6-1 Propiedades y atributos de los polígonos (págs )

Transcripción

1 Vocabulario ángulo base de un trapecio base de un trapecio cateto de un trapecio cometa cóncavo convexo cuadrado diagonal lado de un polígono paralelogramo polígono regular rectángulo rombo segmento medio de un trapecio trapecio trapecio isósceles vértice de un polígono Completa los enunciados con las palabras del vocabulario. 1. El extremo común de dos lados de un polígono es un(a)?. 2. Un polígono es? si ninguna diagonal contiene puntos en el exterior. 3. Un(a)? es un cuadrilátero con cuatro lados congruentes. 4. Cada uno de los lados paralelos de un trapecio se llama?. 6-1 Propiedades y atributos de los polígonos (págs ) Indica si la figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados. Ésta es una figura plana cerrada formada por dos segmentos que se cruzan sólo en sus extremos, por lo tanto, es un polígono. Tiene seis lados, por lo tanto, es un hexágono. Indica si el polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo. El polígono es equilátero, pero no es equiangular; por lo tanto, no es regular. Ninguna diagonal contiene puntos en el exterior, por lo tanto, es convexo. la suma de las medidas de los ángulos internos de un polígono convexo de 11 lados Teor. de la suma de (n - 2)180 de un polígono (11-2)180 = 1620 Sustituye n por 11. la medida de cada ángulo externo de un pentágono regular suma de. ext. = 360 Teor. de la suma de ext. de un polígono medida de un ext. = _ = 72 Indica si cada figura es un polígono. Si es un polígono, identifícala por el número de lados Indica si cada polígono es regular o irregular. Indica si es cóncavo o convexo la suma de las medidas de los ángulos internos de un dodecágono convexo 12. la medida de cada ángulo interno de un polígono regular de 20 lados 13. la medida de cada ángulo externo de un cuadrilátero regular 14. la medida de cada ángulo interno del hexágono ABCDEF Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 21

2 6-2 Propiedades de los paralelogramos (págs ) En PQRS, m RSP = 99, PQ = 19.8 y RT = Halla PT. PT RT diagonales que forman bisectriz PT = RT entre sí Def. de seg. PT = 12.3 Sustituye RT por En ABCD, m ABC = 79, BC = 62.4 y BD = BE 16. AD 17. ED 18. m CDA 19. m BCD 20. m DAB JKLM es un paralelogramo. Halla cada medida. LK JM LK lados opuestos JM = LK Def. de seg. 2y - 9 = y + 7 Sustituye los valores dados. y = 16 Halla y. LK = = 23 m M m J + m M = 180 (x + 4) + 3x = 180 x = 44 m M = 3 (44) = 132 sup. cons. Sustituye los valores dados. Halla x. WXYZ es un paralelogramo. 21. WX 22. YZ 23. m W 24. m X 25. m Y 26. m Z 27. Tres vértices de RSTV son R (-8, 1), S (2, 3) y V (-4, -7). Halla las coordenadas del vértice T. 28. Escribe una demostración de dos columnas. Dado: GHLM es un paralelogramo. L JMG Demuestra: GJM es isósceles. 6-3 Condiciones para los paralelogramos (págs ) Demuestra que MNPQ es un paralelogramo donde a = 6 y b = 1.6. MN = 2a + 5 QP = 4a - 7 MN = 2 (6) + 5 = 17 QP = 4 (6) - 7 = 17 MQ = 7b NP = 2b + 8 MQ = 7 (1.6) = 11.2 NP = 2 (1.6) + 8 = 11.2 Como sus lados opuestos son congruentes, MNPQ es un paralelogramo. Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta. No. Un par de ángulos opuestos son congruentes, y un par de lados consecutivos son congruentes. No se cumple ninguna de las condiciones para un paralelogramo. EJERCICIO Demuestra que el cuadrilátero es un paralelogramo para los valores dados de las variables. 29. m = 13, n = x = 25, y = 7 Determina si el cuadrilátero debe ser un paralelogramo. Justifica tu respuesta Demuestra que el cuadrilátero con los vértices B (-4, 3), D (6, 5), F (7, -1) y H (-3, -3) es un paralelogramo. 22 Guía de estudio: Repaso

3 6-4 Propiedades de los paralelogramos especiales (págs ) En el rectángulo JKLM, KM = 52.8 y JM = Halla cada longitud. KL JKLM es un. Rect. KL = JM = 45.6 lados opuestos NL JL = KM = 52.8 NL = _ 1 JL = Rect. diagonales diag. que forman bisectriz entre sí PQRS es un rombo. Halla m QPR, dado que m QTR = (6y + 6) y m SPR = 3y. m QTR = 90 Rombo diag. 6y + 6 = 90 y = 14 m QPR = m SPR Sustituye el valor dado. Halla y. Rombo cada diagonal m QPR = 3 (14) = 42 forma una bisectriz con opuesto Los vértices del cuadrado ABCD son A (5, 0), B (2, 4), C (-2, 1) y D (1, -3). Demuestra que las diagonales del cuadrado ABCD son mediatrices congruentes entre sí. AC = BD = 5 2 Las diag. son. pendiente de AC = - 1_ 7 pendiente de BD = 7 pto. medio de AC = pto. medio de BD = ( 3 _ 2, 1_ El producto de las pendientes es -1, por lo tanto, las diag. son. 2) Las diag. forman una bisectriz entre sí. En el rectángulo ABCD, CD = 18 y CE = Halla cada longitud. 34. AB 35. AC 36. BD 37. BE En el rombo WXYZ, WX = 7a + 1, WZ = 9a - 6 y VZ = 3a. 38. WZ 39. XV 40. XY 41. XZ En el rombo RSTV, m TZV = (8n + 18) y m SRV = (9n + 1). 42. m TRS 43. m RSV 44. m STV 45. m TVR Halla las medidas de los ángulos numerados en cada figura. 46. rectángulo MNPQ 47. rombo CDGH Demuestra que las diagonales del cuadrado con los vértices dados son mediatrices congruentes entre sí. 48. R (-5, 0), S (-1, -2), T (-3, -6) y U (-7, -4) 49. E (2, 1), F (5, 1), G (5, -2) y H (2, -2) 6-5 Condiciones para paralelogramos especiales (págs ) Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida. Dado: LP KN Conclusión: KLNP es un rombo. La conclusión no es válida. Si las diagonales de un paralelogramo son perpendiculares, entonces el paralelogramo es un rombo. Para aplicar este teorema, primero debes saber si KLNP es un paralelogramo. Determina si la conclusión es válida. Si no lo es, indica qué información adicional se necesita para hacerla válida. 50. Dado: ER FS, ER FS Conclusión: EFRS es un cuadrado. 51. Dado: ER y FS forman una bisectriz entre sí. ER FS Conclusión: EFRS es un rectángulo. 52. Dado: EF RS, FR ES, EF ES Conclusión: EFRS es un rombo. Capítulo 6 Polígonos y cuadriláteros 23

4 Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices P (-5, 3), Q (0, 1), R (2, -4) y S (-3, -2) es un rectángulo, rombo o cuadrado. Da todos los nombres que correspondan. PR = 98 = 7 2 Fórmula de distancia QS = 18 = 3 2 Fórmula de distancia Como PR QS, PQRS no es un rectángulo ni es un cuadrado. pendiente de PR = 7_ = -1 Fórmula de pendiente -7 pendiente de QS = 3 _ 3 = 1 Como el producto de las pendientes es -1, las diagonales son perpendiculares. PQRS es un rombo. Fórmula de pendiente Usa las diagonales para indicar si un paralelogramo con los vértices dados es un rectángulo, rombo o cuadrado. Menciona todos los nombres que correspondan. 53. B (-3, 0), F (-2, 7), J (5, 8), N (4, 1) 54. D (-4, -3), H (5, 6), L (8, 3), P (-1, -6) 55. Q (-8, -2), T (-6, 8), W (4, 6), Z (2, -4) 6-6 Propiedades de las cometas y los trapecios (págs ) En la cometa PQRS, m SRT = 24, y m TSP = 53. Halla m SPT. PTS es un triángulo rectángulo. m SPT + m TSP = 90 m SPT + 53 = 90 m SPT = 37 Cometa diag. Los agudos de rect. son comp. Sustituye 53 por m TSP. Resta 53 de ambos lados. Halla m D. m C + m D = 180 Teor. de internos del mismo lado 51 + m D = 180 Sustituye m C por 51. m D = 129 Resta. En el trapecio HJLN, JP = 32.5 y HL = 50. Halla PN. JN HL Trap. isósc. diag. Def. de segmentos JN = HL = 50 JP + PN = JN PN = 50 PN = 17.5 Post. de la suma de los seg. Sustituye. Resta 32.5 de ambos lados. Halla WZ. AB = _ 1 (XY + WZ) Teor. de los segmentos 2 medios de un trap = _ 1 (42 + WZ) 2 Sustituye. 147 = 42 + WZ Multiplica ambos lados por = WZ Halla WZ. En la cometa WXYZ, m VXY = 58 y m ZWX = m XYZ 57. m ZWV 58. m VZW 59. m WZY 60. m R y m S 61. BZ si ZH = 70 y EK = MN 63. EQ 64. Halla el valor de n para que PQXY sea isósceles. Menciona el mejor nombre para un cuadrilátero cuyos vértices tienen las siguientes coordenadas. 65. (-4, 5), (-1, 8), (5, 5), (-1, 2) 66. (1, 4), (5, 4), (5, -4), (1, -1) 67. (-6, -1), (-4, 2), (0, 2), (2, -1) 24 Guía de estudio: Repaso

5 Respuestas, continuación CAPÍTULO 6 Vocabulario 1. vértice de un polígono 2. convexo 3. rombo 4. base de un trapecio 6-1 Propiedades y atributos de los polígonos 5. no es un polígono 6. polígono; 7. polígono; dodecágono 8. irregular; cóncavo 9. irregular; convexo 10. reg.; convexo m A = m D = 144 ; m B = m E =126 ; m C = m F =90 Respuestas: Capítulo 6 69

6 Respuestas, continuación 6-2 Propiedades de los paralelogramos T(-6, 5) GHLM es un. L JMG (Dado) 2. G L( op.) 3. G JMG (prop. trans. de ) 4. GJ, MJ (recíp. del teorema de isósc.) 5. GJM es isósceles. (Def. de isósc.) 32. No; un par de alt. int. son, por lo tanto, 1 par de lados op. son. Otro par de lados op. son. No se cumple ninguna de las condiciones para que sea un. 33. pendiente de BD = pendiente de FH = 5 1 ; pendiente de BH = pendiente de DF = -6; ambos pares de lados op. tienen la misma pendiente, por lo tanto, BD FH y BH DF; por definición, BDHF es un. 6-3 Condiciones para los paralelogramos 29. m A = m E = 63 ; m G = 117 ; como = 180, G es suplement. a A y E. Por lo tanto, 1 de ACEG es suplement. a ambos cons. Según el teorema 6-3-4, ACEG es un. 30. RS = QT = 25, por lo tanto, RS, QT. m R = 76, m Q = 104 y m R + m Q = 180, por lo tanto, R es suplement. a Q. Como R y Q son un par de int. del mismo lado y son suplement., RS QT. Por lo tanto, 1 par de lados op. de QRST son y. Según el teorema 6-3-1, QRST es un. 31. Sí; las diag. del cuadrilát. forman una bisectriz entre sí. Según el teorema , el cuadrilát. es un. 70 Respuestas: Capítulo 6

7 Respuestas, continuación 6-4 Propiedades de los paralelogramos especiales m 1 = 57 ; m 2 = 66 ; m 3 = 33 ; m 4 = 114 ; m 5 = m 1 = 37 ; m 2 = 53 ; m 3 = 90 ; m 4 = 37 ; m 5 = RT = SU = 2 10, por lo tanto, RT SU. Pendiente de RT = -3 y pendiente de SU = 3 1, por lo tanto, RT SU. Las coordenadas del pto. med. de RT y SU son (-4, -3), por lo tanto, RT y SU forman una bisectriz entre sí. Por lo tanto, las diag. de RSTU son mediatrices entre sí. 49. EG = FH = 3 2, por lo tanto, EG, FH. Pendiente de EG = -1 y pendiente de FH = 1, por lo tanto, EG FH. Las coordenadas del pto. med. de EG y FH son ( 2 7, - 1 ), por lo tanto, EG y FH 2 forman una bisectriz entre sí. Por lo tanto, las diag. de EFGH son mediatrices entre sí. 6-5 Condiciones para paralelogramos especiales 50. No es válida; según el teorema 6-5-2, si las diag. de un son, entonces el es un rectáng. Según el teorema 6-5-4, si las diag. de un son, entonces el es un rombo. Si un es un rectáng. y un rombo, entonces el es un cuadrado. Para aplicar esta cadena de razonamiento, primero debes saber que EFRS es un. 51. válida 52. válida Respuestas: Capítulo 6 71

8 Respuestas, continuación 53. rombo 54. rectáng. 55. rectáng., rombo, cuadrado 6-6 Propiedades de las cometas y los trapecios m R = 126 ; m S = n = 3 ó n = cometa 66. trap. 67. trap. isósc. 72 Respuestas: Capítulo 6