Tutorial MT-a4. Matemática Tutorial Nivel Avanzado. Figuras inscritas y circunscritas

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1 M ate m ática Tutorial MT-a4 Matemática 006 Tutorial Nivel vanzado Figuras inscritas y circunscritas

2 Matemática 006 Tutorial Figuras inscritas y circunscritas 1. Figuras inscritas: Se dice que un polígono está inscrito en otro, cuando cada uno de los vértices de la figura inscrita toca los lados respectivos de la figura en la que se inscribe. demás se dice que un polígono está inscrito en un círculo, cuando cada ángulo de la figura inscrita toca la circunferencia del círculo.. Figuras circunscritas: e manera semejante, se dice que una figura está circunscrita en torno de otra figura, cuando cada lado de la figura circunscrita toca los vértices respectivos de la figura a la que circunscribe. 1. uadrilátero circunscrito a circunferencia. c a b d Sí cuadrilátero circunscrito a circunferencia de centro, se cumple que: a + b = c + d. uadrilátero inscrito en circunferencia. β α δ γ Sí cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro, se cumple que: α + γ = β + δ = 180º EPEH Preuniversitario, Edición 006

3 3. Ángulo exterior en un cuadrilátero inscrito en circunferencia. α ε Matemática 006 Sí cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro, se cumple que: α = ε Ejercicios: 1. En la figura cuadrilátero circunscrito a circunferencia de centro, d = ) 5 cm ) 8 cm ) 1 cm ) 18 cm E) 0 cm 8 cm 1 cm 15 cm. En la figura cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro, y,, E son colineales, ángulo E + ángulo = ) 50º 50º 60º ) 60º ) 130º ) 180º E) 190º E d EPEH Preuniversitario, Edición 006 3

4 Matemática 006 Tutorial 3. En la figura es cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro, en donde = = 5 cm, entonces = ) 5 cm ) 5 cm ) 10 cm ) 10 cm E) Falta información 4. En la figura es paralelogramo circunscrito a circunferencia de centro, e inscrito a otra circunferencia mayor concéntrica con la primera. En donde = = 8 cm, entonces el área achurada = ) 16 cm ) 1 cm ) 8π cm ) 8(π - ) cm E) 8(π - 16) cm 5. es diámetro de circunferencia de centro, si el radio de la circunferencia mide 4 cm y el ángulo mide 30º. Área del triángulo = ) 16 cm ) 16 cm ) 16 3 cm ) 8 3 cm E) Falta información 4 EPEH Preuniversitario, Edición 006

5 6. Sí es cuadrado circunscrito a circunferencia, y M, N, P, Q son los puntos donde la circunferencia esta inscrita, área achurada = M ) 36 cm ) 9π cm 6 cm ) 9(4 - π) cm ) π cm N P E) 9(8 - π) cm Matemática 006 Q 7. Una piscina cuadrada de diagonal 6 metros, se quiere decorar en su interior con un circulo de guirnaldas florales flotantes, cuál es la cantidad de metros lineales de guirnalda que se utilizaran, si la piscina se quiere decorar con el mayor circulo de guirnaldas flotantes posible? ) 6π metros ) 9π metros ) 1π metros ) 6 metros E) 36π metros 8. Un escudo familiar esta formado por seis circunferencias congruentes inscritas entre sí en un rectángulo de 8 cm de ancho y 1 cm de largo cm indica la figura, cuánto mide el área achurada? 96-4π ) cm 6 ) 3-8π cm ) 96-4π cm ) 4π cm E) 96 cm EPEH Preuniversitario, Edición 006 5

6 Matemática 006 Tutorial 9. uál es el volumen de una esfera inscrita en un cubo de volumen 16 cm 3? ) 3π cm 3 ) 9π cm 3 ) 36π cm ) 36π cm 3 E) 108π cm Si un de radio 4 cm, esta inscrito a su caja cuadrada, cuál es el área no ocupada por el? ) 16π cm ) 16-16π cm ) 16(4 - π) cm ) 64π cm E) 64-4π cm 11. uál(es) de las siguiente(s) figura(s) representa(n) a una circunferencia inscrita en un cuadrilátero? I. II. III. : centro de circunferencia : centro de circunferencia : centro de circunferencia ) Sólo I ) Sólo II ) Sólo III ) Sólo I y III E) I, II y III 6 EPEH Preuniversitario, Edición 006

7 1. Una cava de vino con capacidad para 8 botellas, esta formada por cuadrados congruentes de 7 cm de lado cada uno, como muestra la figura, si la cava esta ocupada con cinco botellas (circunscritas a cada cuadrado), cuánto mide el área achurada? ) 49 cm ) 49π cm ) π cm Matemática 006 ) π cm E) 196 cm 13. En la figura triángulo equilátero circunscrito a circunferencia de centro y radio 4 3 cm, área achurada = ) 1 3 cm ) π 3 cm ) π cm ) 48π cm E) cm 14. Sí es triángulo equilátero inscrito en circunferencia de centro, y radio 6 3 cm. Perímetro = ) 54 3 cm ) 54 cm r ) 36 3 cm ) 18 3 cm E) 18 cm EPEH Preuniversitario, Edición 006 7

8 Matemática 006 Tutorial 15. Sí es triángulo equilátero inscrito en circunferencia de centro, y radio 10 cm. Área achurada = ) 75 3 cm ) 75π 3 cm ) 100π cm r ) cm E) 100π cm Respuestas Preg. lternativa 1 E E E E 8 EPEH Preuniversitario, Edición 006

9 Solucionario 1. lternativa correcta letra ) ado que: c Solucionario Matemática 006 a b d Sí cuadrilátero circunscrito a circunferencia de centro, se cumple que: a + b = c + d entonces en la figura, 15 + d = d = 5 (espejando). lternativa correcta letra E) ado que: α β δ γ Sí cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro, se cumple que: α + γ = β + δ = 180º Entonces en el ejercicio tenemos que: 50º 60º Luego ángulo E = 60º ángulo = 130º entonces ángulo E + ángulo = 190º 130º 10º 60º E EPEH Preuniversitario, Edición 006 9

10 Matemática 006 Solucionario 3. lternativa correcta letra ) ado que: β α δ γ Sí cuadrilátero inscrito en circunferencia de centro, se cumple que: α + γ = β + δ = 180º y además como = = 5 cm,tenemos que: 5 cm 5 cm on lo que podemos deducir que es un cuadrado de lado 5, luego aplicando que diagonal cuadrado = lado tenemos que = 5 cm 4. lternativa correcta letra ) Utilizando las propiedades de cuadriláteros inscritos vistas en los ejercicios pasados, y además sabiendo que es un paralelogramo, podemos deducir que se trata de un cuadrado de lado 8 cm, por lo que sus diagonales son perpendiculares y miden 8 cm cada una, gráficamente: En donde podemos observar que: = = 4 radio de circunferencia 10 EPEH Preuniversitario, Edición 006

11 Entonces área achurada = Área sector circular área triángulo área achurada = r π 4 - área achurada = 8π - 16 = 8(π - ) cm 5. lternativa correcta letra ) Sí es diámetro entonces el triángulo esta inscrito en media circunferencia y es por lo tanto rectángulo, por lo que podemos utilizar la propiedad siguiente: Matemática 006 Si es t b,entonces = = ompletando estos datos en la figura 30º 4 60º 4 60º 4 60º on lo cuál comprobamos que es equilátero y el trazo mide también 4 cm, utilizando Pitágoras (ó utilizando medio triángulo equilátero) descubrimos que el trazo mide 4 3 Luego el área = = 8 3 cm 6. lternativa correcta letra E) Sí es cuadrado circunscrito a circunferencia, entonces los puntos M, N, P, Q, son puntos medios, dado lo cuál podemos decir que esta dividido en cuatro cuadrados más pequeños de área 36 cm cada uno, además el área de cada uno de los dos sectores circulares que aparecen achurados en la figura equivalen al área de menos el área de la circunferencia partido en 4, o sea (144 36π)/4 = 36 9π cm. EPEH Preuniversitario, Edición

12 Matemática 006 Solucionario demás si reordenamos los sectores achurados resulta que: M 6 cm N P Q on lo cual el área achurada se simplifica a 36 + (36 9π) = 7-9π = 9(8 - π) cm 7. lternativa correcta letra ) Si tenemos una piscina cuadrada de diagonal 6 metros, entonces su lado mide 6 metros, además el mayor circulo que cabe en un cuadrado corresponde a una circunferencia circunscrita, que tendrá por lo tanto un diámetro igual al largo de la piscina o sea 6 metros y por lo tanto un radio de 3 metros. Entonces solo nos queda entender la frase metros lineales que hace referencia a un perímetro en este caso el perímetro de la guirnalda de flores que se calcula con la formula π r = π 3 = 6π metros de guirnalda 8. lternativa correcta letra ) Un escudo familiar esta formado por seis circunferencias congruentes inscritas entre sí en un rectángulo de 8 cm de ancho y 1 cm de largo cm indica la figura, cuánto mide el área achurada? on los datos primero calculamos el área del rectángulo que forma este escudo familiar, área que equivale a 96 cm. Luego ya que las circunferencias congruentes están inscritas entre sí, podemos afirmar que cada una posee diámetro 4 cm y radio cm, con lo cuál el área de cada una es de 4π cm, y el área de las 6 es de 4π cm. Entonces el área no ocupada por los círculos corresponde a 96-4π cm, además si reordenamos los sectores achurados a forma de rompecabezas tenemos que: 1 EPEH Preuniversitario, Edición 006

13 Que si nos fijamos con calma equivale a la tercera parte del área no ocupada por los 96-4π círculos, o sea a = 3 8π cm 6 9. lternativa correcta letra ) Si el cubo tiene un volumen de 16 cm 3, como el volumen del cubo se calcula al elevar a 3 la arista de la misma, calculamos que el valor de la arista es de 6 cm. Ya que la esfera esta inscrita en el cubo asumimos que el diámetro de la misma es igual a la arista del cubo o sea 6 cm, y su radio por lo tanto es 3 cm Luego utilizando la formula de volumen de esfera: Matemática π r 3 3 = 4 π (3) 3 3 = 36π cm lternativa correcta letra ) Si un de radio 4 cm, esta inscrito a su caja cuadrada, cuál es el área no ocupada por el? Si el posee radio 4 cm, su área es 16π cm, además como esta inscrito en su caja el lado de la caja es igual al diámetro del, o sea 8 cm, luego el área de la caja es 64 cm, finalmente el área de la caja no ocupada por el, es igual al área de la caja menos el área del : área de la caja no ocupada por el = 64 cm 16π cm = 16(4 π) cm 11. lternativa correcta letra ) Un polígono está inscrito en un círculo, cuando cada ángulo de la figura inscrita toca la circunferencia del círculo. ado esta definición sólo I y III corresponden a circunferencias inscritas, en II la circunferencia esta circunscrita. EPEH Preuniversitario, Edición

14 Matemática 006 Solucionario 1. lternativa correcta letra E) Si reordenamos las zonas achuradas tenemos: Que corresponde exactamente a 4 de los cuadrados de lado 7, cada uno de área 49 cm, es decir que el área achurada corresponde a 49 4 = 196 cm 13. lternativa correcta letra ) Utilizando la propiedad que nos indica que el radio de un circunferencia inscrita en un triángulo equilátero equivale a un tercio de la altura del triángulo, descubrimos que la altura del triángulo equilátero equivale a 1 3 cm, además aplicando la definición de altura de triángulo equilátero tenemos que: altura de triángulo equilátero = lado 3 cm. (Reemplazando) 1 3 = lado 3 (espejando) 4 = Lado Utilizando la formula de área de triángulo equilátero = lado 3 4 (Reemplazando) Área = (esarrollando) Área = cm demás ya que el área del circulo corresponde a (4 3 ) π = 48π cm Tenemos que el área no ocupada por el círculo corresponde a: π cm 14 EPEH Preuniversitario, Edición 006

15 finalmente, ya que el área que buscamos corresponde a un tercio de esta, el área en cuestión corresponde a ( π) / 3 cm 14. lternativa correcta letra ) Utilizando la propiedad que nos indica que el radio de un circunferencia circunscrita en un triángulo equilátero equivale a dos tercios de la altura del triángulo, descubrimos que la altura del triángulo equilátero equivale a 9 3 cm, además aplicando la definición de altura de triángulo equilátero tenemos que: altura de triángulo equilátero = lado 3 cm. (Reemplazando) 9 3 = lado 3 (espejando) Lado = 18 cm Matemática 006 Luego ya que el triángulo es equilátero el perímetro equivale a 18 3 = 54 cm 15. lternativa correcta letra E) Utilizando la propiedad que nos indica que el radio de un circunferencia circunscrita en un triángulo equilátero equivale a dos tercios de la altura del triángulo, descubrimos que la altura del triángulo equilátero equivale a 15 cm, además aplicando la definición de altura de triángulo equilátero tenemos que: altura de triángulo equilátero = lado 3 cm. (Reemplazando) 15 = lado 3 (espejando) Lado = 30 3 (Racionalizando) Lado = 10 3 cm Utilizando la formula de área de triángulo equilátero = lado 3 (Reemplazando) 4 Área = ( 10 3 ) 3 4 (esarrollando) Área = 75 3 cm EPEH Preuniversitario, Edición

16 Matemática 006 Solucionario demás ya que el área del circulo corresponde a (10) π = 100π cm Tenemos que el área no ocupada por el circulo corresponde a: π cm inalmente, ya que el área que buscamos corresponde a un tercio de esta, el área en cuestión corresponde a ( π) / 3 cm = 100π cm 16 EPEH Preuniversitario, Edición 006