SGUICES054MT22-A17V1. Bloque 22 Guía: Congruencia y semejanza de triángulos

Transcripción

1 SGUICES054MT-A17V1 Bloque Guía: Congruencia y semejanza de triángulos

2 TABLA DE CORRECCIÓN CONGRUENCIA Y SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS N Clave Dificultad estimada 1 B Comprensión Fácil D Aplicación Media 3 B Media 4 B Media 5 A Media 6 D Media 7 E Comprensión Media 8 E Aplicación Media 9 E Difícil 10 B Difícil 11 E Difícil 1 A Difícil 13 A Comprensión Fácil 14 C Media 15 D Difícil 16 B Difícil 17 E Media 18 A Fácil 19 B Comprensión Difícil 0 C Comprensión Media 1 A Aplicación Difícil C Aplicación Media 3 B Difícil 4 C Media 5 C Fácil

3 1. La alternativa correcta es B. Comprensión A) Verdadera, ya que los ángulos interiores del triángulo DEA son congruentes a los del triángulo CEB, debido a que es un trapecio isósceles. Al ser congruentes los segmentos AD y BC, entonces se cumple que dichos triángulos son congruentes mediante el criterio ALA. B) Falsa, ya que si bien los lados AD y CB son congruentes, al igual que los lados CA y AC (que corresponden al mismo lado), no se cumple que los lados AB y CD también sean congruentes. C) Verdadera, ya que los ángulos ABD y CDB son alternos internos; luego, se cumple que ABD CDB. D) Verdadera, ya que los ángulos interiores del triángulo BAD son congruentes a los del triángulo ABC, debido a que es un trapecio isósceles. Al ser congruentes los segmentos AD y BC, entonces se cumple que dichos triángulos son congruentes mediante el criterio ALA. E) Verdadera, ya que en un trapecio isósceles se cumple que sus dos ángulos obtusos, DAB y ABC, son iguales.. La alternativa correcta es D. Aplicación Como AC : AB = 1 : y AC +AB =( polígono AEBC corresponde a AC + 3 BC = ), se deduce que AC = y AB = 4. Luego, el perímetro del 3. La alternativa correcta es B. Como EBA DCE, entonces AB = EC = 5, EA = ED = 6 y EB = DC = 8; además, AEB EDC, BAE CED y EBA = DCE =. Luego: I) Falsa, ya que CB = EB EC = 8 5 = 3.

4 II) Falsa, ya que solo ocurriría si AEB fuera congruente con DCE, lo que no siempre se cumple. III) Verdadera, ya que AEB + BAE + EBA = 180 AEB + CED + = 180 AED = 180 Por lo tanto, solo la afirmación III es verdadera. 4. La alternativa correcta es B. En un hexágono regular, todos sus lados y ángulos interiores son congruentes. Además, las tres diagonales que pasan por el centro son congruentes entre sí y las seis diagonales que no pasan por el centro son congruentes entre sí. Luego, analizando cada una de las alternativas: A) Verdadera, ya que AF EF AB BC, pues corresponden a lados del hexágono, y AFE CBA, pues corresponden a ángulos interiores del hexágono. Entonces, por el criterio LAL, los triángulos son congruentes. B) Falsa, ya que si bien los tres ángulos son congruentes, los lados respectivos no lo son; por ejemplo, el lado AC corresponde a la hipotenusa en el ΔPAC, y es distinto al lado EB, que corresponde a la hipotenusa en el ΔABE. Entonces, los triángulos no son congruentes. C) Verdadera, ya que AR CR, pues R es punto medio de AC, AB BC pues corresponden a lados del hexágono y el lado BR es común. Entonces, por el criterio LLL, los triángulos son congruentes. D) Verdadera, ya que el triángulo FQE es equilátero y P es punto medio de FQ. Entonces, EP divide al triángulo FQE en dos triángulos congruentes. E) Verdadera, ya que ambos son mitades de triángulos equiláteros congruentes (ΔFQA ΔQBC). Entonces, los triángulos son congruentes. Por lo tanto, solo la alternativa B es falsa.

5 5. La alternativa correcta es A I) Falso, ya que puede haber un rectángulo, de base 4 y altura 3, cuya área mide 1, y otro rectángulo, de base y altura 6, cuya área también mide 1, no siendo estos congruentes entre sí. II) Verdadero, ya que al trazar la altura de un triángulo equilátero, siempre se forman dos triángulos rectángulos congruentes de ángulos III) Falso, ya que si bien al trazar las diagonales de un rombo se obtienen 4 triángulos rectángulos congruentes, estos no son isósceles. Por lo tanto, solo la afirmación II es siempre verdadera. 6. La alternativa correcta es D. (1) AD // CB y AD CB. Con esta información, sí es posible determinar que ADC BCD, ya que si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales, es un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. () AC // DB y AC DB. Con esta información, sí es posible determinar que ADC BCD, ya que si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e iguales, es un paralelógramo, y en todo paralelógramo una diagonal lo divide en dos triángulos congruentes. Por lo tanto, la respuesta es: Cada una por sí sola, (1) ó (). 7. La alternativa correcta es E. Comprensión Si a es el lado del cuadrado, entonces el perímetro de la figura es 7a. Luego, 7a = 4 a = 6 cm. Como los cuadrados son congruentes, el área de la figura está dado por a = 7 cm.

6 8. La alternativa correcta es E. Aplicación El triángulo BCE es isósceles de base BE. Luego, CBE CEB, 180 CBE. Al ser ABC y CBE ángulos suplementarios, 180 ABC La alternativa correcta es E. Geometría de Proporción. Como FGJ JHI, entonces FG FJ JH JI y JG = HI = JH. Luego: JG = JH + HG (Reemplazando) JH = JH + 1 (Despejando JH ) JH JH = 1 JH 1 = 1 JH = 1 1 Racionalizando, resulta JH = JG = HI = 1 1 JH = = 1. Por lo tanto, la medida de HI es 10. La alternativa correcta es B. Como el triángulo ABE es isósceles en E, entonces AE EB. Además, ABE DBC, por lo cual AB DB, BE BC y AE DC. Luego, AE = EB = DC = CB = p y AB = DB = m. Entonces, DE = (DB EB) = (m p), quedando los perímetros representados por:

7 Perímetro DBC = DB + DC + CB = m + p + p = m + p = 18 cm Perímetro ABCDE = AB + AE + DE + DC + CB = m + p + (m p) + p + p = m + p = 6 cm Esto significa que el perímetro del polígono es m cm mayor que el perímetro de cada triángulo. Como la diferencia entre ambos perímetros es (6 18) = 8 cm, entonces m = 8cm. Reemplazando en cualquiera de las dos expresiones, por ejemplo en el perímetro del triángulo, es posible determinar que (8 + p) = 18 p = (18 8) = 10 p = 5 cm. Por lo tanto, el segmento DE mide (8 5) = 3 cm. 11. La alternativa correcta es E. Como ABCD es un cuadrado de lado, entonces su diagonal AC vale. Por otro lado, dado que DPC es un triángulo isósceles en C, entonces DC = PC =. Luego, QC = (AC AQ) = ( ). Dado que DCP BAQ, entonces AQ PC y AP QC. Por lo tanto, el valor de PQ es PQ = (PC QC) = ( ( )) = ( + ) = (4 ). 1. La alternativa correcta es A. Sean y ángulos interiores del MNT, isósceles en T, y considerando que MNT NSR y MN // RS, resulta el triángulo adjunto. Por la suma de ángulos interiores, MNT + = 180º (1) Por paralelismo, SRT NMT = () 180 º Reemplazando () en (1) + = 180º 5 = 180º = = 36º 5 Entonces, según (), = 36º = 7º. Por lo tanto, el ángulo RMN mide (180º ) = (180º 7º) = 108º. R M T N S

8 13. La alternativa correcta es A. Comprensión A) Sí se cumple, ya que BAC EDF, además de que ambos poseen un ángulo recto. Luego, se cumple por el criterio AA que los triángulos son semejantes. B) No se cumple, ya que solo nos permite concluir que ambas hipotenusas son congruentes. C) No se cumple, ya que no se puede concluir que los otros dos lados mantengan la razón 1 :. D) No se cumple, ya que lo triángulos escalenos rectángulos no necesariamente tendrán las medidas de sus lados proporcionales. E) No se cumple, ya que dos triángulos semejantes no tienen necesariamente la misma área. 14. La alternativa correcta es C. Comprensión I) Verdadera, ya que como los ángulos son congruentes, entonces las rectas son paralelas. Luego, los triángulos son semejantes. II) Verdadera ya que ubicando los ángulos que faltan, por criterio AA, los triángulos son semejantes. III) Falsa, ya que no se puede determinar que los triángulos son semejantes, al no poder establecerse paralelismo entre las rectas. Por lo tanto, solo en los enunciados I y II el triángulo F es semejante con el triángulo G. 15. La alternativa correcta es D. I) Verdadera, ya que ABCD es un paralelógramo y ECG BAG, y al ser opuestos por el vértice, CGE AGB. Luego, se cumple que ABG CEG, por el criterio AA.

9 II) Verdadera, ya que ABCD es un paralelogramo y GCB GAF; al ser opuestos por el vértice, BGC FGA. Luego, se cumple que CGB AGF, por el criterio AA. III) Verdadera, ya que ABCD es un paralelógramo, EDF ECB y el BEC es un ángulo común. Luego, se cumple que EDF ECB, por el criterio AA. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 16. La alternativa correcta es B. Como el triángulo ABD es rectángulo en D, entonces BAD = 90º 40º = 50º. Dado que AC es 50 º bisectriz del ángulo BAD, entonces BAC = CAD = = 5º. Por otro lado, como el triángulo ABC es rectángulo en C, CBE = 90º 5º 40º = 5º. Por último, como el triángulo BCD es isósceles en C, CBD = BDC = 5º. Entonces, al completar las medidas angulares, la figura se puede representar según la imagen adjunta. Luego: D I) Verdadera, ya que los triángulos EAD y EBC son semejantes, al poseer respectivamente los mismos ángulos interiores. II) Verdadera, ya que los triángulos CED y BEA son semejantes, al poseer respectivamente los mismos ángulos interiores. III) Falsa, ya que los triángulos ACD y BDC no son semejantes, pues los ángulos interiores de ACD son 5, 40 y 115, y los del triángulo BDC son 5, 5 y 130. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. A 5º 5º E 5º 40º 115º 65º 65º 115º C 5º 40º B

10 17. La alternativa correcta es E. Como AB : BC : CD 1:3: 1, entonces AB CD, BC 3AB y AD 5 AB. Dado que ambos triángulos son equiláteros, estos son semejantes y la razón de proporcionalidad o semejanza es 5 : 3. Luego: I) Verdadera, ya que entre dos triángulos semejantes, la razón de semejanza se mantiene para los elementos secundarios homólogos, como las alturas. Entonces, la razón entre las alturas de los triángulos ADQ y BPC es también 5 : 3. II) III) Verdadera, ya que, como se muestra en la figura, el perímetro sombreado se puede expresar como 18k y el perímetro del triángulo BCP como 9k. Entonces, el perímetro de la región sombreada es el doble del perímetro del triángulo. Si AB : BC : CD = 1 : 3 : 1, luego AB= k, BC = 3k y CD = k, (con k constante real distinta de cero). Verdadera, ya que al ser los triángulos semejantes, la razón entre sus áreas es igual al cuadrado de la razón entre lados homólogos (razón de semejanza). Luego, área Δ BCP área Δ ADQ % BC AD 3 AB 5 AB , por lo que el área del triángulo BCP es el = 36% del área del triángulo ADQ. Entonces, el área de la región sombreada es el (100 36) = 64% del área del triángulo ADQ. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 18. La alternativa correcta es A. (1) AC // DB. Con esta información, sí se puede afirmar que el triángulo AMC es semejante con el triángulo BMD, ya que por el criterio A-A-A dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes. () m =. Con esta información, no se puede afirmar que el triángulo AMC es semejante con el triángulo BMD, ya que solo se asegura que un par de lados correspondientes son proporcionales. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola.

11 19. La alternativa correcta es B. Comprensión Por razón de semejanza, se tiene que AD AC 3. Luego, despejando se obtiene que 3AD AC. De igual manera para los demás segmentos: AD DE AC 3DE CB DE AC CB AD AB AE CB 3AE AB AE CB DE DE Entonces, como el perímetro es la suma de todos los lados, se tiene que 3 3 AB CB AC AE DE AD 6 9 cm. 0. La alternativa correcta es C. Comprensión El área del triángulo DEF es una cuarta parte del área del triángulo ABC. Luego, el área del triángulo 81 3 DEF es cm. 4 Como el triángulo DEF es semejante al triángulo ABC, el área viene dada por a corresponde al lado del triángulo DEF. Luego, a 9 cm. 4 4 Por lo tanto, el perímetro del triángulo DEF es 7 cm. a 3 4, donde a

12 1. La alternativa correcta es A. Aplicación Como DB y EC son alturas del triángulo ACD, entonces FED = CBF = 90º. Además, DFE BFC, ya que son opuestos por el vértice. Luego, por el criterio AA, se cumple que FED FBC. Por otro lado, como FBC es rectángulo en B, FB = 3 y BC = 4, entonces FC = 5 (por Pitágoras). Por lo tanto, usando la proporcionalidad existente entre los lados homólogos, resulta: EF EF = La alternativa correcta es C. Aplicación BAC ADE y DEA CBA, entonces Δ AED Δ CBA. Aplicando la proporcionalidad de AE ED AD AE 10 5 lados homólogos: CB BA CA CA AE 10 Luego: AE AE Entonces, EC = (AC AE) = (15 13) =. 13 ; CA CA CA 10 Por lo tanto, el perímetro del polígono ABCED es ( ) = La alternativa correcta es B. Como AED BEC, entonces AE EB DE AD. EC CB Dado que EAD CBE (por la semejanza), entonces el triángulo ABC es isósceles en C, lo que implica que AC CB. Luego, AC AD DC.

13 Reemplazando los valores conocidos en la proporción, queda AD 3 AD 3 AD 3 (AD + ) = 4 AD 3 AD + 6 = 4 AD AD = AD Por lo tanto, CB mide (AD + ) = (6 + ) = 8 cm. 4. La alternativa correcta es C. Si el triángulo MNP es isósceles en N, con MP = 10 cm y MN = 8 cm, entonces NP = 8 cm. Luego: I) Falsa, ya que si dos triángulos son isósceles, no son necesariamente semejantes. II) Verdadera, ya que por el criterio LLL, los tres lados de los triángulos son respectivamente proporcionales. III) Verdadera, ya que en dos triángulos isósceles, basta que el ángulo del vértice (frente a la base) sea congruente para que los triángulos sean semejantes, dado que los ángulos basales también serían respectivamente congruentes. Por lo tanto, solo II y III son semejantes al triángulo MNP. 5. La alternativa correcta es C. I) Verdadero, ya que por el criterio AAA, dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes. En este caso, todos los ángulos son iguales a 60. II) Falso, ya que solo se puede deducir que comparten un ángulo congruente. Luego, no se puede asegurar la semejanza. III) Verdadero, ya que por el criterio AAA, dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes. En este caso, son congruentes el ángulo recto y los de 45. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y III son verdaderas.