SGUICES028MT22-A16V1. SOLUCIONARIO Semejanza de triángulos

Transcripción

1 SGUICES08MT-A16V1 SOLUCIONARIO Semejanza de triángulos 1

2 TABLA DE CORRECCIÓN GUÍA PRÁCTICA SEMEJANZA DE TRIANGULOS Ítem Alternativa 1 C Comprensión D 3 D 4 B 5 E 6 B 7 A 8 A 9 E 10 B 11 E 1 C 13 E Comprensión 14 B 15 C 16 C 17 D 18 E 19 D Comprensión 0 E 1 A D 3 A 4 A 5 C

3 1. La alternativa correcta es C. Comprensión I) Verdadera, ya que como los ángulos son congruentes, entonces, las rectas son paralelas, luego los triángulos son semejantes. II) Verdadera ya que ubicando los ángulos que faltan, por criterio AA, los triángulos son semejantes. III) Falsa, ya que no se puede determinar que los triángulos son semejantes, al no poder establecer paralelismo entre las rectas. Por lo tanto, solo en I y en II el triángulo F es semejante con el triángulo G.. La alternativa correcta es D. Como ABCD es un rectángulo, luego es posible completar todos los ángulos interiores, como se presenta en la figura adjunta. D C T A B I) Falsa, ya que los ángulos correspondientes no son congruentes (para el ATB es , en cambio para ATD es ). II) Verdadera ya que los ángulos correspondientes son congruentes y cumplen el criterio AA ( en ambos triángulos). III) Verdadera, ya que los ángulos correspondientes son congruentes (para DAB y para ATB es ). Por lo tanto, solo las afirmaciones II y III son verdaderas. 3

4 3. La alternativa correcta es D. I) Verdadera, ya que ABCD es un paralelógramo, ECG BAG, y por ser opuestos por el vértice, CGE AGB. Luego, se cumple ABG CEG por el criterio AA. II) Verdadera, ya que ABCD es un paralelógramo GCB GAF, y por ser opuestos por el vértice, BGC FGA. Luego, se cumple que CGB AGF por el criterio AA. III) Verdadera. Por ser ABCD un paralelógramo, EDF ECB, y el BEC es un ángulo común. Luego, se cumple EDF ECB por el criterio AA. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 4. La alternativa correcta es B. Como el triángulo ABD es rectángulo en D, entonces BAD = 90º 40º = 50º. Dado que 50 º AC es bisectriz del ángulo BAD, entonces, BAC = CAD = = 5º. Por otro lado, como el triángulo ABC es rectángulo en C, CBE = 90º 5º 40º = 5º. Por último, como el triángulo BCD es isósceles en C, CBD = BDC = 5º. D Luego, al completar las medidas angulares, la figura se puede representar de la siguiente manera: Entonces: A 5º 5º E 5º 40º 115º 65º 65º 115º C 5º 40º B I) Verdadera, ya que los triángulos EAD y EBC son semejantes, ya que poseen respectivamente los mismos ángulos interiores. 4

5 II) Verdadera, ya que los triángulos CED y BEA son semejantes, ya que poseen respectivamente los mismos ángulos interiores. III) Falsa. Los triángulos ACD y BDC no son semejantes, ya que los ángulos interiores de ACD son: 5, 40 y 115 y los del triángulo BDC son: 5, 5 y 130. Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 5. La alternativa correcta es E. Como AB : BC : CD 1:3: 1, entonces AB CD, BC 3AB, entonces AD 5 AB. Dado que ambos triángulos son equiláteros, entonces son semejantes y la razón de proporcionalidad o semejanza sería 5 : 3. Luego: I) Verdadera, ya que entre dos triángulos semejantes, la razón de semejanza se mantiene para los elementos secundarios homólogos como las alturas. Por lo tanto, la razón entre las alturas de los triángulos ADQ y BPC es también 5 : 3. II) Verdadera, ya que como se muestra en la figura, el perímetro sombreado se puede expresar como 18k y el perímetro del triángulo BCP como 9k. Por lo tanto el perímetro de la región sombreada es el doble del perímetro del triángulo. Si AB : BC : CD = 1 : 3 : 1, entonces, AB= k, BC = 3k y CD = k, (con k constante real distinta de cero). III) Verdadera. Como los triángulos son semejantes, la razón entre sus áreas es igual al cuadrado, de la razón entre lados homólogos (razón de semejanza). Entonces área Δ área Δ BCP ADQ BC AD 3 5 AB AB

6 9 Luego, el área del triángulo BCP es el 100% = 36% del área del triángulo 5 ADQ. Entonces, el área de la región sombreada es el (100 36) = 64% del área del triángulo ADQ. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 6. La alternativa correcta es B. Cuando dos triángulos son semejantes, sus tres lados son respectivamente proporcionales. Luego: m 1 n 1 p 1 I) NO es semejante, ya que, en general, m n p combinaciones tampoco se cumple la proporcionalidad. y para otras II) NO es semejante, ya que, en general, m 1 n 1 m 1 n 1 combinaciones tampoco se cumple la proporcionalidad. p 1 p 1 y para otras III) m 1 n 1 p 1 1 Es semejante, ya que,, o sea se cumple la m n p proporcionalidad, y la razón se semejanza es 1 :. Por lo tanto, solo III es semejante al triángulo de la figura. 6

7 7. La alternativa correcta es A. Como los triángulos son semejantes, P1 cumpliéndose entonces que:. a x P los lados homólogos son proporcionales, Si el perímetro del primer triángulo es P 1, entonces P 1 = = 35 cm y si el perímetro del segundo triángulo es P, entonces P = 0 cm. de acuerdo al enunciado. Por lo tanto 10 35, lo que implica que: x = x Luego, la suma entre los dos lados congruentes es x = Por lo tanto, la suma entre sus lados congruentes mide cm La alternativa correcta es A. Como DB y EC son alturas del triángulo ACD, entonces FED = CBF = 90º. Además, DFE BFC ya que son opuestos por el vértice. Entonces por el criterio AA, se cumple que: FED FBC. Por otro lado, como FBC es rectángulo en B, FB = 3 y BC = 4, entonces FC = 5. (Por Pitágoras). Luego, usando la proporcionalidad existente entre los lados homólogos EF resulta: EF = Por lo tanto, el segmento EF mide

8 9. La alternativa correcta es E. Como PQRS es un cuadrado, y ST PU, entonces STP = UQP = 90º. Dado que el TPS es complementario con el QPT y a la vez es complementario con el PST, entonces QPT PST. Luego, por el criterio AA, se cumple que PTS UQP. Entonces, PT ST SP. Como PQU es rectángulo en Q, PQ = 4 y PU = 5, entonces UQ PQ PU por trío pitagórico UQ = 3. Luego, RU = (RQ UQ) = (4 3) = 1. Reemplazando los valores conocidos en la proporción queda 4 PT ST, que al PT despejar resulta PT = =, ST y ST = = 3,. Luego, TU = (PU PT) = (5,4) =, Por lo tanto, el perímetro del cuadrilátero STUR mide (TU + RU + SR + ST) = (, ,) = 10,8 cm. 10. La alternativa correcta es B. Como AED BEC, entonces AE EB DE AD. EC CB Dado que EAD CBE (por la semejanza), entonces el triángulo ABC es isósceles en C, lo que implica que AC CB. Luego, AC AD DC. Reemplazando los valores conocidos en la proporción queda resulta 3 AD 4 AD AD AD 3 (AD + ) = 4 AD 3 AD + 6 = 4 AD AD = 6 3, que al despejar 4 Por lo tanto, CB mide (AD + ) = (6 + ) = 8 cm. 8

9 11. La alternativa correcta es E. Al plantear la razón de semejanza entre los triángulos resulta: Lado Δ mayor 3 (Reemplazando) Lado menor Lado Δ mayor 3 (Despejando) Lado Δ mayor = Lado Δ mayor = 45 El perímetro de un triángulo se calcula como la suma de sus lados. Por lo tanto, el perímetro del triángulo mayor mide ( ) = 135 cm. 1. La alternativa correcta es C. Sabiendo que ABC ~ DEF se puede plantear la siguiente razón: AB BC AC (Reemplazando los valores conocidos) DE EF DF DE EF 18 Luego 10 1 EF EF 1 15 = EF (Despejando) Por lo tanto, el valor del segmento EF es 15. 9

10 13. La alternativa correcta es E. Comprensión Como CBA EDA, entonces DE // BC. Luego, Δ ADE Δ ABC por criterio AA. La razón entre las áreas de triángulos semejantes es igual al cuadrado de la razón entre los lados homólogos. Luego: Área Δ ADE Área Δ ABC Área Δ ADE Área Δ ABC Área Δ ADE Área Δ ABC AD AB (Reemplazando) Por lo tanto, la razón entre las áreas de los triángulos ADE y ABC es La alternativa correcta es B. Como el ABC es rectángulo en B, y dado que el cateto AB mide 4 = (3 8) y el cateto BC mide 3 = (4 8), entonces corresponde al trío pitagórico { } amplificado por 8. Luego, la hipotenusa AC mide (5 8) = 40 4 B A C D E 7, 5 F 10

11 El perímetro de un triángulo se calcula como la suma de sus lados. Por lo tanto, el perímetro del triángulo ABC es ( ) = 96 La razón entre los perímetros de triángulos semejantes es igual a la razón entre los lados homólogos. Luego: Perímetro Δ Perímetro Δ 96 ABC DEF Perímetro Δ DEF AC DF 40 7,5 96 7,5 = Perímetro Δ DEF = Perímetro Δ DEF (Reemplazando) (Despejando) Por lo tanto, el perímetro del triángulo DEF es La alternativa correcta es C. Si se tiene un triángulo MNP isósceles en N, cuya base mide 10 cm y MN = 8 cm, entonces NP = 8 cm. Luego: I) Falsa, ya que si dos triángulos son isósceles, no son necesariamente semejantes. II) Verdadera, ya que por el criterio LLL, los tres lados de los triángulos son respectivamente proporcionales. III) Verdadera, ya que en dos triángulos isósceles, basta que el ángulo del vértice (frente a la base) sea congruente para que los triángulos sean semejantes, dado que los ángulos basales también serían respectivamente congruentes. Por lo tanto, solo II y III son semejantes al triángulo MNP. 11

12 16. La alternativa correcta es C. BAC ADE y DEA CBA, entonces Δ AED Δ CBA Aplicando la proporcionalidad de lados homólogos: AE ED AD (Reemplazando) CB BA CA AE CA Luego: AE AE CA 30 5 CA 10 AE = 13 CA = 15 Entonces, EC = (AC AE) = (15 13) = Por lo tanto, el perímetro del polígono ABCED es ( ) = La alternativa correcta es D. Si Δ ABC ~ Δ DEF, entonces BC k 1, por lo tanto la constante es 3 k EF 14 Aplicando la razón entre las áreas, se tiene 3 A A ABC DEF A ABC

13 Luego el área del triángulo ABC mide 45 cm. A ABC 18. La alternativa correcta es E. Como PQS SRQ, entonces PQ SQ SR QR 6 SQ 4 conocidos resulta. Luego: SR SQ PS, que al reemplazar los valores SQ * * SQ 4 SQ² = 4 SQ = SQ 6 SQ SR SR = 6 SQ SR = 6 = 3 Por lo tanto, la medida de SR es La alternativa correcta es D. Comprensión I) Verdadera, ya que la razón entre los elementos secundarios homólogos de triángulos semejantes, es igual a la razón de semejanza. II) III) Verdadera, ya que la razón entre los lados homólogos de triángulos semejantes es igual a la razón de semejanza. Falsa, ya que la razón entre las áreas de triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón de semejanza, entonces Área Δ ABC Área Δ DEF Por lo tanto, solo las afirmaciones I y II son verdaderas. 13

14 0. La alternativa correcta es E. Dadas las condiciones, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo de altura CD. En ese caso (teorema de Euclides), los dos triángulos que se forman en el interior siempre son semejantes entre sí, y semejantes con el triángulo original. Entonces, Δ ADC ~ Δ CDB ~ Δ ACB. Luego: I) Verdadera, ya que se cumplen las condiciones del teorema de Euclides. II) Verdadera, ya que la razón entre los perímetros entre triángulos semejantes, es igual a Perímetro Δ ACB AB p q la razón entre los lados homólogos. Luego, Perímetro Δ CDB CB a III) Verdadera, ya que la razón entre las áreas entre triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre los lados homólogos. Luego: Área Δ Área Δ Área Δ Área Δ ADC CDB ADC CDB AC BC b a (Reemplazando) Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 1. La alternativa correcta es A. Si las rectas son paralelas, los triángulos CDE y CAB son semejantes, luego Δ CDE ~ Δ CAB DE k AB 8 1 k

15 Aplicando la razón entre las áreas, se tiene 1 A 3 A CDE CAB A CDE A CDE Luego, el área del triángulo DEC es 8.. La alternativa correcta es D. Dadas las características del enunciado, los triángulos ABC y ECD son semejantes. Luego: AB CF I) Verdadera, ya que aplicando semejanza, se tiene que, reemplazando los DE GC 4 16 valores, resulta que, luego el valor del trazo CG es 4. 6 CG II) Verdadera, ya que la razón entre las áreas entre dos triángulos semejantes, es igual a la razón al cuadrado entre sus elementos homólogos (en este caso, la razón es 4). III) Verdadera, ya que son ángulos correspondientes en triángulos semejantes. Por lo tanto, las tres afirmaciones son verdaderas. 15

16 3. La alternativa correcta es A. Sea FCD = y ACE =, entonces y son complementarios. C α β 8 β D Por lo tanto, DAC = y CDA = DFC = Entonces, DAC FCD; CDA DFC y ACD CDF. Por lo tanto, Δ DAC Δ FCD Aplicando la proporcionalidad de lados homólogos: 6 6 E α A B x β F AC CD CD AD DF CF x 6 AD CF. Luego: 6 8 = 8 6 x 6 (6 + x) = x = x = x = = 6 3 (Despejando) 14 Por lo tanto, la medida del segmento BF es cm. 3 16

17 4. La alternativa correcta es A. (1) Sus lados están en la razón 1 : 3. Con esta información, es posible determinar en qué razón están las áreas de los dos hexágonos regulares, ya que son semejantes por tener sus ángulos respectivamente congruentes. () El perímetro del hexágono más pequeño es 10 cm. Con esta información, no es posible determinar en qué razón están las áreas de los dos hexágonos regulares, ya que se desconoce información del hexágono mayor, de modo que no se puede conocer la razón de semejanza. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 5. La alternativa correcta es C. (1) Δ ABC ~ Δ DEF. Con esta información no es posible determinar el valor del trazo AB, ya que se desconoce el valor de su lado homólogo DE. () DE = 1. Con esta información no es posible determinar el valor del trazo AB, ya que se desconoce si existe alguna relación entre los triángulos. Con ambos informaciones, es posible determinar el valor del trazo AB, ya que es posible establecer una proporción entre los lados homólogos de los triángulos semejantes. Por lo tanto, la respuesta es: Ambas juntas. 17