Cuadriláteros. Paralelógramos

Transcripción

1 Cuadriláteros Sus características principales son: - Los ángulos interiores suman Los ángulos exteriores suman Se clasifican según el par de lados opuestos que son paralelos, en: Paralelógramos ( pares). Trapecios (1 par). Trapezoides (ningún par). Paralelógramos Tienen pares de lados opuestos paralelos. Son paralelógramos: Cuadrado 4 ángulos interiores rectos. 4 lados iguales. Lados opuestos paralelos. Las diagonales son iguales y son perpendiculares. Las diagonales se dimidian (dividen en partes iguales). Las diagonales bisectan los ángulos. Se puede inscribir una circunferencia. Se puede circunscribir una circunferencia. d = a p = 4a A = a Rectángulo 4 ángulos interiores rectos. Lados opuestos de igual medida. Lados opuestos paralelos. Las diagonales son iguales y se dimidian. Se puede circunscribir una circunferencia. p = a+b A = a b

2 Rombo 4 lados iguales. Lados opuestos paralelos. Ángulos opuestos iguales. Ángulos contiguos suplementarios. Las diagonales son perpendiculares. Las diagonales se dimidian y bisectan los ángulos. Se puede inscribir una circunferencia. p = 4a A = a h // A = e f Romboide Lados opuestos de igual medida. Lados opuestos paralelos. Ángulos opuestos iguales. Ángulos contiguos suplementarios. Las diagonales se dimidian. p = a+b A = a h Trapecios Tienen 1 par de lados opuestos paralelos llamados basales. Se pueden dividir en trapecio escaleno, trapecio isósceles y trapecio rectángulo. Trapecio escaleno Lados no paralelos no son congruentes. AB CD α+δ = 180 β +γ = 180 p = a+b+c+d A = MN h con MN = a+b Trapecio isósceles Lados no paralelos son iguales (AD = BC). AB CD Las diagonales son iguales. Ángulos contiguos suplementarios. α = β γ = δ p = a+b+c A = MN h con MN = a+b

3 Trapecio rectángulo Uno de sus aldos no paralelos es perpendicular a las bases. AB AD DA DC AB CD c = h = altura Ángulos en A y D son rectos. β +γ = 180 p = a+b+c+d A = MN h con MN = a+b Mediana de un trapecio Segmentoqueunelospuntosmediosdeloslados no paralelos. Es paralela a las bases. MN = AB +DC Trapezoides No tienen lados opuestos paralelos. Otras propiedades de los cuadrilateros En todo cuadrilatero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios. α+γ +β +δ = 180 En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, las sumas de cada par de lados opuestos son iguales entre sí. a+c = b+d

4 Ejercicios 1. En la figura, AD = 3, DC = 4 y CB = 1. El área del cuadrilatero ABCD es: a) 6+ 6 b) 6+ 6 c) 1+ 6 d) 1+ 6 e) Ninguno de los valores anteriores. En la figura, ABCD es un rectángulo y FCGI es un cuadrado. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de FCGI es 1 II) El área de EBFI es 6 III) El área de AEIH es 3 c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III 3. Los vértices de una figura son: A(,0); B(0,); C(,0) y D(0, ). Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? c) Sólo I y II I) El perímetro de la figura es 8 II) Cada diagonal mide 4 III) El área de la figura es 4 4. Cuál de las afirmaciones es correcta para todos los paralelogramos? a) Si sus ángulos son rectos es un cuadrado. b) Los ángulos consecutivos son complementarios. c) Las diagonales son bisectrices. d) Los ángulos opuestos son congruentes. e) Los ángulos opuestos son suplementarios.

5 5. El cuadrado ABCD de lado a se ha dividido en 9 cuadrados congruentes entre sí, como se muestra en la figura. El área del cuadrado PQRS es: a) 4a 9 b) 5a 3 c) 3a 4 d) 5a 9 e) 8a 9 6. En el plano de la figura, se muestra el polígono ABCD, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El perímetro del polígono es 8 II) Cada diagonal del polígono mide 4 III) El área del polígono es 4 c) Sólo I y II 7. En la figura, ABCD es un rectángulo que se ha dividido en seis cuadrados congruentes. Si los arcos corresponden a cuartos de círculo, entonces Cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) La suma de las áreas sombreadas es igual al área de un círculo de radio 1 BC II) La suma de los perímetros de las áreas sombreadas es igual al perímetro de una circunferencia de radio 1 3 AB III) La suma de los perímetros de las regiones sombreadas es mayor que el perímetro de ABCD c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III

6 8. Dado el cuadrado ABCD de lado k en la figura, donde PC = 3PB, QD = QC y M es el punto de intersección de DP y AQ, entonces el área del DMQ es: a) k 9 b) k 3 c) 4k 9 d) k 9 e) k 6 9. En la figura, dadas las dimensiones del rectángulo ABCD, entonces la medida del lado BE en el rectángulo DBEF mide: a) b) c) 3 5 d) 5 e) Enlafigura,ABCD esunrectánguloenelcualbc = 8cm.Lostriángulossontodosequiláteros y congruentes entre sí. El perímetro de la región sombreada es: a) 4 cm b) 46 cm c) 48 cm d) 50 cm e) 56 cm 11. El largo de una piscina rectangular es el doble de su ancho. Se construyó una cerca, rodeándola, separada un metro de sus bordes. Si el área cercada es de 40m, cuál es el largo de la piscina de la figura? a) 3m b) 6m c) 1m d) 80m ( e) ) m

7 1. En el triángulo ABC de la figura, ADEF es un rombo,af = FC y α mide 60 o, entonces cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) FE = FC II) FE = AB III) AB = BC b) Sólo I y II c) Sólo I y III 13. La figura está formada por 6 cuadrados congruentes de 30cm de lado cada uno. El área de la región achurada mide: a) 50cm b) 75cm c) 100cm d) 11,5cm e) 15cm 14. Cuánto mide el perímetro del polígono de la figura con p > q? a) 4p+3q b) 4p+4q c) 3p+3q d) 3p+q e) No se puede determinar 15. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado a, M y N son puntos medios de los lados AD y AB, respectivamente. Cuál es el área del triángulo MAN? a) a b) a 4 c) a 8 d) a 4 e) a 8

8 16. ABCD es un rectángulo tal que AB = 5 y BC = 4. Si se ha dividido en cuadrados congruentes como se muestra en la figura, cuál(es) de las afirmaciones siguientes es(son) verdadera(s)? I) El área de la región sombreada es 13 II) El perímetro de la región sombreada es igual al perímetro de ABCD III) La suma de los perímetros de las áreas no sombreadas es mayor que el perímetro del rectángulo ABCD c) Sólo I y II d) Sólo I y III 17. En el cuadrado ABCD de la figura T, M, L y P son puntos medios de los lados respectivos. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) TLP TMB II) PML = LTM III) DTA = CBL c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III 18. Cuál es la conclusión más precisa respecto al perímetro y al área de un cuadrado cuando su lado se duplica? a) El perímetro se duplica y el área se cuadruplica b) El perímetro se cuadruplica y el área se duplica c) El perímetro se duplica y el área aumenta en mayor proporción que el perímetro d) El perímetro se cuadruplica y el área aumenta en menor proporción que el perímetro e) El perímetro aumenta en mayor proporción que el área 19. En la figura AQ = 1 y QC =, entonces cuál es el área del rectángulo ABCD? a) b) 6 c) 3 d) 3 3 e) 3

9 0. En la figura ABCD es un cuadrado. El área del triángulo AMN es: a) 9 8 b) 1 c) d) 3 3 e) En la figura ABCD es un cuadrado de lado 3cm y CQ = 3 3cm. Si P, B y Q son puntos colineales, entonces el área de la región NO sombreada mide: a) 6 3cm b) 9 3cm c) 1 3cm d) 9cm e) 18cm. En la figura, el cuadrado se ha dividido en 5 rectángulos congruentes entre sí, y cada rectángulo tiene un perímetro de 30cm. Cuál es el perímetro del cuadrado? a) 40cm b) 48cm c) 60cm d) 150cm e) Ninguno de los valores anteriores 3. Con un cordel de largo d se forma un cuadrado. Cuánto mide el área del cuadrado? a) d b) d c) d 4 d) d 8 e) d 16

10 4. EFGH es un rectángulo. Si AHD = CFB y DGC = BEA entonces cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) DCB = DAB II) DC = AB III) DCG = ADG c) Sólo I y II 5. Cuál es el perímetro de la figura plana formada por 4 rombos congruentes cuyas diagonales miden 8cm y 6cm? a) 60cm b) 70cm c) 80cm d) 84cm e) 10cm 6. En la figura, ABCD es un cuadrado de lado 10, en el cual se ha inscrito el trapecio isósceles EF GH. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) El área de EFGH es 48 II) AEH = CFG III) HJ = EF I b) Sólo I y II c) Sólo I y III 7. En el rectángulo ABCD de la figura, EF AB, DG = 5cm, EG = 4cm y BG = 10cm. Cuál es el perímetro del trapecio ABGE? a) 8cm b) 34cm c) 3cm d) 35cm e) 4cm

11 8. Para cercar un terreno rectangular se necesitan 100 metros de malla. Cuál es el área del terreno si el largo mide 30 metros?? a) 600m b) 1050m c) 100m d) 100m e) 400m 9. Si dos circunferencias son congruentes, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? I) Sus perímetros son iguales. II) Sus radios son de igual longitud. III) Sus centros son coincidentes. II b) Sólo I y II c) Sólo I y III 30. Si a un rectángulo se le duplica el ancho y se le reduce a la mitad el largo, se cumple que: a) El área se cuadruplica b) El área se mantiene igual c) El área se duplica d) El área es la mitad e) Ninguna de las anteriores 31. En cuál de estos cuadriláteros, al trazar una diagonal, NO se forman dos triángulos congruentes? a) Cuadrado b) Rombo c) Romboide d) Rectángulo e) Trapecio isóceles

12 3. La figura está formada por tres rectángulos congruentes. Cuánto mide el área de otra figura formada por 1 veces la figura original? a) 055 b) 94 c) 6174 d) 058 e) Ninguna de las anteriores 33. Si en la figura los triángulos ABC y EAD son congruentes, entonces el perímetro del polígono ABCED es: a) 3cm b) 40cm c) 4cm d) 48cm e) 56cm 34. En la figura ABCD es un rectángulo. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s) I) AGD = BFC II) El área del EBF es el doble del área del AGD III) El área del trapecio ABFG corresponde a 3 b) Sólo I y II c) Sólo I y III del área del rectángulo ABCD