Material educativo. Uso no comercial 3.3 EJERCICIOS PROPUESTOS

Transcripción

1 33 EJERCICIOS PROPUESTOS Temas: La relación de congruencia en segmentos y ángulos Congruencia de triángulos Algunas propiedades referidas a triángulos isósceles 1 Sean AB, ST segmentos no nulos M Int AB, K Int ST Determinar cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado 11 Si AM SK entonces MB KT 12 Si AB ST entonces AM SK 13 Si AM SK y MB KT entonces AB ST 14 Si MB KT y AB ST entonces AM SK 15 Si AM MB y SK KT entonces AB ST 16 Si AB ST entonces AM MB y SK KT 17 Si SK KT entonces K es un punto medio de ST 18 Si M es punto medio de AB y K es punto medio de ST entonces AB ST 19 Si AM MB SK KT entonces M es punto medio de AB y K es un punto medio de ST 110 Si M es un punto medio de AB y K es un punto medio de ST entonces AM MB SK KT 2 Sean A ÔB, Rˆ Q P no nulos, no llanos; M Int, K Int PRˆ Q Determinar cuáles de las afirmaciones siguientes son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado 21 OM y AB se cortan en un punto único 22 Si A está entre O y L entonces LB y OM se cortan en un punto único 23 Si A ÔM PRˆ K entonces MÔB KRˆ Q

2 24 Si PRˆ Q entonces AÔM PRˆ K 25 Si AÔM KRˆ Q y BÔM PRˆ K entonces PRˆ Q 26 Si AÔM KRˆ Q y PRˆ Q entonces BÔM PRˆ K 27 Si A ÔM BÔM y PRˆ K KRˆ Q entonces PRˆ Q 28 Si PRˆ Q entonces AÔM BÔM y PRˆ K KRˆ Q 29 Si PRˆ K KRˆ Q entonces RK es bisectriz de PRˆ Q 210 Si OM es bisectriz de A ÔB y RK es bisectriz de P Rˆ Q entonces PRˆ Q 211 Si OM es bisectriz de ÔB AÔM MÔB PRˆ K KRˆ Q A y RK es bisectriz de Q P Rˆ entonces 212 Si AÔM MÔB PRˆ K KRˆ Q entonces OM es bisectriz de A ÔB y RK es bisectriz de P Rˆ Q 213 A ÔM y B ÔM son adyacentes 214 AÔM BÔM entonces A ÔM y B ÔM hacen par lineal 215 Si AÔM BÔM entonces OM AB 3 Sean AB, CD rectas distintas, AB CD 0 Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado 31 A ÔC y D ÔB son opuestos por el vértice 32 AÔC DÔB y AÔD CÔB 33 A ÔC DÔB AÔD CÔB 34 A ÔD y D ÔB son adyacentes 35 Si AÔD DÔB entonces DC AB 36C ÔB hace par lineal únicamente con B ÔD 37 Si AÔD CÔB y AÔC DÔB entonces AB CD 38 Si CD es mediatriz de AB en Π A,B,C entonces:

3 39 D es punto medio de AB 310 DC es bisectriz de A Dˆ B 311 ADB es isósceles 312 ACB es isósceles 313 ADB ACB 314 O es un punto medio de CD 315 OÂC OÂD 316 AOC BOC 317 AOD DOB 318 AOC BOC AOD DOB 4 Determinar cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas, justificando su determinación En el caso de que una afirmación sea falsa, construya un contraejemplo adecuado 41 En triángulos congruentes, a lados congruentes se oponen ángulos congruentes 42 En triángulos congruentes, a ángulos congruentes se oponen lados congruentes 43 En triángulos congruentes, todos los lados son congruentes 44 En triángulos congruentes, todos los ángulos son congruentes 45 Si los tres ángulos de un triángulo son respectivamente congruentes, a los tres ángulos de otro triángulo entonces los triángulos son congruentes 46 Si los tres lados de un triángulo, son respectivamente congruentes, a los tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes 47 Si dos triángulos tiene un lado respectivamente congruente, entonces los ángulos opuestos son respectivamente congruentes 48 Si dos triángulos tiene un ángulo respectivamente congruente, entonces los lados opuestos son respectivamente congruentes 49 Si dos triángulos tienen un lado respectivamente congruente, entonces los ángulos adyacentes a dichos lados son respectivamente congruentes

4 410 Si dos triángulos son equiláteros entonces son congruentes 411 Si dos triángulos isósceles, tiene sus bases respectivamente congruentes, entonces son congruentes 412 Si dos triángulos son isósceles entonces los cuatro ángulos adyacentes a sus respectivas bases son congruentes 5 Para cada pareja de triángulos se indican los respectivos elementos congruentes Señale cuáles de ellos son congruentes, y cuales no lo son, justificando su afirmación

5 Para aquellas parejas de triángulos congruentes indique el caso que lo justifica y las conclusiones derivadas 6 Se tiene el HRE con RH RE Los puntos M y K están en los lados del H Rˆ E de tal manera que H está entre R y M E está entre R y K EM y HK se intersectan en el punto T; HRˆ T ERˆ T ; RT y HE se intersectan en el punto P 61 Trace una figura que satisfaga todas las condiciones descritas 62 Demuestre que H R P E R P 63 Demuestre que H RT E RT 64 Demuestre que H PT E PT 65 Demuestre que M H T K ET 66 Demuestre que KRM es isósceles 7 En los triángulos de las figuras se tiene: i AC A' C' ii AH bisectriz de C A D iii A ' H' bisectriz de ' A' D' C

6 iv DC D' C' v AH DC, vi BÂC B' Â' C' A' H' D' C' Demostrar: 71 ADC A D C 72 ABD A B D 73 ACB A' C' B' 8 Observe la figura y considere como hipótesis las siguientes proposiciones: DÔB ; B está entre A y C, y E está entre D y C AC DC ; OA OD Demuestre que: 81 Â Dˆ 82 OB OE 83 BC CE 84 OC es bisectriz de DÔA 9 Si AB CD 0 O: punto medio de AB y CD M está entre A y C N está entre D y B O está entre M y N Demuestre que: 91 Â Bˆ 92 MC DN 93 OM ON 10 En la figura se tiene AOD y BOC, OC AD E, OD BC F y además:

7 Hipótesis: O es un punto medio de AB AÔD Â Bˆ Tesis BÔC i OD OC ii AD BC iii Ĉ Dˆ iv EOF isósceles 11 En la siguiente figura suponga que AB es bisectriz de CÂD y de CBˆ D, M AB, CD AB 0 Demuestre que: 111 CAD es isósceles 112 CD AB 113 MC MD 114 MĈD MDˆ C 12 En la figura se tiene: N está entre O y A; M está entre O y B; AM BN P PN PM ; AP PB Demuestre que: ; 121 OAB es isósceles 122 OP es bisectriz de 13 En un triángulo isósceles ABC, AB AC Se trazan las medianas BD y CE relativas a los lados congruentes, las cuales se cortan en el punto I

8 131 Demostrar que BIC y DIE son isósceles 132 Demostrar que BIE DIC 133 Demostrar que los puntos A, I y los puntos medios de ED y BC están en línea recta Tesis: 14 En la figura se tiene: Hipótesis: A BC es equilátero A está entre B y C está entre A y B está entre y C AA es equilátero 15 En la figura se tiene: y DC BE = {A} B está entre O y D C está entre O y E Demostrar que OA es bisectriz de 16 En el GIK se tiene HK IK y GH IJ, G, H, I, J colineales H está entre G e I, I entre H y J Probar que: B 1 i GK JK A 1 C 1 1 BB1 CC1 A1 B 1 C1 AB AC ii GKˆ H IKˆ J AD AE DÔE

9 17 Demuestre que un triángulo BC es isósceles si: 171 AD es a la vez mediana y altura 172 AD es a la vez bisectriz y altura 173 Podrá decirse que el triángulo es isósceles si la bisectriz es a la vez mediana? Observación: Estos resultados pueden considerarse como recíprocos con relación a lo planteado en el teorema Nº En la siguiente figura tenemos: OA OC ; OD OB OA OB ; OC OD N está entre O y C M está entre O y D Demostrar que: 181 AD BC 182 Bˆ Â 183 MDE NCE 19 Demostrar que las medianas asociadas a los lados congruentes de un triángulo isósceles son congruentes 20 Demostrar que las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles son congruentes A AD BC E 21 Demostrar que en triángulos congruentes, las medianas homólogas son congruentes, las bisectrices homólogas son congruentes

10 22 En ABC y A' B' C' ; AD y A' D' son bisectrices de B ÂC y B' Â' C' respectivamente AD A' D', BÂC B' Â' C', AB A' B' Demostrar que: ABC A' B' C' 23 En ABC y A' B' C' se tiene: AM y A' M' medianas de BC y B' C' respectivamente, AM A' M', AB A' B', AC A' C' Demostrar que ABC A' B' C' 24 Sea no nulo y no llano C, D sobre la semirrecta OA tal que C está entre O y F; OC OE y OD OF ; CF DE P Demostrar: 241 OED OCF 242 CPD EPF 243 OP es bisectriz de Nota: Este problema establece una construcción alterna de la bisectriz de un ángulo 25 En la figura se tiene: BÔC CÔA ; OA OB OC Demostrar que las medianas, alturas y bisectrices del ABC pasan por O 26 Sean: ABC y A' B' C' isósceles, tales que AB AC ; A' B' A' C', AH : altura asociada a BC, A ' H' : altura asociada a B' C' Demostrar:

11 261 Si BÂC B' Â' C' y AH A' H' entonces ABC A' B' C' 262 Si BC B' C' y AH A' H' entonces ABC A' B' C' 27 Sean ABC, DEF tales que: AT bisectriz de BÂC, DK : bisectriz de EDˆ F Demostrar que si BÂC EDˆ F, BA ED y AT DK entonces ABC DEF Propongo el siguiente problema como una conjetura (Proposición que creo que puede ser verdadera, pero de la que no se tiene una demostración) Estudiela bien y trata de demostrarla, ó por el contrario si usted encuentra que es falsa, construya un contraejemplo 28 Sean ABC y DEF tales que AT es bisectriz de BÂC y DK es bisectriz de EDˆ F ; AT BC T, DK EF K Si BÂC EDˆ F, AT DK y BC EF, entonces, ABC DEF