Tutorial MT-a8. Matemática Tutorial Nivel Avanzado. Guía global Geometría

Transcripción

1 M ate m ática Tutorial MT-a8 Matemática 2006 Tutorial Nivel Avanzado Guía global Geometría

2 Matemática 2006 Tutorial Guía Global Geometría Ejercicios 1. Cuál de las siguientes opciones representa una simetría con respecto a la recta P? P A) P B) P C) P D) P E) P 2

3 2. Sea el triángulo PQR, tal que, ST // PQ. Si ST = 12, PQ = 15 y RU = 14. Determine el valor de VU. P S A) 2,8 B) 3,5 C) 12,8 D) 17,5 U V T R E) Ninguna de las anteriores Q Matemática El triángulo ABC tiene los siguientes vértices: A(3,0,0), B(0,3,0), C(0,0,3). Su área y perímetro miden, respectivamente: A) 9 2 2, 3 2 C z B) 9 2 3, 3 2 C) 9 2, D) 9 3, E) 9 3, 9 2 x A B y 4. En la circunferencia de centro O y radio 8 cm, AD = OD, cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) AC = 8 cm II) DC = 4 3cm III) BC = 8 3cm A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo II y III E) I, II y III A D C O B 3

4 Matemática 2006 Tutorial 5. Cuál es volumen del cuerpo geométrico que se forma al rotar indefinidamente el rectángulo PQRS, en torno al lado PQ? A) 24π cm 3 B) 48π cm 3 C) 96π cm 3 D) 144π cm 3 E) Otro valor S P 4 cm R Q 6 cm 6. Según la figura, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) Δ ABC Δ DEA II) Δ DEA Δ CED III) Δ DAC Δ ABC D 15º 75º C E A) Sólo I B) Sólo I y II C) Sólo I y III D) Sólo II y III E) I, II y III A B 4

5 7. En la circunferencia de centro O, GOH = 110, cuánto mide el ángulo x, si Δ FDE isósceles en F? A) 72,5 B) 55 C) 35 D) 17,5 E) Ninguna de las anteriores D H O x F G E Matemática Encontrar la ecuación de la recta perpendicular a PQ, donde P(2,6) y Q(- 9,4), que pasa por el punto medio de dicho trazo. A) y = x B) y = x C) y = 22 4 x D) y = 2 11 x E) y = 2 11 x Según la figura, cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) tg γ = 1 2 II) sen γ + cos δ = C δ III) sen γ = cos δ 2x A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo I y III A x γ B 5

6 Matemática 2006 Tutorial 10. Cuál es la probabilidad que de 3 cachorros de una perrita preñada, 2 sean hembras y uno sea macho? A) 1 8 B) 2 8 C) 3 8 D) 1 3 E) Las sombras proyectadas por el sol, de una casa y un edificio, se muestran en la figura. Determine la altura aproximada del edificio, si la casa mide 5m. A) 9,3 m B) 10,8 m C) 11,4 m D) 12,3 m E) Otro valor 30 m 5 m 56 m 12. En el Δ ABC, AB // DE. Si el área del Δ CDE es 9 cm 2, el área del trapecio ABED es: C A) 12 cm 2 3 B) 21 cm 2 C) 40 cm 2 D) 49 cm 2 E) No se puede determinar A 4 D E B 6

7 13. La tabla muestra la edad de los niños de un condominio x i es la marca de clase, f i es la frecuencia absoluta y F i es la frecuencia acumulada. Cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s)? I) a = 11 II) b = 2 III) El total de niños es 13 Matemática 2006 Edad x i f i F i b a A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo II y III E) I, II y III 14. Δ ABC rectángulo en C, CD = 6 cm, AD = (x - 6) cm, DB = (x + 3) cm. Entonces BC mide: A) 85 cm C B) 117 cm C) 6 5 cm D) 15 cm E) Ninguna de las anteriores A D B 7

8 Matemática 2006 Tutorial 15. En la figura, cuál es el valor de p? A) xyq C B) xy C) xy q A x p α α D q y B D) yq x E) xq y Respuestas Preg. Alternativa 1 D 2 A 3 D 4 E 5 D 6 B 7 C 8 A 9 C 10 C 11 B 12 C 13 E 14 C 15 E 8

9 Solucionario: 1. La alternativa correcta es la letra D) Solucionario Si es una simetría con respecto a una recta, entonces, corresponde a una simetría axial, por lo tanto, quedaría: Matemática 2006 P Lo que corresponde a la alternativa D. 2. La alternativa correcta es la letra A) P S U x V 14 - x R T Q Si RU = 14 y UV = x RV = 14 - x ST // PQ Δ RST Δ RPQ ST PQ = (Simplificando) ST PQ La razón entre las alturas homólogas es 4 : 5 = 4 5 9

10 Matemática 2006 Solucionario Entonces: RV RU = x 14 = 4 5 (Reemplazando) (Multiplicando cruzado) 5(14 x) = 4 14 (Desarrollando) 70 5x = 56 (Despejando 5x) = 5x (Restando) 14 = 5x (Despejando x) 14 5 = x (Dividiendo) x = 2,8 UV = 2,8 3. La alternativa correcta es la letra D) z C x A B y OC = 3, OB = 3 BC = 3 2 (Por Teorema de Pitágoras) 10

11 Además, Δ ABC equilátero de lado 3 2, entonces: Área Δ ABC = (3 2 )2 4 3 (Desarrollando) = (Simplificando) = Matemática 2006 Perímetro Δ ABC = (Multiplicando) = 9 2 Área Δ ABC = 9 2 3, Perímetro Δ ABC = La alternativa correcta es la letra E) A 4 D 4 O 60º 8 30º B C Si el radio de la circunferencia es 8cm, entonces: OB = 8, OA=8, OC =8 Como AD = OD, entonces: AD = OD = 4 Si la altura cae en el punto medio, entonces el triángulo AOC puede ser isósceles de base OA o equilátero. Como en este caso ya tiene 2 lados iguales, entonces es equilátero de lado 8. 11

12 Matemática 2006 Solucionario Por lo tanto, OAC = 60 y CBO = 30 (ya que ACB = 90 por ser un triángulo inscrito en una semicircunferencia). Entonces, BC es la altura de un triángulo equilátero de lado 16, o sea, BC = 8 3. Además, como el triángulo AOC es equilátero de lado 8, entonces DC = 4 3 AC = 8 cm, DC = 4 3cm, BC = 8 3 cm, I, II y III son verdaderas. 5. La alternativa correcta es la letra D) 4 cm 6 cm S 4 cm R 6 cm P 4 cm Q Al rotar indefinidamente el rectángulo PQRS en torno al lado PQ, se genera un cilindro de radio 6 cm y altura 4 cm, entonces el volumen es: Volumen = π r 2 h (Reemplazando) = π (6) 2 4 (Desarrollando la potencia) = π 36 4 (Multiplicando) = 144 π Volumen =144 π cm 3 12

13 6. La alternativa correcta es la letra B) D C 75º 15º 15º 75º A 75º 15º E Para visualizar con mayor claridad las semejanzas que se establecen en la figura, se determinaron todos los ángulos interiores. Para determinar si los triángulos son semejantes, los ángulos homólogos deben ser iguales. B Matemática 2006 I) Δ ABC Δ DEA A = 15, D = 15 B = 90, E = 90 C = 75, A = 75 Δ ABC Δ DEA, I verdadera. II) Δ DEA Δ CED D = 15, C = 15 E = 90, E = 90 A = 75, D = 75 Δ DEA Δ CED, II verdadera. III) Δ DAC Δ ABC D = 90, A = 15 A = 75, B = 90 C = 15, C = 75 Δ DAC no es semejante con Δ ABC, III falsa. Sólo I y II son verdaderas. 13

14 Matemática 2006 Solucionario 7. La alternativa correcta es la letra C) D y Δ FDE isósceles en F, entonces ODH = GEO = y O: centro de la circunferencia, entonces OD = OE = OH = OG H O z z 110º x F y G y E Por lo tanto, Δ ODH Δ OEG (L.L.A.) Entonces, HOD = EOG = z Además, por ángulo extendido: z z = 180 (Reduciendo términos semejantes) 2z = 180 (Despejando 2z) 2z = (Restando) 2z = 70 (Despejando z) z = 35 Por otro lado, Δ OEG isósceles en O, entonces GEO = OGE = y Por suma de los ángulos interiores de un triángulo: z + y + y = 180 (Reduciendo términos semejantes) z + 2y = 180 (Despejando 2y) 2y = 180 z (Reemplazando z) 2y = (Restando) 2y = 145 Por suma de los ángulos interiores en Δ FDE: x + y + y = 180 (Reduciendo términos semejantes) x + 2y = 180 (Reemplazando 2y) x = 180 (Despejando x) x = (Restando) x = 35 14

15 8. La alternativa correcta es la letra A) Determinaremos la ecuación de la recta que pasa por los puntos: P(2,6) y Q(- 9,4) y - y 1 = y 2 - y 1 x 2 - x 1 ( x - x1 ) (Reemplazando) y 6 = ( x - 2 ) (Desarrollando la fracción) y 6 = ( x - 2 ) (Dividiendo los signos) Matemática 2006 y 6 = 2 11 ( x - 2 ) (Multiplicando por 11) 11(y 6) = 2(x 2) (Desarrollando) 11y 66 = 2x 4 (Despejando 11y) 11y = 2x (Sumando) 11y = 2x + 62 (Despejando y) y = 2 11 x Pendiente m = 2 11 Pendiente de la recta perpendicular m 1 = Entonces, debemos determinar la ecuación de la recta cuya pendiente es el punto medio de PQ. Coordenadas del punto medio de PQ : y pasa por 15

16 Matemática 2006 Solucionario P(2,6) y Q(- 9,4) x + x y + y , , = 2, 7 2 2, 5 ( ) y y = m x x 1 1 (Reemplazando) (Desarrollando) (Reemplazando) y 5 = 11 x y 10 = - 11 x (Multiplicando por 2) (Desarrollando) 2y 10 = - 11x (Multiplicando por 2) 4y 20 = - 22x 77 (Despejando 4y) 4y = - 22x (Restando) 4y = - 22x 57 (Despejando y) y = x La ecuación de la recta que es perpendicular a PQ y que pasa por el punto medio de dicho trazo es y = x

17 9. La alternativa correcta es la letra C) C δ 2x A x x 5 γ B Matemática 2006 Por Teorema de Pitágoras, BC = x 5 I) tg γ = 1 2 tg γ = tg γ = cateto opuesto cateto adyacente 2x x (Reemplazando) (Simplificando) tg γ = 2 I es falsa II) sen γ + cos δ = senγ = sen γ = sen γ = sen γ = cateto opuesto hipotenusa 2x x (Reemplazando) (Simplificando) (Racionalizando) 17

18 Matemática 2006 Solucionario cos δ = cos δ = cos δ = 2x x cateto adyacente hipotenusa (Reemplazando) (Simplificando) (Racionalizando) cos γ = sen γ + cos δ = (Reemplazando) = (Sumando) II es falsa III) sen γ = cos δ sen γ = cos δ = III es verdadera Sólo III es verdadera 18

19 10. La alternativa correcta es la letra C) Se tienen 2 opciones, macho o hembra. Son 3 cachorros, entonces: Casos totales : 2 3 = 8 Veremos todas las posibilidades: H: hembra, M: macho Matemática 2006 M M M M H H M H M M M H H H H H M M H M H H H M Las posibilidades de que 2 sean hembras y 1 macho son 3, entonces: la probabilidad de que 2 cachorros sean hembras y uno macho es: P = casos posibles casos totales P = La alternativa correcta es la letra B) E D x 5 A 30 B 26 C Sea x altura del edificio AE BD AE // BD Como AC = 56 y AB = 30 BC = 26 19

20 Matemática 2006 Solucionario Aplicando Teorema de Thales: BC BD 26 5 = 56 x = AC AE (Reemplazando) (Multiplicando cruzado) 26x = 5 56 (Despejando x) x = x = x = (Simplificando) (Multiplicando) (Dividiendo) x 10,8 La altura del edificio mide aproximadamente 10,8 m. 12. La alternativa correcta es la letra C) 3 C 4 D E A B Si AB // DE Δ CDE Δ CAB, luego: CD = 3 CA 7 Entonces: Área CDE Área CAB = 3 ( ) 7 2 (Desarrollando la potencia y reemplazando) 20

21 9 = 9 Área CAB 49 Área ΔCAB 9 = 9 49 Área ΔCAB = Área ΔCAB = 49 (Multiplicando cruzado) (Despejando Área Δ CAB) (Simplificando) Matemática 2006 Área trapecio ABED = Área ΔCAB Área ΔCDE (Reemplazando) = 49 9 (Restando) = 40 Área trapecio ABED = 40 cm La alternativa correcta es la letra E) Completando la tabla: Edad x i f i F i b a Según los datos: a: marca de clase, entonces: a = 2 a = 22 2 (Sumando) (Dividiendo) a = 11 I es verdadera. Para que F 3 sea 9, b = 2 II es verdadera. 21

22 Matemática 2006 Solucionario El total de datos está dado por F 5 = 13 III es verdadera. I, II y III son verdaderas. 14. La alternativa correcta es la letra C) C 6 A D B x + 3 x - 6 Aplicando Teorema de Euclides: CD 2 = AD DB (Reemplazando) 6 2 = (x 6)(x + 3) (Desarrollando) 36 = x 2 3x 18 (Igualando a 0) x 2 3x = 0 (Resolviendo) x 2 3x 54 = 0 (Factorizando) (x 9)(x + 6) = 0 x 1 = 9, x 2 = - 6 x 2 no es solución, ya que es negativo. x = 9 Entonces: DB = 12 22

23 Por Teorema de Pitágoras en el triángulo DBC: BC 2 = (Resolviendo las potencias) BC 2 = (Sumando) BC 2 = 180 (Extrayendo raíz cuadrada) BC = 180 (Descomponiendo la raíz) BC = 36 5 (Resolviendo) BC = 6 5 Matemática 2006 BC = 6 5 cm 15. La alternativa correcta es la letra E) x C α α y A p D q B CD : bisectriz Aplicando Teorema de Apolonio: AC AD = BC BD x p = y q (Reemplazando) (Multiplicando cruzado) py = xq (Despejando p) p = xq y 23

24