AB CD. (Ver Figura 30). Figura 30

Transcripción

1 3.2 GRUPO III. AXIOMAS DE CONGRUENCIA. III.1 Axioma de la construcción del segmento. Sea AB un segmento cualquiera y CE una semirrecta de origen C. Entonces existe en CE un único punto D tal que Figura 30 AB CD. (Ver Figura 30). En términos prácticos, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un segmento haciendo uso, por ejemplo, de regla y compás. III.2 La congruencia entre segmentos es una relación de equivalencia i. Propiedad reflexiva: Cada segmento es congruente consigo mismo, es decir: ii. Propiedad de simetría: Si AB AB para todo segmento AB. AB CD, entonces CD AB. iii. Propiedad transitiva: Si AB CD y CD EF entonces AB EF. III.3 Sean A, B, C puntos de una recta a y A', B', puntos de a ó de otra recta b tales que B está entre A y C y B' entre A' y. i. Si AB A'B' y BC B', entonces, AC A'. ii. Si AB A'B' y A' (Ver Figura 31). AC, entonces, BC B'.

2 Figura 31 El anterior axioma expresa que la "suma" y la "diferencia" de segmentos congruentes, dan lugar a segmentos congruentes. III.4 Axioma de la construcción del ángulo. Sea OA, OB un ángulo cualquiera y O' un punto de una recta l situada en un plano. Sea Π uno cualquiera de los semiplanos en que l divide a Π y O C una de las semirrectas l en que O' divide a l. Entonces existe una semirrecta única O' D situada en el semiplano l tal que: (Ver Figura 32) OA, OB O ' C, O'D Figura 32 Igual que en III.1, este axioma afirma la posibilidad de construir o trasladar un ángulo haciendo uso por ejemplo, del compás y la regla. III.5 La congruencia entre ángulos es una relación de equivalencia

3 plano. El siguiente axioma expresa que la relación de congruencia entre ángulos verifica las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva, en términos similares a los del axioma 3.2, es decir: i. OA, OB OA, OB. ii. Si OA, OB O ' X, O' Y, entonces, O ' X, O' Y OA, OB. iii. Si OA, OB UC, UD y UC, UD WX, WY OA, OB WX, WY. entonces III.6 Sea OH, OK, OL semirrectas con un mismo origen O y situadas en un mismo Sea O' R, O' S, O' T semirrectas con un mismo origen O y situadas en o en otro plano '. Supongamos además que OL está en el interior de OH, OK interior de O ' R, O' S. (Ver Figura 33). En consecuencia: y O' T en el i. Si OH, OL O ' R, O' T y OL, OK O ' T, O' S OH, OK O ' R, O' S. ii. Si OH, OL O ' R, O' T y OH, OK O ' R, O' S OL, OK O' T, O' S. entonces entonces Figura 33

4 Este axioma, lo mismo que el III.3, expresa que la suma y la diferencia de ángulos respectivamente congruentes, dan como resultado, ángulos respectivamente congruentes. Definición 10. Sean A, B, C tres puntos distintos y no colineales. Los segmentos AB, BC, CA determinarán el triángulo de vértices A, B, C que denotaremos: ABC ó BC, y se define: ABC = AB BC AC. Los segmentos AB, BC y CA se llaman lados del triángulo. Los ángulos A AB ˆ C, BAC ˆ y AC ˆ B se llaman ángulos interiores o simplemente, ángulos del triángulo ABC y también serán denotados por sus vértices o sea Â, Bˆ, Ĉ. En un triángulo AB C, diremos que Â es el ángulo opuesto al lado BC y Bˆ y Ĉ son ángulos adyacentes a dicho lado. Recíprocamente, BC se llama lado opuesto al ángulo Â y el mismo lado BC se llama lado adyacente tanto a Bˆ como a Ĉ. (Ver Figura 34). Esta misma terminología es aplicable a los otros ángulos y lados del triángulo. Definición 11. Figura 34 El triángulo ABC es congruente al triángulo A B C si: AB A'B', AC A', BC B'. ABC ˆ A' Bˆ', BAC ˆ B' Aˆ', BCA ˆ B' Cˆ' A'.

5 Escritura simbólica: ABC A' B'. (Ver Figura 35). Figura 35 La definición anterior establece que dos triángulos son congruentes si tanto los lados como los ángulos se presentan en pares respectivamente congruentes. Consecuencias de esta definición: Si dos triángulos son congruentes, entonces, a lados respectivamente congruentes se oponen ángulos respectivamente congruentes y recíprocamente. El siguiente axioma establece condiciones mínimas para la congruencia de dos triángulos y se denomina axioma LADO-ÁNGULO-LADO, en símbolos: L-A-L. III.7 Axioma L-A-L. Si los triángulos ABC y A B C presentan las congruencias: AB A'B', AC A' y BAC ˆ B' Aˆ', entonces ABC A' B'. (Figura 36.). Figura 36

6 Según el axioma L-A-L, dos triángulos son congruentes si en uno de ellos existen dos lados y el ángulo comprendido (entre dichos lados), respectivamente congruentes a dos lados y el ángulo comprendido (entre dichos lados), en el otro triángulo. El siguiente teorema establece que la relación de congruencia entre segmentos (respectivamente entre ángulos), mantiene la disposición de los puntos en una recta (respectivamente, la disposición de las semirrectas que tienen el origen en el vértice de un ángulo.). TEOREMA 9. Sean A, B, C tres puntos de una recta a y A B C tres puntos de una recta b tales que, AB A'B' y AC A'. Si B está entre A y C y B está del mismo lado que C con respecto a A (ver Figura 33), entonces B está entre A y C. Demostración. Figura 37 Por el axioma de construcción del segmento, existe un punto C en b tal que B está entre A y C y además BC B' '. (Ver Figura 37.). El teorema quedará demostrado si se logra probar que C coincide con C. De las congruencias: AB A'B'. BC B''.

7 Se obtiene AC A' ' (Suma de segmentos), y como AC A' (hipótesis) se concluye A' A' ' (transitividad). De donde se sigue, como una consecuencia del axioma de construcción del segmento, que y C" coinciden pues están en la recta b, del mismo lado de A'. Ya que C" se tomó de modo que B' está entre A' y C" se concluye que B' está entre A' y, como se quería demostrar. Tiene lugar un teorema, análogo al anterior, para ángulos. TEOREMA 10. Supongamos que en cierto plano fijo se tienen las semirrectas OH, OK y OL y que en el mismo plano o en otro cualquiera, se tienen las semirrectas O ' H ', O 'K' y O'L'. Supongamos además que las semirrectas OK y OL están en el mismo semiplano respecto a la recta OH y que las semirrectas O 'K', O'L' tienen disposición análoga con respecto a O' H '. Entonces, si OH,. OK O ' H', O' K' O'L' OH, OL O' H', En consecuencia: OK Si la semirrecta está en el interior de OH, OL (Figura 38), la semirrecta estará así mismo en el interior de O' H', O' L'. y Figura 38 TEOREMA 11. (Caso Ángulo-Lado-Ángulo: A-L-A) Sean ABC y A' B' dos triángulos tales que: Entonces, ABC A' B'. (Figura 39). AB A'B', BAC ˆ B' Aˆ',CB A C B A. O'K'

8 Demostración. Esta consistirá en demostrar que axioma L-A-L). Figura 39 AC A' con lo cual se tiene ABC A' B' (por el Razonando por reducción al absurdo, supongamos AC A'. Sea D un punto en la semirrecta AC tal que: AD A' (Axioma de construcción del segmento). Por tanto, ABD A' B' (Axioma L-A-L). (Ver Figura 40). Luego Figura 40 DBA ˆ Bˆ' A' y como CBA ˆ Bˆ' A', (hipótesis), se tiene por transitividad, DBA ˆ CBA ˆ lo cual contradice el axioma de construcción del ángulo. Esta contradicción permite concluir que AC A' como se quería demostrar. Definición 12. i. Se llama triángulo isósceles aquel que tiene al menos dos lados congruentes (Figura 41).

9 ii. Si el triángulo ABC es isósceles con base del triángulo al tercer lado BC. AB AC y BC AB, entonces se llama TEOREMA 12. Demostración. Sea ABC un triángulo isósceles con AB AC. Figura 41 En todo triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados congruentes son congruentes. Figura 42 Veamos que los ángulos Bˆ y Ĉ son congruentes. Sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y Figura 42). BD CE. Por qué? (Ver

10 Por suma de segmentos, AE AD. Entonces en los triángulos AB E, C D A se tiene: AB AC, AE AD, BAE ˆ CAˆ D. (El ángulo del vértice en A es común para ambos triángulos). Se concluye que dichos triángulos son congruentes (L-A-L). De donde: BDC ˆ BEC ˆ, BE CD, ABE ˆ ACˆ D. Consideremos ahora los triángulos, BDC, CEB. En dichos triángulos se tiene: BD CE, CD BE, BDC ˆ BEˆ C. Luego BDC CEB (Axioma L-A-L), de donde, EBC ˆ DCˆ B. Y puesto que ya se tenía ABE ˆ ACD ˆ, se sigue por diferencia de ángulos que ABC ˆ ACˆ B que era lo que se quería demostrar. Definición 13. Primera clasificación angular. i. Dos ángulos se llaman adyacentes si tienen el mismo vértice, un lado común y ninguno de los lados de uno de ellos está en el interior del otro (Ver Figura 43). ii. Dos ángulos hacen un par lineal si son adyacentes y los lados no comunes son semirrectas opuestas. (Ver Figura 44). iii. Dos ángulos se llaman opuestos por el vértice si tienen el mismo vértice y sus lados son semirrectas opuestas. (Ver Figura 45). Figura 43 Figura 44 Figura 45

11 En la Figura 43, los ángulos AO ˆ B, BO ˆ C son adyacentes. En la figura 44, los ángulos AO ˆ B y BOC ˆ hacen un par lineal. En la Figura 45, los ángulos AO ˆ C y BO ˆ D son opuestos por el vértice. Observaciones. 1. Todo ángulo hace un par lineal con, exactamente, dos de sus ángulos adyacentes. En la Figura 45, el ángulo AO ˆ B hace un par lineal con BO ˆ D y también con AO ˆ C. 2. Cuando dos rectas distintas se cortan, determinan, alrededor del punto común, cuatro ángulos que son opuestos por el vértice de dos en dos. En la Figura 46, las parejas AOB ˆ y CO ˆ D, así como AO ˆ C y BO ˆ D son respectivamente ángulos opuestos por el vértice. Demostración. Sean Figura 46 TEOREMA 13. Si uno de los ángulos de un par lineal, es congruente a uno de los ángulos de otro par lineal, entonces los otros dos ángulos también son respectivamente congruentes. AO ˆ B, AO ˆ C un par lineal y A ' Oˆ' B', A ' Oˆ' otro par lineal tales que AOB ˆ A' Oˆ' B' (Figura 47). Veamos que AOC ˆ A' Oˆ'. Supongamos que los puntos A', B', se tomaron de tal modo que:

12 Figura 47 OA O' A', OB O'B', OC O'. Por qué? (Ver Figura 48). Figura 48 Se tiene por la tanto, AOB A' O' B', (L-A-L) y CB B' (Suma de segmentos congruentes). De donde, OBA ˆ O' Bˆ' A' y AB A'B' Ahora se puede concluir que: ABC A' B', (L-A-L) Luego, ACB ˆ A' Bˆ' y AC A'. De estas dos últimas relaciones junto con OC O' podemos afirmar que AOC A' O' (L-A-L) y por tanto concluir que: AOC ˆ A' Oˆ' como se quería. Demostración. COROLARIO. Dos ángulos opuestos por el vértice, son congruentes. Sean AO ˆ B y OD C ˆ ángulos opuestos por el vértice, luego las semirrectas OC y OB están en línea recta, lo mismo que las semirrectas OA y OD. (Ver Figura 49).

13 Veamos que los ángulos AO ˆ B y CO ˆ D son congruentes. Figura 49 Esto resulta como una consecuencia del teorema anterior, ya que el ángulo AOC hace un par lineal con cada uno de dichos ángulos. El teorema 14 corresponde al recíproco del teorema 12, como se verá a continuación. TEOREMA 14. Si un triángulo tiene dos de sus ángulos congruentes, entonces, los lados opuestos a ellos son congruentes y en consecuencia el triángulo es isósceles. Demostración. Consideremos en el triángulo ABC, los ángulos AB ˆ C y AC ˆ B congruentes y veamos que AB AC (Figura 50).

14 Figura 50 Para ello, sean D y E puntos tales que B está entre A y D, C entre A y E y BD CE. por qué? Por el teorema 13, y en vista de que ABC ˆ ACˆ B y además AB ˆ C y CB ˆ D hacen un par lineal y AC ˆ B y BC ˆ E hacen otro par lineal, se tiene: CBD ˆ BCE ˆ. Siendo BC un lado común para los triángulos C B Δ D y B E, se concluye que dichos triángulos son congruentes (L-A-L). De donde: BE CD, BDC ˆ BEˆ C, EBC ˆ DCˆ B. Como se tienen las congruencias, ABC ˆ ACˆ B y EBC ˆ DCˆ B, se sigue que ABE ˆ ACˆ D (Suma de ángulos congruentes) y por lo tanto los triángulos C Δ AB E, C D que tienen además BEC ˆ BDC ˆ y BE CD, son congruentes (A-L-A), de donde AB AC como se quería demostrar. Observación. Los teoremas 12 y 14 se pueden reunir en un solo enunciado, así: TEOREMA 15. Un triángulo es isósceles si y solo si al menos dos de sus ángulos son congruentes. A Δ

15 Definición 14. Un triángulo AB C se llama equilátero si sus tres lados son congruentes, es decir, AB AC BC. Una consecuencia del teorema 15 es la siguiente: COROLARIO. Observación. La demostración del corolario anterior se propone al lector. Definición 15. Un triángulo ABC se llama equiángulo si sus tres ángulos son congruentes, es decir A B C. TEOREMA 16. (Caso Lado-Lado-Lado: L-L-L). Sí un triángulo tiene sus tres lados respectivamente congruentes a los tres lados de otro triángulo entonces estos dos triángulos son congruentes. Demostración. Sean Un triángulo es equilátero si y solo si sus ángulos interiores son congruentes. AB C y A' B ' dos triángulos que tienen: (Figura 51), Consideremos en el semiplano AB A'B', AC A', BC B'. BC ~ A el punto A" tal que: CBˆ A'' A' Bˆ', A' ' B A' B'. (Axiomas de construcción del segmento y el ángulo)

16 Según el axioma de separación, el segmento dicho punto P se presentan tres opciones: Figura P está en el interior de BC, como en la Figura P coincide con uno de los extremos, corno en la Figura P está en el exterior de BC, como en la Figura 53. AA '' tiene un punto P en el segmento BC. Para Figura 52 Figura 53 Vamos a demostrar el caso 1. Los otros dos se dejan al lector. Los triángulos A' B ' y '' BC son congruentes por tener: A A' ' B A' B', BC B', CBA ˆ Bˆ' A' (L-A-L). Veamos ahora que los triángulos AB Δ C y '' BC son congruentes. A

17 Por una parte se tiene AB A'B' y A ' B' A' ' B, luego AB A' ' B (transitividad), de donde el triángulo AB Δ A' ' es isósceles y por tanto BÂA'' BÂ'' A (Teorema 12). En la misma forma, el triángulo AC Δ A' ' es isósceles y por tanto C AA'' CAˆ' ' A ˆ. Por otra parte, el segmento interior de los ángulos tiene: B AC ˆ BAˆ' ' C. Finalmente, los triángulos AA '' pasa por P, punto entre B y C, luego dicho segmento está en el BA ˆ C y B Aˆ '' C, y por el axioma de suma de ángulos congruentes se AB Δ C y '' BC tienen: A AB A' ' B, AC A' ' C, B AC ˆ BAˆ' ' C y por el axioma L-A-L se concluye, ABC A' ' BC. Como ya se tenía Á ' B' A' ' BC entonces, por transitividad 4, ABC A' B' como se quería demostrar. Definición 16. Si los ángulos de un par lineal son congruentes, cada uno de ellos se llama ángulo recto. (Figura 54). Figura 54 Para indicar que un ángulo es recto vamos a emplear la siguiente representación gráfica:. El siguiente teorema garantiza que existen ángulos rectos. 4 Observación: La transitividad para la congruencia entre triángulos es un resultado que se obtiene fácilmente a partir de la transitividad de la congruencia tanto entre segmentos como entre ángulos.

18 TEOREMA 17. Sean O y A puntos de una recta l. Entonces existen ángulos rectos. (Ver figura 55) Demostración. Figura 55 Puesto que los puntos C y D están en lados opuestos a la recta l, el axioma de separación asegura que la recta CD pasa por un punto P de l. Además los ángulos OP ˆ C, OP ˆ D hacen un par lineal ya que tienen un lado común OP y los otros dos están en línea recta. Veamos que el ángulo OP ˆ C es recto. Para ello se tiene que los ángulos PO ˆ C y PO ˆ D son congruentes por hacer pares lineales con respectivos ángulos congruentes (Teorema 13). Se tienen así los triángulos congruentes O P C, P D por tener: O Δ POC ˆ POD ˆ, OC OD, OP lado común (L-A-L). AO ˆ C y AO ˆ D Se concluye así que los ángulos del par lineal OP ˆ C, OP ˆ D son congruentes y, de acuerdo a la definición 15, se sigue que tanto OP ˆ C como OP ˆ D son ángulos rectos. O TEOREMA 18. Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.

19 La demostración del teorema 18 se deja como ejercicio. Se sugiere utilizar el método de Reducción al absurdo. Definición 17. Triángulo rectángulo Un triángulo se llama rectángulo si al menos uno de sus ángulos es recto. Observaciones. 1. Más adelante se podrá demostrar que un triángulo no puede tener más de un ángulo recto. 2. En un triángulo rectángulo los lados adyacentes al ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto, hipotenusa. (Ver Figura 56). Figura 56 Definición 18. Punto medio de un segmento Se llama punto medio de un segmento AB al punto O que está en la recta AB tal que AO OB. Observaciones. 1. Es posible demostrar, que todo segmento tiene un punto medio único y que dicho punto está en el interior del segmento. La existencia del punto medio garantiza que todo segmento se puede dividir en dos segmentos congruentes y esto de un modo único. 2. Así como todo segmento tiene punto medio, todo ángulo no nulo tiene una semirrecta contenida en su interior que lo divide en dos ángulos congruentes. El nombre de esta semirrecta se da en la siguiente definición:

20 Definición 19. Bisectriz de un ángulo Se llama bisectriz de un ángulo ángulo y además verifica AO ˆ B a la semirrecta OD que está en el interior del AOD ˆ DOˆ B. (Ver Figura 57). Observación. Figura 57 En forma análoga a lo dicho para el punto medio de un segmento, se puede demostrar que todo ángulo no nulo tiene bisectriz única y que dicha bisectriz está en el interior del ángulo. La existencia de la bisectriz garantiza que todo ángulo no nulo se puede dividir en dos ángulos congruentes y esto de un modo único. Definición 20. Rectas perpendiculares Sean a y b dos rectas distintas. La recta a es perpendicular a la recta b, si a corta a b determinando ángulos rectos. Observaciones. 1. Para indicar que a es perpendicular a b se emplea la notación: a b 2. Si a b se sigue de inmediato que b a y por tanto es correcto decir que las rectas a y b son perpendiculares entre sí o que se cortan perpendicularmente. 3. Si dos rectas se cortan perpendicularmente en un punto, los cuatro ángulos que se forman alrededor de dicho punto son rectos. (Ver Figura 58).

21 Observación. Figura 58 Vamos a denotar también a las semirrectas que un punto determina en una recta a, por a y a '. En consecuencia, a y 59). a ' son semirrectas opuestas de una misma recta a. (Ver Figura El ángulo formado por dos semirrectas a y b lo denotaremos: a, b. (Ver Figura 60).

22 Figura 59 Figura 60 dicha recta contenida en dicho plano. Demostración. La demostración consta de dos partes. Veamos primero que si l es la recta dada en el plano Π y A es un punto cualquiera de l, hay por lo menos una recta perpendicular a l que pasa por A y está situada en Π. Para demostrar esta primera parte, sea K una recta distinta de l y que también pasa por A. Sea K una de las semirrectas en que A divide a K. Si los ángulos l, K y l ', K que forman un par lineal, son congruentes, cada uno es recto y por tanto K l y la demostración termina. (Figura 61). Pero si los ángulos del par lineal son diferentes, sea h una semirrecta de origen A situada en el semiplano TEOREMA 19. Por un punto de una recta dada en un plano pasa una y solo una perpendicular a Π l : K tal que:

23 Se presentan dos posibilidades respecto a h : Figura 61 (1) l, K l ', h i. La semirrecta h está en el exterior de l, K. (Esto ocurre cuando l, K agudo. (Figura 62). es ii. La semirrecta h está en el interior de l, K. (Esto ocurre cuando l, K obtuso. (Figura 63). Figura 62 Figura 63 Para ambos casos se puede continuar de la siguiente manera: Se traza por A la bisectriz b del ángulo h (2) h, b K, b K,. Por tanto: (Figura 64). es De (1 ) y (2) se obtiene, por suma de ángulos, en el caso del ángulo agudo y por diferencia, en el caso del ángulo obtuso, l, b l ', b

24 Estos dos ángulos forman un par lineal, luego cada uno de ellos es recto. Se concluye así que b l. Figura 64 Veamos ahora que b es la única perpendicular a l que pasa por A y está en Π. Sea C una perpendicular al que pasa por A y está en el plano Π Sea c la semirrecta de origen A que está en el semiplano Π l : b. Por tanto el ángulo l, c es recto y como todos los ángulos rectos son congruentes (Teorema 18), se sigue que: l, c l, b. Por el axioma de construcción del ángulo se concluye que las semirrectas c y b coinciden y esto demuestra la segunda parte de la prueba. Definición 21. Mediatriz de un segmento Dado un segmento no nulo, contenido en un plano dado se llama mediatriz del segmento de dicho plano a la recta única perpendicular, levantada por el punto medio del segmento y contenida en dicho plano. Definición 22. Segmentos notables en el triángulo. i. En todo triángulo, se llama altura al segmento perpendicular trazado desde uno cualquiera de los vértices, a la recta que contiene el lado opuesto. (Figura 65). ii. Se llama mediana, al segmento comprendido entre uno cualquiera de los vértices y el punto medio del lado opuesto. (Figura 65).

25 iii. Se llama bisectriz del triángulo, al segmento comprendido entre uno cualquiera de los vértices y el lado opuesto y que divide al ángulo correspondiente a dicho vértice en dos ángulos congruentes. (Ver Figura 65). Observaciones. Figura 65 BH es altura, AM es mediana, ADes bisectriz. Tanto la mediana como la bisectriz son segmentos que están en el interior del triángulo. Sin embargo la altura no siempre está en el interior. (Esto se demostrará posteriormente). Puede definirse la bisectriz de un triángulo también como el segmento con extremos en el vértice y en en el punto donde la bisectriz del ángulo intersecta el lado opuesto. TEOREMA 20. Propiedades de los segmentos notables en el triángulo isósceles. En un triángulo isósceles, la mediana comprendida entre los lados congruentes es altura, bisectriz y está contenida en la mediatriz del lado asociado a la mediana. Demostración: Sea ABC isósceles con AB AC y AM la mediana comprendida entre los lados congruentes (Figura 66). Se tiene BM MC (definición de mediana) con M entre B y C. Por tanto, ABM ACM (L-L-L). De donde, BAM MAC, luego AM es bisectriz del ABC.

26 También tanto Figura 66 BAM AMC, con lo cual se tiene un par lineal de ángulos congruentes y por. AM MC o sea que AM es altura del ABC Además, como M es un punto medio de BC, el segmento AM está sobre la mediatriz del segmento BC. Observación. También es cierto que si en un triángulo coinciden la mediana y la bisectriz, o la mediana y la altura, o la altura y la bisectriz, o la mediana está sobre la mediatriz, entonces dicho triángulo es isósceles. Este teorema se probará posteriormente porque una parte de la demostración requiere un caso de congruencia de triángulos rectángulos que no se tiene todavía justificado. Este resultado se designa como Teorema recíproco de los segmentos notables en un triángulo.