Olimpiada Costarricense de Matemáticas. II Eliminatoria Curso preparatorio Nivel A. Elaborado por: Christopher Trejos Castillo GEOMETRÍA

Transcripción

1 Olimpiada Costarricense de Matemáticas II Eliminatoria 011 Curso preparatorio Nivel A Elaborado por: Christopher Trejos Castillo GEOMETRÍA

2 La notación que utilizaremos en este trabajo es la siguiente: AB : Segmento que va de A a B AB : Rayo que empieza en A y pasa por B AB : Recta que pasa por A y B A B C : Puntos colineales A, B y C l m : La recta l es paralela a la recta m l m : La recta l es perpendicular a la recta m Suma de los Ángulos Internos de un Triángulo Teorema 1: En un triángulo la suma de todos sus ángulos es igual a 180 Ejemplo1: Considere el triángulo ABC Sea X el pie de la altura desde B al lado AC y sea Y el pie de la altura desde A hasta el lado BC Sea T la intersección de estas dos alturas Si m ABC= 50º y m BAC= 60º, entonces la medida del BTY es: (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 010, Nivel A) Solución: De acuerdo con los datos, tenemos la siguiente figura: En el triángulo ABX, de acuerdo con el teorema 1, se sigue que: ABX + BAX + BXA = 180, entonces ABX = 180 ABX= 30 Como ABC= ABX+ CBX= CBX= 50 CBX= 0 Luego en el triángulo BTY, se tiene que: BTY+ YBT+ BYT= 180 BTY = 180 BTY= 70 Utilizando el mismo teorema 1 se puede llegar al mismo resultado de distintas formas, inténtalo! Algunas figuras importantes El triángulo equilátero es el triángulo con sus tres lados iguales y sus ángulos iguales a 60 El cuadrado tiene sus cuatro lados iguales y sus ángulos iguales a 90

3 El rombo tiene todos sus lados iguales, nótese que esto NO implica que sus ángulos sean todos iguales El rectángulo tiene todos sus ángulos iguales a 90º Ejemplo : Se dibujó un triángulo equilátero BCD y un cuadrado ABDE Este cuadrado se dividió en cuatro cuadrados iguales y uno de estos se dividió de nuevo en cuatro cuadrados como se ve en la figura Sabiendo que el lado de cada uno de estos cuadrados es 5, calcular el perímetro del polígono ABCDE es: (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 010, Nivel A) Solución: Como los cuatro cuadrados pequeños de lado 5 son iguales, el lado de cada cuadrado mediano es igual a 10, y como los cuatro cuadrados medianos son iguales, el lado del cuadrado grande tiene medida igual a 0 Como el triángulo BCD es equilátero, entonces el perímetro del polígono ABCDE, es igual a cinco veces el lado del cuadrado grande, es decir, Perímetro= 5 0= 100 Áreas de figuras importantes El área de un cuadrado de lado a y diagonal d, viene dada por Área d = a = bh El área de un triángulo de base b y altura h, viene dada por Área= Dd El área de un rombo de diagonal mayor D y diagonal menor d, viene dada por Área= El área de un trapecio de altura h, base mayor B y base menor b, viene dada por ( B+ ) b h Área=

4 Ejemplo 3: En la figura el área del trapecio ABCD es 196, con m ABC= 90º si AB=BC y BC=AD, cuál es el área del triángulo ABC? (Desarrollo da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 010, Nivel A) Solución: Sabemos que el área del trapecio viene dada por ( AD+ BC ) AB = 196 Pero BC AD=, entonces sustituyendo en lo anterior tenemos que: BC + BC AB = 196 3BC AB = 196 BC AB 196 = 3 BC AB 39 = 3 BC AB Como el área del triángulo ABC, viene dada por, entonces el área del triángulo ABC es igual a 39 3 Teorema de Thales De acuerdo con la siguiente figura, AD BE CF si y solo si anterior significa que si AD BE CF entonces AB BC AC = = entonces AD BE CF DE EF DF AB BC AC = = Lo DE EF DF AB BC AC = =, ó que si DE EF DF

5 Ejemplo 4: En el trapecio PQRS, y PQ RS, SR=PQ M es el punto medio de PQ, N es el punto medio de QR y L es un punto en el lado SR tal que LR=3LS Si PQ=1, entonces la razón entre el área del triángulo LMN y el área del trapecio PQRS es: Solución: De acuerdo con los datos tenemos la siguiente figura: Sea T el punto medio de RS, como RL=3LS, entonces L es el punto medio de TS Como 1 RS=PQ, entonces RT=PQ=1 y TL= LS= Sea h la distancia de RS a PQ, entonces 1 h ( PMLT) = h= (1) Sea Y el punto de intersección de ML y QR, por el teorema de PM TL Thales, como = = 1, entonces PT ML QS Tenemos que NT QS (), pues MQ LS NR RT NY TL = = 1, con esto YL QS NT, y por el Teorema de Thales = = 1, es NQ TS YQ LS PM MQ decir Y es el punto medio de NQ Luego = = 1, con lo cual PN MY QS (3) NY YQ Por () y (3), se tiene que PN y NT son paralelas a la recta QS, con lo cual los puntos P, N y T deben ser colineales, es decir N se encuentra en el segmento PT Sea t la distancia de la recta ML a PT, entonces ( LMN) ( PMLT) ML t = =, lo anterior puesto que N se encuentra sobre PT, además por (1) se tiene que: h ( PMLT) ( ) h LMN = = = 4

6 El área del trapecio es ( PQSR) (LMN) y (PQSR) es ( ) ( ) ( + ) ( + ) PQ RT h 1 h 3h = = = Por lo tanto, la razón entre h LMN 4 1 PQSR = 3h = 6 Teorema de Pitágoras y Derivados del teorema de Pitágoras Teorema : En un triángulo rectángulo, es decir con un ángulo de 90º, siendo a y b los catetos y c la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto), se tiene que: a + b = c También, siendo m la proyección de AB sobre BC y n la proyección de AC sobre BC, h la altura sobre el lado BC, como se muestra en la figura, se cumple que: a = mc, b = nc y h = mn Ejemplo 5: Sea ABC rectángulo en A Sea D el punto donde la altura desde A interseca a BC, si AB = 5; BD = 3, entonces el área del ADC es: (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 009, Nivel A) De acuerdo con los datos tenemos la siguiente figura: Solución 1: De acuerdo con los derivados de Pitágoras se tiene que: 5 = 4c, entonces 5 9 m= = Por los derivados de Pitágoras se sigue 5 c=, con esto se tiene que

7 que: 9 h = 4, entonces: h= 9= 3 Con esto, de (1) y (), se tiene que el área del = = 4 Solución : De acuerdo con el teorema de Pitágoras se tiene que: triángulo ADC es: ( ADC) 5 4 h h h 9 3 = + = = = = Luego por los derivados de Pitágoras se tiene que: 3 = 4 m m=, con lo anterior calculamos el área del triángulo ADC igual 4 que en la solución 1 Paralelogramos 9 En un paralelogramo, los lados opuestos son paralelos, los ángulos consecutivos son suplementarios, los ángulos opuestos son congruentes, los lados opuestos son iguales y las diagonales AC y BD se bisecan en un punto E, es decir: BAD DCB= α y ABC ADC= 180º α, AD=BC, AB=DC, AE=EC y BE=ED Ejemplo 6: Sea ABCDE un pentágono tal que los triángulos ABC; BCD; CDE; DEA; EAB tienen la misma área Sean M; N los puntos de intersección de AC y AD con BE respectivamente, pruebe que BM = NE (Desarrollo da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 009, Nivel A) Solución: De acuerdo con los datos tenemos la siguiente figura: Como el triángulo BCD y el triángulo CDE, comparten la base CD y tienen la misma área, entonces su altura debe ser la misma, lo cual es lo mismo que la recta CD está a la misma distancia de la recta BE, lo cual equivale a que CD BE De manera análoga podemos ver que AC DE, con lo cual el cuadrilátero CMED es un paralelogramo, pues sus lados opuestos son paralelos, de lo anterior concluimos que CD=ME (1)

8 Probamos de manera análoga que BC AD, con lo cual el cuadrilátero BCDN es un paralelogramo y se tiene que CD=BN () De (1) y () se tiene que: BN=ME, entonces BM+MN=MN+NE, es decir BM=NE Que es lo que queríamos probar Congruencia de Triángulos Para determinar si dos triángulos son congruentes, basta comprobar alguno de los siguientes 3 criterios: Criterio L-L-L: Si AB=DE, BC=EF, AC=DF, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes y se escribe: ABC DEF Criterio L-A-L: Si AB=DE, BC=EF, m B m E, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes y se escribe: ABC DEF Criterio A-L-A: Si AB=DE, m A m D, m B m E, entonces los triángulos ABC y DEF son congruentes y se escribe: ABC DEF Semejanza de Triángulos Para determinar si dos triángulos son semejantes, basta comprobar alguno de los siguientes 3 criterios: AB BC AC Criterio L-L-L: Si = = entonces los triángulos ABC y DEF son semejantes y DE EF DF se escribe ABC DEF

9 Criterio L-A-L: Si AB = BC y m B = m E entonces los triángulos ABC y DEF son DE EF semejantes y se escribe ABC DEF Criterio A-A: Si m A m D, m B m E entonces los triángulos ABC y DEF son semejantes y se escribe ABC DEF Ejemplo 7: Sea C un punto de AB, diferente de los extremos y P un punto tal que PC AB que verifica la igualdad PC = AC CB Entonces podemos afirmar que el triángulo APB es un triángulo: (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 008, Nivel A) Solución: De acuerdo con los datos tenemos la siguiente figura: De la igualdad, se tiene que PC = CB y como m PCA = m PCB = 90º, entonces por el AC CP criterio L-A-L, APC PBC Sea m PAC = α, entonces m APC = 90º α Como APC PBC, entonces m CPB = m PAC = α, con lo cual m APC + m CPB = 90º α + α = 90º Por lo tanto, el triángulo APB es rectángulo Ejercicios propuestos Ejercicio 1: En la figura se muestran seis cuadrados, si AB = 4 entonces la suma de los perímetros de los 6 cuadrados (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 009, Nivel A) Ejercicio : Sea ABC un triángulo acutángulo, tal que AB = 15 cm y AC = 13 cm Si la altura de este triángulo trazada desde el vértice A mide 1 cm, entonces (ABC) viene dada por (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 008, Nivel A)

10 Ejercicio 3: En la figura ACBD es un rectángulo P, Q, R y S son los puntos medios de sus lados y T es el punto medio del segmento RS Si (ACBD) = 1, entonces (PQT) viene dada por: (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 008, Nivel A) Ejercicio 4: Sea ABCD un rectángulo Sobre la recta AB se toma un punto P tal que AP=AD, y sobre la recta AD se toma un punto Q tal que AQ=AB Con P y Q sobre los rayos AB y AD, respectivamente; ó ambos al lado contrario de los rayos AB y AD Si BD=6, el área del cuadrilátero APCQ viene dado por: (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 007, Nivel A) Ejercicio 5: Se ha dividido el lado AB del paralelogramo ABCD en cinco partes iguales, y por los puntos de subdivisión se han trazado segmentos paralelos al lado AD, tal y como se ilustra en la figura: Si (ABCD) = 130, entonces cuál es el área total, de la región sombreada? Sugerencia: Busque áreas sombreadas iguales y trasládelas de lugar (da eliminatoria Olimpiada Costarricense de Matemáticas, 007, Nivel A)