Areas y perímetros de triángulos.

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Isabel Reyes Ortiz
hace 7 años
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1 Areas y perímetros de triángulos. Teorema de Pitágoras. Propiedades de las medidas de los lados de todo triángulo. Area de un triángulo rectángulo y cualquiera. Perímetro y semiperímetro de un triángulo cualquiera. Formula de Herón. Ejercicios en general de cálculo de áreas y perímetros en triángulos.

2 Teorema de Pitágoras : En todo triángulo rectángulo se cumple que "La suma de los cuadrados de las medidas de los catetos, es igual al cuadrado de la medida de la hipotenusa" luego: C a,b: catetos b a c: hipotenusa A c B a + b = c Ejercicios: ) Aplicar el teorema de Pitágoras en calcular la medida de "" en:

3 (a) C (b) T 6cm 8cm m. A B R m. S Catetos: 6 ; 8 Hipotenusa: = = 00 = / 00 = 0 = Catetos: ; Hipotenusa: + = 44 + = 69 = = 5 / = = 5 5

4 (c) Z (d) C 5 plg. 7 plg. 6cm X Catetos: 5 ; Hipotenusa: 7 Y 5 + = = 89 = 89 5 = 64 / = = 8 64 A Catetos: 6 ; 5 5cm 6 + ( 5) = B Hipotenusa: = 8 = / 8 = 9 =

5 ) Verifique si los siguientes tríos de medidas corresponden a las medidas de los lados de un triángulo rectángulo: Las dos medidas menores corresponderían a la de los catetos y la medida mayor a la de la hipotenusa. (a) 8, y 6 cm. Catetos: 8 ; Hipotenusa: 6? 8 + = ; no corresponden

6 (b) 4, 6, mm. Catetos: 4 ; 6 Hipotenusa:? = ( ) = 5 ; si corresponden (c), 0, m. Catetos: ; Hipotenusa: 0 ( ) + ( ) = ( 0) 0 0 = 0 ; si corresponden

7 Relaciones entre las medidas de los lados de un triángulo: En todo triángulo se debe cumplir que: i) La suma de las medidas de dos lados, debe ser siempre mayor que la medida del tercer lado. ii) La diferencia de las medidas de dos lados, debe ser siempre menor que la medida del tercer lado. Ejemplo: Sea ABC ; de lados de medida a, b, c con c > a > b ; luego:

8 Sea ABC ; de lados de medida a, b, c con c > a > b ; luego: A b C c a B i) a + b > c a + c > b b + c > a ii) a - b c - a c - b < < < c b a Ejercicios: ) Verifique si los siguientes tríos de medidas corresponden a las de los lados de un triángulo:

9 (a) 5, 7 y 0 cm > > > < < < 7 si corresponden (b), 7 y 8 mm. + 7 = 0 y 0 no es mayor que = 5 y 5 no es menor que 7. no corresponden (c) 5.5, 8.5, m > > > 5.5 si corresponden < < < 5.5

10 ) Si las medidas de dos lados de un triángulo son de 8 y cm. Que medidas puede tomar el tercer lado obligadamente? Se tiene: 8cm, cm, con medida del tercer lado: Por ª propiedad: 8 + > 0 > Por ª propiedad: - 8 < 4 < luego: 4 < < 0 El tercer lado puede tomar cualquier medida entre 4 y 0 cm.

11 Area de un triángulo: a) Rectángulo: Es igual al semiproducto de las medidas de sus catetos. Ejemplo: Si a = 9cm y b = 6cm son las medidas de los catetos de un triángulo rectángulo, su área es: A = = 9 8 = 7cm

12 ) Cualquiera: Es igual al semiproducto de la medida del lado por la medida de la altura correspondiente. Ejemplo: Si c = cm es la medida del lado de un triángulo con h c = 8cm. medida de la altura correspondiente; luego su área es: A = 8 6 = 6 8 = 48cm

13 Perímetro de un triángulo: Queda determinado por la suma de las medidas de los lados de un triángulo; denotándose por S; luego: Semiperímetro de un triángulo: Queda determinado por la semisuma de las medidas de los lados de un triángulo; denotándose por S; luego:

14 Formula de Herón: El área de un triángulo también se puede obtener a partir de las medidas de sus lados "a", "b", "c" y de su semiperímetro S ; definiéndose: Ejemplo: Si los lados de un triángulo miden a = 9cm ; b = cm ; c = 5cm; luego: Perímetro : S = = 6 cm. Semiperímetro: S = = 6 = 8 cm.

15 Al calcular el área de este triángulo por la formula de Herón; donde a = 9cm; b = cm; c = 5cm y S = 8 cm ; se tiene que: A = 8 (8 9) (8 ) (8 5) A = A = A = A = A = 54 cm

16 Ejercicios Complementarios: ) Calcular el área y perímetro del ABC; rectángulo en C. + 5 = C + 5 = 69 5cm =cm = 69 5 A cm Area ABC = 5 6 B = 5 6 = 0 cm = 44/ = 44 = Perim. ABC: S = = 0 cm.

17 ) Si ABC isósceles de base AB con CD altura; entonces el área y perímetro de este triángulo es: C CD = h c = b γ = t c D pto / de AB 5 9cm h=cm 9cm A D B 8cm AD = DB = 9cm En BCD: =5 9 + = = 5 = / 5 = Area ABC = = = 8 6 = 08 cm Perim. ABC: S = = 48 cm.

18 ) Si ABC equilátero lado 6cm; calcular su área y perímetro. Nota: Si el lado de un equilátero mide a ; la medida de la altura es C h = a 6cm 6cm 6 h Si a = 6cm h = = = cm A 6cm B Area ABC = 6 = = 9 cm Perim. ABC: S = = 8 cm.

19 4) Calcular el área de la siguiente región achurada, si ABC es rectángulo en C y DE as altura del ADB. C En ABC: + 9 = = 5 9cm D =cm A h=5cm E 5cm B Area achurada = A. ABC - A. ABD = = = 5 8 = 44 / = 44 = = 54-7,5 = 6,5 cm

20 5) El área y perímetro de la figura es: 5cm= 0cm= y En AOB: + = = = 5 = 5 Area Fig. = A. AOB + A. COD 6 5 = + = = 54cm En COD: 8 +6 = y = y 00 = y 0 = y Perim. Fig.= P. AOB + P. COD = = 54cm.

21 6) Si ABC isósceles de base AB su área y perímetro es: 0cm h =6 Si ABC isósceles base AB ; luego: i) AC = BC = 0cm Area ABC = 4 6 = 4 8 = 9cm Perim. ABC = = 64cm. 8 ii) CD = b γ = h c = t c D punto medio de AB En h C CDB: 0cm Dcm B h + = 0 h = h = 56 h = 6

22 7) Si ABC cualquiera; su área y perímetro es: cm En ADC: C 9cm 4cm En C BDC: 5 Area ABC = 4 = = 84cm Perim. ABC = = 4cm. A 5 D 5 + = = 69 = = D y B y + = 5 y = 5-44 y = 8 y = 9

23 8) Si ABC equilátero; BC = BD; el área de región achurada es: 6cm h = 6cm 6cm 6cm Si BD = BC con ABC equilátero BD = BA = 6cm ABC equilátero lado 6cm. La altura del BDC es coincidente con la altura del ABC equilátero lado 6cm; luego h = 6 h = = cm. h = 6cm Area achurada = Area 6 = = 9 BDC cm.

24 9 ) Si ABC isósceles de base AB=8cm y lado igual a 5cm. Si AD=DE=EB; el área y perímetro del DEC es: Si AB = 8cm con AD = DE = EB AD = DE = EB = 6cm 6 y 6 M 6 Sea M pie de la altura del ABC isósceles de base AB M es punto medio de AB. M es punto medio de DE. h En MBC: C 5cm M 9cm B h +9 = 5 h = 5-8 h = 44 h = En MEC: y + = y = y 5 = y 5 = 9 7 = 7 = y y y

25 Area DEC = = 6 6 = 6cm 6 Perímetro DEC = = = 6 ( + 7)cm.

26 0) Si ABC cualquiera; L, M, N puntos medios lados. Qué parte del área del ABC es el área del LMN? Sea ABC de base a y de altura h h a h a Area ABC = Area LMN = a h a h Si NM es mediana, mide la mitad del lado opuesto; luego NM = a La altura del LMN al ser bajada de la mediana mide la mitad de la altura del ABC; luego esta mide h = ah a h Qué parte de ah es?

27 a h Qué parte de ah es? Se debe dividir la parte por el total: a h ah ah = ah Qué parte del área del ABC es el área del LMN? Es la cuarta parte. = = 4

28 Respuestas Ejercicios Propuestos Clase-57 ) B ) C ) B 4) D 5) A 6) B 7) C 8) B 9) C 0) C ) D ) A ) A 4) E 5) E 6) B 7) D 8) C 9) A 0) B ) C ) C

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