MATEMÁTICAS 2º ESO SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES

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1 MATEMÁTICAS º ESO SEMEJANZA Y TEOREMA DE THALES S1 SEMEJANZA DE FIGURAS. RAZÓN DE SEMEJANZA O ESCALA. Dos figuras son semejantes si tienen la misma forma, aunque quizá distinto tamaño. La razón de semejanza entre dos figuras semejantes, F y F, es el número de veces que hay que ampliar o reducir la figura F para obtener la figura F. La razón de semejanza recibe también el nombre de escala. Ampliación Reducción 1/ Razón de semejanza r > 1 Razón de semejanza r<1 De los puntos, segmentos, regiones, etc., de F y de sus correspondientes en F se dice que son homólogos. r r Para hallar la razón de semejanza entre F y F basta dividir la longitud de cualquier segmento de F entre la longitud de su segmento homólogo en F Razón entre F y F : r = a La razón se semejanza entre F y F es siempre la inversa de las razón de semejanza entre F y F a Razón entre F y F: r = a a = 1 r 1

2 Razón de semejanza r Lenguaje cotidiano decimal fracción porcentaje Ampliar al doble 00% 1 Reducir a la mitad % 1 Reducir a la cuarta parte 0 5 5% 4 Ampliar 8 veces % 1 Reducir 10 veces 0,1 10% 10 Ampliar una vez y media = 3 150% 5 Ampliar el (en un) 5% % 4 Ampliar al 300% % Ampliar al 5% sin sentido sin sentido sin sentido 7 Reducir el (en un) 30% % 10 3 Reducir al 30% % 10 Reducir un 150% sin sentido sin sentido sin sentido Para las maquetas y para los mapas, suele utilizarse la palabra escala en lugar de razón de semejanza. Además se indica por lo general la razón o escala de reducción (r < 1). Ejemplo: Este es un mapa a escala r = 1 : , es decir, r = = 0,0000 es la razón de reducción y r = es la de ampliación TERRENO REAL En el mapa, la distancia entre los picos Cabeza de Hierro Mayor y La Najarra, medida a través de la Cuerda Larga, es de cm. Cuál es la distancia real entre ellos? Si d = distancia en el mapa y d = distancia real entonces d = d. r = cm x = cm = cm 1km cm = 11km

3 S TEOREMA DE TALES La razón entre dos números x y x es el cociente r = x x. Ejemplos: La razón entre y 8 es 4. La razón entre y 3 es 1 5. Se dice que dos parejas de números son proporcionales si la razón entre los números de la primera pareja es igual a la razón entre los números de la segunda. Ejemplo:, 8, 10 y 40 son proporcionales porque 8 40 = 4 y = 4, es decir, 8 = Esta igualdad puede comprobarse sin calcular las razones correspondientes, multiplicando los términos en cruz : 8.10 = 40.. El Filósofo y Matemático griego, Tales de Mileto, enunció y demostró en el siglo VI a.c. la siguiente propiedad geométrica, que se conoce como el Teorema de Tales. Si dos rectas secantes, s 1 y s, son cortadas por una familia de rectas, p 1, p, p 3, entonces: Los segmentos a, b, c, interceptados en s 1 por dicha familia, y sus segmentos homólogos en s, a, b y c, son proporcionales si y solo si las rectas p 1, p, p 3 son paralelas. En símbolos: a a = b b = c c = p 1 p p 3 Si p 1, p, p 3 son paralelas hay una razón común, r, entre los segmentos de s 1 y s. Ejemplo 1: Sabemos que las rectas p 1 y p son paralelas. Cuánto mide el segmento b? Ejemplo : Son paralelas las rectas r y t de la figura? Según el teorema de Tales: 3 = 6 por lo tanto b b = 6. 3 = 4 Según el teorema de Tales, NO pueden serlo, pues ya que

4 Si sumamos dos segmentos de s 1 obtenemos un nuevo segmento z = a + b. Resulta que este, y su segmento homólogo z = a + b, son proporcionales a los originales. z = a = b z a b,es decir, a +b a+b = a = b a b Lo mismo pasa si restamos dos segmentos a b a b = a = b a b Nota que: z z = 9 6 = 1 5 Exactamente igual que: a a = 3 = 1 5 = 6 4 = b b Demostramos que es cierto en general con lenguaje algebraico: a a = r por lo que a = r. a y también b b = r por lo que b = r. b Entonces: z = a +b z a+b ra +rb = a +b r a+b = a +b = r. Así que z = a = b z a b porque todas son iguales a r. 4

5 CONSTRUCCIÓN DE UN TRIÁNGULO DADOS SUS TRES LADOS. RIGIDEZ Tenemos tres segmentos, de longitudes a, b y c, ordenados de mayor a menor. Vamos a construir un triángulo con ellos. Segmentos a, b y c Usamos a como base y unimos sus extremos con un extremo de b y otro de c. Los otros extremos de b y c pueden girar libremente en las circunferencias de radios b y c La única forma de llegar a cerrar el triángulo es llevar los extremos libres de b y c sobre el punto de intersección de las circunferencias. De la construcción obtenemos dos conclusiones importantes. 1) Dados tres segmentos de longitudes a, b y c, ordenadas de mayor a menor, solo podemos formar un triángulo si a < b + c Si no se cumple esta desigualdad, nota que el triángulo no puede cerrarse. Esta desigualdad se llama desigualdad triangular y puede leerse también así: En todo triángulo, los dos lados menores suman más que el lado mayor. ) Si los tres segmentos cumplen la desigualdad triangular, solo hay una forma de cerrar el triángulo. No podemos formar varios triángulos distintos. Esta propiedad se denomina rigidez del triángulo. Ningún polígono de más de 3 lados es rígido. Podemos tener varios cuadriláteros con lados iguales, pero ángulos distintos. Lo mismo pasa con pentágonos, hexágonos, Ejemplo: Dos cuadriláteros distintos construidos con lados de medidas 1,,3 y 4. 5

6 S3 SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Se dice que dos triángulos T 1 y T están en posición de Tales si T 1 está dentro de T, de forma que: a) Comparten uno de sus ángulos b) El lado de T 1 opuesto a ese ángulo y el lado de T opuesto a ese ángulo son paralelos Triángulos en posición de Tales OJO!: No están en posición de Tales Si tenemos dos triángulos T 1 y T, las siguientes cuatro afirmaciones son equivalentes. Esto significa que si sabemos que una de las cuatro es cierta, entonces las otras tres son ciertas seguro. Y viceversa: si sabemos que una sola de ellas es falsa, entonces las otras tres seguro que son también falsas. 1 T 1 y T son semejantes 4 Lados homólogos proporcionales a'/a=b'/b=c'/c ángulos iguales A = A' B = B' C = C' 3 posición de Tales 6

7 Paso de 1 a : Si dos triángulos T 1 y T son semejantes, entonces sus ángulos homólogos son iguales Al ser T 1 y T semejantes, T debe ser una ampliación o una reducción de T 1, y al ampliar o reducir un triángulo sus ángulos no cambian. r Paso de a 3: Si dos triángulos tienen los ángulos homólogos iguales, entonces pueden colocarse en posición de Tales Al ser A = A, T 1 y T pueden dibujarse compartiendo ese ángulo, y como B = B y C = C, estamos seguros que a y a son paralelos. Nota: Los triángulos con ángulos iguales pueden colocarse en posición de Tales de 3 formas diferentes, encajando el triángulo menor en cada uno de los ángulos correspondientes del triángulo mayor. 7

8 Paso de 3 a 4: Si dos triángulos están en posición de Tales, entonces sus lados homólogos son proporcionales Colocamos los triángulos compartiendo el ángulo en A=A. Los lados b, b, c y c son los segmentos que las dos rectas paralelas a y a interceptan en dos rectas secantes. Por tanto, según el Teorema de Tales, b = c b c Si colocamos los triángulos en posición de Tales, pero compartiendo el ángulo C, entonces son a, a, b y b los segmentos interceptados en las rectas secantes por las rectas paralelas c y c. Según el Teorema de Tales, tenemos a = b a b Uniendo ambas igualdades obtenemos a = b = c, que quiere justamente decir que los a b c lados homólogos del triángulo son proporcionales. Paso de 4 a 1: Si los triángulos T 1 y T tienen sus lados homólogos proporcionales, entonces son semejantes Vamos a llamar r a la razón común entre los lados de T 1 y T : r = a = b = c a b c Si hacemos una ampliación (o reducción) de T 1 con esa razón r, obtendremos un triángulo T, semejante a T 1. Los lados de T miden ra, rb y rc, respectivamente. Dado que ra = a,rb = b y rc = c, nuestro nuevo triángulo T tiene sin embargo los mismos lados que T. Pero entonces T y T tienen que ser iguales, porque dados 3 segmentos a, b y c no se pueden construir dos triángulos distintos con esos segmentos (rigidez del triángulo) En conclusión T 1 y T son semejantes, porque T 1 y T lo son y T =T. Ejemplo 1: Calcula los lados que faltan en los triángulos siguientes: Comprobamos que los ángulos correspondientes son iguales: A=A, B=B, C=C. Por tanto los triángulos son semejantes y sus lados correspondientes deben ser proporcionales. Para calcular los lados c y b podemos usar la proporcionalidad de dos formas: 8

9 Método 1: Usando la razón de semejanza común a todos los lados. r = a a = 14 7 b =. Como también Método : A través de proporciones: b = b = b =.5 = 10 También c = c = 1 c = 1. c c c = 1. 7 = 3 5 a Ejemplo : a = b b 14 7 = b 5 b = 14.5 = 10 a = c 14 = 7 7 a c 7 c c = = 3 5 Los triángulos de la figura parecen semejantes. Demuestra que efectivamente lo son. Calculamos los ángulos que faltan en T : α = 7º por ser opuestos φ = 180º - 48º - 7º = 105º Por tanto todos los ángulos de T son iguales a sus correspondientes en T 1 y en consecuencia los triángulos son semejantes. Ejemplo 3: Los triángulos de la figura parecen semejantes. Demuestra que NO lo son. Dividimos los lados que podrían corresponderse: a = 4 3 = 1 6 b = 5 4 = 1 5 f 6 e 3 5 Dado que los lados homólogos no son proporcionales, los triángulos no son semejantes. 9

10 S4 SEMEJANZA DE POLÍGONOS Observa estas dos figuras: 1) No son semejantes ) Sus ángulos homólogos son iguales (son todos rectos). 3) Sus lados homólogos no son proporcionales. Observa también estas otras figuras 1) No son semejantes ) Sus lados homólogos son proporcionales 3) Sus ángulos no son iguales Estos dos ejemplos indican que la rueda de condiciones de la semejanza que vale para los triángulos, NO VALE para los cuadriláteros. En realidad NO VALE para ningún polígono con más de tres lados. Lados hom. proporcionales POLÍGONOS SEMEJANTES ángulos homólogos iguales Dos polígonos son semejantes si y solo si sus ángulos homólogos son iguales y sus lados homólogos proporcionales. Es decir, no basta comprobar solo la condición 1 o solo la condición, sino que hay que comprobar las dos independientemente, porque podría ser una cierta y la otra falsa, como sucede en los ejemplos anteriores. En este caso no hay semejanza. Esta diferencia entre el triángulo y el resto de los polígonos se debe a que solo el triángulo es rígido. Cualquier otro polígono puede cambiar de ángulos sin cambiar de lados, y viceversa 10