Contenidos. 1. Figuras congruentes. 2. Figuras Equivalentes. 3. Figuras semejantes. 1.1 Definición 1.2 Triángulos Congruentes

Transcripción

1 ontenidos 1. Figuras congruentes 1.1 Definición 1.2 Triángulos ongruentes 2. Figuras Equivalentes 3. Figuras semejantes 3.1 Definición 3.2 Triángulos Semejantes 3.3 Elementos homólogos 3.4 Razón entre áreas y perímetros

2 4. División de un segmento 4.1 División Interior 4.2 División Exterior 4.3 División rmónica 4.4 Sección áurea o Divina

3 1. Figuras congruentes ( ) 1.1 Definición Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma, el mismo tamaño y la misma área, es decir, si al colocarlas una sobre la otra son coincidentes en toda su extensión. Ejemplos: (Son congruentes cuando son exactamente iguales)

4 1.2 Triángulos congruentes Para determinar si dos triángulos son congruentes, existen algunos criterios. Los más utilizados son: 1 Lado, lado, lado (L.L.L.) Dos triángulos son congruentes si sus lados correspondientes son congruentes. F Los triángulos y DEF son congruentes y se denota: Δ Δ DEF D 10 E

5 2 Lado, ángulo, lado (L..L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos lados respectivamente congruentes y el ángulo comprendido entre ellos congruente. F 3 3 D E Los triángulos y DEF son congruentes y se denota: Δ Δ DEF

6 3 Ángulo, lado, ángulo (.L.) Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos respectivamente congruentes y el lado comprendido entre ellos congruente. F 12 β 12 β D E Los triángulos y DEF son congruentes y se denota: Δ Δ DEF

7 2. Figuras Equivalentes Son aquellas que tienen la misma área. El cuadrado de lado 2 π, es equivalente al círculo de radio 2 de la figura: Área = 4π Área = 4π

8 3. Figuras semejantes (~) 3.1 Definición Para que dos polígonos sean semejantes es necesario que se cumplan dos condiciones: 1 que tengan sus ángulos respectivamente congruentes, y 2 que sus lados homólogos sean proporcionales. Tienen igual forma, pero no necesariamente igual tamaño y área. E ε D δ γ β F Se llaman lados homólogos a los lados que unen dos vértices con ángulos congruentes. ε G J δ γ β I H

9 E D β γ δ ε G F J I H β γ δ ε demás, están en razón 1:2. Por ejemplo, los lados y GH son homólogos, como también lo son, y HI, D y IJ, DE y JF, E y FG.

10 3.2 Triángulos Semejantes Dos triángulos son semejantes si sus ángulos correspondientes son congruentes, y sus lados homólogos proporcionales. 3 β 4 9 F β 12 γ D 1 γ E es homólogo a DE es homólogo a EF es homólogo a DF Los Lados homólogos están en razón: 1:3 = k DE = = = 1 = k EF DF 3 Recuerda que al establecer una semejanza, el orden no se debe alterar.

11 Determinar la medida del segmento QR de la figura: R β γ 4 10 γ P 6 β Q Solución: Los triángulos y PRQ son semejantes y se tiene que Δ ~ Δ PRQ, entonces: PR PR Es decir: = = = k on k razón de semejanza QR PQ = 10 4 QR = 10 = 4 60 = 4 QR 1 = QR 6 QR 6

12 3.3 Elementos Homólogos Los lados homólogos en los triángulos semejantes, corresponden a los lados proporcionales. demás, los elementos que cumplen la misma función en cada triángulo como: alturas, transversales,bisectrices y simetrales, también son homólogos y proporcionales. Q R 8 P PQ = QR = RP = k 10 = 3 6 = 4 8 = 1 2 = k

13 demás, = h h R 2,4 4,8 = 1 2 = k Q 4 h 3 6 h R 10 R 8 P

14 3.4 Razón entre Áreas y Perímetros La razón entre los perímetros de dos triángulos semejantes, es igual a la razón entre sus elementos homólogos. Q 4 h 3 6 h R 10 R 8 P P = 12 P PQR 24 = 1 2 = k

15 La razón entre las áreas de dos triángulos semejantes, es igual al cuadrado de la razón entre sus elementos homólogos. Q 4 h h R R 8 P PQ = = k 10 = 1 2 = 6 PQR 24 = 1 4 = k 2

16 4. División de un segmento 4.1 División interior Si el punto divide interiormente al segmento en razón m:n, entonces: = m n Si Q divide interiormente al segmento en la razón 3:, y Q= 4, entonces, cuánto mide? Q

17 Solución: 27 4 Q Q Q = 3 Q 4 = 3 Q 3 4 = Q = 27 Por lo tanto, mide 72

18 4.2 División exterior Si el punto D divide exteriormente al segmento en razón m:n, entonces: D = m D n D Si D divide exteriormente al segmento en la razón :2, y D = 20, entonces, cuánto mide D? 20 D

19 Solución: D D D = 2 20 D = 2 D = 20 2 D = 8

20 4.3 División armónica Dividir el segmento armónicamente en razón m:n, implica dividirlo interior y exteriormente en la misma razón. m = D = D n D l dividir armónicamente el segmento en la razón 3:2, cuánto mide D y, si = 12? 12 D

21 Solución: 12 x 12 - x y D = 3 2 x 12-x = 3 2 2x = 3(12-x) 2x = 36-3x x = 36 x = 36 D D = y y = y = 3y 24 = y

22 4.4 Sección Áurea o Divina El punto X divide el trazo en sección áurea, si el trazo mayor es media proporcional geométrica entre el trazo completo y el menor. X Si X > X, entonces: X = X X ó (X)2 = X En la figura, P divide al segmento en sección áurea, con P > P. uál es la ecuación que permite calcular la medida de P, si P = b? b P

23 Solución: b P (P) 2 = P (P) 2 = (P + b) b (P) 2 = b P + 2b 2 (P) 2 - b P - 2b 2 = 0