esta distancia siempre satisface las siguientes condiciones:

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1 COLEGIO INTERNACIONAL SEK Prof. Álvaro Elizondo Montoya. TEMA: DISTANCIA ENTRE PUNTOS Nombre: Fecha: Grupo: 9 EL TEOREMA DE PITÁGORAS EN EL PLANO CARTESIANO La métrica del espacio euclídeo es la distancia usual, esta es una aplicación: d : R R [0, + [ esta distancia siempre satisface las siguientes condiciones: 1. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y 2. d(x, y) = d(y, x) 3. d(x, z) d(x, y) + d(y, z) para todos los x, y, z R. Análisis de las condiciones: A La primera de estas condiciones se puede indicar como que la distancia de un punto a el mismo es cero si y sólo si se trata del mismo punto. B La segunda establece que la distancia de un punto A a otro B es la misma que la distancia del punto B al punto A. C La tercera de las condiciones está relacionada con la desigualdad triangular ya estudiada previamente. Problema: Consideremos los puntos A(1, 4) y B(8, 6), determínese la distancia de A a B. Fig 1: Puntos en el plano cartesiano 1

2 Para la solución consideremos el triángulo ABC Fig 2: Puntos en el plano cartesiano La distancia del punto A al punto C es de 8 2 = 6 y la distancia de B a C es de 6 4 = 2, así que aplicando el teorema de Pitágoras se tiene que: d(a, B) 2 = d(a, C) 2 + d(b, C) 2 d(a, B) 2 = d(a, B) 2 = d(a, B) 2 = 40 d(a, B) = ± 40 d(a, B) = ±2 10 De las dos soluciones se considera solo la positiva 1, así d(a, B) = En forma general, para hallar la distancia entre los puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ), considere el punto Q, este punto Q se ubica en la recta horizontal que pasa por P 1 y en la recta vertical que pasa por P 2, de esta forma, las coordenadas del punto Q son (x 2, y 1 ), así las longitudes de los catetos del P 1 QP 2 son P 1 Q = x 2 x 1 y QP 2 = y 2 y 1. Usando entonces el teorema de Pitágoras, se tiene: d(p 1, P 2 ) 2 = d(p 1, Q) 2 + d(p 2, Q) 2 = x 2 x y 2 y 1 2 = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 1 Dado que si se consideran las condiciones 1, 2 y 3 de la aplicación distancia, tomando z = x en la condición 3, se tiene: d(x, x) d(x, y) + d(y, x) = d(x, y) + d(x, y) = 2d(x, y), de donde 0 2d(x, y) 0 d(x, y), en síntesis, la distancia o norma euclídea entre dos puntos siempre es mayor o igual a cero. Esta es la justicación del por qué la distancia entre puntos no es negativa. 2

3 De donde, como d(p 1, P 2 ) 0, entonces: d(p 1, P 2 ) = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 Fórmula de la distancia. Fig 3: Distancia entre puntos en el plano cartesiano Ejemplo: Encuentre la distancia entre los puntos P 1 (0, 5) y P 2 (2, 1). Solución: d(p 1, P 2 ) = (2 0) 2 + ( 1 5) 2 = = 40 = 2 10 Ejemplo: Encuentre una fórmula general para hallar la distancia r desde el origen (0, 0) hasta un punto arbitrario (x, y). Solución: r = (x 0) 2 + (y 0) 2 = x 2 + y 2 La fórmula de la distancia puede ser usada para mostrar que el punto medio entre los puntos P 1 (x 1, y 1 ) y P 2 (x 2, y 2 ) es: ( x1 + x 2 M, y ) 1 + y Fórmula del punto medio. Ejemplo: Encuentre el punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos P 1 (1, 2) y P 2 ( 5, 3). ( 1 + ( 5) Solución:, ) ( = 2, 1 ) Ejercicio oral: Encuentre la distancia entre los puntos dados y las coordenadas del punto medio del segmento que tiene por extremos los puntos dados. 1. A(3, 2), B(3, 6) 2. A(4, 1), B(0, 1) 3. A(0, 0), B(0, 6) 4. A(6, 3), B( 2, 3) 5. A(3, 0), B(0, 4) 6. A(0, 4), B(3, 0) 7. A(0, 3), B(0, 4) 8. A(0, 0), B( 3, 4) 9. A(1, 1), B(6, 13) 3

4 Ejercicio : Encuentre la distancia entre los puntos dados. Puntos 1 A(5, 2), B(1, 1) 2 A( 1, 3), B(3, 1) 3 A(7, 6), B(2, 6) 4 A( 6, 3), B( 2, 5) 5 A(2, 3), B(6, 1) ( 1 6 A 5, 1 ) ( 4, B 10 5, 9 ) ( 10 7 A 1, 1 ) (, B 3, 3 ) A(3 2, 7), B( 2, 7) 9 A(3, 3), B(1, 3) 10 A( 3, 1 + 5), B( 3, 1 5) 11 A(2 2, 3 2), B( 2, 3 + 5) 12 A( 2c, d), B(2c, 3d) Distancia entre los puntos Ejemplo: Si Q( 1, 4) y M(3, 1), encuentre las coordenadas del punto P tal que M es el punto medio del segmento P Q. Solución: Si las ccordenadas del punto P son P (x, y) entonces: A x + ( 1) 2 = 3 x 1 = 6 x = 7 B y = 1 y + 4 = 2 y = 2 Luego las ccordenadas del punto P son (7, 2). Problemas varios: 1. Use el recíproco del teorema de Pitágoras para vericar que los puntos dados corresponden a los vértices de un triángulo rectángulo ABC: a) A(0, 0), B(2, 6), C(9, 3) b) A(8, 3), B(6, 4), C(4, 0) 4

5 c) A(0, 5), B(4, 6), C(10, 18) d) A( 1, 0), B(2, 1), C(3, 2) 2. Muestre que los vértices dados corresponden a los vértices de un rectángulo ABCD: a) A(6, 1), B(4, 7), C( 5, 4), D( 3, 2) b) A(8, 6), B( 5, 7), C( 6, 6), D(7, 7) Responda las preguntas 3,4,5 y 6 usando la siguiente gura. 3. Halle la distancia entre los puntos Q 1 y Q Halle la distancia entre los puntos P y Q Halle la distancia entre los puntos P y Q Suponga que los segmentos l 1 y l 2 son perpendiculares, use el teorema de Pitágoras para justicar que necesariamente m 1 m 2 = 1 5

6 7. Si A( 4, 4), B(1, 3), C(4, 1) y D( 3, 2), halle la distancia entre los puntos medios de los segmentos AC y BD. 8. Si los puntos A(6, 0), B(0, 0), C(0, 2) y D(a, 2) son los vértices de un trapecio de área 7, 5. Halle el valor de a. 9. Considere los puntos A( 3, 5), B( 1, 5), C(0, 4), D(2, 4), E(2, 3) y F (3, 1), si se forma un triángulo con los puntos medios de los segmentos AB, CD y EF, halle el área del triángulo. 10. Halle el área del triángulo cuyos vértices son A(1, 1), B(3, 1) y C(5, 7). 11. Si los vértices de un triángulo son A( 1, 11 5), B(4, 5) y C( 2, 2 1), clasique el triángulo según sus lados y según sus ángulos. 6

7 12. Muestre que ABCD es un paralelogramo si los vértices son A(1, 5), B(7, 1), C(2, 0) y D( 4, 4). 13. Halle el área del triángulo cuyos vértices son A( 3, 4), B(3, 4) y C( 5, 0). 14. Hállese la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo con vértices A(6, 8), B(9, 4) y C(1, 6). 15. Si las coordenadas de los vértices de un triángulo son A(0, 0), B(18, 0) y C(6, 12). Hállese las coordenadas del centroide del triángulo y el área del triángulo. Recuerde que el centriode es el punto de intersección de las medianas y este punto divide a la mediana en dos segmentos que están en la razón 2 : 1. 7

8 16. El ABC tiene vértices A( 5, 18), B(10, 2) y C( 5, 10). Halle el perímetro y área del triángulo. 17. Los vértices de un cuadriátero son A(4, 3), B(7, 10), C( 8, 2) y D( 1, 5). Determine la longitud de cada diagonal. 18. Demuestre que el triángulo con vértices A(2, 3), B( 1, 1) y C(3, 4) es isósceles. 19. Un triángulo tiene vértices A(0, 7), B(5, 5), C(10, 7). Halle la longitud de la altura sobre el lado AB. 20. Los vértices de un cuadrilátero son A(3, 2), B( 3, 4), C(1, 8) y D(7, 4). Si W, X, Y, Z son los puntos medios de los lados AB, BC, CD y DA. Hállese el perímetro del W XY Z. 8

9 21. Halle los valores de k de tal forma que la distancia del punto A( 1, 4) a B(k, 1) sea igual a 5. Recuerde que (k + 1) 2 = k 2 + 2k Suponiendo que cada lado de los cuadraditos de la cuadrícula miden una unidad, halle el área del triángulo ABC (de 5 formas diferentes). ¾Existe alguna relación entre la cantidad de puntos de la cuadrícula que son interiores al triángulo, la cantidad de puntos de la cuadrícula que yacen sobre los lados del triángulo y el área del mismo? 9

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11 Sección de ejercicios para expertos: 23. Pruebe que las diagonales de un cuadrado son congruentes y perpendiculares. 24. Pruebe que la mediana sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles es perpendicular a la hipotenusa. 25. Pruebe que las diagonales de un rectángulo son congruentes. 26. Si ABCD es un rombo con A(0, 0), B(a, 0), C(c, b) y D(c a, b), entonces AC BD, además pruebe que AC y BD se bisecan. 27. Pruebe que el punto medio de la hipotenusa de un triángulo rectángulo ABC equidista de los vértices del triángulo. 28. Pruebe que si las diagonales de un trapecio isósceles son congruentes. 29. Pruebe que si las diagonales de un paralelogramo ABCD son congruentes, entonces el paralelogramo es un rectángulo. 30. Pruebe que el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo mide la mitad del tercer lado. 31. Dado un triángulo isósceles ABC con vértices A(0, 0), B(2b, 0) y C(b, c) y puntos medios E y D sobre los segmentos AC y BC respectivamente, entonces demuéstrese que AD = BE. 32. Compruébese que los vértices A( b, 0), B(0, a), C(b, 0) y D(0, a) son los vértices del rombo ABCD. 33. Pruebe que la suma de los cuadrados de los lados de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales del paralelogramo. 34. Pruebe que la longitud del segmento determinado por los puntos medios de los lados no paralelos de un trapecio es igual a la semisuma de las longitudes de las bases del trapecio. 35. Justique que la fórmula de la distancia para puntos en el espacio P 1 (x 1, y 1, z 1 ) y P 2 (x 2, y 2, z 2 ) es d = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) Demuéstrese el ABC tal que A(2, 0, 8), B(8, 4, 6) y C( 4, 2, 4) es un isósceles. 37. Demuéstrese el triángulo que tiene por vértices A(2, 4, 1), B(11, 8, 1) y C(2, 4, 21) es un triángulo rectángulo en el espacio. Prof. Álvaro Elizondo Montoya. Mayo, alvaro.elizondo@sekcostarica.com 11