SGUICES029MT22-A17V1. Bloque 22 Guía: Teorema de Thales y división de segmentos

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Eugenia Herrera Páez
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1 SGUICES09MT-A17V1 Bloque Guía: Teorema de Thales y división de segmentos

2 TABLA DE CORRECCIÓN TEOREMA DE THALES Y DIVISIÓN DE SEGMENTOS N Clave Dificultad estimada 1 C Comprensión Media B Comprensión Media C Fácil 4 D Media D Difícil 6 A Media 7 E Difícil 8 A Media 9 C Comprensión Media 10 B Fácil 11 C Media 1 D Fácil 1 E Media 14 C Media 1 C Media 16 D Media 17 E Media 18 D Media 19 A Media 0 A Difícil 1 A Media A Difícil A Difícil 4 B Media E Media

3 1. La alternativa correcta es C. Comprensión Como la razón es 1 :, es posible plantear la medida de los segmentos con base en una constante de proporcionalidad k (con k un valor real positivo), por lo que el segmento menor mide k y el mayor mide k. Si el segmento mayor se reduce a la mitad, entonces medirá k segmentos viene dada por k : k : k k. Luego, la nueva razón entre los. La alternativa correcta es B. Comprensión AC Como, entonces AC = k y CB = k. CB Luego, AB = k + k = k. AB k Entonces,. AC k Por lo tanto, la razón entre los segmentos AB y AC es :. k A C B k k. La alternativa correcta es C. AD DB AD AD AD 4 Luego, el trazo AB = (AD + DB) = = 64 cm.

4 4. La alternativa correcta es D. Como la razón de los segmentos es : : 4, es posible plantear la medida de cada uno con base en una constante de proporcionalidad k (con k un valor real positivo), por lo que pasarían a medir k, k y 4k. Como el segmento menor mide 18 cm y corresponde a k, se tiene que k = 9. La medida de AB, planteada en términos de k, es 9k. Por lo tanto, la medida del segmento AB es 81 cm.. La alternativa correcta es D. Al plantear una figura con la información del enunciado, se obtiene: x + Además, RT 1, TS RT TS. R T S Por otro lado, RS = RT + TS. Luego, al reemplazar los valores en la ecuación se tiene obtiene el valor de TS, en términos de x: 1 RS = RT + TS x + = TS + TS = TS 1 = TS = TS Al despejar, resulta: TS = x 6 x 4 6. La alternativa correcta es A. Pablo corta interiormente la cuerda en una razón 1 : 4. Luego, utilizando constantes de proporcionalidad, se tiene que: 0 0 k 1 = 0 k 1 = 10 k 1 4k 1

5 Luego, un trozo mide 10 cm y el otro trozo mide 40 cm. Entonces, Pablo toma el trozo más largo que quedó, es decir, el trozo de 40 cm, y lo divide en una razón :. Utilizando el mismo 40 procedimiento anterior, se obtiene 8k = 40 k =. 8 Así, un trozo mide 1 cm y el otro trozo mide cm. Para terminar, Pablo toma el trozo más largo que quedó, es decir, el trozo de cm, y lo divide en una razón 1 : 4. Utilizando el mismo procedimiento anterior, se obtiene k = k =. k k 40 k 4k Luego, un trozo mide cm y el otro trozo mide 0 cm, por lo que la cuerda queda divida en 4 trozos: 10 cm, 1 cm, cm, 0 cm. Por lo tanto, el trozo más corto mide cm. 7. La alternativa correcta es E. Al ubicar ambas circunferencias en el plano cartesiano, resulta la figura adjunta. y La distancia entre los puntos P(, 1) y Q(1, ) es PQ = ( 1 ( )) ( 1) Luego, AB = PB + AQ PQ = + 4 = 1 y BQ = AQ AB = 4 1 =. P A B 1 1 x Q Por lo tanto, AB BQ 1 el punto B divide al segmento AQ en la razón 1:. 8. La alternativa correcta es A. (1) AD : DB = 6 : 7. Con esta información, sí es posible determinar la medida del segmento AD, ya que se puede plantear una proporción y, a partir de ella, establecer el valor de AD.

6 (1) DB es el segmento de mayor longitud. Con esta información, no es posible determinar la medida del segmento AD, ya que no se indican ni medidas ni proporciones. Por lo tanto, la respuesta es: (1) por sí sola. 9. La alternativa correcta es C. Comprensión Del triángulo ABC se desprende que BC // ED; luego, se aplica el teorema de Thales. Entonces: A) Incorrecta, ya que al aplicar el teorema de Thales, la proporcionalidad correcta es B) Incorrecta, ya que al aplicar el teorema de Thales, la proporcionalidad correcta es AD DC. AE EB AE ED. AB BC C) Correcta. D) Incorrecta, ya que al aplicar el teorema de Thales, la proporcionalidad correcta es E) Incorrecta, ya que al aplicar el teorema de Thales, la proporcionalidad correcta es AD AC. ED BC AE ED. AB BC 10. La alternativa correcta es B. Como L 1 // L // L, entonces es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y AB DE reemplazando con los valores indicados en la figura, se tiene. BC EF Por lo tanto, AB AB,

7 11. La alternativa correcta es C. Como ABCD es un trapecio, implica que los segmentos DC y AB son paralelos, por lo que es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores indicados en la figura, se tiene E DE AE DC AC x 0 4(7 + x) = 140 Resolviendo la ecuación: 8 + 4x = 140 4x = 11 x = 8 x 7 D 4 C Por lo tanto, el valor de AD es 8. A 0 B 1. La alternativa correcta es D. Como AB // CD, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores indicados en la figura, se tiene AE ED AB CD AE AE La alternativa correcta es E. Como AH // GE, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores indicados en la figura, se tiene H AH AF EG EF AH 10 AH G A B C D E F

8 14. La alternativa correcta es C. Como los ángulos correspondientes son congruentes, se concluye que AB // DE, por lo que es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores indicados en la figura, se tiene C CD CE CB m n m q p 1. La alternativa correcta es C. mq p m n A m D n 70º m n 70º q E p B Como DE // BC, y los segmentos AD y AB pertenecen la misma recta, entonces es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores conocidos, se tiene AD AB DE BC x 4 x 6 1 4x = 1x + 4 Despejando la ecuación, resulta x = 4 x =. E 4 m C 1 m Como AD está representado por x, su medida es 4 metros. A x D x + 6 B 16. La alternativa correcta es D. Como AC // DE, entonces es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores indicados la figura: Como AD + DB = 40, se tiene que AD = 4. DB AB BE BC DB DB 16 0

9 17. La alternativa correcta es E. Como los edificios son perpendiculares al piso, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la x 1 proporción y reemplazando con los valores indicados en el enunciado, se tiene 1 x = Por lo tanto, la altura del edificio mide 18 metros. 18. La alternativa correcta es D. Como todas las figuras presentan rectas paralelas, entonces es posible aplicar el teorema de Thales en cada una de ellas. Luego: I) El valor de x es 0, ya que II) El valor de x es 0, ya que III) El valor de x no es 0, ya que x 1 x x 6 x x 18 x 9,6 4 4 Por lo tanto, el valor de x es 0 solo en I y II. 19. La alternativa correcta es A. Como ABCH y CDEH son cuadrados congruentes y la diagonal de uno de ellos mide HD = 1, HD 1 entonces los lados miden 6 y BD = 1. Además, dado que el segmento BG intersecta en el punto medio del segmento AH, entonces FH =. Como FH // BD, se puede aplicar el teorema de Thales en el triángulo BDG, resultando

10 GH GD GH GH FH BD FH BDHD GH 1 GH 1 GH 1 GH. 4 Por lo tanto, al despejar, resulta 4GH = GH + 1 GH = 1 GH = La alternativa correcta es A. Como ABCD es un trapecio y E y F son puntos medios de los lados no paralelos, entonces EF es mediana y es paralela a la base AB, por lo que es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores indicados en la figura, se tiene D C EG GB FG AG AG 6 1 AG = 6 6 E G F Por lo tanto, el segmento AG mide 6 cm. A 1 B 1. La alternativa correcta es A. Como el poste y la casa son perpendiculares al suelo, entonces, considerando sus alturas paralelas, es posible aplicar el teorema de Thales. Realizando la proporción y reemplazando con los valores indicados en el enunciado, se tiene Altodel poste Sombra del poste Altode la casa Sombra de la casa, x x = 4, 9 Por lo tanto, la altura de la casa es 4, metros.

11 . La alternativa correcta es A. PM 1 Si y PM =, entonces MS = 4. Además, por Pitágoras, aplicado al triángulo MST se tiene MS que MT =. Por paralelismo, es posible aplicar el teorema de Thales. R Realizando la proporción y reemplazando, se tiene SM SP PR 7, MT PR PR 4 T. La alternativa correcta es A. P M 4 S N Q Luego de ubicar en la figura a los puntos mencionados en el enunciado, es posible establecer muchas relaciones entre las medidas mediante el teorema de Thales. CD DE AB DE AB CD AC y CF FG AB FG AB CF Calculando la diferencia en la medida de los segmentos FG y DE: AB CF AB CD AB CF AB CD AB( CF CD) FG DE F G Por lo tanto, FG DE AB( CF CD), es decir, aumentó en AB ( CF CD) unidades. 4. La alternativa correcta es B. 10 x I) Incorrecta, ya que al aplicar el teorema de Thales se obtiene 0 x y. Luego, no es y posible determinar si el valor de x es el doble del valor de y.

12 II) Correcta, ya que los segmentos perpendiculares a la transversal L 1 son paralelos. Luego, se aplica el y x 78 y teorema de Thales, obteniéndose la relación x y x III) Incorrecta, ya que L y L 4 forman el mismo ángulo α con L 1. Luego, son paralelos entre sí. 7 x 1 x y Entonces, al aplicar el teorema de Thales se obtiene x. Entonces, el valor 4 y y de x es la mitad del valor de y. Por lo tanto, solo en II el valor de x es el doble del valor de y.. La alternativa correcta es E. Como L1 // L // L, entonces se puede aplicar el teorema general de Thales, donde se cumple que AB DE AB DE BC EF, y, siendo las dos últimas las que incluyen el segmento pedido. BC EF AC DF AC DF Luego: (1) AB =, BE = 6 y CF = 1. Con esta información, no se puede determinar la medida del segmento AB DE AC, ya que solo sirve la del segmento AB, y al reemplazar en faltan las medidas de los AC DF segmentos DE y DF, o la razón entre ellos. () DE = 6 y DE : AB = : 1. Con esta información, no se puede determinar la medida del segmento AB DE AC, ya que al reemplazar en falta la medida del segmento DF. AC DF Con ambas informaciones, no se puede determinar la medida del segmento AC, ya que al reemplazar en AB DE falta la medida del segmento DF. AC DF Por lo tanto, la respuesta es: Se requiere información adicional.

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