CUADRILATEROS. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero

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1 Cuadriláteros 1 CUADRILATEROS Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados. PARALELOGRAMO: Es un cuadrilátero que tiene las parejas de lados opuestos paralelos. ROMBO: Es un paralelogramo con todos sus lados congruentes RECTANGULO: Es un paralelogramo con todos sus ángulos rectos. CUADRADO: Es un rectángulo con sus cuatro lados TRAPECIO: Un cuadrilátero es un trapecio si tiene uno y solo un par de lados paralelos. Los lados paralelos del trapecio se llaman bases. TRAPECIO ISOSCELES: Un trapecio es isósceles si tiene los lados no paralelos TEOREMA. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero TESIS: m DAB m ABC m BCD m CDA 360º 1. Se traza la diagonal AC 1. definición de diagonal.. m m m CDA 180º. En ADC la suma de los ángulos interiores es 180º 3. m m m ABC 180º 3. En ABC la suma de los ángulos interiores es 180º 4. m m m CDA m m m ABC 360º 4. Suma de y 3 5. m( BCD)+m( DAB)+m( CDA)+m( ABC) = 360º 5. De 4. Adición de ángulos. TEOREMA: En un paralelogramo los lados opuestos son HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: AB DC y AD BC 1. ABCD es un paralelogramo 1. De hipótesis. AB DC; AD BC. De 1. Definición de paralelogramo 3. Se traza la diagonal AC. 3. Definición de diagonal De. Por ser alternos internos entre paralelas.

2 Cuadriláteros De. Por ser alternos internos entre paralelas 6. AC AC 6. Propiedad reflexiva 7. ADC ABC 7. De 4, 5, 6. A L A 8. AD BC 8. De 7. Lados correspondientes en triángulos 9. AB DC 9. De 7. Lados correspondientes en triángulos TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) Si en un cuadrilátero los dos pares de lados opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero AB DC y AD BC TESIS: ABCD es un paralelogramo 1. Se traza la diagonal AC. 1. Definición de diagonal. AD BC; DC AB. De hipótesis 3. AC AC 3. Propiedad reflexiva 4. ADC ABC 4. De y 3. L L L De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. AD BC 6. De 5. Por formar ángulos alternos internos congruentes De 4. Ángulos correspondientes en triángulos 8. AB DC 8. De 7.Por formar ángulos alternos internos 9. ABCD es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Definición de paralelogramo TEOREMA En un paralelogramo los ángulos opuestos son HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo TESIS: DAB BCD y ADC ABC 1. DC AB y AD BC 1. De hipótesis. En un paralelogramo los lados opuestos son congruentes. AC AC. Propiedad reflexiva. 3. ADC ABC 3. De 1 y. L L L 4. ADC ABC 4. De 3. Por ser ángulos correspondientes en triángulos

3 Cuadriláteros 3 Para demostrar la otra parte trace la diagonal DB. TEOREMA: Si en un cuadrilátero los ángulos opuestos son congruentes, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero A C y D B TESIS: ABCD es un paralelogramo 1. m( A) = m( C) 1. De hipótesis. m( B) = m( D). De hipótesis 3. m( A)+m( B)+m( C)+m( D) = 360º 3. De hip. La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es m( A)+m( B) = 360º 4. Sustitución de 1 y en 3 5. m( A)+m( B) = 360º 5. De 4 factorizacion 6. m( A)+m( B) = 180º 6. De 5. Transposición de términos 7. AD BC 7. De 6. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas. 8. m( A)+m( D) = 360º 8. De sustituir 1 y en 3 9. m( A)+m( D) = 360º 9. Factor común 10. m( A)+m( D) = 180º 10. Álgebra 11. AB DC 11. De 10. Si los ángulos consecutivos interiores son suplementarios se tienen rectas paralelas. 1. ABCD es un paralelogramo 13. De 7 y 11. Definición de paralelogramo. TEOREMA Si un cuadrilátero tiene dos lados opuestos congruentes y paralelos entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero DC AB; DC AB TESIS: ABCD es un paralelogramo. 1. DC AB 1. De hipótesis. DC AB. De hipótesis 3. DCA CAB 3. De. Por ser alternos internos entre paralelas 4. AC AC 4. Propiedad reflexiva 5. ABC ADC 5. De 1, 3, 4. L A L

4 Cuadriláteros 4 6. DAC ACB 6. De 5. Por ser ángulos correspondientes en triángulos 7. AD BC 7. De 6. Por formar ángulos alternos internos congruentes 8. ABCD es un paralelogramo. 8. De y 7. Por tener los lados opuestos paralelos. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo dos lados opuestos son paralelos y La demostración se deja como tarea. TEOREMA Si en un cuadrilátero las diagonales se bisecan, entonces es un paralelogramo. HIPOTESIS: ABCD es un cuadrilátero AP PC y DP PB 1. DP PB y AP PC 1. De hipótesis.. DPC APB. Opuestos por el vértice 3. DPC APB 3. De 1 y. L A L 4. DCP PAB 4. De 3. Ángulos correspondientes en triángulos 5. DC AB congruentes 5. De 4. Por formar ángulos alternos internos 6. DC AB 6. De 3. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. ABCD es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Por tener dos lados opuestos congruentes y paralelos. TEOREMA (RECIPROCO DEL ANTERIOR) En un paralelogramo las diagonales se bisecan. La demostración se deja como tarea. COROLARIOS DE TEOREMAS ANTERIORES: 1. Dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son suplementarios.. Los segmentos de un par de rectas paralelas comprendidas entre un segundo par de rectas paralelas son congruentes 3. Dos rectas paralelas son equidistantes en toda su longitud 4. Las diagonales de un rectángulo son congruentes 5. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y son bisectrices de los ángulos de los vértices. NOTA: El reciproco no se cumple

5 Cuadriláteros 5 1) EJERCICIOS RESUELTOS CD BA Hallar x, y. ) HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DM MC TESIS: AM DC MB AD 1. AD DC 1. De hipótesis. M es punto medio de DC. De hipótesis. Definición de punto medio 3. DM MC DC 3. De hipótesis y de 4. DM MC AD 4. De 1 y 3. Ley transitiva 5. ADM es isósceles. 5. De 4. Definición de triangulo isósceles. 6. m( ) = m( ) 6. De 5. En un triangulo a lados congruentes se oponen ángulos 7. AD BC 7. De hipótesis. los lados opuestos de un paralelogramo son congruentes 8. MC BC 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva. 9. MCB es isósceles. 9. De 8. Definición de triangulo isósceles. 10. m( ) = m( ) 10. De 9. La misma razón de m( D)+m( C) = 180º 11. Por ser ángulos consecutivos en un paralelogramo 1. m( ) + m( ) + m( D) = 180º 1. En el ADM los ángulos interiores suman 180º 13. m( )+m( D) = 180º 13. Sustitución de 6 en m( ) + m( ) + m( C) = 180º 14. En el MCB la suma de los ángulos interiores es 180

6 Cuadriláteros 6 3) 15. m( )+m( C) = 180º 15. Sustitución de 10 en m( )+m( D)+m( )+m( C) = 16. Adición de 13 y º 17. m( )+m( )+180º = 360º 17. Sustitución de 11 en m( )+m( ) = 180º 18. De 17. Factor común y transposición de términos 19. m( )+m( ) = 90º 19. De 18. Algebra 0. m( )+m( AMB)+m( ) = 180º 0. Por formar un par lineal 1. 90º+m( AMB) = 180º 1. Sustitución de 19 en 0. m( AMB) = 90º. De 1. Transposición de términos 3. AM MB 3. De. Definición de perpendicularidad. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DM AC y BN AC TESIS: DMBN es un paralelogramo. 1. AD CB 1. De hipótesis. Definición de paralelogramo. DAC BCA. Por ser alternos internos entre paralelas 3. DMA y CNB son rectángulos 3. De Hipótesis. Definición de triangulo rectángulo 4. AD BC 4. De hipótesis. Lados opuestos de un paralelogramo son 5. DMA CNB 5. De 3,, 4. Por tener congruentes la hipotenusa y un ángulo agudo. 6. DM BN 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos 7. DM AC y BN AC 7. De hipótesis. 8. DM BN 8. De7. Por ser perpendiculares a la misma recta. 9. DMBN es un paralelogramo. 9. De 6 y 8. Por tener dos lados opuestos paralelos y 4) HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo. DM y BN son bisectrices 1. m ( ADC) = m ( ABC) 1. De Hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo. m ( ADM) = m ( NBC). De hipótesis. Definición de bisectriz. Por ser mitades de ángulos congruentes y de 1

7 Cuadriláteros 7 3. NCB MAD 3. Por ser alternos internos entre paralelas ( AD BC ) 4. AD BC 4. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 5. AMD BNC 5. De, 3, 4. A L A 6. DM BN 6. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 7. AM NC 7. De 5. Por ser lados correspondientes en triángulos congruentes 8. AB DC y AB DC 8. De hipótesis. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 9. MAB DCN 9. De 8. Por ser alternos internos entre paralelas 10. AMB CND 10. De 8, 9,7. L A L 11. MB DN 11. De 10. Por ser lados correspondientes en triángulos 1. DMNB es un paralelogramo. 1. De 6 y 7. Por tener los lados opuestos SECANTE Una secante es una recta que corta en puntos diferentes a varias rectas paralelas. TEOREMA. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL PARALELISMO (T.F.P) Si tres o más rectas paralelas, determinan segmentos congruentes en una secante, entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante. HIPOTESIS: m n s AB BC TESIS: DE EF 1. Por D se traza una paralela a r 1, que corta a n en G. O sea DG AB 1. Postulado de la paralela.. De hipótesis.. AD BG 3. ABGD es un paralelogramo 3. De 1 y. Definición de paralelogramo 4. AB DG 4. De 3. Por ser lados opuestos de un 5. Por E se traza una paralela a r 1, que corta a s en H. O sea EH BC 6. BE CF paralelogramo. 5. Postulado de la paralela 6. De hipótesis. 7 BCHE es un paralelogramo 7. De 5 y 6. Definición de paralelogramo

8 Cuadriláteros 8 8. BC EH 8. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 9. AB BC 9. De hipótesis 10. EH DG 10. De 4, 9, 5. Propiedad transitiva. 11. ABG DGE 11. De 3. AB DE. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 1. ABG BCH 1. De hipótesis. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas 13. BC EH 13. De 7. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 14. BCH EHF 14. De 13. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas 15. EHF DGE 15. De 11, 1, 14. Propiedad transitiva 16. DG r1 EH 16. De 1 y 5. Propiedad transitiva del paralelismo 17. GDE HEF 17. De 16. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 18. DGE EHF 18. De 17, 15 y 10. A L A 19. DE EF 19. De 18. Por ser lados correspondientes de triángulos congruentes CONSTRUCCION: Dividir un segmento dado en 5 partes TEOREMA: TEOREMA DE LA PARALELA MEDIA EN UN TRIANGULO El segmento que une los puntos medios de dos lados de un triangulo es paralelo al tercer lado y tiene por medida la mitad de ese lado. HIPOTESIS: M es punto medio de AC N es punto medio de BC 1. En MN existe un punto Q, tal que MN NQ y unimos B con Q TESIS: 1) MN AB ) MN 1. Construcción. CN NB. De hipótesis. Definición de punto medio AB

9 Cuadriláteros 9 3. CNM QNB 3. Por ser opuestos por el vértice 4. CMN BQN 4. De, 1,3. L A L 5. C NBQ 5. De 4. Ángulos correspondientes en triángulos congruentes 6. BQ AC 6. Por formar ángulos alternos internos 7. BQ AM 7. De 6 y de hipótesis. A M C 8. CM BQ 8. De 4. Lados correspondientes en triángulos congruentes 9. CM MA 9. De hipótesis. Definición de punto medio 10. BQ MA 10. De 8 y 9. Propiedad transitiva 11. ABQM es un paralelogramo 11. De 7 y 10. Lados opuestos paralelos y 1. MQ AB 1. De 11. Definición de paralelogramo 13. MN AB 13. De hipótesis M N Q 14. MQ AB 14. De 11. Por ser lados opuestos de un paralelogramo 15. MN NQ 15. De 4. Lados correspondientes en triángulos MQ 16. De 15. N es punto medio de 16. MN MQ. AB 17. Sustitución de 14 en MN TEOREMA Una recta paralela a un lado de un triangulo y que pasa por el punto medio de un lado, pasa por el punto medio del otro lado. HIPOTESIS: MN AB M es punto medio de AC TESIS: N es punto medio de BC 1. Por N se traza una paralela a AM, corta a AB en D.. MN AD 1. Construcción. De hipótesis, de 1. A D B 3. ADNM es un paralelogramo 3. De 1 y. Definición de paralelogramo 4. CM MA ND 4. De hipótesis y de. Lados opuestos de un paralelogramo son s 5. B MNC 5. De hipótesis. Por ser ángulos correspondientes formados por rectas paralelas

10 Cuadriláteros C DNB 6. De 1. Por ser ángulos correspondientes formados por rectas paralelas 7. MNC DBN 7. De 4, 5, 6. L A A 8. CN NB 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos 9. N punto medio de BC. 9. De 8. Definición de punto medio. DEFINICION: El segmento que une los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio se llama base media. TEOREMA DE LA BASE MEDIA La base media de un trapecio es paralela a los lados paralelos y tiene por medida la semisuma de las medidas de las bases del trapecio. 1. DF corta a AB en P HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB E y F son puntos medios de los lados no paralelos TESIS: 1. Construcción 1. EF AB DC. EF AB DC. DFC BFP. Por ser opuestos por el vértice 3. C FBP 3. De hipótesis. Por se alternos internos entre paralelas 4. CF FB 4. De hipótesis. F es punto medio de CF 5. DCF PBF 5. De, 3 y 4. A L A 6. DF FP 6. De 5. Lados correspondientes en triángulos 7. F es punto medio de DP 7. De 6. Definición de punto medio 8. E es punto medio de AD 8. De hipótesis. 9. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en el ADP. 9. EF AP 10. EF AB 11. AB DC 1. EF AB DC 13. EF AP 14. EF AB BP 10. De 9 y 1. A B P 11. De hipótesis 1. De 10 y 11. Propiedad transitiva 13. De 7 y 8. Teorema de la paralela media en un triangulo. 14. De 13. Adicion de segmentos 15. BP DC 15. De 5. Lados correspondientes en triángulos congruentes

11 Cuadriláteros EF AB DC 16. Sustitución de 15 en 14. TEOREMA (Extensión del teorema de la paralela media) Si por el punto medio de un lado no paralelo de un trapecio se traza una paralela a las bases, esta paralela pasa por el punto medio del otro lado no paralelo. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con DC M es punto medio de AD MN AB DC C N B AB TESIS: N es punto medio de BC. 1. M es punto medio de AD 1. De hipótesis. AM MD. De 1. Definición de punto medio 3. MN AB DC 3. De hipótesis 4. BN NC 4. De 3 y. Por el teorema fundamental del paralelismo 5. N es punto medio de BC 5. De hipótesis y 1. TEOREMA El punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectángulo equidista de los vértices. O de otra forma: La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa. HIPOTESIS: Triangulo ABC es rectángulo M es el punto medio de la hipotenusa CB TESIS: 1)AM MB MC ) AM BC 1. Por M se traza una paralela a AB, que corta a AC en N 1. Construcción. N es punto medio de AC. De 1. Si por el punto medio de un lado de un triangulo se traza una paralela a un lado, cortara al otro lado en su punto medio. 3. m( CNM) = m( CAB) = 90º 3. De hipótesis y de 1. Por ser correspondientes entre paralelas 4. MN es altura 4. De 3. Definición de altura. 5. CMA es isósceles. 5. De 1 y 4. Una mediana es altura. 6. AM MC 6. De 5. Definición de triangulo isósceles.

12 Cuadriláteros 1 7. MC MB 7. De hipótesis. Definición de punto medio. BC 8. De 6 y 7. Propiedad transitiva y M es 8. AM MC MB punto medio. TEOREMA Las medianas de un triangulo se cortan en un punto G, llamado baricentro. Demostrar que G está a /3 de cada vértice. HIPOTESIS: AM y BN son medianas que se cortan en G TESIS: AG BG AM 3 BN 3 1. M y N son puntos medios de BC y AC 1. De hipótesis. Definición de mediana AB. De 1. Teorema de la paralela media en. NM AB; NM ABC 3. Sean P y Q los puntos medios de 3. Todo segmento tiene un punto medio AG y BG respectivamente. AB 4. De 3. Teorema de la paralela media en 4. PQ AB; NM triangulo AGB NM PQ 5. De y 4. Propiedad transitiva 5. NM PQ 6. NPQM es un paralelogramo 6. De 5. Por tener dos lados opuestos paralelos y 7. PG GM 7. De 6. Las diagonales de un paralelogramo se cortan en su punto medio 8. PG AP 8. De 3. Definición de punto medio 9. AP PG GM 9. De 7 y 8. Propiedad transitiva 10. AP PG GM De 9. Definición de fracción AM AP PG AM 3 AG 3 AM De la misma forma se demuestra que BG = /3 BN 11. De 10. Aritmética. 1. De 11. Adición de segmentos.

13 Cuadriláteros 13 1) EJERCICIOS HIPOTESIS: ABC es isósceles con CA CB E, D, F son puntos medios. TESIS: DECF es un rombo ) Demostrar que un paralelogramo al unir dos vértices opuestos con los puntos medios de sus lados opuestos, determinan segmentos que trisecan la diagonal. 3) Demostrar que las bisectrices de los ángulos interiores de un triangulo se cortan en un punto llamado incentro. 4) EJERCICIOS PROPOSICIONES DE VERDADERO FALSO: 1. Un triangulo isósceles tiene sus tres ángulos agudos. ( ). Una recta que biseca el ángulo externo opuesto a la base de un triangulo isósceles es paralela a la base. ( ) 3. La mediana de un triangulo es perpendicular a la base. ( ) 4. Los ángulos agudos de un triangulo rectángulo son complementarios 5. Dos rectas perpendiculares a la misma recta son paralelas ( ) 6. Si se cortan dos rectas mediante una transversal se forman exactamente cuatro parejas de ángulos alternos internos. ( ) 7. En un triangulo rectángulo en el cual la medida de uno de sus ángulos agudos es 30º, la medida de la hipotenusa es igual a la mitad de la medida del lado opuesto al ángulo de 30º ( ) 8. Cuando se cortan dos rectas paralelas mediante una transversal, los dos ángulos interiores del mismo lado de la transversal son complementarios. ( ) 9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente. ( ) 10. Un paralelogramo equilátero es siempre un cuadrado. ( ) 11. Las diagonales de un paralelogramo son ( ) 1. Las diagonales de un rectángulo son congruentes, ( )

14 Cuadriláteros Un rectángulo es un paralelogramo. ( ) 14. Un paralelogramo es un rectángulo ( ) 15. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, el paralelogramo es un cuadrado. ( ) 16. Los lados no paralelos de un trapecio isósceles forman ángulos congruentes con las bases. ( ) 17. Los segmentos que unen los puntos medios de los lados opuestos de un cuadrilátero se bisecan mutuamente. ( ) 18. La base media de un trapecio biseca a las diagonales ( ) 19. Los segmentos que unen los puntos medios consecutivos de los lados de un rectángulo forman un rombo. ( ) 0. Las bisectrices de los ángulos opuestos de un rectángulo son paralelas. ( ) 1. Las bisectrices de los ángulos consecutivos interiores de un paralelogramo son perpendiculares.( ) EJERCICIOS: 1. AC es una diagonal del rombo ABCD. Si m ( B) = 10º, hallar m ( BAC).. En un paralelogramo ABCD, m( A) = m ( B). Hallar m( A ) 3. En el triangulo ABC. AD DB (A D B), m( C) = 90º, m ( B ) = 30º. AC = 35 cm. Hallar BD y la mediana CD 4. ABCD es un trapecio. E y F son puntos medios de los lados no paralelos. 5. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC BF es bisectriz de ABC TESIS: DE FB 6. Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles. 7. Demostrar que si las diagonales de un paralelogramo son mutuamente perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo. 8. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares.

15 Cuadriláteros HIPOTESIS: SRQT es un paralelogramo QL es la bisectriz de TQR SM es la bisectriz de TSR TESIS: SLQM es un paralelogramo. 10. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo y las diagonales se cortan en E. TESIS: E es el punto medio de FG 11. Demostrar que si se unen los puntos medios de los lados de un cuadrilátero, se obtiene un paralelogramo. 1. Demostrar que los segmentos que unen los puntos medios de los lados de un rectángulo forman un rombo Demostrar que el segmento que une los puntos medios de los lados paralelos de un trapecio, biseca a la paralela media del trapecio. 15. HIPOTESIS: M y N son puntos medios de las bases del trapecio. E y F son los puntos medios de los lados no paralelos. P y Q son los puntos medios de las diagonales. TESIS: 1) EP ) ES QF SF 3) S es punto medio de PQ

16 Cuadriláteros HIPOTESIS: Triangulo ABC es isósceles con CA D, E, F son puntos medios TESIS: CDEF es un rombo CB 17. HIPOTESIS; ELMN es un cuadrilátero A, B, C, D son puntos medios de los lados del Cuadrilátero. TESIS: CA y DB se bisecan mutuamente. 18. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo P es el punto medio de AD Q es el punto medio de BC TESIS: AR RS SC 19. Demostrar que si cada diagonal de un cuadrilátero biseca a dos ángulos del cuadrilátero, entonces el cuadrilátero es un rombo. 0. 1

17 Cuadriláteros 17. AYUDA: Trazar BR y AS HIPOTESIS: G es el punto medio de AC ; H es el punto medio de medio de BC. AH HR y BG GS TESIS: 1) S C R ) CR CS 3. En el trapecio isósceles ABCD. AD BC. Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triangulo APB es isósceles. 4. En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de BD. AB paralelogramo. CD. CH es perpendicular a AB con A H B. Demostrar que MHBN es un Ejercicios tomados de los siguientes textos: Geometría Euclidiana de Nelson Londoño Geometría Euclidiana de Hemmerling Curso de Geometría. Reunión de profesores Geometría de Clemens y otros, de la serie Awli Geometría de Edwin E. Moise Recopilados por: José Manuel Montoya Misas.

18 Cuadriláteros 18 EJERCICIOS RESUELTOS SOBRE CUADRILATEROS HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo DE es bisectriz de ADC BF es bisectriz de ABC A E B ; D F C TESIS: DE FB 1. m( 1) m( ADC) 1. De hipótesis. Definición de bisectriz. m( ) m( ABC). De hipótesis. Definición de bisectriz 3.m( ADC)=m( ABC) 3. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo 4. m( ) m( ADC) 4. Sustitución de 3 en. 5. m( 1) = m( ) 5. De 1 y 4. Propiedad transitiva. 6. C A 6. De hipótesis. Por ser ángulos opuestos de un paralelogramo De 5 y 6. Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes el tercer ángulo del primero es congruente al tercer ángulo del segundo. 8. DC AB 8. De hipótesis. Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos De 8. Por ser alternos internos entre paralelas De 7 y 9. Propiedad transitiva. 11. DE FB 11. De 10. Por formar ángulos correspondientes congruentes Demostrar que si los ángulos de la base de un trapecio son congruentes, el trapecio es isósceles. HIPOTESIS: ABCD es un trapecio con DC AB A B TESIS: ABCD es un trapecio isósceles 1. Se trazan las alturas DH y 1. Construcción auxiliar CE. DH CH. De 1. Por ser perpendiculares a la misma recta AB 3. DC HE 3. De hipótesis. DC AB 4. HECD es un paralelogramo 4. De y 3. Definición de paralelogramo. 5. DH CE 5. De 4. Por ser lados opuestos de un paralelogramo. 6. A B 6. De hipótesis. 7. DHA CEB 7. De 1, 5 y 6. Por ser triángulos rectángulos con un cateto y un ángulo agudo

19 Cuadriláteros AD BC 8. De 7. Por ser lados correspondientes en triángulos s 9. ABCD es un trapecio 9. De 8 y de hipótesis. Definición de trapecio isósceles. isósceles Demostrar que las bisectrices de dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son perpendiculares. HIPOTESIS: ABCD es un paralelogramo AE es bisectriz de DAB BE es bisectriz de ABC TESIS: AE EB De hipótesis. Definición de bisectriz m( 1) m( DAB) m( 1) m( DAB). De hipótesis. Definición de bisectriz m( ) m( ABC) m( ) m( ABC) 3. m( DAB) + m( ABC) = De hipótesis. Los ángulos consecutivos en un paralelogramo son suplementarios 4. m( 1) + m( ) = Sustitución de 1 y en 3 5. m( 1) + m( ) = De. Algebra 6. m( E) = De 5. Los ángulos interiores de un triangulo suman AE EB 7. De 6. Definición de perpendicularidad 1. M es punto medio de AD y N es punto 1. De hipótesis medio de BC. MN es la base media del trapecio. De hipótesis. Definición de base media 3. MN DC 3. De. La base media es paralela a las bases 4. De 3 y M P Q N 4. MP DC 5. En ADC : P es punto medio de AC 5. De 4 y 1. Si por el punto medio de un lado de un triangulo se traza una paralela a u n lado, esa paralela pasa por el punto medio del otro lado. Continuar con la demostración y demostrar que Q es el punto medio de la diagonal DB.

20 Cuadriláteros 0 HIPOTESIS: ELNM es un cuadrilátero A, B, C, D son los puntos medios de los lados del cuadrilátero. TESIS: AC y DB se bisecan mutuamente. 1. Se traza la diagonal EN 1. Construcción auxiliar. D es punto medio EM y C es punto medio de. De hipótesis MN 3. DC es paralela media en el EMN 3. De. Definición de la paralela media en un triangulo. 4. DC EN 4. De 3. Teorema de la paralela media ; DC EN 5. A es punto medio de EL y B es punto medio de 5. De hipótesis. LN 6. AB es paralela media en el ELN 6. De 5. Definición de la paralela media en un triangulo. 7. AB EN 7. De 6. Teorema de la paralela media ; AB EN 8. DC AB y DC AB 8. De 4 y 7. Propiedad transitiva 9. ABCD es un paralelogramo 9. De 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos. 10. AC y DB se bisecan 10. De 9. Las diagonales de un paralelogramo se bisecan.

21 Cuadriláteros 1 HIPOTESIS: BT es altura A P B PR AC y PS BC TESIS: PR + PS = BT 1. Se traza PQ BT 1. Construcción auxiliar.. AC BT. De hipótesis. Definición de altura. 3. PQ AC 3. De 1 y. Por ser perpendiculares a la misma recta 4. PR AC 4. De hipótesis 5. BT AC QT AC 5. De hipótesis. Definición de altura 6. PR QT 6. De 4 y 5. Por ser perpendiculares a la misma recta 7. RPQT es un paralelogramo 7. De 3 y 6. Definición de paralelogramo 8. PR QT 8. De 7. Los lados opuestos de un son congruentes 9. BT = BQ + QT 9. Suma de segmentos 10. BT = BQ + PR 10. Sustitución de 8 en PQB y PSB son rectángulos 11. De 1 y de hipótesis. Definición de triangulo rectángulo. 1. A ABC 1. De Hipótesis. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son 13. QPB A 13. De 3. Por ser ángulos correspondientes entre paralelas. 14. QPB ABC 14. De 1 y 13. Propiedad transitiva 15. PB PB 15. Propiedad reflexiva 16. PQB PSB 16. De 11, 14, 15. Por ser triángulos rectángulos con un ángulo agudo y la hipotenusa 17. BQ = PS 17. De 16. Por ser lados correspondientes en triángulos 18. BT = PS + PR 18. Sustitución de 17 en 10. En el trapecio isósceles ABCD. AD BC. Las diagonales se cortan en P. Demostrar que el triangulo APB es isósceles. 1. DAB CBA 1. De hipótesis. Los ángulos de la base de un triangulo isósceles son congruentes. AD BC. De hipótesis. 3. AB AB 3. Propiedad reflexiva 4. DAB CBA 4. De 1,, 3. L A L De 4. Por ser ángulos correspondientes en triángulos

22 Cuadriláteros 6. APB es isósceles 6. De 5. Por tener dos ángulos congruentes En un trapecio isósceles ABCD. M es el punto medio de AC y N es el punto medio de BD. AB CD. CH AB ; con A H B. Demostrar que MHBN es un paralelogramo. 1. AHC es un triangulo 1. HM es la mediana sobre la hipotenusa rectángulo. HM MA MC. De 1. En un triangulo rectángulo la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta. 3. AMH es isósceles 3. De. Definición de triangulo isósceles. 4. MAH MHA 4. De 3. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles. 5. APB es isósceles. 5. Leer el ejercicio anterior 6. MAH PBA 6. De 5. Por ser ángulos de la base de un triangulo isósceles 7. MHA PBA 7. De 4 y 6. Propiedad transitiva. 8. De 7. Por formar ángulos correspondientes 8. HM BN 9. AC BD 9. De hipótesis. Las diagonales de un trapecio isósceles son 10. BN AM 10. De 9 y de hipótesis, por ser mitades de segmentos 11. BN AM HM BN 11. De 10 y. Propiedad transitiva 1. MHBN es un paralelogramo. 1. De 11 y 8. Por tener un par de lados congruentes y paralelos.