Sexto D DEMOSTRACIÓN: Hipótesis. circunferencia. 4. R = 2BD Reemplazo de 2 en R + R Reemplazo de 2 en 5. Christian Ávila

Transcripción

1 59.- H) AB = BC = BD (O, R) R radio del triangulo ABC T)AB + BC = R DEMOSTRACIÓN: PROPOCICIONES RAZONES 1. AB = BC = BD O, R Hipótesis R radio del triangulo ABC. AB = BC = R Def. de radios de una circunferencia 3. BC = BD Reemplazo de 1 en 4. R = BD Reemplazo de en 3 5. AB + BC Sumatoria de radios 6. R + R Reemplazo de en 5 7. AB + BC = R Ax. Clausurativo(+) Christian Ávila

2 3.- H) AB tang. (O, R) ED BC ; CAB = 40 DEMOSTRACIÓN: PROPOCICIONES 1. AB tang. O, R ; ED BC ; CAB = 40. CAB = BC = BC RAZONES Hipótesis T. ángulo semi-inscrito Reemplazo de 1 en 4. BC = 80 T. a. b = c a = c b 5. FBC = BC + FB Sumatoria de arcos = 80 + FB Def. de semicircunferencia 7. FB = 100 T. a + b = c a = c b 8. A = BF BC 9. A = T. ángulo externo Reemplazo de 4 y 7 en A = 10 Operación 11. FOD = BCA T. de ángulos correspondientes 1. BCA = Ángulos internos ABC 13. BCA = 130 Ax. Clausurativo (+) 14. FOD = 130 Reemplazo de 13 en OF = OD Radios de una circunferencia = 1 T. a lados iguales se oponen iguales 17. FOD + 1 = 180 Ángulos internos DOF = 180 Reemplazo de 14 en = 50 T. a + b = c a = c b 0. 1 = 5 T. a. b = c a = c b Ax. Clausurativo (x) Christian Ávila

3 17) H) OC = CB T) y = r Demostración Proposiciones Razones 1. OC = CB Hipótesis OCB rectángulo AB = diámetro ED = secante CL = construcción CO = CB = 1 AO = OB = EC = OL = r. OB = OC + CB Teorema de Pitágoras ( OCB) 3. r = m1 + m1 Reemplazo de 1 en 4. r = m1 Ax. Clausurativo (+) 5. 1 = r T. a. b = 1 a = 1/b. 6. OC CL = EC CD Si dos cuerdas se cortan dentro de un circulo, el producto de las longitudes de los segmentos formados en la una, es igual al producto de las longitudes de los segmentos formados en la otra 7. r + m1 r m1 = ry Def. de segmentos 8. r m1 = ry Diferencia de cuadrados 9. r r = ry Reemplazo de 5 en r r = ry Suma de fracciones 11. r = ry Ax. Clausurativo (+) 1. r = y Reemplazo de 7 en y = r T. a. b = 1 a = 1/b. Cristhian Ortiz

4 45) H EC tang (O, R) T) α =? Cristian Ortiz Demostración Proposiciones Razones 1. EC tang (O, R) Hipótesis AB = diámetro ED = DC BC = 1.5r. EC = AC BC Si desde el punto exterior a un círculo se trazan a él una tangente y una secante, la tangente es media proporcional entre la secante y su parte externa 3. EC = ED + DC Suma de segmentos 4. EC = ED Ax. Clausurativo (+) 5. (ED) = (r + 1.5r)(1.5r) Reemplazo de 4 en 6. 4ED = 5.5r Ax. Clausurativo (x) 7. ED = 5.5r Operación 4 8. ED = r Ax. Clausurativo (x) 9. OE construcción Si una recta es tg es perpendicular al radio, que tiene por extremo el punto de contacto 10. OE = r Def. de circulo 11. OCE rectángulo 1. sin 1 = OE OC 13. sin 1 = r Def. seno de un Reemplazo de 1 en 1.5r = 3.58 Ax. Clausurativo (x) En el BDC 15. BD = DC + BC DC BC Def. coseno un cosθ 16. BD = (1.146r) + (1.5r) Reemplazo de 1,8,14 en r (1.5r) cos (3.58) 17. BD = 0.54r Ax. Clausurativo (x) 18. cos α = BD +DC BC (BD DC) Def. coseno un 19. cos α = (0.5r) +(1.146r) (1.5r) (0.54r 1.146r) Reemplazo de 1, 8,17 en α = Ax. Clausurativo (x)

5 PROPOSICIONES RAZONES 1) SQ = 10 Hipótesis OQ = 6 = RADIO < QNS = 90 ) OQ = OS = OM = OP = RADIO = 6 Por construcción y por que van desde el centro de la circunferencia hasta uno de la misma 3) OS = OQ + SQ OQ QS cos x Ley de cosenos en el triángulo OSQ 4) 6 = cos x Reemplazo 1 y en 3 5) 10cosx = 100 T. a+b=c y a=c-b 6) x = Ax. Clausurativo 7) < x =< x Paso en el triangulo OSQ a lados iguales se oponen ángulos iguales 8) x + 1 = 180 Suma de ángulos internos de un triangulo =180 9) 33,55 +< 1 = 180 Reemplazo 6 en 8 10) < 1 = 11,89 Ax clausurativo 11) QS =< 1 Teorema del ángulo central 1) QS = Reemplazo 10 en 11 13) < QNS = QS+PM T. del ángulo interno 14) 90 = PM Reemplazo 1 y 1 en 13 15) PM = ,89 T. axb=c y a=c/b 16) PM = Ax clausurativo 17) PM =< T. del ángulo central 18) < = Reemplazo 16 en 17 19) PM = OM + OP OM OP cos Ley de cosenos en el triangulo PMO 0) PM = cos Reemplazo en 19 1) PM = 6.63 Ax. clausurativo KATHY SALGADO SEXTO D

6 PROPOSICIONES 1) AD = EC BD = 3 DF = 4 BE = ) Ecuación = AD(DE + EC) Ecuación x = EC(AD + DE) 3) Ecuación = AD DE + AD EC Ecuación x = EC AD + EC DE 4) Ecuación = AD DE + AD EC Ecuación x = EC AD + AD DE RAZONES Hipótesis T. si dos cuerdas se cortan dentro de un circulo, el producto de las longitudes de los segmentos formados en la una, es igual al producto de las longitudes de los segmentos formados en la otra Propiedad distributiva (*) Reemplazo 1 en 3 (en la ecuación ) 5) 3 4 = x Igualación de ecuación 1 con ecuación 6) x = 6 Ax. Clausurativo (*) KATHY SALGADO SEXTO D

7 6 CP=13; PB=0; AP=10 Tesis.- COB=? KATHERINE VALLADARES PROPOCICIONES RAZONES 1.- CP=13; PB=0; AP=10 HIPOTESIS.- CP.PD=AP.PB CUERDAS SE CORTAN, ELPRODUCTO ES IGUAL A LA LONGITUD DE LA UNA Y DE LA OTRA 3.- PD= AP.PB CP T. a.b=c a=c/b 4.- PD= REEMPLAZO DE 1 EN PD=15,38 Ax. CLAUSURATIVO (X) 6.- DB; CO;OB CONSTRUCCION 7.- DB = DP + PB T. PITAGORAS 8.- DB = 15, REEMPLAZO DE 1 Y 5 EN DB= 5,3 Ax. CLAUSURATIVO (+) 10.- Sen PDB = PB DB 11.-Sen PDB = 0 5,3 1.- PDB = 5,44 SUMA DE ANGULOS INT. DE UN T. a+b=c a=c-b REEMPL. 1 Y 9 EN 10 Ax. CLAUSURATIVO (X) 13.- arc. CB= PDB. T. INSCRITO; T. a.b=c a=c/b 14.-arc. CB=5.44() REMPLAZO DE 1 EN arc. CB= T. a.b=c a=c/b; Ax. CLAUSURATIVO (X) 16.- COB = arc. CB T. CENTRAL 17.- COB = REEMPLAZO DE 15 EN 16

8 Ejercicio 5 T) AO = OF. OC Daniel Suntaxi Demostración Proposición Razón 1.- AF secante (O, AO) 1.- Hipótesis R = AO = OD = OE.- AF = AO + OF.- T. Pitágoras 3.- OF = AF AO 3.- T. a + b = c a = c b 4.- AF. BF = OF + OE (OF OE) 4.- T. dos secantes 5.- AF. BF = OF OE 5.- Ax. Clausurativo (x) 6.- AF = AB + BF 6.- Def. de segs 7.- BF = AF AB 7.- T. a + b = c a = c b 8.- AF. (AF AB) = AF AO AO 8.- Reemplazo de 1,3 y 7 en AF AF. AB = AF AO 9.- Ax. Distributivo (x) Ax. Clausurativo (+) 10.- AF. AB = AO 10.- T. Cancelativo (=)(+) 11.- AO = AF. AB 11.- T. a + b = c a = c b 1.- m B = T. inscrito en un semicircunferencia m m 1 (A) 13.- Ax. Reflexivo (=) 14.- AOF~ BCF 14.- Post. (A) 15.- FC 15.- Def. s ~s AF OF 16.- FC = BF.AF 16.- T. a. b = c a = c/b OF 17.- AB. FC. OD = BF. OC. AD 17.- T. Menelao 18.- AB. FC. OD = BF. OC. OD 18.- Reemplazo de 1 en AB. FC = BF. OC 19.- T.Cancelativo (=)(x) 0.- AB. BF.AF OF = BF. OC 0.- Reemplazo de 16 en AB. AF = OF. OC 1.- T.Cancelativo (=)(x) T. a. b = c a = c/b.- AO = OF. OC.- Reemplazo de 1 en 11

9 3.- AO = OF. OC 3.- T.Cancelativo (=)(x) Ejercicio 53 T) AC =? 1.- AB = 8 BC = 15 R = 10 Proposición.- AB sin C = BC sin A = AC sin B = R Demostración 1.- Hipótesis Razón.- T. inscritoen un círculo. 8 = 15 = AC = (10) 3.- Reemplazo de 1 en sin C sin A sin B 8 = 0 15 = 0 sin C sin A 5.-sin C = 8 0 sin A = Ax. Clausurativo (x) 5.- T. a. b = c a = c/b 6.- m C = 3,58 m A = 48, Operación 7.- m A + m B + m C = T. s INT del ABC ,59 + m B + 3,58 = Reemplazo de 6 en m B = 107, T. a + b = c a = c b Ax. Clausurativo (+) AC 10.- sin 107, Reemplazo de 9 en AC = 0. sin 107, T. a. b = c a = c/b 1.- AC = Ax. Clausurativo (x) Daniel Suntaxi

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