecta opuesta a la M A, consideramos un punto N tal que MN AM (por el teorema del punto fijo). Trazamos NC, y por axioma LAL, tenemos que AMB NMC, luego es ^B ^MCN, y como ^α > ^MCN (por el teorema de las partes), deducimos que ^α> ^B. Corolario.- Si un triángulo tiene un ángulo recto, sus otros dos ángulos son agudos. inmediata. Ejercicio.- Como corolario del teorema precedente, demostrar la unicidad de la perpendicular a una recta por un punto exterior a ella. Ejercicio.- Demostrar que la suma de las medidas de dos ángulos cualesquiera de un triángulo, es menor que

4 TEOREMAS DE CONGRUENCIA BASADOS EN EL TEOREMA DEL ÁNGULO EXTERIOR Def.6.- Dados los triángulos ABC, A'B'C' y una correspondencia entre ellos ABC A'B'C' tal que: un par de lados correspondientes son congruentes y dos pares de ángulos correspondientes son congruentes, entonces la correspondencia se dice que es una correspondencia LAA (lado, ángulo, ángulo). Tª.3.- Teorema de LAA Toda correspondencia LAA es una congruencia. Si los ángulos congruentes son los adyacentes al lado congruente, entonces la correspondencia sería ALA, que sabemos que es una congruencia. Por tanto, suponemos, para hacer la demostración, que no se da la situación ALA. Supondremos, por ejemplo, que se da la situación indicada en la figura anterior. Veamos pues que si ^A ^A', ^B ^B' y AC A' C' entonces ABC A'B'C': considerando los segmentos AB y A 'B', pueden ocurrir (1) AB A 'B' ; (2) AB < A 'B' y (3) AB > A 'B'. Supongamos que se verifica (1), entonces la correspondencia dada es una correspondencia LAL, y por tanto, los triángulos son congruentes. Si se verifica (2), consideremos el segmento A 'B' y la semirrecta A B, entonces (por teorema del punto fijo) existe B'' A B tal que AB '' A 'B'. 49

5 Entonces, por axioma LAL, AB''C A'B'C'. Luego ^AB''C ^A'B'C', pero como ^ABC ^A'B'C', tenemos que ^AB''C ^ABC. Pero ^ABC es un ángulo exterior de BB''C, luego por el teorema del ángulo exterior, ^ABC > ^AB''C, que es una contradicción. De forma análoga veríamos que el supuesto (3) también es imposible. Luego la única posibilidad es (1), y por axioma LAL, es ABC A'B'C'. Ya vimos antes que una correspondencia LLA no es necesariamente una congruencia. Vemos ahora qué ocurre con los triángulos rectángulos: Tª.4.- Teorema del cateto-hipotenusa Una correspondencia entre dos triángulos rectángulos, tal que la hipotenusa y uno de los catetos son congruentes con los lados correspondientes del segundo triángulo, entonces la correspondencia es una congruencia. Dados ABC y A'B'C', tales que ^A ^A' 90, verifica que ABC A'B'C'. AB A'B' y BC B' C' entonces se Consideremos el segmento AC y la semirrecta opuesta a la A' C, por el teorema del punto fijo, existe C'' perteneciente a la semirrecta opuesta a A' C tal que A ' C' ' AC. Construimos el segmento B ' C' '. Como ^C''A'B' es el ángulo suplementario al ^C'A'B', y éste es recto, tenemos que ^C''A'B' es recto. 50

6 Aplicando LAL, tenemos que ABC A'B'C'' por lo que BC B' C' '. Pero como BC B' C' entonces B ' C' ' B' C'. Luego C''B'C' es un triángulo isósceles y por tanto ^C'' ^C', de donde A'B'C'' A'B'C', por LAA. Pero ABC A B C y por tanto ABC A B C. DESIGUALDADES EN UN TRIÁNGULO Tª.5.- Si dos lados de un triángulo no son congruentes, entonces los ángulos opuestos a ellos tampoco son congruentes, y a mayor lado se opone mayor ángulo. Dado el ABC, si AB > AC veamos que ^C > ^B. Consideremos AB y A C, entonces existe D A C tal que AB AD. Trazamos BD, como AB AD, entonces ABD es isósceles y tenemos que ^ABD ^ADB. Puesto que AB AD y AB > AC tenemos que AD > AC lo que nos indica que C está entre A y D. Luego por el axioma de la suma de ángulos tenemos que: m(^abd) = m(^abc) + m(^cbd) m(^abd) > m(^abc) ^ABC < ^ABD. Pero ^ABD ^ADB luego ^ABC < ^ADB y como ^ACB es ángulo exterior del triángulo DBC, tenemos que ^ACB > ^ADB > ^ABC ^ACB > ^ABC. Tª.6.- Si dos ángulos de un triángulo no son congruentes, entonces los lados opuestoa a ellos tampoco lo son, y a mayor ángulo se opones mayor lado. 51

7 Dado un triángulo ABC, si ^B > ^C entonces AC > AB, ya que los segmentos AC y AB pueden verificar: (1) AC < AB ; (2) AC AB y (3) AC > AB. Si ocurre (1), por el teorema anterior, tendríamos ^B < ^C, contradicción. Si ocurre (2), ABC es isósceles ^B ^C, lo cual contradice la hipótesis. Por tanto se verifica (3). DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA Tª.7.- Primer teorema del mínimo Sea r una recta, y P un punto que no está en r. Entonces el menor segmento de extremos P y un punto de r es el segmento perpendicular de P a r. Expresado en otras palabras, lo que queremos probar es que si P es un punto exterior a una recta r, y el segmento PQ, Q r, es perpendicular a r, entonces PQ < PR, para todo R que pertenezca a r. Sabemos que existe una única perpendicular a r por P. LLamamos Q a la intersección de la perpendicular con r. Tomamos cualquier otro punto R r, y consideramos el triángulo PQR, que tiene en Q un ángulo recto ^R es agudo. Luego aplicando el teorema 6, PR > PQ. 52

8 Nota.- La distancia d(p, Q), recibe el nombre de mínima distancia de P a r. Def.7.- La distancia de una recta a un punto exterior a ella, es la longitud del segmento perpendicular del punto a la recta. La distancia de una recta a un punto de ella es nula. Se puede ver otra definición de distancia de un punto a una recta, usando la definición de proyección ortogonal: Def.8.- Sea r π. Se llama proyección ortogonal sobre la recta r, a la aplicación que asocia a cada punto X del plano π el punto X', siendo X' el punto de intersección de r con la perpendicular a r trazada por X. Con este concepto podemos definir la distancia de un punto a una recta, d(x, r) = d(x, X'), siendo X' la proyección ortogonal de X sobre r. Tª.8.- Desigualdad triangular La suma de las longitudes de dos lados cualesquiera de un triángulo, es mayor que la longitud del tercer lado. 53

9 En cualquier triángulo ABC, se verifica d(a,c) < d(a,b) + d(b,c). Consideremos la semirrecta opuesta a la B C, y el segmento AB,entonces, en dicha semirrecta, por el teorema del punto fijo, existe un punto D tal que BD AB d(b,d) = d(a,b). Luego d(d,c) = d(d,b) + d(b,c), pues B está entre D y C, de donde d(d,c) = d(a,b) + d(b,c). Pero B es un punto del ángulo ^DAC, que no pertenece a sus lados, luego tenemos que m(^dac) = m(^dab) + m(^bac), por el axioma de adición de ángulos, y por el teorema de las partes, m(^dac) > m(^dab). Pero DAB es isósceles ^ADB ^DAB m(^dac) > m(^adb). El teorema 6 aplicado a ADC, permite afirmar que d(d,c) > d(a,c), y como d(d,c) = d(a,b) + d(b,c), tenemos que d(a,b) + d(b,c) > d(a,c). Nota.- Dados tres puntos A,B y C, puede ocurrir que: a) estén alineados, p. e. A-B-C, entonces d(a,c) = d(a,b) + d(b,c). O bien b) no estén alineados, entonces d(a,c) < d(a,b) + d(b,c). Por tanto, en general se verifica que d(a,c) d(a,b) + d(b,c). Ejercicio.- Probar que la longitud de cualquier lado de un triángulo es mayor que la diferencia de las longitudes de los otros dos lados. TEOREMA DE LA BISAGRA Y SU RECÍPROCO Si consideramos dos palos unidos por una bisagra en uno de sus extremos, y los otros extremos los unimos con una goma elástica, observamos que al abrir más la bisagra, mayor es la longitud dela goma elástica. Este hecho experimental da lugar al siguiente 54

10 Tª.9.- de la bisagra Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, a dos lados de un segundo triángulo, y el ángulo comprendido del primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido del segundo triángulo, entonces el lado opuesto del primer triángulo es mayor que el lado opuesto del segundo triángulo. Sean dos triángulos ABC y A'B'C', tales que: AB A' B' ; AC A' C' y ^A>^A, entonces BC > B' C'. Como ^A > ^A', dado el ángulo ^A', la semirrecta A C y el semiplano de recta borde AC que contiene a B, entonces sabemos que existe A Q única tal que ^A Q A C ^QAC ^A'. Además Q ^A. Ahora consideramos la semirrecta A Q y el segmento A 'B', entonces por el teorema del punto fijo, existe P A Q tal que congruentes por LAL. AP A'B'. Los triángulos APC y A'B'C' son 55

11 Calculamos ahora la bisectriz del ángulo ^BAP, y llamamos M al punto de corte (?) de la bisectriz con BC. Tenemos que BAM PAM puesto que AB AP ; AM AM y ^BAM ^MAP. Luego MB MP. Ahora aplicamos la desigualdad triangular en CPM: d(c,p) < d(c,m) + d(m,p) = d(c,m) + d(m,b) = d(c,b) pero d(c,p) = d(c,b ), luego B ' C' < BC. Recíprocamente Tª.10.- Si dos lados de un triángulo son congruentes, respectivamente, a dos lados de un segundo triángulo, y el tercer lado del primer triángulo es mayor que el tercer lado del segundo triángulo, entonces el ángulo comprendido del primer triángulo es mayor que el ángulo comprendido del segundo triángulo. Dados ABC y A'B'C', si puesto que si no fuera así, sería: AB A'B' ; BC B' C' y AC > A ' C', veamos que ^B > ^B', (1) ^B ^B', pero entonces por LAL son congruentes los triángulos ABC y A'B'C' AC A' C'. Que contradice la hipótesis. (2) ^B < ^B', entonces por el teorema anterior sería AC < A ' C', lo cual, de nuevo, es una contradicción. Luego se verifica ^B > ^B'. ALTURAS DE UN TRIÁNGULO En las siguientes figuras, el segmento BD es una altura del triángulo ABC: 56

12 En ambos casos, BD es perpendicular a AC por el punto B, y se llama la altura trazada a AC por el punto B. Observemos que el pie de esta perpendicular no pertenece necesariamente al segmento AC. Ambos casos los contempla la definición: Def.9.- Una altura de un triángulo es un segmento perpendicular desde un vértice del triángulo a la recta que contiene al lado opuesto. Ejercicio.- Es posible que una altura de un triángulo sea un lado? Si es así, qué condiciones se tienen que verificar? Evidentemente, todo triángulo tiene tres alturas, una correspondiente a cada vértice. Observemos que en la figura dada, las alturas, según nuestra definición, no se cortan, pero se cortan las rectas que las contienen. En ocasiones, la recta que contiene a la altura se llama altura. En este contexto, si que se verifica que las tres alturas de un triángulo se cortan en un punto (lo probamos más adelante). Incluso, es familiar decir que la altura de un triángulo es 6, identificando altura con longitud del segmento altura. Estos distintos usos del concepto altura pueden llevar a alguna confusión, si bien parece claro que entenderemos el significado correcto de altura según sea el contexto donde se utilice. 57