GEOMETRIA GRADO 8 PROF. LIC. ESP. BLANCA NIEVES CASTILLO R. CORREO: cel

Transcripción

1 PENSAMIENTO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO VARIACIONAL Triángulos Clasificación de triángulos Construcción de triángulos Líneas notables en el triángulo Utilizo los criterios de congruencias y semejanzas entre las figuras y solución de problemas Ángulos determinados por dos paralelas y una secante Teorema de Pitágoras. Teorema de Tales Criterios de congruencia y semejanza entre figuras bidimensionales. Modelación y comunicación Justifico la teoría de líneas paralelas y secantes en la construcción de figuras Reconozco y contrasto propiedades y relaciones geométricas utilizadas en demostraciones de teoremas básicos (Pitágoras y Thales ) Razonamiento y Argumentación. Conjeturo y verifico propiedades de congruencias y semejanzas entre figuras bidimensionales y en la solución de problemas Aplico los teoremas en los problemas propuestos Planteamiento y resolución de problemas Calculo y justifico criterios de congruencias y semejanza entre triángulos en la resolución y formulación de problemas. - Uso representaciones geométricas para resolver y formular problemas en las matemáticas y en otras Disciplinas Utilizo los teoremas para hallar la solución de problemas GUIA No. 1 CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS LADOS Los nombres que reciben son: 1) triángulos equiláteros Las palabras equi - látero vienen del latín: igual lado. Son los triángulos cuyos tres lados son iguales: 2) triángulos isósceles La palabra isósceles está compuesta de dos palabras griegas isoque significa igual y de la palabra skeles que podemos traducir por piernas. La palabra isósceles referido a la geometría quiere decir que dos lados (piernas) son iguales. Por lo tanto, un triángulo con dos lados iguales llamamos isósceles.

2 Como ves en la figura, tienes el triángulo isósceles con dos lados iguales. Si tiene 2 lados iguales tendrá también dos ángulos iguales. 3) triángulos escalenos La palabra escaleno procede de la palabra griega skaleno que significa cojear, cojo. Nos da la idea que si el triángulo cojea sus lados no son iguales. Efectivamente, el triángulo escaleno tiene sus lados diferentes por lo que sus ángulos también serán diferentes. 1. Sería correcto decir que en un triángulo equilátero cada ángulo mide 59º38 56? Respuesta: Incorrecto. Cada ángulo debe medir 60º porque la suma de todos es 180º y como son iguales basta que dividas 2. En un triángulo isósceles, cada uno de los ángulos iguales mide 30º16 Cuánto vale el ángulo desigual? Respuesta: 119º28 3. El triángulo que tienes en la figura siguiente qué tipo de triángulo es, según sus lados y cuánto mide el ángulo X? Respuestas: Escaleno y el ángulo X vale 56º06 4. Puede existir un triángulo cuyos ángulos miden 66º56 44, 43º12 33 y 69º50 43? Por qué? Respuesta: Sí, porque la suma de sus ángulos es 180º

3 15.71 Qué clase de triángulo es el que tiene por ángulos 65º43 58, 55º37 55 y 63º12 13? Respuesta: No existe. La suma de sus ángulos superan 180º 5. En un triángulo isósceles el ángulo desigual vale 66º14 34 Cuánto vale cada uno de los ángulos iguales? Respuesta: 56º Cuántas diagonales tiene un triángulo? Razona la respuesta. Respuesta: No tiene ninguna. Explicación: Recuerda que diagonal es una recta que uno dos vértices no consecutivos de un polígono o de un poliedro (estudiaremos más adelante). En un triángulo es imposible dibujar una diagonal que una dos vértices no consecutivos. Porque si parto de un vértice y voy al 2º no consecutivo me encuentro con un lado del triángulo. Debes tener en cuenta de que cada vértice salen tantas diagonales como lados tiene el polígono menos 3 pero las contamos dos veces. Del cuadrado saldrían: 4 (vértices)x(4 3) = 4, pero se repetirían la mitad de las diagonales, luego, el número de diagonales del cuadrado serán 2. El pentágono tendrá: 5 (vértices)x(5 3) =5x2 = 10 pero repetiríamos la mitad, 5 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 10 5 = 5 diagonales. El hexágono tendrá: 6 (vértices)x(6 3) =6x3 = 18 pero repetiríamos 9 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan 18 9 =9 diagonales. El heptágono tiene: 7 (vértices)x(7 3) =7x4 = 28 pero repetiríamos, las mitades, 14 diagonales (las tendríamos trazadas con anterioridad). Nos quedan =14 diagonales. Para hacer el cálculo más sencillo aplicas la fórmula representando por n el número de lados del polígono:

4 Respuesta: 350 diagonales GEOMETRIA GRADO 8 7. Cuántas diagonales tiene un polígono de 28 lados? 8. En un triángulo, puede uno de sus ángulos ser cóncavo? Respuesta: No, porque un ángulo cóncavo vale más de 180º Los dos lados a y b de la figura forman un ángulo cóncavo de 225º y para trazar el tercer lado del triángulo vemos que nos es imposible. Tomado de internet: 1. Elabora en cartulina y pega en tu cuaderno un triángulo Equilátero, mide los lados, mide los ángulos 2. Elabora en cartulina y pega en tu cuaderno un triángulo asóciele, mide sus lados y sus ángulos 3. Elabora en cartulina y pega en tu cuaderno un triángulo escaleno, mide sus lados y sus ángulos 4. Dibuja y Traza las diagonales en un cuadrado, en un triángulo, en un hexágono. 5. Cómo se llama la fórmula que utilizaste y cual es? 6. Prepara todos los concepto para una evaluación oral. CLASIFICACIÓN DE LOS TRIÁNGULOS SEGÚN SUS ÁNGULOS Se dividen en: 1) Triángulos rectángulos si tienen UN ángulo recto. Tienes a continuación tres ejemplos de triángulos rectángulos

5 En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los lados perpendiculares que forman el ángulo recto se llaman catetos. Teorema de Pitágoras: Al estudiar el triángulo rectángulo hemos de conocer perfectamente este teorema que nos dice: En todo triángulo rectángulo, la suma de los cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa Tomemos como ejemplo el de la figura en el que los catetos miden 3 y 4 cm., respectivamente y 5 cm., la hipotenusa. Con las medidas de los catetos formamos cuadrados Con la longitud de la hipotenusa formamos otro cuadrado (c): Si calculas el área del cuadrado formado por el cateto (a): lado al cuadrado obtienes como valor del área: Si a continuación calculas el cuadrado formado por el cateto (b), el valor de su área vale El cuadrado formado por la longitud de la hipotenusa tiene un área de

6 Si sumas las áreas de los cuadrados de los catetos, es decir obtienes el área formada por el cuadrado de la hipotenusa, Fíjate en la figura siguiente: La suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. Siendo a y b las longitudes de los catetos los catetos, y c la longitud de la hipotenusa podemos escribir: (teorema de Pitágoras) Analiza: (a) Calcula la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo sabiendo que los catetos miden 5 y 6 cm., respectivamente. El resultado es de 7,81 cm. porque la suma de los cuadrados de los catetos es de donde (b) Sabiendo que la hipotenusa de un triángulo rectángulo vale 10 cm., y uno de los catetos 8 cm. Cuál es el valor del otro cateto? El resultado es de 6 cm. Porque 2) Triángulos acutángulos, si tienen TRES ángulos agudos(menores de 90º). En el dibujo siguiente tienes dos triángulos acutángulos.

7 3) Triángulos obtusángulos, si tienen UN ángulo obtuso (más de 90º). En la siguiente figura tienes dos triángulos obtusángulos 1. Puede un triángulo rectángulo tener, además de su ángulo recto, dos ángulos de 56º y 45º? Por qué? Respuesta: No, porque la suma de los tres ángulos debe valer 180º y en este caso, supera ese número. 2. Dos triángulos isósceles tienen iguales dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Son necesariamente iguales? Respuesta: Sí. 3. La suma de los ángulos no rectos de los triángulos rectángulos han de sumar un ángulo recto? Por qué? Respuesta: Sí, porque si el ángulo recto vale 90º los otros dos 2 ángulos no rectos tendrán que sumar 90º, de este modo, la suma de los ángulos del triángulo suman 180º 1. Elabora en cartulina y pega en tu cuaderno un triángulo rectangulo, mide los lados, mide los ángulos 2. Elabora en cartulina y pega en tu cuaderno un triángulo acutangulo, mide sus lados y sus ángulos 3. Elabora en cartulina y pega en tu cuaderno un triángulo obtusángulo, mide sus lados y sus ángulos 4. Prepara todos los conceptos para una evaluación oral. RELACIÓN ENTRE LOS ÁNGULOS Y LOS LADOS DE LOS TRIÁNGULOS En los triángulos los ángulos dependen de los lados en cuanto a sus medidas, de ahí que podemos decir: A) A mayor lado se opone mayor ángulo

8 Comprueba en la figura siguiente que a mayor lado, se oponemayor ángulo. Lo mismo puede decirse a la inversa, a menor ángulo, se opone menor longitud de lado B) En un triángulo, la longitud de un lado cualquiera es menor que la suma de las longitudes de los otros dos lados. La suma de los dos lados menores será siempre mayor que el lado más grande. En el primer triángulo la suma de los lados de menor longitud es mayor que la del lado de mayor longitud Lo mismo sucede en el segundo triángulo de la figura: C) Si un triángulo tiene sus lados iguales también serán sus ángulos opuestos. En la figura siguiente verás en el primer triángulo que los lados a y b al tener iguales longitudes, sus ángulos opuestos miden lo mismo. Igualmente, en el segundo triángulo los lados x e y al tener la misma longitud, sus ángulos opuestos son iguales.

9 Tomado de internet: Los cuatro grupos de líneas notables más importantes que se trabajan en los triángulos son las siguientes: Medianas: segmentos que unen los puntos medios de cada lado con el vértice opuesto al lado. El punto de intesección se llama baricentro y es el centro de equilibrio del triángulo. Mediatrices: rectas perpendiculares a los puntos medios de cada lado. El punto de intersección llamado circuncentro es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices. Bisectrices: semirrectas que dividen cada ángulo del triángulo en dos ángulos congruentes. El punto de encuentro de las tres bisectrices se llama incentro y es el centro de la circunferencia que es tangente a los tres lados.

10 Alturas: rectas perpendiculares a los lados del triángulo que pasan por el vértice opuesto al lado. su punto de intersección se llama ortocentro. Este grupo de líneas notables tienen varias características que forman parte de un estudio amplio de la geometría, una de los hechos notables es que en cada triángulo son tres, y que las tres concurren en un solo punto. Dos triángulos son congruentes si tienen sus lados y ángulos correspondientes congruentes. Para saber si dos triángulos son congruentes no es necesario verificar todas las congruencias entre lados y ángulos, sólo es necesaria una poca información, la cual se aplica con base en unos criterios de congruencia: Criterio Lado-Lado-Lado (LLL) en el cual se pide verificar que si los tres pares de lados son congruentes dos a dos, entonces los tres ángulos correspondientes serán congruentes. Criterio Lado- Ángulo-Lado(LAL) mediante el cual basta verificar que dos pares de lados de los triángulos sean congruentes así como el ángulo comprendido entre ellos. Criterio Ángulo-Lado-Ángulo(ALA) en este criterio se verifica únicamente que dos ángulos correspondientes sean congruentes, así como el lado común a los dos ángulos. Cuando el triángulo es rectángulo los criterios son menos exigentes pues ya se sabe que uno de los ángulos es de 90º. La semejanza de triángulos es una de las herramientas más fuertes de la geometría, mediante la cual se resuelven numerosos problemas de aplicación. Ser semejante significa tener la misma forma, en el caso de los triángulos ser semejante, entonces, está referido a tener los ángulos correspondientes congruentes. La conclusión más trascendental de este hecho es que cuando dos triángulos son semejantes los lados correspondientes son proporcionales, es decir, que las razones entre lados correspondientes de los dos triángulos son iguales. Simbólica y gráficamente se expresa de la siguiente manera: En la gráfica se observa que los triángulos porque los ángulos correspondientes son congruentes, el ángulo en A es congruente con el ángulo en Y, el ángulo en B es congruente con el ángulo en Z, y el ángulo en C es congruente con el ángulo en X. En consecuencia tienen la misma forma y por eso los lados correspondientes guardan la misma razón, es decir, son proporcionales: Al igual como sucede con la congruencia la semejanza también tiene unos criterios que permiten resolver numerosos problemas de las ciencias, la trigonometría y las matemáticas en general.

11 Sobre los triángulos se conocen numerosos teoremas, algunos acerca de sus lados, otros sobre sus ángulos y también aquellos que relacionan lados y ángulos. Algunos ejemplos son: La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º La suma de los ángulos externos de un triángulo es 360º El ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes. La suma de dos lados es mayor que el tercero La diferencia entre dos lados es menor que el tercero Al ángulo mayor se opone el lado mayor y al ángulo menor se opone el lado menor En un triángulo isósceles los ángulos de la base son congruentes En un triángulo equilátero todos los ángulos interiores son congruentes. ÁNGULOS DETERMINADOS POR RECTAS PARALELAS CORTADAS POR UNA SECANTE Observa en el dibujo que dos rectas paralelas cortadas una recta transversal crea 8 ángulos que reciben distintos nombres según la posición que ocupan: Las recta r corta a las rectas paralelas m y n: Los nombres de los ángulos según el lugar que ocupan reciben los nombres:

12 Interiores o internos: En azul, son los que se encuentran entre las rectas paralelas. Ángulos exteriores o externos: Los ángulos exteriores o externos en color violeta, son los que hallan en la zona exterior de las paralelas. Ángulos correspondientes: Son los que se encuentran en el mismo lado de la secante, un ángulo en la parte interior y otro en el exterior de las paralelas. Los ángulos del mismo color son correspondientes: El ángulo a se corresponde con el ángulo a El ángulo b se corresponde con el ángulo b El ángulo c se corresponde con el ángulo c El ángulo d se corresponde con el ángulo d

13 Teniendo en cuenta lo dicho hasta aquí y fijándonos en la figura podemos afirmar que los ángulos correspondientes son iguales entre sí. Ángulos alternos internos Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona interior de las rectas paralelas: Los ángulos internos son d, c, b y a. Si los tomamos alternadamente, tendríamos, por un lado, los ángulos d y b, y por otro, c y a y comprobarás que los alternos internos son iguales entre sí. Ángulos alternos externos: Son los que se encuentran a distinto lado de la secante y en la zona externa de las rectas paralelas: Los ángulos externos son: a, b, c y d que tomándolos alternadamente tendremos, por un lado los ángulos a y c, y por otro, los ángulos b y d. Comprobarás que los ángulos alternos externos son iguales entre sí.

14 1. Observa la figura siguiente y después, contesta a las preguntas siguientes: 1. Cómo son los ángulos 1 y 2? 2. Cómo podemos llamar a los ángulos 1 y 4? 3. Son suplementarios los ángulos 2 y 4? 4. Son iguales los ángulos 2 y 3? Por qué? 5. Son correspondientes los ángulos 3 y 7? 6. Cómo son los ángulos 4 y 6? 7. Es el ángulo 6 correspondiente al ángulo 3? 8. Son iguales los ángulos 5 y 8? Por qué? 9. Cómo puedes llamarles a los ángulos 1 y 8? 10. Son alternos internos los ángulos 5 y 6? Respuestas: 1. Adyacentes y suplementarios. 2. Opuestos por el vértice. Uno es externo y el otro interno. 3. Sí, juntos valen 180º. 4. Sí, por ser opuestos por el vértice. 5. Sí por encontrarse en el mismo lado de la secante, siendo uno un ángulo interior y el otro un ángulo exterior. 6. No porque aunque se encuentren en el mismo lado de la secante los dos son ángulos interiores. 7. No porque no están situados al mismo lado de la secante y además, los dos son interiores. 8. Sí por estar opuestos por el vértice. 9. Son ángulos alternos externos ya que se encuentran a distinto lado de la secante y en la parte exterior de las paralelas. 10. No porque no son alternos y además, los alternos internos son iguales entre sí.

15 Teorema de Pitágoras Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90 ) y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces el cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! El lado más largo del triángulo se llama "hipotenusa", así que la definición formal es: En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (llamamos "triángulo rectángulo" a un triángulo con un ángulo recto) Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a 2 + b 2 = c 2 Veamos si funciona con un ejemplo. Un triángulo de lados "3,4,5" tiene un ángulo recto, así que la fórmula debería funcionar. Veamos si las áreas son la misma: = 5 2 Calculando obtenemos: = 25 sí, funciona! Por qué es útil esto? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado. ( Pero recuerda que sólo funciona en triángulos rectángulos!)

16 Cómo lo uso? Escríbelo como una ecuación: a 2 + b 2 = c 2 Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos: a 2 + b 2 = c 2 a 2 + b 2 = c = c b 2 = = b 2 = 225 c 2 = 169 Resta 81 a ambos lados c = 169 b 2 = 144 c = 13 b = 144 b = 12 Y Puedes Demostrarlo Tú Mismo!

17 Consigue papel y tijeras, y usa la siguiente animación como guía: Dibuja un triángulo rectángulo en el papel, dejando mucho espacio alrededor. Dibuja un cuadrado sobre la hipotenusa (el lado más largo) Dibuja un cuadrado del mismo tamaño en el otro lado de la hipotenusa Dibuja líneas como en la animación, así: Que son ternas pitagóricas? Cómo demuestras que los angulos de un triangulo suman 180º? CONSULTA EN LAS SIGUIENTES DIRECCIONES DE INTERNET PARA AMPLIAR TU CONOCIMIENTO

18 AMPLIA TU CONOCIMIENTO EN INTERNET EN:

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27 THALES DE MILETO Thales nació en la ciudad de Mileto (Grecia) alrededor del año 624 antes de Cristo y murió después de más de 70 años en la misma ciudad que ahora pertenece a Turquía. Ha sido uno de los hombres más sabios con muchos conocimientos de astronomía, matemáticas y filosofía. La frase: La esperanza es el único bien común a todos los hombres, los que todo lo han perdido la poseen aún es de Thales. Para nosotros, en este momento, es importante por su teorema. Teorema es algo que se expone, se ofrece o se propone como verdad que la podemos demostrar. TEOREMA DE THALES Dos rectas concurrentes r y s cortadas por paralelas (a, b, c y d) los segmentos que se han creado en una de las rectas son proporcionales a sus correspondientes en la otra recta. Nota. En algunas medidas de los próximos problemas los decimales de algunas medidas están redondeadas.

28 Comprueba detenidamente cuanto acabamos de decir observando la siguiente figura: Formamos las razones siguientes: Ç Sustituimos los segmentos indicados por sus valores: Hallamos los cocientes: Los cocientes son iguales, luego: es decir, que los segmentos creados en una recta son proporcionales a los correspondientes formados en la otra. Encontramos más proporciones entre los valores de los segmentos formados en una y otra recta. Vemos que: También podemos establecer la siguiente proporción:

29 1. Calcula la distancia en el ejemplo siguiente: Respuesta: 4,5 cm. Solución: La respuesta la obtenemos de la proporción: 2. Calcula el valor de x en la siguiente figura: Respuesta: 3 cm. Solución:

30 3. Hallar la longitud del segmento en la siguiente figura: Respuesta: 2,5 cm.