TEMA 7: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

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1 TEMA 7: PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA

2 Índice Definiciones Homotecia (transformación del plano que NO es un movimiento) Semejanza (transformación del plano que NO es un movimiento) Semejanza e igualdad de polígonos. Caso particular: Semejanza de triángulos. Planos y mapas Teoremas y otros resultados Criterios de semejanza de triángulos Relación entre los perímetros y áreas de polígonos semejantes Aplicación en mapas Teorema de Thales. Aplicaciones del Teorema de Thales. 2

3 Homotecia de centro O y razón k Una homotecia conserva la forma de la figura y los ángulos, pero NO las distancias. Veamos a continuación su definición formal. 3

4 Homotecia de centro O y razón k Definición: Una homotecia es una transformación geométrica que, a partir de un punto fijo, multiplica todas las distancias por un mismo factor, llamado razón. En general, una homotecia de razón k diferente de 1 deja un único punto fijo, llamado centro. Definición (equivalente): se llama homotecia a la transformación geométrica que hace corresponder a un punto A otro A, alineado con A y con el centro O, de modo que: OA /OA= k, siendo k

5 Homotecia de centro O y razón k Distinguimos dos tipos: Cuando k es positiva la homotecia se denomina directa y los puntos homotéticos estarán a un mismo lado del centro O. Cuando k es negativa la homotecia se denomina inversa y los puntos homotéticos estarán a distinto lado del centro O. 5

6 Homotecia de centro O y razón k Además, podemos distinguir dos subtipos dentro de cada tipo: Cuando k es positiva: o Si 0<k<1, la figura homotética será más pequeña que la original o Si k>1, la figura homotética será mayor que la original Cuando k es negativa: Si -1<k<0, la figura homotética será más pequeña que la original Si k<-1, la figura homotética será mayor que la original 6

7 Semejanza Definición: Una semejanza es la composición de una homotecia con un movimiento. 7

8 Semejanza Definición: Una semejanza es la composición de una homotecia con un movimiento. 8

9 Igualdad y Semejanza de polígonos Definición: dos polígonos se dicen semejantes si tienen sus ángulos iguales y sus lados son proporcionales. (es decir, dos polígonos son semejantes si tienen la misma forma pero sus tamaños pueden ser diferentes). Definición: Al cociente constante entre los lados de dos polígonos semejantes se le llama razón de semejanza. Definición: dos polígonos se dicen congruentes (o iguales) si sus lados correspondientes tienen la misma longitud y sus ángulos correspondientes tienen la misma medida. (es decir, dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y tamaño, aunque su posición u orientación sean distintas) 9

10 Semejanza de polígonos Proposición: una semejanza transforma polígonos en polígonos semejantes, siendo la razón de semejanza la razón de la homotecia. En particular, una homotecia transforma polígonos en polígonos semejantes, siendo la razón de semejanza la razón de la homotecia. 10

11 Semejanza de triángulos Observación: en el caso del triángulo, la forma sólo depende de sus ángulos. Definición simplificada: dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales dos a dos. Cuáles son iguales y cuáles solo semejantes? 11

12 Criterios de igualdad de triángulos 1) Tienen los tres lados iguales. 2) Presentan un lado igual y los dos ángulos adyacentes iguales. 3) Tienen dos lados iguales y el ángulo comprendido igual. 12

13 Criterios de semejanza de triángulos 1) Dos triángulos son semejantes si tienen dos ángulos del primer triángulo iguales a dos ángulos del segundo triángulo 2) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados del primero respectivamente proporcionales a dos lados del segundo y los ángulos comprendidos entre los lados son iguales 13

14 Criterios de semejanza de triángulos 3) Dos triángulos son semejantes si tienen los tres lados del primero proporcionales a los tres lados del segundo. Es decir, si a a = b b = c c 14

15 Criterios de semejanza de polígonos Los criterios de semejanza de triángulos NO son válidos para otras figuras distintas. Contraejemplo: Todos los rectángulos tienen los ángulos iguales (más incluso de lo que se pide en el criterio (1)), pero no todos son semejantes. Si lo son o no dependerá de la relación entre la base y la altura. 15

16 Criterios de semejanza de polígonos Para saber si dos polígonos cualesquiera son semejantes, hay que triangular las figuras y aplicar los criterios de semejanza de triángulos a los triángulos resultantes. 16

17 Propiedades de los polígonos semejantes Propiedad 1: La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de dos lados homólogos. Demostración: Dados dos polígonos semejantes de lados a 1, a 2,, a n y a 1, a 2,, a n es k, entonces la razón de semejanza es: a 1 = a 2 = = a n = k a 1 a 2 a n Y por tanto la razón entre los perímetros es: Perímetro Perímetro = a a n = ka ka n a a n a a n = k 17

18 Propiedades de los polígonos semejantes Propiedad 1: La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de dos lados homólogos. Ejemplo 1: Razón de semejanza: 6 3 = 6,4 3,2 = 5 2,5 = 2 Razón entre perímetros: Perímetro Perímetro = 6 + 6, ,2 + 2,5 = 17,4 8,7 = 2 18

19 Propiedades de los polígonos semejantes Propiedad 1: La razón de los perímetros de dos polígonos semejantes es igual a la razón de dos lados homólogos. Ejemplo 2: Razón de semejanza: 2,5 1,25 = 2 Razón entre perímetros: Perímetro Perímetro = 17,5 8,75 = 2 19

20 Propiedades de los polígonos semejantes Propiedad 2: La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de dos lados homólogos. Dados dos polígonos semejantes de lados a 1, a 2,, a n y a 1, a 2,, a n es k, entonces la razón de semejanza es: a 1 = a 2 = = a n = k a 1 a 2 a n Y la razón entre las áreas es: Área Área = a 2 1 = a 2 a 1 a 2 2 = = a n a n 2 = k 2 20

21 Propiedades de los polígonos semejantes Propiedad 2: La razón de las áreas de dos polígonos semejantes es igual al cuadrado de la razón de dos lados homólogos. Ejemplo: La razón de semejanza es: 3a a = 3b b = 3 Y la razón entre las áreas es: Área Área = 9ab ab = 9 = 32 21

22 POR QUÉ ES ÚTIL ESTUDIAR LA SEMEJANZA DE FIGURAS? 22

23 Mapas Definición: un plano o mapa es una representación gráfica de una figura real de forma que sea semejante a ella. Definición: Se llama escala del mapa a la razón constante entre la medida de cualquier línea del mapa y su correspondiente original (es decir, la razón de semejanza entre las líneas). La escala puede escribirse como: 1 Escala numérica: 100 o 1:100 Escala gráfica

24 Un poco de historia 24

25 Teorema de Thales Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas son proporcionales. T S a b = c d b a c d L 1 L 2 L 3 25

26 Ejemplo: En la figura, las rectas L 1, L 2 y L 3 son paralelas y S y T transversales a ellas. Calcula la medida del segmento x L 1 L 2 Ordenamos los datos de acuerdo al teorema de Thales S T x 15 L 3 Es decir: 8 24 = x 15 Y despejamos la x: 24 x = x = x = 5 26

27 Recíproco del Teorema de Thales Teorema de Thales: Si tres o más rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos de las transversales determinados por las paralelas son proporcionales. Teorema recíproco: Si un sistema de rectas determina sobre otras 2 rectas concurrentes segmentos proporcionales, el sistema está formado por rectas paralelas. 27

28 Aplicaciones del T. de Thales 1) Como a b = c d a c = b d T S b a c d L 1 L 2 L 3 28

29 Aplicaciones del T. de Thales 2) División de un segmento: El teorema de Tales nos permite dividir con gran sencillez un segmento AB en partes proporcionales a otros varios de longitudes m, n, p. AB m + n + p = x m AB m + n + p = y n Cuando dos de los términos conocidos tienen el mismo valor, cualquiera de AB los otros recibirá el a nombre de m + n + p = z p b = b x 29

30 Aplicaciones del T. de Thales Proposición: Toda paralela a un lado de un triángulo determina con los otros 2 un nuevo triángulo cuyos lados son proporcionales a los del primero. Definición: dos triángulos se dicen de Thales o que están en posición de Thales cuando tienen un ángulo común y los lados opuestos a dicho ángulo son paralelos. 31

31 Aplicaciones del T. de Thales Propiedad: Los triángulos en posición de Thales tienen sus ángulos iguales, ya que están formados por la misma recta que incide sobre paralelas, y sus lados son proporcionales. Por tanto, son semejantes y sus lados tienen la misma razón de semejanza. Recíprocamente, los triángulos semejantes siempre se pueden poner en posición de Thales mediante un movimiento del plano aplicado a uno de ellos. = k razón de semejanza 32

32 Aplicaciones del T. de Thales Ejemplo 1: En la figura, los triángulo ADE y ABC están en posición Thales, luego: A AD = AB AE AC = DE BC D E O también AD DE = AB BC B C 33

33 Aplicaciones del T. de Thales Cálculo de alturas que no podemos medir directamente: Ejemplo 1: Altura de la pirámide de Keops Datos: La pirámide tiene una base de lado 230 m h=1,46 metros s=2 metros S=85 metros H(altura pirámide) h (altura del bastón) s (sombra) S (sombra) C (cateto) Lado de la base 34

34 Aplicaciones del T. de Thales Cálculo de alturas que no podemos medir directamente: Ejemplo 2: La altura del siguiente edificio: 35